GABARITO NÍVEL III. Questão 1) As Leis de Kepler.

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1 SOCIEDADE ASTONÔMICA BASILEIA SAB IV Olimpíada Braileira de Atronomia IV OBA Gabarito da Prova de nível III (para aluno do enino médio) GABAITO NÍVEL III Quetão 1) A Lei de Kepler. Johanne Kepler, atrônomo e matemático alemão, nacido em 1571, decobriu trê lei fundamentai para explicar o movimento do planeta em torno do Sol. Kepler decobriu eta lei apó etudar, por cerca de vinte ano, medida da poiçõe de algun planeta (principalmente a de Marte) no céu, realizada pelo atrônomo dinamarquê Tycho Brahe, nacido em 154. Na realidade, em 100 (um ano ante da ua morte) Brahe contratou Kepler para ajudá-lo a analiar o dado obervacionai obre a poiçõe do planeta, colhido em eu próprio obervatório na Dinamarca por mai de dua década. A dua primeira lei chamada, repectivamente, Lei da Órbita e Lei da Área foram enunciada por Kepler em 109, enquanto a terceira, chamada de Lei Harmônica, foi enunciada em 118. Enunciando eta lei para explicar o movimento planetário, Kepler jamai poderia imaginar que a mema também poderiam explicar o movimento de etrela em itema binário e até o movimento de atélite artificiai, tai como o atélite de telecomunicaçõe que orbitam em torno da Terra. 1.a (Valor: 0,) Enuncie a trê Lei de Kepler; 1.b (Valor: 0,4) O que cada uma dela etabelece fiicamente, ou eja, qual o ignificado fíico de cada uma dela. 1.a) Lei da Órbita: A órbita de cada planeta é uma elipe, com o Sol em um do foco; ou noutra redação: Todo o planeta e movem em orbita elíptica que têm o Sol como um do foco. 1.a) Lei da Área: Uma reta unindo qualquer planeta ao Sol varre área iguai em intervalo de tempo iguai; ou noutra redação: A reta unindo um planeta ao Sol varre área iguai em tempo iguai. 1.a) Lei Harmônica: O quadrado do período orbital de um planeta é diretamente proporcional ao cubo de ua ditância média ao Sol; ou noutra redação: O quadrado do período orbital de qualquer planeta é proporcional ao cubo da ditância média ao Sol. 1.b) Lei da Órbita: Etabelece que a ditância do planeta ao Sol varia ao longo de ua órbita, pelo fato de a mema er elíptica. 1.b) Lei da Área: Etabelece que a velocidade orbital, ou eja, a velocidade com a qual o planeta e deloca em torno do Sol, não é uniforme, variando de forma regular: Quanto mai ditante o planeta etá do Sol, mai devagar ele e move 1.b) Lei Harmônica: Etabelece que quanto maior for a órbita do planeta, mai lentamente ele e moverá em torno do Sol implicando que a força entre o Sol e o planeta decrece com a ditância do planeta ao Sol. IV OBA Gabarito da Prova Nível III (para aluno do enino Médio) - Brail, 19/05/001-14:00 h (horário de Braília) Página 1 de

2 Quetão ) A Lei da Gravitação Univeral. Iaac Newton, nacido na Inglaterra em 14, foi quem primeiro deu uma explicação completa obre o movimento do corpo, bem como à forma como a força atuam obre o memo. A decrição do movimento do corpo etá contida na bem conhecida trê Lei de Newton: A Lei da Inércia, a Lei da Força e a Lei da Ação e eação. Newton decobriu, também, a Lei da Gravitação Univeral, eta última a partir de etudo obre o movimento da Lua em torno da Terra e da trê Lei de Kepler para o movimento planetário..a (Valor: 0,5) Enuncie a Lei da Gravitação Univeral..b (Valor: 0,5) Tanto o Sol quanto um planeta que e move em torno dele experimentam a mema força. Como podemo explicar que o Sol permanece empre (aproximadamente) no centro do itema olar?.a) Entre doi corpo de maa quaiquer, independente do eu tamanho, exite uma força de atração que é proporcional ao produto de ua maa e inveramente proporcional ao quadrado da ditância que o eparam; ou noutra redação: Cada partícula do Univero atrai cada uma da outra partícula com uma força diretamente proporcional ao produto da ua maa e inveramente proporcional ao quadrado da ditância que a eparam..b) Porque a maa do Sol é muito maior do que a maa de qualquer planeta; ou noutra redação: Porque a maa do Sol é cerca de 00 veze maior do que a maa de todo o planeta junto. Quetão 3) Unidade de Ditância Atronômica. A unidade mai apropriada para a medida de ditância dentro do itema olar é a Unidade Atronômica (UA), que repreenta a ditância média entre a Terra e o Sol. Tal ditância foi determinada pela primeira vez em 173, medindo-e a paralaxe de Marte em opoição, imultaneamente em doi locai ditinto, na França e na Guiana Francea. O valor da Unidade Atronômica é 1UA (1,5 8 ). Quando e trata de medida de ditância na ecala cómica, a unidade mai apropriada ão: o Ano-Luz (AL), que correponde à ditância percorrida pela luz em um ano e o Parec (pc), que repreenta a ditância de um objeto cómico, tal que obervadore localizado no objeto veriam o raio da órbita da Terra em torno do Sol com um tamanho angular de 1 ( um egundo de arco). 3.a - (Valor: 0,3) Sendo a velocidade da luz no vácuo igual a /, um Ano-Luz correponde a quanto quilômetro? Conidere em qualquer quetão deta prova: 1 ano 35 dia de 4 hora. 3.b - (Valor: 0,3) Um Ano-Luz correponde a quanta Unidade Atronômica? 3.c - (Valor: 0,4) Componente da Equipe Braileira de Atronomia que repreentou o Brail na V Olimpíada Internacional de Atronomia, realizada em outubro de 000, na úia, perguntaram ao Prof. João Batita Garcia Canalle, um do Coordenadore da Equipe Braileira, qual era a ua idade. Curioamente, o Prof. Canalle repondeu: já percorri, tendo o planeta Terra como veículo tranportador, aproximadamente 40 bilhõe de. Quanto ano tem, aproximadamente, o Prof. Canalle? (Se preciar, conidere π 3,1 e a ditância Terra-Sol ). 3.a) Um Ano-Luz correponde a 9,4 1, ou eja, 1 Ano-Luz velocidade da luz X 1 ano 3 5 / X 3, , b) Um Ano-Luz correponde a aproximadamente Unidade Atronômica, ou eja, divide-e o valor do Ano-Luz em pelo valor da Unidade Atronômica em : 9,4 1 / (1,5 8 ) UA. 3.c) No momento da Olimpíada Internacional do ano 000, a idade do Prof. Canalle era de 43 ano, ou eja: Idade ditância total percorrida pelo Prof. Canalle (40 bilhõe de 4 ), ao longo da ua vida, dividida pela ditância percorrida pela Terra em torno do Sol durante 1 ano, que correponde a: π x 3,1 x 1,5 8 9,3 8 /ano. Logo, a idade é igual a 4 / (9,3 8 /ano) 43 ano. IV OBA Gabarito da Prova Nível III (para aluno do enino Médio) - Brail, 19/05/001-14:00 h (horário de Braília) Página de

3 Quetão 4) A Energia da Etrela. Aim como toda a etrela, o Sol pode er coniderado uma grande uina nuclear, já que quae toda ua energia reulta de reaçõe nucleare que etão e proceando no eu núcleo. Em relação ao Sol, epecificamente, ua energia provém da fuão (ou queima ) de átomo de hidrogênio em átomo de hélio. Felizmente para nó, no cao do Sol, trata-e de uma uina nuclear auto-regulável, ou eja, ela controla por i ó a reaçõe nucleare que acontecem no eu interior. A radiação eletromagnética, eja ela luz, micro-onda ou outro tipo qualquer, é compota por pacote concentrado de energia chamado de fóton. Albert Eintein ( ), ao propor que a luz e todo tipo de radiação eletromagnética é compota por fóton, potulou também que cada um dete pacote de energia é, na realidade, uma partícula que e propaga no vácuo com uma velocidade contante c, a velocidade da luz, e tem uma quantidade dicreta de energia (E), chamada também de quantum, dada por Ehv, onde h é a contante de Planck e v é a freqüência da radiação eletromagnética em quetão. A energia produzida no núcleo do Sol leva cerca de 170 mil ano para atingir ua uperfície, ito porque o fóton interagem com a matéria gaoa que contitui o interior do Sol, ofrendo um elevadíimo número de devio em ua trajetória; em outra palavra, entre o núcleo e a uperfície do Sol o fóton ão aborvido pela matéria e ao memo tempo reemitido um número muito grande de veze. Ito faz com que o caminho de cada fóton no interior do Sol eja um verdadeiro zig-zag quae infinito. Entretanto, para o neutrino que ão partícula em maa ou com maa quae nula, ma que pouem a velocidade da luz, também produzido no núcleo olar durante a reaçõe nucleare, o interior do Sol é tranparente, ou eja, o neutrino não interagem com a matéria gaoa contituinte do interior olar. Ob.: Conidere o raio do Sol aproximadamente , a velocidade da luz igual a / e a ditância do Sol à Terra a (Valor: 0,4) Qual deve er a trajetória do neutrino no interior do Sol, ou eja, entre o núcleo do Sol e a ua uperfície? 4.b (Valor: 0,3) Quanto tempo o neutrino devem levar para percorrer a ditância entre o centro do Sol e ua uperfície? 4.c (Valor: 0,3) Quanto tempo neutrino e fóton devem levar para percorrer a ditância entre o Sol e a Terra? Depreze o raio do Sol e da Terra nete item. 4.a) A trajetória do neutrino no interior do Sol é retilínea, poi ele não interagem com nada que poa deviálo. 4.b) O tempo que leva um neutrino para percorrer a ditância do centro à uperfície do Sol é : Tempo ditância percorrida pelo neutrino, que correponde ao raio do Sol, dividida pela velocidade da luz, que é a própria velocidade do neutrino. Aim, Tempo / ( /),5 egundo. 4.c) Aproximadamente 500 egundo ou 8,3 minuto, ou eja: Tempo Sol-Terra ditância média Sol-Terra / velocidade da luz 1,5 8 /(3 5 /) 500 8,3 min. Quetão 5) Core do Planeta. A core do diferente planeta ão determinada fundamentalmente pelo tipo de gae que compõem ua atmofera, ou eja, a camada gaoa que o rodeia. O gae preente na atmofera de um planeta dependem do contituinte químico, átomo e molécula, de que e formou o planeta. O planeta terretre (Mercúrio, Vênu, Terra e Marte) e formaram em ter atmofera muito extena e dena, poi não foram capaze de reter o gae da atmofera primitiva. A atual atmofera dete planeta é fruto de gae que foram liberado do interior do memo, durante ua vida. Diferentemente, o planeta com maa maiore do que a terretre (Júpiter, Saturno, Urano e Netuno) têm atmofera ainda primitiva, ou eja, contituída pelo gae que exitiam no momento da formação do memo. Quando a luz olar incide na atmofera do planeta, parte da luz é aborvida pelo gae e parte é refletida. Aim, é a luz refletida que determina a cor do planeta. Por exemplo, noo planeta Terra quando vito do epaço, e motra azul, devido à grande quantidade de oxigênio preente na IV OBA Gabarito da Prova Nível III (para aluno do enino Médio) - Brail, 19/05/001-14:00 h (horário de Braília) Página 3 de

4 atmofera terretre, que tem a propriedade de epalhar e refletir muito mai o comprimento de onda em torno do azul e aborver a outra core. O azul do céu quando vito da uperfície terretre e explica baicamente pelo memo fenômeno. Vamo penar agora no planeta com atmofera muito pouco dena ou quae em atmofera, como é o cao de Mercúrio e Plutão. 5.a (Valor: 0,4) Qual a cor do céu diurno dete planeta, vita por um atronauta que, hipoteticamente, eteja na uperfície do memo? 5.b (Valor: 0,) Por que ao olharmo para ete planeta, a partir da Terra, o vemo de uma cor diferente daquela que é obervada pelo hipotético atronauta colocado em ua uperfície? Qual é eta cor? 5.a) Completamente preto, poi não há gá para epalhar a luz. 5.b) Porque ao olharmo para o planeta, a partir daqui da Terra, etamo na realidade recebendo a luz do Sol refletida pela uperfície do planeta. A cor é amarela, poi correponde à luz do Sol. Quetão ) O Movimento do Corpo Celete. O atro ( planeta, etrela e galáxia) etão e movimentando no céu na direção de lete para oete. Tal fenômeno é um reflexo direto da rotação da Terra, a qual etá girando em torno do eu eixo no entido de oete para lete. Ao longo da 4 hora do dia, todo o atro decrevem no céu trajetória circulare paralela ao equador. No pólo, toda a etrela de um memo hemifério permanecem 4 hora acima do horizonte. Diferentemente, no equador a etrela permanecem 1 hora acima do horizonte e 1 hora abaixo dele. O Prof. Joé enan de Medeiro, um do lidere da Equipe Braileira de Atronomia e que mora em Natal, cidade localizada no hemifério ul, a aproximadamente 5 grau da linha do equador, num início de noite, olhou para o horizonte e viu um maravilhoo epetáculo: A contelação de Órion (aquela que poui a Trê Maria) emergindo do oceano..a (Valor: 0,3) Para qual lado cardeal etava olhando o Prof. enan?.b (Valor: 0,3) Paada hora do momento em que o Prof. enan viu Órion emergir do oceano, onde etava agora localizada eta contelação?.c (Valor: 0,4) Sei mee apó o referido evento (item.a), onde etará localizada a contelação de Órion em relação à cidade de Natal, ao anoitecer?.a) Para o Lete..b) Cruzando a linha meridiana que paa obre Natal..c) Para o Oete. Quetão 7) A Expanão do Univero. Em 1958, George Gamow fez a eguinte afirmação durante uma reunião científica: É tão certo que o Univero começou com um Big-Bang quanto é certo que a Terra gira em torno do Sol. Tal afirmação, tão categórica, motra a confiança do cientita obre a Teoria do Big-Bang. Entretanto, você não deve imaginar que o Big-Bang foi uma exploão giganteca, como uma bomba gigante que explode, e que alguém (talvez você memo!) poderia ficar do lado de fora da bomba e obervar o fenômeno do Big-Bang. Ito porque no Big-Bang não exite lado de fora nem lado de dentro. O Big-Bang repreenta a geração do próprio epaço e do próprio tempo. É como e o epaço e o tempo tiveem começado ali, no momento do Big- Bang. Uma da evidência mai forte a favor do Big-Bang foi obervada por Edwin P. Hubble ( ), que em 199 deenvolveu a famoa Lei de Hubble com bae num fato obervacional aparentemente deconcertante: Toda a galáxia, etejam ela próxima ou ditante, etão e afatando da Terra. Ou eja, o Univero etá em expanão. A lei de Hubble é dada pela equação: V Hd, IV OBA Gabarito da Prova Nível III (para aluno do enino Médio) - Brail, 19/05/001-14:00 h (horário de Braília) Página 4 de

5 onde H é definida como a contante de Hubble e vale, aproximadamente, //Mega Ano-Luz), V é a velocidade com a qual uma galáxia ou quaar etá e afatando de nó (também chamada de velocidade de receão) e d é a ditância da galáxia ou quaar até nó. Ob.: Mega Ano-Luz ignifica Ano-Luz. Aim, a Lei de Hubble ao motrar que o Univero etá em expanão concorda com a hipótee do Big-Bang e aquilo que nó obervamo hoje no como repreenta o fragmento que foram expelido no Big-Bang ou na exploão primordial. Conidere, então, um quaar (que é um corpo extremamente luminoo com maa tão grande quanto a maa da galáxia) que etá e afatando de nó com uma velocidade de,0 8 m/ (oberve que tal velocidade equivale a cerca de % da velocidade da luz!). 7.a (Valor: 0,5) Determine, em ano-luz, a ditância aproximada dete quaar até a Terra. 7.b (Valor: 0,5) Suponha que a velocidade do quaar foi contante no tempo dede o Big-Bang. Com bae neta hipótee calcule, uando a Lei de Hubble, o tempo gato pelo quaar para chegar a eta ditância. Ete tempo é chamado de tempo de Hubble e repreenta a idade do Univero. 7.a) Da Lei de Hubble temo que d V/H e eta é a única conta a er feita, porém a velocidade etá dada em m/, a contante de Hubble foi dada em /( Mega Ano-Luz) e a repota foi pedida em Ano-Luz. Logo, o principal trabalho erá converter corretamente a unidade. d V H d Mega Ano - Luz Ano - Luz m 13 bilhõe 5 Ano - Luz de Ano - Luz 00 Ano - Luz 7.b) Pela hipótee de ter ido mantida contante a velocidade, egue que t d/v, ma como V Hd, então t d/(hd) 1/H e eta é a única conta a er feita, porém, tal qual no item anterior, o maior trabalho erá converter corretamente a unidade. Lembrando que na quetão 3 já calculamo a ditância em do Ano-Luz (1 AL 9,4 1 ) e a duração do ano em egundo (1 ano 3,153 7 ), logo 1 {1/(3,153 7 )} ano. 1 t H t Ano - Luz ano x Ano - Luz 1 3,153x ano 0 bilhõe de ano IV OBA Gabarito da Prova Nível III (para aluno do enino Médio) - Brail, 19/05/001-14:00 h (horário de Braília) Página 5 de 7 3+ ano 1 ( 9,4 ) Quetão 8) Dimenõe na natureza e no Como. Do jardim da noa caa até o confin do Univero, no deparamo com a mai incrívei dimenõe, tanto em tamanho quanto em maa, peo ou velocidade. No quadro abaixo, enumere em ordem crecente de 1 a o tamanho e a maa de cada objeto (cada item vale 0,05, totalizando 1,0 ponto para a quetão toda): OBJETO TAMANHO MASSA Galáxia (Via Láctea) 9 9 Maçã 3 3 Saturno 8 7 Etrela de Nêutron 5 8 Terra 7 Neutrino 1 1 Lua 5 Núcleo Atômico Ser Humano 4 4 O Aglomerado de Virgo

6 Quetão 9) A elatividade Uma da maiore manifetaçõe da criatividade humana é, em dúvida nenhuma, a Teoria da elatividade propota por Albert Eintein. Sua idéia geral etá contida, embora de forma implificada, na expreão eguinte: Aim como o obervadore em diferente localidade têm diferente perpectiva epaciai do Univero, o obervadore com velocidade diferente têm diferente perpectiva temporai. Pergunta: (Valor: 1,0) Qual o ignificado fíico deta expreão? epota: Vária poibilidade podem er enxergada como repota: Noa vião do Univero, tanto epacial quanto temporal, depende do referencial de onde etamo fazendo noa obervaçõe. Depende também e ete referencial etá em repouo ou em movimento. Ou noutra redação: Aim como noa perpectiva viual depende do referencial, ou eja, do lugar de onde fazemo noa obervaçõe, o tempo pode e motrar diferente para obervadore com movimento relativo. Quetão ) A Gravidade e o Imponderável. Dizemo que um corpo é imponderável quando ele parece não etar ubmetido à ação de força gravitacionai. Ito é experimentado pelo atronauta em órbita, que ficam flutuando. Alguma peoa acreditam que ito é devido à auência de gravidade, o que é incorreto. O que acontece é que o atronauta e o lugar onde etá (etação epacial, cápula e outro) etão ujeito ao memo valor da aceleração. Dado: aio da Terra:,37 m, Maa da Terra: M 5,98 4 kg e contante de Gravitação Univeral: G,7-11 N.m kg -. Ob.: Aproxime 5,98,,37 e,7 para,4!.a (Valor: 0,) Qual eria a duração do dia na Terra para que tivéemo a enação de imponderabilidade aqui em ua uperfície, num ponto obre a linha do Equador?.b (Valor: 0,) Se forem acionado foguete num ônibu epacial para correção de órbita, a enação de imponderabilidade do atronauta continuará?.c (Valor: 0,) Doi tren perfeitamente iguai, um anda para lete e outro para oete, qual parece er o mai peado?.a) Nete cao não deveria haver força normal do olo obre o corpo na uperfície da Terra, ou eja, a força gravitacional que a Terra exerce num corpo eria reponável, ozinha, pelo eu movimento circular em torno do centro da Terra, exercendo o papel de força centrípeta. π T V GMm ma Força gravitacional Força centrípeta ubtituin do o valoret 3,1,4 3 (,4 ) 4, 4, ,4 hora 11,4 logo T.b) Não. Nete cao o atronauta etarão ob o efeito de uma força de inércia com entido opoto àquela aplicada obre o veículo em que etão, no cao de etarem ante flutuando (análie com referencial no atronauta); ou noutra redação: Não. Nete cao o atronauta etarão ob o efeito de uma força normal de algum compartimento do ônibu epacial, que faz com que o atronauta e movam junto com o memo. Em ambo o cao a propulão imula uma enação de peo no atronauta que parecem er puxado para o lado contrário do que e move o ônibu epacial..c) Como a Terra gira de Oete para Lete, o trem com peo aparente mai leve é o que vai de Oete para Lete poi a velocidade de eu movimento em torno do centro da Terra é maior, e o que tem peo aparente maior é o que vai de Lete para Oete. IV OBA Gabarito da Prova Nível III (para aluno do enino Médio) - Brail, 19/05/001-14:00 h (horário de Braília) Página de 4 mv V GM π 3 GM