PARCELATÓRIAS DE POTÊNCIAS EQUAÇÕES SIMILARES À DO ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

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1 PARCELATÓRIAS DE POTÊNCIAS EQUAÇÕES SIMILARES À DO ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT "Entendemos as relações entre casas e paredes. Porém é difícil transpor a lacuna entre os conceitos de casas e tijolos sem haver suficiente conceitos intermediários, tal qual o conceito de parede." (Marvin Minsky, Society of Mind, 1985) "Problemas não podem ser solucionados no mesmo nível de abstração no qual foram criados." (Albert Einstein, 1920) entre um dos vários teoremas possíveis de serem obtidos pela análise das Parcelatórias, está aquele denominado Parcelatórias de Potências que corresponde ao seguinte enunciado: Este teorema pode ser utilizado para averiguar a veracidade da existência de resultados inteiros em inúmeras equações polinomias tais como: a 2 + b 2 = c 2, onde a, b e c Ν; a 3 + b 3 = c 2, onde a, b e c Ν; a 2 + b 2 = c 3, onde a, b e c Ν; a 2 + b 2 +c 2 = d 2, onde a, b, c e d Ν; a 11 + b 11 + c 11 = d 7, onde a, b, c e d Ν, mesmo a b c d 1001 = e 2003, onde a, b, c, d e e Ν. E por aí vai! 1

2 A idéia é poderosa, pois a partir de um simples enunciado é possível constatar de antemão a existência não de resultados inteiros positivos em equações que levariam décadas para serem calculadas, nos mais velozes computadores da atualidade mesmo do futuro. Por isto mesmo é preciso demonstrá-la com bastante exatidão e clareza. DEMONSTRAÇÕES As equações com valores inteiros positivos possíveis, formalizadas pelo enunciado, corresponde a uma união de dois Conjuntos de Equações, a saber: O conjunto denominado 'primos' corresponde ao conjunto de equações cujos expoente das parcelas (u) e o expoente do resultado (w) são primos entre si. Dois números são considerados primos entre si quando possuem apenas a unidade como divisor em comum (mdc(u,w) = 1). Neste conjunto existem dois subconjuntos de equações: aquelas cujos números de parcelas (p) são menores que os expoentes das parcelas (u), p < u; e aqueles cujos números de parcelas (p) são maiores iguais aos expoentes das parcelas (u), p >= u. Da mesma forma, o conjunto denominado 'não primos' corresponde ao conjunto de equações cujos expoente das parcelas (u) e o expoente do resultado (w) NÃO são primos entre si. Neste conjunto também existem dois subconjuntos: aquelas cujos números de parcelas (p) são maiores iguais aos expoentes das parcelas (u), p >= u; e aqueles cujos números de parcelas (p) são menores aos expoentes das parcelas (u), p < u. Então, podemos dizer que o enunciado das Parceltatórias de Potências corresponde à união do conjunto 'primo' com o subconjunto do conjunto 'não primos' cujos números de parcelas (p) são maiores iguais aos expoentes das parcelas (u). Esta união de conjuntos corresponde às áreas representadas em azul no desenho acima. Para uma demonstração completa do enunciado é necessário fazer demonstrações separadas do que ocorre no conjunto 'primo' e no conjunto 'não primos'. A união das demonstrações será a prova encerrada. 2

3 DEMONSTRAÇÕES DA EXISTÊNCIA DE RESULTADOS INTEIROS EM EQUAÇÕES COM EXPOENTES PRIMOS ENTRE SI I PROPOSIÇÃO: Esta proposição corresponde ao Conjunto das Equações denominadas 'primos', comentadas anteriormente: PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO Vamos começar determinando a veracidade da existência de soluções inteiras para uma equação cujo enunciado seja: "A soma de uma tríades de sétima potências é igual a um biquadrado", a 7 + b 7 + c 7 = d 4, onde a, b, c e d Ν 3

4 Em uma primeira tentativa, podemos considerar todas parcelas iguais ao número de parcelas (p=3) elevado a um número inteiro qualquer (k), e o resultado igual ao número de parcelas (p=3) elevado a tro número inteiro qualquer (l), seja, a = b = c = 3 k, onde k Ν, e d = 3 l, onde l Ν. Assim, a 7 + b 7 + c 7 = d 4 torna-se 3 7k + 3 7k + 3 7k = 3 4l 3 * 3 7k = 3 4l, ainda 3 7k + 1 = 3 4l. D'onde se conclui que 7k + 1 = 4l (7k + 1) / 4 = l, lembrando que k e l Ν. Neste caso, observa-se rapidamente que k = 1 é uma das possíveis soluções para a equação, pois resulta em l = 2. A equação 3 7k + 3 7k + 3 7k = 3 4l torna-se = 3 8, levando-nos a concluir que a equação "a soma de uma triades de sétima potências é igual a um biquadrado" é verdadeira também no Conjunto dos Números Naturais! Observe que o expoente das parcelas (u=7) é primo do expoente do resultado (w=4), pois ambos só têm a unidade como divisor em comum (mdc(7,4) = 1). Abaixo estão plotadas algumas soluções possíveis para esta equação: = = =

5 = = = = = = = SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO Um segundo exemplo é a determinação das soluções naturais para uma equação cujo enunciado seja o seguinte: "A soma de duas oitava potências é igual a uma terceira oitava potência", a 8 + b 8 = c 8, onde a, b e c Ν. Para seguirmos a mesma técnica utilizada na determinação anterior, devemos considerar todas parcelas iguais ao número de parcelas (p=2) elevado a um número inteiro qualquer (k), e o resultado igual ao número de parcelas (p=2) elevado a tro número inteiro qualquer (l), seja, a = b = 2 k, onde k Ν, e c = 2 l, onde l Ν. Assim, a 8 + b 8 = c 8 torna-se 2 8k + 2 8k = 2 8l 2 * 2 8k = 2 8l ainda 2 8k + 1 = 2 8l. D'onde se conclui que 8k + 1 = 8l 5

6 ainda (k/8) + (1/8) = l. Neste caso, para qualquer valor de k é impossível obter um valor inteiro para l, devido a parte fracionária da equação (1/8). Isto pode ser observado plotando alguns valores de k e l: k l 1 1, , , , , , , , , , Isto leva-nos a concluir que a equação "a soma de duas oitava potências é igual a uma terceira oitava potência" NÃO possue soluções com todas as parcelas iguais no Conjunto dos Números Naturais! Observe que o expoente das parcelas (u=8) NÃO é primo do expoente do resultado (w=8), pois ambos têm a unidade e a si próprios como divisores em comum (mdc(8,8) {1,8}). TERCEIRA DEMONSTRAÇÃO Um terceiro exemplo é a determinação das soluções inteiras para uma equação cujo enunciado seja o seguinte: "A soma de um quarteto de oitava potências é igual a uma décima-segunda potência", a 8 + b 8 + c 8 + d 8 = e 12, onde a, b, c, d e e Ν Se seguirmos a mesma técnica utilizada na determinação anterior, podemos considerar todas parcelas iguais ao número de parcelas (p=4) elevado a um número inteiro qualquer (k), e o resultado igual ao número de parcelas (p=4) elevado a tro número inteiro qualquer (l), seja, 6

7 a = b = c = d = 4 k, onde k Ν, e e = 4 l, onde l Ν. Assim, a 8 + b 8 + c 8 + d 8 = e 12, torna-se 4 8k + 4 8k + 4 8k + 4 8k = 4 12l 4 * 4 8k = 4 12l, ainda 4 8k+1 = 4 12l. D'onde se conclui que 8k + 1 = 12l (8k + 1)/12 = l, ainda (2k/3) + (1/12) = l, lembrando que k e l Ν. Também neste caso, para qualquer valor de k é impossível obter um valor inteiro para l, devido a parte fracionária da equação (1/12). Isto pode ser observado, plotando alguns valores de k e l: k l 1 0,75 2 1,41 3 2,08 4 2,75 5 3,41 6 4,08 7 4,75 8 5,41 9 6, , Ou seja, NÃO existem soluções com todas as parcelas iguais para esta equação no Conjunto dos Números Naturais. 7

8 Por tro lado, também podemos agrupar as parcelas de duas em duas, considerar os valores das parcelas iguais a 2 elevado a um número inteiro qualquer (k), e o resultado também igual a 2 elevado a tro número inteiro qualquer (l), seja, a = b = c = d = 2 k, onde k Ν, e e = 2 l, onde l Ν. Assim, (a 8 +b 8 ) + (c 8 + d 8 ) = e 12 torna-se (2 8k + 2 8k ) + (2 8k + 2 8k ) = 2 12l (2 * 2 8k ) + (2 * 2 8k ) = 2 12l, ainda (2 8k+1 ) + (2 8k+1 ) = 2 12l. D'onde se conclui que 8k + 2 = 12l (8k + 2)/12 = l, ainda (2k/3) + (1/6) = l, lembrando que k e l Ν. Neste caso também, para qualquer valor de k é impossível obter um valor inteiro para l, devido a parte fracionária da equação (1/6). Isto pode ser observado, plotando alguns valores de k e l: k l 1 0, ,5 3 2, , ,5 6 4, , ,5 9 6,

9 10 6, O mesmo processo pode ser realizado aplicando-se agrupamento de parcelas de três em três, considerar os valores das parcelas iguais a 3 elevado a um número inteiro qualquer (k), e o resultado igual a 3 também elevado a tro número inteiro qualquer (l), seja, a = b = c = 3 k, onde k Ν, e d = 3 l, onde l Ν, e e = 3 m, onde m Ν. Assim, (a 8 + b 8 + c 8 ) + d 8 = e 12 torna-se (3 8k + 3 8k + 3 8k ) + 3 8l = 3 12m (3 * 3 8k ) + 3 8l = 3 12m, ainda (3 8k+1 ) + 3 8l = 3 12m. D'onde se conclui que para haver alguma simplificação e continuarmos adiante, seria necessário que 8k + 1 = 8l Observe que esta equação é idêntica à equação final da SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO (I). E, conforme foi visto, para qualquer valor de k é impossível obter um valor inteiro para l. * * * 9

10 De uma forma geral, considerando que o expoente das parcelas (u) seja múltiplo do expoente dos resultados (w), teremos sempre as seguintes possibilidades de agrupamentos homogêneos: TABELA 1: 10

11 e as seguintes possibilidades de agrupamentos heterogêneos: TABELA 2: 11

12 * * * Retornando à TERCEIRA DEMONSTRAÇÃO, durante a tentativa de verificar se existem agrupamentos de três em três parcelas que satisfaçam a equação, observ-se a necessidade de verificar previamente se existem agrupamentos de dois em dois que satisfizessem a equação. Porém, Ou seja, NÃO existem soluções para a equação apresentada na TERCEIRA DEMONSTRAÇÃO. E observe que o expoente das parcelas (u=8) NÃO é primo do expoente do resultado (w=8), pois ambos têm a unidade e a si próprios como divisores em comum (mdc(8,8) ϵ {1,8}). Assim, o primeiro tipo de agrupamento (evidenciado com o indicador) determina a condição de soluções inteiras para qualquer equação: se o expoente das parcelas (u=kx) é múltiplo do expoente do resultado (w=ly), então só poderá existir soluções inteiras quando otermo fixo expoente das parcelas (u) for igual à unidade, e isto só ocorre quando eles são primos entre si. Em tras palavras, 12

13 DEMONSTRAÇÕES DA EXISTÊNCIA DE RESULTADOS INTEIROS EM EQUAÇÕES COM EXPOENTES NÃO PRIMOS ENTRE SI II PROPOSIÇÃO: Esta proposição não colide com a anterior, pois ela delimita o Conjunto das Equações que têm parcelas passíveis de serem agrupadas homogêneamente daquelas na qual todos os valores de cada parcela são heterogêneos (a 1 a 2 a 3... a p ), daquelas no qual os agrupamentos possam ser heterogêneos. Ela corresponde à união dos Subconjuntos do Conjuntos das Equações denominadas 'primos' e 'não primos', comentada anteriormente, na qual o número de parcelas é maior igual ao expoente das parcelas (p >= u) (região cheia azulada): No texto Sobre o Prisma das Parcelatórias, foi definido que 13

14 Esta definição mostra que p e v são divisores de b w. Assim, b = p 1/w * v 1/w Ou seja, b é múltiplo de p 1/w e v 1/w. Mas, para que exista p 1/w Ν v 1/w Ν as condições abaixos devem ser satisfeitas: p w v w. Como de antemão só conhecemos a quantidade das parcelas (p) e nada conhecemos a respeito dos valores das parcelas (v), só podemos utilizar primeiro trecho da preposição, Por tro lado, observa-se que a definição do Teorema das Parcelatórias refere-se à equação no qual todas parcelas são iguais. Em tras palavras, a equação p * v = b w refere-se a: a 1 kx + a 2 kx + a 3 kx a p kx = b ly, onde temos v = a 1 kx = a 2 kx = a 3 kx =... = a p kx. E, em uma análise mais apurada, podemos constatar que 14

15 e que nos leva de volta à já citada equação da qual podemos afirmar também que Um observador atento poderia comentar que, sendo o valor de todas as parcelas iguais a v, este caso corresponderia apenas ao primeiro tipo de agrupamento homogêneo citado na primeira tabela. Contudo, o mesmo princípio pode ser aplicado tanto em agrupamentos homogêneos quanto heterogêneos, pois conforme foi visto, a mesma equação aplica-se nos dois casos devido à simetria da quantidade de itens do agrupamento (n). Em tras palavras, a equação geral simplificada seria da seguinte forma: PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO Existem pelo menos duas formas distintas de demonstrar esta preposição. Uma delas é constatando a ineficiência do processo de agrupamentos homogêneos para a determinação da veracidade da existência de soluções inteiras para uma equação cujo enunciado é: "A soma de quatro cubos é igual a uma sexta potência", a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = e 6, onde a, b, c, d e e Ν Caso seja utilizado o processo de agrupamento, iremos chegar à conclusão de que neste caso não existem valores que satisfação à equação, pois os expoentes 3 e 6 NÃO são primos entre si. Senão, vejamos: a = b = c = d = 4 k, onde k Ν, e e = 4 l, onde l Ν. Assim, 15

16 a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = e 6 torna-se 4 3k + 4 3k + 4 3k + 4 3k = 4 6l 4 * 4 3k = 4 6l, ainda 4 3k+1 = 4 6l. D'onde se conclui que 6k + 1 = 6l (6k + 1)/6 = l ainda (k/6) + (1/6) = l, lembrando que k e l Ν. Neste caso, para qualquer valor de k seria impossível obter um valor inteiro para l, devido a parte fracionária da equação (1/6). Porém existem várias soluções para esta equação, com valores agrupamentos heterogêneos, como pode ser observado nos valores plotados abaixo: 5 6 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

17 = = = = Ou seja, mesmo para expoentes diferentes, não primos entre si (mdc(3,6) ϵ {1,3}), existem soluções para a equação apresentada, pois o número de parcelas (p) é maior que o valor do expoente das parcelas (u). SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO Nesta segunda demonstração vamos determinar a ineficiência do processo de agrupamentos homogêneos para a determinação da veracidade da existência de soluções inteiras para uma equação cujo enunciado é: "A soma de dois quadrados é igual a um terceiro quadrado", a 2 + b 2 = c 2, onde a, b e c Ν Da mesma forma, caso seja utilizado o processo de agrupamento, iremos chegar à conclusão de que neste caso não existem valores que satisfação à equação, pois os expoentes NÃO são primos entre si. Senão, vejamos: a = b = 2 k, onde k Ν, e c = 2 l, onde l Ν. Assim, a 2 + b 2 = c 2 torna-se 2 2k + 2 2k = 2 2l 2 * 2 2k = 2 2l, ainda 2 2k+1 = 2 l. D'onde se conclui que 2k + 1 = 2l (2k+1)/2 = l ainda 17

18 (k/2) + (1/2) = l, lembrando que k e l Ν. Também neste caso, para qualquer valor de k seria impossível obter um valor inteiro para l, devido a parte fracionária da equação (1/2). Porém, como é bem conhecido, existem várias soluções com valores heterogêneos para esta equação, também conhecida como Equação do Teorema de Pitágoras, como pode ser observado nos valores plotados abaixo: 5 2 = 25 = = = 100 = = = 169 = = = 225 = = = 289 = = = 400 = = = 625 = 625 = = = = 676 = = = 841 = = = 900 = = Ou seja, mesmo para expoentes diferentes, não primos entre si (mdc(2,2) {1,2}), existem soluções para a equação apresentada, pois o número de parcelas (p) é maior igual ao valor do expoente das parcelas (u). Em tras palavras, 18

19 CONCLUSÃO E NOVAS DESCOBERTAS Alguém há de perguntar se o Teorema das Parcelatórias de Potências é uma forma mais simples, senão a verdadeira solução para a equação do Última Teorema de Fermat. Prefiro me ater ao verdadeiro significado desta descoberta matemática: através de um simples enunciado é possível determinar de antemão se uma equação polinomial tem não solução no Conjunto dos Números Naturais Ν. Vamos supor que alguém queira saber se a equação a 4 + b 4 + c 4 = d 3 tenha solução no Conjunto dos Números Naturais Ν. A regra prática seria a seguinte: 1 passo: determinar se a equação é similar à do Ùltimo Teorema de Fermat, seja, se um potência é igual a uma soma de potências no qual todos os expoentes são iguais. A resposta neste caso é SIM, pois um cubo está sendo expresso como sendo igual a um soma de potências no qual os todos os expoentes são iguais a 4. 2 passo: determinar o número de parcelas (p), o expoente do resultado (w) e os expoentes das parcelas (u). Neste caso, temos: p = 3 w = 3 u = 4 3 passo: determinar se os expoentes (u e w) são primos entre si. Neste caso, 4 e 3 são primos entre si, pois mdc(4,3) = 1. 4 passo: se são primos entre si, pode-se afirmar que a equação tem solução no Conjunto dos Números Naturais Ν. Caso contrário continua para o próximo passo. Neste caso, podemos parar aqui pois foi determinado que os expoentes são primos entre si. 5 passo: se não são primos entre si, determinar se o número de parcelas (p) é maior igual ao expoente das parcelas (u). Neste caso, embora seja uma informação irrelevante, temos que 3 <= 4. Visto na planilha AQUI anexada, o Conjunto das Equações delimitado pelo Teorema das Parcelatórias de Potências lembra uma centro urbano planejado, como a ilha Manhattan, em New York, onde todas as avenidas (u) e ruas ruas (w) são perfeitamente simétricas entren si e cuja transversal, assim como a Broadway Avenue (u=w), separa dois conjuntos de equações: aquelas que admitem nenhuma apenas uma solução e aquelas que admitem nenhuma, uma mais de uma solução. 19

20 É interessante observar que este último caso, que ocorre quando u <= w, evidencia os chamados Números Cabtaxi que são aquelas potências equivalentes à mais de uma forma possível de Parcelatória de Potências. Um número cabtaxi que sempre comento é o número 18 3, o qual admite duas possibilidades de Parcelatórias de Potências: (2³ + 12³ + 16³) = 18³ = (9³ + 12³ + 15³) Existem infinitos casos como este, no qual vê-se que é perfeitamente possível um cubo corresponder à soma de duas trindades distinta de tros diferentes cubos. Estes entre tros tópicos são motivos para mais investigações e determinações de novos teoremas. Mas, independetemente de quantas soluções possam ser obtidas, unindo os conjuntos mencionados neste texto, chegamos finalmente ao enunciado completo das Parcelatórias de Potências: REFERÊNCIAS [1] Dickson, Leornard Eugene. History of the Theory of Numbers, Forum de Discussões OnLine: STOA-USP 20