Passeios Aleatórios. 1 Introdução. 2 Passeio aleatório em uma dimensão. Paulo Matias. 11 de outubro de 2011

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1 Passeios Aleatórios Paulo Matias 11 de outubro de 11 Resumo O passeio aleatório é um modelo muito conhecido em Mecânica Estatística, comumente identicável em diversos fenômenos da natureza. Este trabalho estuda diversas variações do problema do passeio aleatório por meio de simulações computacionais, provendo eemplos e grácos ilustrativos desse modelo. 1 Introdução Passeios aleatórios estão presentes por toda a natureza. Uma partícula de poeira vagando pelo ar, o caminho de um animal em fuga, o preço de uma ação da bolsa de valores - são diversos eemplos de fenômenos que podem ser modelados com o auílio do problema do passeio aleatório. Neste trabalho, realizamos simulações computacionais de passeios aleatórios em uma e duas dimensões. Além disso, simulamos agregação limitada por difusão (DLA) em duas e três dimensões, fenômeno no qual uma partícula vagueia em passeio aleatório até agregar-se a outras partículas já presentes no sistema, gerando fractais com formato similar a ocos de neve. Passeio aleatório em uma dimensão Os grácos da Figura 1 foram gerados por simulações computacionais do passeio aleatório de N andarilhos em uma dimensão. Passeio de N = andarilhos Posição de N =1 andarilhos em T =1 1 1 Posição (s) 1 Número de Andarilhos Passos (T) Posição (s) Figura 1: Posição em função do número de passos para um número pequeno de andarilhos, e histograma da posição de um grande número de andarilhos em T = 1. O gráco da direita da Figura 1 representa, também, a distribuição de probabilidades da posição s de um andarilho em T = 1. Foram medidos, numericamente, s, 1 e s 1,. Esses valores são coerentes com os esperados teoricamente, pois s é a soma de diversas variáveis t independentes, cada uma com t = e σ [ t ] = 1, de forma que: s = T t = t=1 s T T = σ [s] + s = σ [s] + = σ [ t ] = 1 = T t=1 t=1 1

2 s s Passos (T) 8 1 Passos (T) (a) Distribuição discreta para t (b) Distribuição contínua e uniforme para t Figura : Segundo momento de s = t em função do número de passos T, adotando-se tanto uma distribuição discreta quanto uma uniforme para t. Na Figura, pode-se observar s em função de T utilizando para t tanto a distribuição discreta quanto a uniforme. A inclinação da reta no gráco da esquerda é 1,, como esperado (pois s = T, como mostrado acima). No gráco da direita, a inclinação é de, 333, o que também é coerente com o previsto, pois neste caso σ [ t ] = 1 /3 s = T /3. 3 Passeio aleatório em duas dimensões 8 Distribuição espacial de N = moléculas em T =1 1 3 Distribuição espacial de N = moléculas em T =1 8 Distribuição espacial de N = moléculas em T = Distribuição espacial de N = moléculas em T =1 8 Distribuição espacial de N = moléculas em T =1 3 Distribuição espacial de N = moléculas em T = Figura 3: Distribuição espacial de um grande número N de moléculas realizando passeio aleatório em duas dimensões, após diversos valores de tempo T.

3 Coordenada de N =1 moléculas em T =13 Entropia em função do tempo para N =1 moléculas Entropia (S) Quantidade de moléculas (a) Histograma da coordenada 1 1 das moléculas no tempo T = 1. 1 Tempo (T) 1 (b) Entropia do sistema em função do tempo. Figura A Figura a apresenta o histograma da coordenada de diversas partículas realizando passeio aleatório em duas dimensões, no instante T = 1. A média dos valores computados numericamente foi de,, e a variância foi de 99,. A variância é a metade do caso unidimensional pois, neste caso, apenas metade dos passos aleatórios ocorrem na direção. Na Figura b, veri camos que a entropia do sistema aumenta em função do tempo. Agregação limitada por difusão (DLA) Figura : Crescimento do cluster para o DLA em D Figura : Crescimento do cluster para o DLA em 3D

4 1 DLA em dimensões. Dimensão fractal = DLA em 3 dimensões. Dimensão fractal = Massa Massa Raio Raio Figura 7: Dimensão fractal do cluster gerado pelo DLA em D e em 3D. As Figuras e mostram o crescimento do cluster gerado pelo DLA em D e em 3D. A Figura 7 mostra o gráco em escala logarítmica da massa do cluster em função do raio, também para os casos D e 3D, além de indicar a dimensão fractal em cada um dos casos, que é obtida da inclinação da reta. As barras de erro na Figura 7 são colocadas levando em conta a incerteza na contagem das partículas, que é tomada como sendo da ordem do número de partículas entre o raio atual e o raio atual mais um, já que a grade é discreta e de comprimento 1. Conclusão Foram estudados diversos problemas relacionados ao passeio aleatório, e geradas diversas visualizações ilustrativas dos problemas por meio de simulações computacionais. Vericou-se que as simulações permitem uma compreensão maior e mais palpável dos problemas abordados. A Distribuições uniformes e discretas geradas em computador A média e a variância de um conjunto de N números gerados aleatoriamente também são variáveis aleatórias, que tendem a valores os com N. Demonstraremos que o desvio padrão dessas variáveis realmente cai conforme N cresce, indicando que uma boa simulação computacional envolvendo distribuições aleatórias deve ser realizada para uma grande quantidade N de valores gerados. 1 1 e variância de N =1 sorteios Variância 1 1 e variância de N =1 sorteios Variância e 1 Figura 8: Histogramas da média e da variância de números produzidos de acordo com uma distribuição discreta { 1, 1}, para diferentes quantidades N de números gerados.

5 3 e variância de N =1 sorteios Variância e variância de N =1 sorteios Variância Figura 9: Histogramas da média e da variância de números produzidos de acordo com uma distribuição contínua, uniforme em [ 1, 1], para diferentes quantidades N de números gerados. As Figuras 8 e 9 mostram os histogramas da média e da variância para diversos conjuntos de N números aleatórios gerados, respectivamente, de acordo com uma distribuição discreta e de acordo com uma distribuição contínua e uniforme. Podemos observar que a largura dos histogramas é reduzida conforme N aumenta. Desvio padrão da média e da variância Desvio da média Desvio da variância Desvio padrão da média e da variância Desvio da média Desvio da variância Número de sorteios (N) (a) Distribuição discreta Número de sorteios (N) (b) Distribuição contínua, uniforme. Figura 1: Desvio padrão da média e da variância em função da quantidade N de números gerados. A Figura 1 mostra grácos do desvio padrão da média e da variância em função de N para ambas as distribuições. A inclinação de todas as retas na escala logarítmica é de 1 /, eceto a do desvio padrão da variância para a distribuição discreta. Isso mostra que o desvio padrão dessas variáveis, e portanto o erro de uma simulação numérica com N valores gerados aleatoriamente, decresce com 1 / N. No caso do desvio padrão da variância para a distribuição discreta { 1, 1}, temos uma reta com inclinação 1. Isso ocorre pois 1 é o único valor possível de para uma variável aleatória obedecendo a essa distribuição. Portanto, a variância de é dada por = 1. Pode-se demonstrar que σ [1 ] = ( σ [ ] ) para o caso de obedecendo a uma distribuição normal de variância σ [ ] e centrada na origem. Dessa forma, o desvio padrão da variância de será proporcional ao quadrado do desvio padrão da média de, descrescendo portanto com 1 /N e justicando a inclinação da reta.

6 Histograma para Histograma para Figura 11: Histogramas de e de para uma variável aleatória obedecendo à distribuição discreta { 1, 1}. Histograma e Distribuição de Probabilidades para 1 Histograma e Distribuição de Probabilidades para Figura 1: Histogramas e distribuições de probabilidade teóricas de e de para uma variável aleatória obedecendo à distribuição contínua e uniforme em [ 1, 1]. As Figuras 11 e 1 mostram histogramas de e de para uma variável aleatória obecendo, respectivamente, à distribuição discreta { 1, 1} e à distribuição contínua e uniforme em [ 1, 1]. Os histogramas estão dentro do esperado de acordo com as distribuições de probabilidade teóricas para essas variáveis aleatórias. Para o caso de obedecendo à distribuição uniforme, a distribuição de probabilidades para = pode ser calculada da seguinte forma: P () = 1 ˆ +1 1 d δ ( ) F () = ˆ dỹ P (ỹ) = 1 ˆ dỹ ˆ +1 1 d δ ( ) = 1 ˆ +1 1 d Θ ( ) = 1 ˆ + d = P () = d d F () = 1 Que é a distribuição plotada no gráco da direita da Figura 1, casando com o histograma apresentado na mesma gura.