DIFUSÃO CORRELACIONADA EM SISTEMAS DE GRÃOS

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1 DIFUSÃO CORRELACIONADA EM SISTEMAS DE GRÃOS Aluno: DANIEL BYRON SOUZA P DE ANDRADE Orientador: Welles Antônio Martinez Morgado Introdução Instabilidades sugerem que a trajetória de grãos vizinhos deva ser altamente correlacionada, mesmo quando sua mobilidade é relativamente alta. Isto deve levar a modificações importantes da equação de difusão usual: (1) onde ρ é a densidade granular local e o coeficiente de difusão é D. Uma modificação desta forma foi proposta a alguns anos atrás [1]. A ideia é que no espaço de Fourier, a supressão dos modos de comprimento de onda mais curto do que um certo comprimento de correlação l o leva a uma nova equação para a difusão correlacionada dada por [1] / t ϕ(k,t) = - k 2 D +1/lo dq ϕ(k - 2q,t), (2) onde é a variância de uma função de salto correlacionado, ou seja, uma função que faz com que partículas próximas tenham pulos relativamente parecidos em tamanho. Em [1] obtivemos algumas verificações interessantes deste modelo. Objetivos Nosso principal objetivo científico de médio prazo para o presente projeto é testar e verificar a aplicabilidade da equação para difusão correlacionada para sistemas de partículas Brownianas correlacionadas e para sistemas granulares. Metodologia Em uma primeira fase de modelagem, utilizaremos como modelo um conjunto de partículas Brownianas com uma probabilidade de difusão correlacionada. Este modelo é simples o suficiente para que possa rapidamente ser desenvolvido em uma linguagem de computador, e possa obter resultados através de simulação. Resultados Os resultados são obtidos a partir de dois programas escritos em linguagens ligeiramente distintas, o primeiro programa é direcionado a realizar os cálculos computacionais, esse é escrito em C, porém, no momento há uma versão mais simples em Java do mesmo sistema rodando. O objetivo do primeiro programa é simular as iterações entre

2 os objetos virtuais com características próximas de um grão unidimensional, usando o cluster do departamento de física da PUC-RIO. O principal algoritmo do programa verifica todas as possíveis iterações, e de acordo com as condições iniciais, realiza cálculos para cada uma das partículas, criando assim valores probabilísticos que influenciam na direção tomada pela partícula para uma posição subsequente. A influência em movimentos adjacentes varia de acordo com a quantidade de partículas ocupando posições próximas, nas simulações discretas, ou seja, onde os valores de posição são pertencentes ao conjunto dos naturais, por conveniência é possível que mais de uma partícula ocupe o mesmo valor na reta, sem que isso interfira no resultado almejado. O segundo programa gera as imagens a partir dos dados obtidos pelo primeiro programa. A versatilidade desse código permite ser executado de qualquer maquina, sem que seja necessário muito poder computacional para a síntese dos gráficos. Cada partícula ao fim de uma simulação tem uma posição resultante de muitas iterações com as demais os gráficos abaixo mostram as diferentes distribuições ao longo da reta. No limite de difusão descorrelacionda pura, simulando cerca de 10 mil partículas os resultados esperados quando todas partem do mesmo ponto são as Gaussianas:

3 Utilizando um modelo de correlação entre as probabilidades de um grupo difundir e algumas partículas desse grupo difundir em direções contrárias, temos a simulação típica na sequência. As caixas representam posições no espaço. A probabilidade de difusão ao contrário de grupo chamaremos de r. É possível ajustar a taxa probabilística r de relação entre as particulas, para que assim alguns resultados característicos possam ser obtidos. Esperamos que para r = ½ as partículas se comportem como se estivessemm descorrelacionadas, enquanto que para r = 1 elas vão se aglomerar todas em uma única caixa se esperarmos o suficiente. A pergunta é: existe um valor crítico ½ < r c < 1 para o qual acontece uma mudança de regime de difusão descorrelacionada para difusão correlacionada? Tentaremos responder esta pergunta na sequência. Resultados das simulações: As simulações a seguir são realizadas para as mesmas condições iniciais de distribuição uniforme. Quando o valor que dá a iteração está em r= 0.5 não há correlação, as partículas distribuem-se aleatoriamente pela reta:

4 Podemos observar o efeito da aglomeração que se estabelece. Nesta simulação, com cerca de 10 mil partículas, uma das caixas cresceu muito mais que as outras. Esta corresponde a um instante de tempo fixo. Na figura ao lado o valor de r próximo de Quando o valor é fixado em r = 1.0 a uma forte iteração entre as partículas, e rapidamente são formados aglomerados que varrem a reta absorvendo todas as demais partículas:

5 Estamos agora em fase de determinação do valor correto para rc e de verificação que se trata de uma verdadeira transição. Em breve poderemos apresentar estes resultados. Conclusões e perspectivas Nosso objetivo futuro é criar um modelo capaz de explicitar a transição entre uma situação de difusão livre e outra onde todas as partículas do sistema serão absorvidas em uma única caixa, ou pelo menos uma fração muito significativa do total de partículas do sistema. Esperamos encontrar em breve a fronteira de transição de fase para este modelo que realiza a difusão de modo que o grupo decide uma direção e cada partícula do grupo pode aceitar ou não essa direção com uma certa probabilidade. Este modelo, após calibragem, servirá de paradigma para tentarmos desenvolver uma equação para a difusão correlacionada. Em suma, nosso objetivo é estudar a validade e aplicabilidade de equações para a difusão correlacionada em sistemas de partículas Brownianas e sistemas Granulares. Referências 1. Lucas Sigaud, Tese de Doutorado (PUC-Rio, 2009).