Uma breve introdução ao Método dos Elementos Finitos

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1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas Universidade Federal de Minas Gerais Uma breve introdução ao Método dos Elementos Finitos Breno Loureiro Giacchini Janeiro de

2 Conteúdo Prefácio Introdução O problema unidimensional 3. Formulação fraca Discretização do problema Existência e unicidade da solução do problema aproximado Um caso particular: partição regular do intervalo O problema bidimensional 8 3. Formulação fraca Problema aproximado Uma base para V d Enumerações dos vértices Funções da base Cálculo dos gradientes Alguns exemplos de malhas Exemplo Exemplo Outros casos Bibliograa 3 Prefácio Em meio a tantos bons livros e apostilas sobre o Método dos Elementos Finitos, o questionamento do porquê da escrita deste texto não é de todo descabido. O que nos motivou a escrevê-lo é a diculdade de se encontrar um texto, em português, que apresente o Método de forma simples e direta, que lhe forneça uma idéia geral e ao mesmo tempo permita sua implementação em casos simples, mas sem grandes delongas em formalismos matemáticos e preâmbulos sobre análise funcional, por exemplo. Admitimos, pois, que nossa exposição do Método não é feita com todo rigor matemático nem em toda sua generalidade, mas cremos que essa opção satisfaz ao estudante que desea entender sua essência e aplicá-lo, de forma rápida, em alguns casos; ou ao interessado em ter um primeiro contato com essa técnica de resolver numericamente problemas de valores de contorno. Por ser um texto introdutório, que dá apenas um sabor do Método, nos limitamos contemplar o problema de Dirichlet homogêneo uni e bidimensional e a utilizar, neste caso, apenas elementos triangulares. Deixamos expresso nosso agradecimento ao apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais FAPEMIG, que nanciou o proeto de pesquisa Obtenção dos autovalores e autofunções do laplaciano via o quociente de Rayleigh, do qual o estudo do Método dos Elementos Finitos e a escrita deste texto foram partes integrantes. Também agradecemos ao professor Rodney Josué Biezuner, nosso orientador neste proeto.

3 Capítulo Introdução Diversos problemas da Física, Engenharia e outras ciências aparecem sob a forma de uma equação de Poisson u = f x em. com condição de fronteira de Dirichlet u = c sobre, sendo c uma função constante por partes. Aqui é o operador laplaciano, representa o aberto limitado no qual o problema está denido e, sua fronteira. Quando c = temos a condição de Dirichlet homogênea. Ao conunto de uma equação de Poisson com uma condição de Dirichlet homogênea chamamos um problema de Dirichlet homogêneo: { u = fx em,. u = sobre. Dependendo da geometria do domínio a solução do problema pode ser obtida analiticamente na forma de séries de Fourier. Exemplos clássicos normalmente estudados num curso de equações diferenciais parciais são o caso de retângulos, semiplanos, discos e paralelepípedos. No entanto, é preciso recorrer a métodos numéricos caso o domínio se torne mais elaborado. O método dos elementos nitos MEF é conhecido por ser robusto e aplicável em domínios deveras elaborados. Essas também são algumas de suas vantagens sobre o método das Diferenças Finitas, também bastante popular. A idéia central do MEF é discretizar o domínio, representando-o, ainda que de forma aproximada, por uma reunião de um número nito de elementos; e resolver não o problema original., mas sim um que lhe é associado sua forma fraca. No caso de um domínio plano, os elementos podem ser triângulos ou quadriláteros. O método pode ser utilizado para resolver não só problemas elípticos, como o há pouco mencionado; e as condições não necessitam ser de Dirichlet: o MEF também é aplicável no caso de condição de Neumann ou Robin. Optamos por explorar neste texto apenas elementos triangulares e considerar somente o problema., á que nosso obetivo é propiciar um primeiro contato com o MEF. Analisaremos, primeiramente, o caso do problema unidimensional, que é bastante simples e útil como introdução ao método. Em seguida, passaremos ao problema bidimensional, apresentando e exemplicando como o MEF se lhe aplica. Cremos que a partir daí o leitor ou a leitora á estarão aptos a utilizar dessa ferramenta na resolução de alguns problemas de interesse. Se R n e u função u : R, u = n i= d u i.

4 Capítulo O problema unidimensional. Formulação fraca O problema de Dirichlet homogêneo unidimensional se escreve d u = f x em [,], u = u =.. Assumiremos que a função f : [, ] R é limitada e contínua por partes. Isso é necessário porque o MEF supõe que f é integrável. Notamos que aqui = [, ]. Ao invés de resolver o problema. da forma como está escrito, o MEF se propõe a solucionar um problema equivalente, chamado formulação fraca do original. Para escrever. dessa forma, dv é limitada e principiamos denindo o espaço de funções V = {v; v é função contínua em [, ], contínua por partes, e v = v = }. Em seguida, multiplicamos a primeira equação de. por uma função qualquer de V e integramos a equação resultante em : d u v = fx v. Integrando por partes e lembrando que v sastifaz a condição de Dirichlet homogênea: v du + du dv = f v du dv = f v. para todo v V. A equação. untamente com a condição de Dirichlet homogênea é a formulação fraca do problema.. Mostraremos agora que a existência de uma solução de., problema original, implica na equivalência entre os problemas de formulação forte e fraca. Vimos logo acima que formulação forte formução fraca. Resta, pois, vericar a recíproca. Já que supomos que o problema original tem solução, sabemos que d u existe e é contínua por partes. Podemos, então, integrar por partes a formulação fraca.. O que obtemos é ustamente a formulação forte original: 3

5 du dv = v du v d u = fx vx fx + d u vx =, v V. Como a igualdade acima se verica para qualquer função v em V, o termo do integrando que está entre parêntesis deve ser nulo; e assim chegamos ao problema original: fx + d u =, < x <. Com isso provamos que uma função que resolve o problema forte também é solução do fraco; e que, se a solução do problema fraco for sucientemente regular, ela também resolverá o problema forte. No método dos elementos nitos resolveremos o problema fraco,... Discretização do problema Na formulação original, o problema de Dirichlet é contínuo e seu espaço de soluções pode ter dimensão innita. Aproximaremos o problema contínuo por outro discreto, cua solução está em um espaço de dimensão nita. Isso é feito dividindo o domínio o intervalo [, ] em um número nito de subintervalos I = [x, x ], N +, N N, com = x < x < < x N < x N+ =. Cada subintervalo tem comprimento h = x x. Essa discretização é uma partição [do intervalo], cua norma denimos h = max {h }, o comprimento do maior dos subintervalos. O termo discretização é usado ustamente porque passamos de um contínuo a função original está denida num domínio que é uma reunião não-enumerável de pontos para um conunto discreto: o domínio passa a ser uma reunião nita de intervalos. Em cada um desses intervalos I, aproximamos a função original u por um segmento de reta de extremos ux e ux Figura a. Evidentemente, quanto menor o comprimento dos subintervalos, ou sea, quanto menor a norma da partição, mais a função discretizada u d se aproximará da original u Figura a-b. Notemos, ainda, que u d como denida é contínua. Figura : Aproximação de uma função suave por outra linear por partes. Quanto menor a norma da partição, melhor a aproximação. Exemplos de problemas cuas soluções estão num espaço de dimensão innita são aqueles tradicionalmente estudados num curso de equações diferenciais parciais que têm como resultado séries de Fourier innitas. Cada uma daquelas funções nπx nπx sen ou cos é uma função da base do espaço que contém a solução do problema. Como existem innitos L L n N, a base é um conunto innito. Uma reunião nita de intervalos ainda é um conunto não-enumerável de pontos. A idéia aqui é que, ao invés de buscarmos u com denição ponto a ponto, vamos aproximá-la por uma função que é denida subintervalo por subintervalo e, nesse sentido, ela será denida discretamente. Mais adiante no texto cará clara essa idéia. 4

6 Para discretizar o problema na forma fraca, devemos também aproximar o espaço V por um de dimensão nita, V d = {v; v é contínua em [, ], v é linear em cada I e v = v = }. Notemos que V d V de sorte que ao tomarmos uma função v V d não ferimos a condição v V da formulação fraca. Nosso problema discretizado ou aproximado é, então, encontrar u d V d tal que du d dv = fxvx v d V d..3 Esse u d será a aproximação para a função u deseada. Observação : note que a condição de fronteira u = u = está contida no enunciado do problema discretizado.3 á que u d V d implica na condição de Dirichlet homogênea. Observação : talvez tenha parecido ao leitor que nos precipitamos ao declarar que a solução aproximada u d que buscamos está em V d. Veremos porque podemos assumir isso. A primeira condição que u d deve satisfazer para pertencer a V d é ser contínua. Já vimos que como foi denida u d u é contínua. A segunda condição linearidade em cada subintervalo vem também da discretização do problema e está relacionada com a qualidade dessa aproximação - aproximamos uma curva suave por outra poligonal. Ao assumirmos que buscamos uma solução com essa aproximação, u d satisfaz, por conseguinte, a segunda condição. Por m, a terceira é ustamente a condição de Dirichlet que tanto u quando u d satisfazem por hipótese. Concluímos assim que u d V d. Ao discretizarmos o espaço V, o aproximamos por um de dimensão nita. Como v V d é linear em cada I, as funções x x se x [x, x ], h φ x = x + x se x [x, x + ],.4 h + caso contrário. formam uma base, B, de V d. Figura : Gráco da função φ de B. Mostramos na Figura um gráco de uma dessas funções-base de V d. É fácil ver que se i, as funções φ i e φ são linearmente independentes. Um momento de reexão bastará para que a leitora se convença de que qualquer função de V d se escreve em termos das φ acima denidas. Ora, como u d pertence a V d, será da forma e o nosso problema.3 se escreverá u d x = N α φ x, x [, ],.5 = d dv α φ = fxvx v d V d..6 5

7 Recordemos que a função v é uma função qualquer de V d. Escolhemos, então, v como sendo uma das funções da base: v = φ i para algum i N. Para esse i,.6 implica em N = N = α α dφ dφ dφ i = dφ i = fxφ i x fxφ i x.7 Variando i de a N,.7 resulta em um sistema de N equações e N incógnitas α : dφ dφ dφ dφ dφ N dφ fxφ x dφ dφ dφ dφ α dφ N dφ α = fxφ x.. dφ dφ N dφ dφ α N N dφ N dφ N fxφ N x Chamaremos a matriz do sistema acima de M e seus elementos denotaremos por m i. M é a matriz de rigidez, enquanto que o vetor que aparece no membro direito de.8 é denominado vetor de carga. Vimos, portanto, que o problema de achar a função u d V d que satisfaz.3 se reduz à resolução de um sistema linear. Resolvendo-o, determinamos os coecientes α e podemos construir, usando.5 e.4, a função u d u. Antes de darmos o assunto por encerrado, vericaremos algumas propriedades da matriz M e provaremos que sempre existirá uma única solução para o sistema.8 - e, portanto, para o problema aproximado.3..3 Existência e unicidade da solução do problema aproximado Proposição. A matriz M goza das seguintes propriedades: R é simétrica; R é tridiagonal; R3 é positiva denida - isto é, w T Mw > w não-nulo em R N. Demonstração. R É conseqüência da comutatividade do produto de funções: m i = dφ dφ i = dφ i dφ = m i. R Calcularemos os elementos m i para mostrar que M é tridiagonal. Para tanto, usaremos as derivadas das funções φ denidas por.4. x i x i+ Se i =, m ii = + = +. h i h i+ x i h i x i h i+ Se i e diferem por apenas unidade, m i,i = m i,i = x i x i h i h i = x i x i h i Finalmente, se i e diferem por mais de unidade, m i =. Conclui-se, pois, que apenas os termos da forma m i,i e m i,i± são não-nulos. = h i..8 6

8 R3 Ora, w T Mw = = N = w dφ N N i= =. w dφ dφ i w i = [ N = w dφ N i= w i dφ i Como essa relação vale para qualquer vetor w em R N {}, a igualdade só se vericaria caso dφ = para cada e em todo o intervalo [, ]. Como tal situação não ocorre, temos a desigualdade estrita w T Mw > w R N {}. Um conhecido teorema da Álgebra Linear garante que uma matriz positiva denida tem determinante não-nulo 3. Outro teorema reza que que se a matriz de um sistema linear tem determinante não-nulo, o sistema tem solução única. Esses teoremas, untamente com o terceiro item da Proposição, nos asseguram que.8 tem solução - e ela é única..4 Um caso particular: partição regular do intervalo Concluimos o estudo do caso unidimensional escrevendo o sistema.8 num caso particular de partição do intervalo, a saber, considerando que todos os subintervalos I têm mesmo comprimento h. A uma partição deste tipo dá-se o nome de regular. Utilizando os cálculos realizados na prova do segundo item da Proposição, temos que uma partição regular do domínio fornece a matriz de rigidez: M = h E o sistema.8 pode ser escrito como: α α = h α N fxφ x fxφ x. fxφ N x O leitor que á estudou o Método das Diferenças Finitas notará que a matriz M obtida para uma partição regular é bastante semelhante à encontrada naquele método - elas só diferem por um termo /h multiplicando. Dependendo da maneira de discretizar as integrais do vetor de carga, os dois métodos coincidirão. ] =.9 3 Mais precisamente, seu determinante é maior que zero. 7

9 Capítulo 3 O problema bidimensional 3. Formulação fraca Seam R um aberto limitado e f uma função real contínua por partes e limitada, em. O problema de Dirichlet homogêneo bidimensional se escreve { u = fx, y em, u = sobre. 3. Assim como zemos no caso unidimensional, escreveremos o problema 3. na forma fraca. Denimos o espaço de funções V = {v : R R; v é função contínua em, v x e v são contínuas y por partes em, e v = sobre }. Multiplicando a equação de Poisson do problema 3. por uma função qualquer de V e integrando sobre temos: v u = v f v u dv = v f dv. 3. Podemos reescrever a equação acima de forma mais conveniente usando a fórmula de Green, que se baseia no Teorema. [Teorema do divergente] Sea R n compacto e com fronteira suave por partes. Se w é um campo de vetores diferenciável denido em, então: div w dv = w, n ds, onde n representa o vetor unitário normal à. A notação w, n indica o produto escalar dos vetores w e n. Acreditamos que esse teorema, cua prova omitiremos, á foi estudado pela leitora em algum curso de Cálculo, pelo menos para n = e n = 3. O caso n = que nos interessa é às vezes chamado Teorema de Green. Para obter a fórmula de Green, aplicamos o Teorema para os campos de vetores ax, y = g h x, e bx, y =, g h y que o vetor normal unitário é n = n, n, temos, para a, g h x + g h dv = x x Outras notações e denições que utilizamos ao longo deste texto: o divergente de um campo de vetores w: R n : div w = n k= w k/ x k ; f o gradiente de uma função f : R n f R: gradf =,,. x x n, sendo as funções g,h : R R. Considerando g h x n ds 3.3 8

10 e, para b: g h y + g h dv = y y g h y n ds. 3.4 Somando membro a membro as equações 3.3 e 3.4 e reagrupando: [ h g x + h y + g h x x + g ] h dv = g y y g h + gradg, gradh dv = n h x + n h y ds g n, gradh ds. Fórmula de Green 3.5 Notemos que se a função gx, y acima satisfaz a condição de Dirichlet homogênea, a integral sobre em 3.5 é nula e a fórmula de Green implica em g h dv = gradg, gradh dv. Comparando 3. com a equação acima, vemos que os membros esquerdos são iguais se zermos g = v e h = u. Temos, portanto, que v f dv = gradv, gradu dv v V. 3.6 Esta equação acrescida da condição de Dirichlet homogênea formam a formulação fraca do problema bidimensional 3.. É possível mostrar, como o zemos no caso unidimensional, que as formas fraca e forte são equivalentes e que uma solução da forma fraca, se sucientemente regular, também será solução da forma forte. 3. Problema aproximado Uma vez compreendida a essência do método no caso unidimensional, o caso dos domínios planos não apresenta maiores diculdades no que tange essa essência. A diculdade surge no momento de discretizar e trabalhar com a malha resultante, como veremos em seções seguintes. Começaremos a discretização do problema dividindo o domínio em triângulos. Obviamente, não é qualquer domínio que aceita essa divisão perto de sua borda. Neste caso, aproximamos por d cua fronteira é uma curva poligonal formada por uniões nitas de segmentos de retas. A cada um desses triângulos chamamos elemento. A discretização em triângulos ou triangulação deve cumprir as seguintes condições: D A reunião de todos os elementos forma d, que aproxima ; D Os elementos não se sobrepõem; D3 Os vértices de um elemento nunca ocorrem no lado de outro elemento. A Figura 3 mostra exemplos de triangulações permitidas e não permitidas no método dos elementos nitos, além de ilustrar como podemos fazer a aproximação da fronteira. Figura 3: a exemplo de triangulação permitida. A partição em b não é permitida pois o traço em azul dene um vértice que ocorre em um lado de outro elemento. 9

11 No problema discretizado, buscamos uma função u d que aproxima u. Aproveitamos nossa malha domínio discretizado para impor uma condição sobre u d : que ela sea contínua e linear em cada elemento. Esta última imposição signica que o gráco de u d em cada elemento é um pedaço de plano contido no R 3. Ao fazermos essas exigências estamos apenas escolhendo como iremos aproximar u. Chamamos atenção para o fato de que ao aproximar por d nos propomos a resolver o problema 3. com o domínio d. Portanto, quanto mais parecido for d de, mais a função encontrada u d será parecida com a função real u. Para discretizar o problema na forma fraca, devemos ainda aproximar o espaço V por um nito V d = {v; v é contínua em d, v é linear em cada elemento e v = sobre d }. Como no caso unidimensional, v V d v V, implicando que v satisfaz a formulação fraca contínua. O problema aproximado é, então: achar u d V d tal que gradv, gradu d dv = d d v f dv v V d. 3.7 A maior diculdade que surge no problema bidimensional é a manipulação numérica das funções da base de V d. Por isso, optamos por primeiro expor a teoria supondo que temos uma base - mas sem escrevê-la - e obter o sistema linear resultante da discretização. Mostraremos ainda que, assim como no caso unidimensional, o sistema tem única solução. Na seção seguinte escreveremos explicitamente uma base e faremos algumas contas, á com vistas à implementação de um algoritmo de MEF. Sea, pois, B uma base do espaço V d. Sabemos que u d, por estar em V d, tem única representação como combinação linear das funções de B. Denotando essas funções por φ, escrevemos u d x, y = N α φ x, y, x, y d, onde N é a dimensão de V d. Substituindo u d acima no problema discretizado 3.7 obtemos = N α gradv, gradφ dv = v f dv v V d. = d d Note que o integrando está dentro do somatório. Em particular, para v = φ i qualquer da base: N α gradφ i, gradφ dv = φ i f dv 3.8 = d d Variando i de a N, 3.8 se mostra um sistema linear N N de incógnitas α. M i = gradφ i, gradφ dv, o nosso problema equivale ao sistema d Denindo φ f dv M M N α d =. M N M NN α N φ N f dv d. Veamos algumas propiedades da matriz M do sistema, a matriz de rigidez. Proposição. A matriz M é simétrica e positiva denida. Demonstração. Como o produto interno é simétrico por denição, M i = gradφ i, gradφ dv = gradφ, gradφ i dv = M i M é simétrica. d d 3.9

12 Para mostrar que M é positiva denida temos que provar que w R N { } se tem w T Mw >. Ora, w T Mw = N N w i i= = w gradφ i, gradφ dv = d d N w i gradφ i, i= N w gradφ dv pois o produto escalar de um vetor por ele mesmo é sempre, sendo que a igualdade só se verica caso o vetor sea nulo. Como aqui w é um vetor qualquer, isso ocorreria somente se tivéssemos gradφ i = i e em todo d. Como por hipótese φ i é contínua e cumpre a condição de fronteira de Dirichlet, isso implicaria que as funções da base são identicamente nulas, um absurdo. Logo, w T Mw é estritamente positivo, denindo M postivamente. Como conseqüência do fato de M ser positiva denida, temos que o sistema 3.9 sempre admite uma única solução, os coecientes α que, untamente com as funções da base, determinam a aproximação u d de u. Agora que vimos como o problema de Dirichlet se escreve na forma discreta usando o método dos elementos nitos, usaremos uma base de V d para estudar como fazer os cálculos e efetivamente resolver o problema. = 3.3 Uma base para V d 3.3. Enumerações dos vértices Antes de buscarmos uma base para o espaço V d, introduziremos alguns conceitos que se mostrarão importantes naquela tarefa. Denimos o número de vértices da malha como sendo o número total de vértices dos elementos, com a condição de que mesmo se determinado vértice é comum a vários elementos, o contamos apenas uma vez. Chamamos de vértices interiores aqueles que não estão sobre a fronteira de d Figura 4. Figura 4: Uma malha com 6 elementos e 3 vértices, sendo que destes, 5 são interiores. Vamos supor que o nosso domínio foi dividido em m triângulos, resultando em uma malha de Ñ vértices, sendo que N são interiores. Faremos algumas denições. Denição. Chamamos de enumeração dos elementos a uma bieção que associa a cada elemento triangular da malha um número natural entre e m. Representamos, pois, cada elemento pela letra T seguida de seu número como sub-índice. Por exemplo, T k é o k-ésimo elemento da malha. Denição. Chamamos de enumeração global dos vértices interiores a uma bieção que associa a cada vértice interior da malha um número natural entre e N. Representamos, pois, cada vértice interior pela letra p seguida de seu número como sub-índice. Por exemplo, p i é o vértice interior i da malha. Denição 3. Chamamos de enumeração global dos vértices a uma bieção que associa a cada vértice da malha um número natural entre e Ñ, respeitando a enumeração global dos vértices interiores. Esta enumeração consiste em adotar a enumeração da Denição e ainda atribuir números entre N + e Ñ aos vértices da fronteira de d. Denição 4. Chamamos de enumeração local dos vértices a uma bieção que i associa a cada vértice de um elemento T k um número do conunto {,, 3};

13 ii percorre o elemento em sentido anti-horário. Isto é, denido o vértice número do elemento T k, percorre-se a fronteira do elemento em sentido anti-horário a partir desse vértice. O próximo vértice será o de número e o último será o número 3. O vértice s, s em {,, 3}, do elemento T k tem coordenadas x k s, y s k. Notemos que um mesmo vértice comum a dois elementos pode ter numeração local diferente em cada elemento. Por exemplo, pode ser o vértice do elemento T k e o vértice 3 do T l. Neste caso x k, yk e xl 3, yl 3 representam o mesmo ponto da malha. Supondo ainda que esse vértice sea o vértice interior h global, então x k, yk = xl 3, yl 3 = p h. Na Figura 5 mostramos um exemplo de uma malha e de uma possível enumeração global dos elementos e dos vértices. A Tabela complementa a Figura 5 exemplicando uma enumeração local dos vértices. Note que, para cada elemento, um dos vértices globais assume a posição local, ou 3. Na Figura 6 mostramos alguns elementos e a enumeração local de seus vértices. Figura 5: Exemplo de enumeração dos elementos a, e enumeração global dos vértices b. Tabela : Exemplo de enumeração local dos vértices Elemento Vértice Vértice Vértice Figura 6: Alguns elementos da malha da Figura 5 e exemplo de enumeração local de seus vértices. O único cuidado nessa enumeração é que seu sentido sea antihorário Funções da base Com os conceitos de enumerações globais e local dos vértices bem estabelecidos, podemos principiar nossa busca por uma base de V d. Como discretizamos o problema de modo que v V d fosse linear em

14 cada elemento, as funções φ : R R tais que e φ p i = gráco de φ no elemento T k = { se i =, se i { plano se Tk tem o vértice p, caso contrário formam uma base B de V d. Lembramos a notação: os vértices interiores estamos representando pelos pontos p i. Tanto i quanto acima assumem valores em {,, 3,..., N}. Essas funções têm formatos piramidais, como se vê na Figura 7. Diremos que a função φ e o vértice p são associados. Note que uma função é associada a um único ponto, e vice-versa. Figura 7: Função chapéu. As únicas funções de B que assumem valores não-nulos em um dado elemento são aquelas três associadas aos seus vértices. Diremos que essas funções são associadas ao elemento, que reciprocamente lhes é associado. Note que a cada elemento podem existir no máximo três funções associadas, mas que uma função pode ser associada a um número qualquer de elementos, dependendo da triangulação da malha. Por 3. á sabemos quanto vale φ x, y se o ponto x, y for um vértice de um elemento. Nossa tarefa agora é determinar o valor que a função assume num ponto no interior de um triângulo. Isto é, determinar φ x, y para qualquer x, y d. Já sabemos por 3. que se o ponto x, y não pertence a nenhum elemento que tenha o vértice p, então φ x, y =. Veamos, então, o que ocorre se x, y T k e o triângulo T k for associado à função φ. Como vimos, existe uma enumeração local dos vértices de T k : x k, yk, xk, yk e xk 3, yk 3. Vamos supor, então, que a função φ B é a associada ao vértice, x k, yk, do elemento T k. Determinaremos o valor de φ x, y se x, y T k. Como sabemos que estamos no elemento T k, podemos dispensar os índices superiores nas coordenadas dos vértices, escrevendo simplesmente, x, y. Faremos isso apenas para deixar a notação mais limpa durante a dedução da fórmula; ao nal restituiremos os índices superiores. Por 3. sabemos que φ x, y = e φ x, y = φ x 3, y 3 =. Por sua vez, 3. implica que se x, y T k, então x, y, φ x, y está no plano determinado pelos pontos x, y, φ x, y, x, y, φ x, y e x 3, y 3, φ x 3, y 3, ou, substituindo os valores da função nos vértices, x, y,, x, y, e x 3, y 3,. Para que o gráco de φ x, y estea nesse plano, os três vetores que ligam x, y, φ x, y a cada um dos pontos x, y,, x, y, e x 3, y 3, devem ser coplanares ou, equivalentemente, o produto 3

15 misto dos três deve ser nulo. Esses vetores são: x, y, φ x, y, = x x, y y, φ x, y, φ x, y, = x x, y y, φ x, y, φ x 3, y 3, = x x 3, y y 3, φ, onde, φ = φ x, y. Igualando o produto misto a zero, x x y y φ x x y y φ x x 3 y y 3 φ =. Desenvolvendo o determinante em cofatores com relação à terceira coluna: φ x x y y x x 3 y y 3 φ x x y y x x 3 y y 3 + φ x x y y x x y y = x x y y x x 3 y y 3 φ x, y = x x. y y x x 3 y y 3 x x y y 3. x x 3 y y 3 + x x y y x x y y Faremos algumas manipulações algébricas usando propriedades dos determinantes para escrever a equação acima de maneira mais conveniente. Por exemplo, no numerador: x x y y x x 3 y y 3 = x x y y x y x x y y x 3 y 3 = x y x y x y x y x y x 3 y 3 + x y x 3 y 3 = x y x y x 3 y 3. A última igualdade pode ser facilmente vericada desenvolvendo o determinante 3 3 em cofatores relativos à primeira coluna. Realizando os mesmos passos que zemos com o determinante do numerador nos outros dois determinantes do denominador, a leitora é convidada a mostrar que 3. equivale à: x y x k y k x k 3 y k 3 φ x, y = x k y k, 3.3 x k y k x k 3 y k 3 onde foram restituídos os índices superiores. Um resultado da Geometria Analítica informa que o determinante do denominador acima é ustamente o dobro da área do triângulo de vértices x k, yk, xk, yk e xk 3, yk 3, ou sea, é o dobro da área A k do elemento T k. Reescrevemos, pois, 3.3 como φ x, y = x y x k A k y k. 3.4 x k 3 y k 3 Denotando o produto vetorial entre dois vetores por e o escalar por,, o produto misto de três vetores a, b e c nesta ordem pertencentes a R 3 é denido por a, b c e pode ser calculado como o determinante da matriz cuas linhas são a, b, e c, nesta ordem. A interpretação geométrica desse produto é o volume do paralelepípedo determinado pelos três vetores. Caso o resultado sea nulo, os três vetores não determinam volume algum, estando, pois, num mesmo plano. 4

16 A expressão acima fornece o valor de φ num ponto x, y qualquer do elemento T k. Em outros elementos associados, a função pode não ser dada por 3.4. Relembremos as suposições feitas que resultaram em 3.4: consideramos que φ era associada à T k, mais precisamente, era associada ao vértice de T k. Sob essas hipóteses, encontramos a fórmula acima para φ neste elemento. Neste ponto deverá o leitor estar se perguntando o que ocorreria se a função φ fosse associada a outro vértice r, x k r, y r k, local que não o de número. Neste caso, o vértice r é o que cumpre o papel de vértice na equação acima. O vértice seguinte a r cumprirá o papel de vértice e o último, o de vértice 3. É imporante que nos lembremos que a numeração local dos vértices sempre é feita em sentido anti-horário: a ordem local dos vértices é sempre 3 3 o vértice sempre segue ao 3; o 3 segue ao, que segue ao. Por exemplo, se φ é associada ao vértice do elemento T k, então vértice vértice em 3.4; vértice 3 vértice em 3.4 e vértice vértice 3 em 3.4, onde signica cumpre o papel de ou corresponde ao. Isso resulta, pois, em φ x, y = A k x y x k 3 y k 3 x k y k x, y T k. Pode-se fazer o mesmo procedimento para a associação ao vértice 3 e assim chegamos numa expressão geral para o valor de uma função qualquer φ de B em um elemento qualquer T k : x y x k A k y k se x, y T x k k e φ for associada ao vértice de T k, 3 y k 3 x y x k A φ x, y = k 3 y k 3 x k y k x y x k A k y k x k y k se x, y T k e φ for associada ao vértice de T k, se x, y T k e φ for associada ao vértice 3 de T k, se x, y T k mas φ não for associada a T k. 3.5 Note o caráter local da expressão acima: φ é denida elemento por elemento. Às vezes, para deixar bem claro que estamos calculando a função restrita ao elemento T k, escreveremos φ k. Em cada elemento φ poderá será dada por uma expressão diferente, dependendo das coordenadas dos seus vértices e do número local do vértice associado. Da mesma forma, o gradiente de φ dependerá do elemento considerado. Lembremos que as entradas da matriz de rigidez dependem dos gradientes das funções da base. Veremos agora como, a partir de 3.5, podemos calculá-los Cálculo dos gradientes Supondo que φ é associada ao vértice de T k, utilizaremos o primeiro caso de 3.5. Desenvolvendo o determinante em termos dos cofatores da primeira linha, temos que 5

17 φ k x, y = A k φk x, y = x A k x k y k x k 3 y k x y k 3 y k + y x k 3 x k 3 y k φ k x k y k e x, y = y A 3 k x k 3 gradφ k x, y = y k y k 3, x k 3 x k. 3.6 A k Caso a função φ sea a associada ao vértice de T k, basta fazer a troca de índices na expressão acima. O vértice seguinte ao associado será o 3 posição em 3.6 ocupada pelo vértice e o que lhe segue será o no lugar do 3 em 3.6. Obtemos: Para uma função associada ao vértice 3: gradφ k x, y = y k 3 y k, x k x k A k gradφ k x, y = y k y k, x k x k. 3.8 A k Obviamente, se φ não é associada a nenhum vértice do triângulo T k, então gradφ k x, y =. As expressões 3.6, 3.7 e 3.8 dão o valor do gradiente de uma função da base em um elemento se ela lhe for associada ao vértice, ou 3, respectivamente. Poderá a leitora se perguntar: digamos que φ é associada ao vértice do elemento T k mas também é associada ao vértice 3 de outro elemento,? Ora, como essa função é associada ao vértice 3 de T l, usamos 3.8 com as coordenadas de T l : gradφ l x, y = y l A yl, x l xl. l Como ao discretizar a malha conhecemos as coordenadas dos vértices dos elementos, podemos calcular os gradientes de todas as N funções de B em todos os elementos da malha. A partir daí, é possível calcular os elementos M i da matriz de rigidez e, usando 3.5, o vetor de carga. Escrevemos assim o sistema 3.9. Antes de darmos o assunto por encerrado, veremos alguns detalhes do cálculo de M, cuas entradas são M i = gradφ i, gradφ dv. Reparemos que a integral sobre d se decompõe em uma soma de d T l. Neste caso, quanto vale gradφ l integrais, cada uma sobre um elemento. Isto é: M i = d gradφ i, gradφ dv = m k= T k gradφ k i, gradφ k dv. Sabemos por que o gradiente de uma função da base é constante em cada elemento. Por isso, podemos passar o produto dos gradientes para fora das integrais, obtendo m m M i = gradφ k i, gradφ k dv = gradφ k i, gradφ k A k. 3.9 k= T k Da forma como denimos as funções de B, elas só têm valores e gradientes não-nulos nos seus elementos associados. Como conseqüência disso, o produto gradφ k i, gradφ k só será diferente de zero se ambas funções φ i e φ forem associadas à T k. Isso faz com que a maior parte dos termos do somatório 3.9 seam nulos. Mais ainda, um grande número de entradas de M são zeros: a matriz de rigidez é esparsa. Concluímos que para calcular os M i basta considerar os elementos associados ao mesmo tempo a φ i e a φ. k= 6

18 Da mesma forma como transformamos uma integral sobre d em uma soma de integrais sobre os elementos para calcular os termos da matriz de rigidez, podemos fazê-lo também para o vetor de carga. Seus elementos são do tipo d φ i f dv = m k= T k k φi f dv. Novamente, apenas os termos do somatório com T k associado a φ i serão não-nulos. O que queríamos mostrar é como transformamos a integral sobre d em uma soma de integrais sobre os elementos relevantes no cálculo. De certo modo nossa exposição do problema de Dirichlet bidimensional está terminada. Apenas a título de ilustração dos procedimentos, calcularemos a matriz de rigidez em dois exemplos de malhas. 3.4 Alguns exemplos de malhas Nesta seção consideraremos alguns exemplos de triangulações para mostrar como é feita a construção do sistema 3.9. As malhas que mostraremos são bastante simples, com poucos elementos, á que deseamos apenas ilustrar o método. Em aplicações práticas um número bem superior de elementos deve ser utilizado. Nossas malhas podem ser consideradas células de malhas maiores. Se for mantida sua regularidade, os resultados aqui obtidos podem ser muito facilmente adaptados para aquelas Exemplo Considere = [, L] [, L], o quadrado de lado L. Dividimos nosso domínio em nove quadrados de lado L/3 e, em seguida, traçamos uma diagonal em cada quadrado, à maneira da Figura 8a. Figura 8: Malha e enumeração global dos elementos a e dos vértices b. c mostra a enumeração local dos vértices dos elementos que serão utilizados neste exemplo. Nossa malha tem 8 elementos e 6 vértices, sendo que apenas 4 são interiores. Enumeraremos os vértices globalmente como mostra a Figura 8b, e localmente consoante a Figura 8c. As áreas de todos elementos são iguais, e representaremos simplesmente por A. Notemos que cada função da base associadas aos vértices,, 3 e 4 é associada a seis elementos. Mais ainda, esse conunto função-base + os seis elementos associados forma uma espécie de célula, sendo transladado equivale aos outros conuntos semelhantes. Isso é conseqüência da regularidade desta malha. A dependência de φ com os seis elementos vizinhos ao vértice p é a mesma de φ i qualquer com seus seis elementos associados. Assim, calculando o gradiente de φ em T, T, T 3, T, T 9 e T 8, á teremos os gradientes das outras funções. Começemos, pois, pelo elemento T. φ é associada ao seu vértice, logo, por 3.6, gradφ x, y = y y 3, x 3 x = L L/3, L/3 =,. A A 7

19 Em T, φ também é associada ao vértice local. Então, usando novamente 3.6, gradφ x, y = y y 3, x 3 x = L, L/3 L/3 =,. A A Em T 3, φ é associada ao vértice local. Usamos, pois, 3.7: gradφ 3 x, y = y 3 3 y 3, x 3 x 3 3 = L L/3, L/3 L/3 =,. A A Para calcular o gradiente de φ em T não faremos conta alguma: descobriremos seu valor pela geometria da malha. Notemos que o lado, do elemento T é paralelo ao lado, 3 de T. Assim, como o gráco de φ é uma pirâmide, é fácil ver que a direção de crescimento de φ é a mesma nesses dois elementos. Como o gradiente tem ustamente essa direção, nesses elementos eles são paralelos. Já que T é simétrico com relação à p ao elemento T, seus gradientes têm mesmo módulo e sentidos opostos. Logo, gradφ = gradφ = L,. Da mesma forma, T 9 é simétrico com T e T 8 o é com T 3. Portanto: gradφ 9 = gradφ = L,, gradφ 8 = gradφ 3 = L,. Já temos, então, os gradientes de φ. Podemos calcular o primeiro termo da matriz de rigidez: M = gradφ, gradφ dv = + T 3 L L,, +, dv + T 8 L L,, T T L L,, L L,,, dv +, dv + T T 9 L L,, L L,, L 5L, dv = = 3 8A., dv +, dv + Como a área total do domínio é L e ele está dividido em 8 triângulos de mesma área A, temos que A = L /8. Substiuindo isso no resultado acima, M = 5. Por simples inspeção da malha, e nos baseando nas considerações á feitas sobre a simetria da triangulação utilizada, vemos que gradφ = gradφ 3 = gradφ 7 3 = gradφ 9 4, gradφ = gradφ 4 = gradφ 8 3 = gradφ 4, gradφ 3 = gradφ 5 = gradφ 9 3 = gradφ 4, gradφ = gradφ = gradφ 6 3 = gradφ 8 4, gradφ 9 = gradφ = gradφ 5 3 = gradφ 7 4, gradφ 8 = gradφ = gradφ 4 3 = gradφ 6 4. Já conhecemos então todos os gradientes. Nos elementos que não estão relacionados na lista acima, os gradientes são nulos. Daí então, M = M = M 33 = M 44 = 5. Por inspeção da malha, vemos que as funções a φ e φ têm os elementos associados T 3 e T em comum; b φ e φ 3 têm os elementos associados T 8 e T 9 em comum; 8

20 c φ e φ 4 têm os elementos associados T 9 e T em comum; d φ e φ 3 não têm elementos associados em comum; e φ e φ 4 têm os elementos associados T e T em comum; f φ 3 e φ 4 têm os elementos associados T 9 e T 6 em comum. Notemos, ainda com base na malha, que as relações e,b e f,a têm mesma geometria. Isso mostra que basta analisar uma célula da malha e como esta se relaciona com suas vizinhas para entender o comportamento de toda a malha - claro, no caso de uma triangulação regular. Feitas essas considerações, podemos calcular os demais elementos de M usando 3.9: a M = M = A gradφ 3, gradφ 3 + A gradφ, gradφ = A gradφ 3, gradφ + A gradφ, gradφ 8 L = A 4 3 = L 9A = 4. b M 3 = M 3 = A gradφ 8, gradφ A gradφ9, gradφ 9 3 = A gradφ8, gradφ + A gradφ 9, gradφ 3 L = A 3 = L 9A =. c M 4 = M 4 = A gradφ 9, gradφ A gradφ, gradφ 4 = A gradφ 9, gradφ + A gradφ, gradφ L = A 3 = L 9A =. d M 3 = M 3 =. e, b M 4 = M 4 =. f, a M 34 = M 43 = 4. Logo, 5 4 M = Vemos que M acima tem poucos zeros, em contradição com o que há pouco armamos, que a matriz de rigidez é esparsa. Essa aparente incoerência ocorre devido ao tamanho da malha considerada. Os únicos zeros de esparsidade que ocorrem são devidos às funções φ e φ 3 que não têm elementos associados em comum. No entanto, se considerássemos uma malha formada com o mesmo padrão, porém com nove pontos interiores, o número de funções sem elementos associados em comum aumentará bastante. Um pouco de reexão bastará para que o leitor se convença de que M para a malha mostrada na Figura 9 será dada por M = 4 5 4, que tem aproximadamente metade dos seus elementos nulos. À medida que o número de vértices interiores da malha aumentar, essa proporção também o fará. 9

21 Figura 9: Malha de 3 elementos e 9 vértices interiores enumerados. Incentivamos o interessado a sempre buscar compreender a simetria de uma malha regular, como zemos neste exemplo. Isso torna fácil a tarefa de escrever a matriz de rigidez para malhas maiores que seguem o mesmo padrão. Por m, chamamos atenção para o fato de que uma mudança no sistema de enumeração dos vértices interiores causa alteração na matriz de rigidez pois ocorre uma reordenação da base. Por exemplo, se ao escrever a matriz para o caso de quatro vértices interiores tivéssemos usado a numeração da Figura ao invés da Figura 8, chegaríamos na matriz M M verique: 5 4 M = Figura : Malha de 8 elementos com outra enumeração dos vértices interiores Exemplo Considere = [, L] [, L], o quadrado de lado L. Dividimos nosso domínio em quatro quadrados de lado L/ e, em seguida, traçamos as duas diagonais em cada quadrado, à maneira da Figura a. A malha formada tem 6 elementos e 3 vértices, sendo que 5 são interiores. Enumeramo-los globalmente consoante a Figura b. Na Figura c mostramos enumerações locais de vértices em alguns triângulos. Veremos que só precisaremos desses elementos para escrever a matriz de rigidez.

22 Figura : Enumeração dos elementos a, enumeração global dos vértices b e enumeração local dos vértices de alguns elementos c. A grande diferença dessa malha para a do Exemplo é que, enquanto lá cada função era associada a seis elementos, aqui existem funções associadas a quatro e a oito elementos. Por inspeção da malha, vemos que as funções que são associadas a 4 elementos estão, por assim dizer, encerradas; que elas não têm nenhum elemento associado em comum. A única função que tem elementos em comum com outras é a associada a oito elementos, φ 3. A partir dessa análise simples, á podemos garantir que M = M = M 4 = M 4 = M 5 = M 5 = M 4 = M 4 = M 45 = M 54 =. Para os outros termos teremos que fazer contas, mas, na medida do possível, utilizaremos da simetria da malha para simplicá-las. Consideremos primeiro φ. Ela é não-nula apenas em T, T, T 3 e T 4. Pela geometria da malha vemos que T e T 3 têm gradientes de mesmo módulo e sentidos opostos, da mesma forma que T e T 4. Então, como T e T têm p como vértice local, 3.6 implica em: gradφ = y y 3, x 3 x = L L/, =, A A 4A e gradφ = y y 3, x 3 x = L, L/ =,. A A 4A Ainda por inspeção da malha, vemos que essa estrutura de função da base com quatro elementos ao redor se repete pela malha, por uma simples translação. Portanto: gradφ = gradφ 5 = gradφ 9 4 = gradφ 3 5 = gradφ 3 = gradφ 7 = gradφ 4 = gradφ 5 5 ; gradφ = gradφ 6 = gradφ 4 = gradφ 4 5 = gradφ 4 = gradφ 8 = gradφ 4 = gradφ 6 5, e, ainda, M = M = M 44 = M 55. Logo, M iii 3 = 4 L = 4,

23 pois a área de cada elemento é A = L /6. Resta, agora, calcular o gradiente de φ 3, aquela que é associada a 8 elementos. Novamente usaremos o argumento de que os vértices simétricos com relação p 3 têm gradientes de mesmo módulo e sentidos opostos. Podemos numerar, localmente, os vértices de T 3, T 4, T 5 e T 8 de modo que o vértice sea sempre p 3. Isso nos faz usar apenas a fórmula 3.6 para cálculo dos gradientes. Temos, pois, gradφ 4 3 = y 4 y 4 3, x 4 3 x 4 = A A gradφ 3 3 = A L L/ L/4, L/4 =, = gradφ4 3 8A y 3 y 3 3, x 3 3 x 3 = L L/4, L/ L/4 =, = gradφ3 3 A 8A Repare que encontramos gradφ 4 3 = gradφ 3 3. Observando a malha, á poderíamos esperar isso, pois o gráco de φ 3 é uma pirâmide de base quadrada e T 3 e T 4 formam um mesmo lado desse quadrado. Usaremos esse argumento para armar que gradφ 5 3 = gradφ 8 3 = y 8 y 8 3, x 8 3 x 8 = L L/4 L/, L 3L/4 =, = A A 8A = gradφ 3 = gradφ 3. Pronto: á conhecemos os gradientes das funções φ i em todos os elementos da malha. Calculemos, pois, o restante das entradas de M. Usando 3.9: M 3 = M 3 = gradφ 3, gradφ 3 3 A + gradφ4, gradφ 4 L 3 A = 3A =. Usando as considerações feitas, é possível mostrar que M 3 = M 3 = M 34 = M 43 = M 35 = M 53 = M 3 =. Só resta, pois, M 33 = 8 L = 4. Portanto, 64A 4 4 M = Um pouco de reexão mostrará que para a malha da Figura verique: M = Chamamos atenção para o fato de que a matriz de rigidez depende da numeração global dos vértices interiores, mas independe da enumeração local. Em casos de malhas simétricas podemos escolher esta última de modo a usar apenas uma fórmula para o gradiente, como zemos neste exemplo..

24 Figura : Malha com 36 elementos e 3 vértices interiores enumerados. 3.5 Outros casos Como dissemos logo no início deste texto, nosso obetivo é apenas transmitir a essência do método dos elementos nitos, por isso este material é bastante simples. Mencionamos aqui, brevemente, algumas outras possibilidades que o Método permite. Contemplamos apenas os casos de uma e duas dimensões. A formulação do caso tridimensional pode ser deduzida sem grandes diculdades a partir da dedução feita neste capítulo. Foi, inclusive, com esse intuito que deixamos o Teorema do Divergente enunciado em sua forma geral. Novamente, a diculdade irá surgir ao discretizar o domínio agora em tetraedros e buscar escrever uma base para o espaço de funções V d. Ao longo deste texto, sempre aproximamos a função u por outra que tinha a propriedade de ser linear em cada elemento da malha. Existem outras possibilidades: podemos desear que u d sea quadrática por partes, ou mesmo polinomial por partes, fornecendo aproximações mais suaves. Por m, o Método não se aplica apenas ao problema de Dirichlet. Condições de contorno de Neumann e Robin também são aceitas, com algumas alterações no exposto neste texto. Por exemplo, no caso de condição de Neumann, não podemos, nas regiões de com essa condição, igualar o membro à direita de 3.5, fórmula de Green, a zero. 3

25 Bibliograa [] Jochen ALBERTY, Carsten CARSTENSEN, Stefan A. FUNKEN, Remarks around 5 lines of Matlab: short nite element implementation. Numerical Algorithms 999, [] Rodney Josué BIEZUNER, Notas de aula: Autovalores do Laplaciano. UFMG, 6. [3] Giovanni CALDERÓN, Rodolfo GALLO, Introducción al Método de los Elementos Finitos: un enfoque matemático. Caracas: Ediciones IVIC,. [4] Jichun LI, Yi-Tung CHEN, Computational partial dierential equations using MATLAB. Boca Raton: CRC Press, 9. [5] James STEWART, Cálculo: volume. São Paulo: Cengage Learning, 9. 4