2 Limites e Continuidade Funções Reais de Variável Real Alguns Exemplos de Funções... 44

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1 Conteúdo 1 Os Números Reais Axiomas Algébricos Desigualdades e Relação de Ordem O Axioma do Supremo Números Naturais e Indução Conjuntos Infinitos Limites e Continuidade Funções Reais de Variável Real Alguns Exemplos de Funções Funções e Operações Algébricas Limite de uma função num ponto Propriedades Elementares de Limites Limites Laterais, Infinitos e no Infinito Indeterminações Continuidade Funções Contínuas em Intervalos Derivadas Derivada de Uma Função num Ponto Regras de Derivação Derivada de Funções Compostas O Teorema de Lagrange Teorema e Regra de Cauchy Extremos, Concavidade e Assímptotas Polinómios de Taylor i

2 Capítulo 1 Os Números Reais Qualquer teoria matemática supõe como ponto de partida a existência de determinados objectos abstractos, que são os seus termos indefinidos. Supõe além disso que esses objectos gozam de um conjunto de propriedades básicas, e são estas propriedades que constituem os axiomas da teoria. De uma forma um pouco mais precisa, deve entender-se que Os termos indefinidos são conceitos abstractos básicos que a teoria estuda, mas que não define em termos de outras noções porventura mais elementares, e Os axiomas são as propriedades dos termos indefinidos que a teoria supõe verdadeiras sem as deduzir a partir de quaisquer outras. O desenvolvimento da teoria é, simplesmente, a exploração das consequências lógicas das propriedades referidas nos axiomas. Deste tipo de trabalho, puramente intelectual e aparentemente desligado da vida prática, têm resultado algumas das ideias mais essenciais à construção das grandes teorias científicas da actualidade e à criação e operação da complexa infraestrutura tecnológica e organizativa que sustenta a sociedade contemporânea. Curiosamente, esta concepção da natureza da Matemática, com recurso a termos indefinidos e axiomas, no que hoje chamamos exactamente o método axiomático, é ela própria muito antiga, porque foi inicialmente vislumbrada há mais de 25 séculos, no período áureo da Grécia Antiga. Nessa altura, alguns dos filósofos e matemáticos mais famosos da História compreenderam, talvez pela primeira vez, que as infinitas propriedades das figuras geométricas usuais podem ser deduzidas de um pequeno conjunto de propriedades iniciais, e não são por isso independentes entre si. Esta descoberta teve enorme impacto no desenvolvimento cultural da Humanidade, em particular no estabelecimento do método científico como o instrumento apropriado ao estudo e compreensão da realidade objectiva. 1

3 2 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS A título de exemplo, os termos indefinidos da Geometria Euclidiana( 1 ) incluem noções como as de ponto, linha e plano, que representam por isso conceitos a estudar no contexto da teoria, mas que essa teoria não define. O texto original de Euclides refere apenas 5 axiomas, que mais tarde se revelaram insuficientes, sendo que destes o quinto axioma sempre foi o mais famoso e controverso, por ser menos óbvio. Pode ser formulado como o axioma das paralelas: por um ponto exterior a uma recta passa uma e uma só recta paralela à recta dada. Foi apenasno século XIX quealguns matemáticos (Gauss, Bolyai, Lobachevski) se aventuraram a negar este axioma, descobrindo desta forma geometrias que hoje chamamos não-euclidianas. Uma das versões modernas mais famosas da Geometria Euclidiana baseia-se em 20 axiomas( 2 ). O ponto de partida de toda a Matemática actual é, em última análise, a Teoria dos Conjuntos, mas não apresentamos neste texto o laborioso processo de construção de todas as entidades matemáticas necessárias ao estudo do Cálculo Diferencial e Integral a partir dessa base. Esse processo de construção, que é de interesse sobretudo para um grupo restrito de matemáticos profissionais, não é seguramente apropriado ao que será, em muitos casos, o primeiro contacto com ideias aqui apresentadas e discutidas. Optamos em vez disso por um procedimento mais expedito e em muitos casos bastante informal. Limitamo-nos a tomar a própria noção de número real como termo indefinido, e seleccionamos um conjunto apropriado de propriedades básicas dos números reais como axiomas. Todas essas propriedades devem ser bem conhecidas, e o leitor estará talvez habituado a tomá-las como evidentes, i.e., a aceitá-las sem qualquer discussão ou análise mais profunda, com a possível excepção do chamado Axioma do Supremo. Usamos resultados e ideias base da Teoria dos Conjuntos sem mais comentários, mas todas as restantes definições aqui introduzidas não envolvem outros conceitos, e todas as afirmações aqui incluídas são teoremas demonstrados a partir dos axiomas iniciais, usando as leis da Lógica. Naturalmente, é indispensável adquirir, em paralelo com o desenvolvimento rigoroso da teoria, um entendimento intuitivo dos resultados obtidos, que ajuda em particular a compreender como as ideias em causa são úteis na construção de modelos matemáticos da realidade física. A usual interpretação dos números reais como pontos de uma recta, dita recta real, é indispensável a esse entendimento intuitivo. A correspondência entre números e pontos depende da escolha de uma unidade de medida, e essa escolha pode ser feita seleccionando dois pontos específicos para corres- 1 O mais antigo desenvolvimento axiomático da Geometria que chegou aos nossos dias foi escrito por Euclides, em Alexandria, por volta de 300 A.C., e é conhecido como os Elementos (de Euclides). É sem dúvida o mais famoso texto científico de sempre, e provavelmente o livro mais publicado na História a seguir à Bíblia. 2 Apresentada pelo grande matemático alemão David Hilbert, , em O trabalho de Hilbert sobre Geometria está disponível na Internet.

4 1.1. AXIOMAS ALGÉBRICOS 3 ponderem aos reais zero e um. Essa escolha determina também um sentido crescente na recta, do ponto 0 para o ponto 1, que materializa outra das propriedades mais fundamentais dos reais, o seu ordenamento. O primeiro axioma que apresentamos limita-se a introduzir as entidades mais básicas que nos propomos estudar: Axioma I. Existe um conjunto R, dito dos números reais. Existem duas operações algébricas em R, a soma (ou adição) e o produto (ou multiplicação), designadas por + e, ou seja, se x,y R então x+y R e x y R. O conjunto R inclui elementos distintos 0 (zero) e 1 (um). R 0 1 Como é usual, muitas vezes omitimos o símbolo, indicando o produto por simples juxtaposição (i.e., escrevemos xy em vez de x y). Usamos as habituais convenções sobre parênteses e a prioridade das operações sem mais comentários, e.g., (x+y) z x+y z = x+(y z). 1.1 Axiomas Algébricos O próximo axioma lista as propriedades algébricas das operações de adição e multiplicação que tomamos como ponto de partida: Axioma II. Temos para quaisquer a,b,c R que: 1. Comutatividade: a+b = b+a e a b = b a. 2. Associatividade: (a+b)+c = a+(b+c) e (a b) c = a (b c). 3. Distributividade: a (b+c) = a b+a c. 4. Elementos Neutros: a+0 = a 1 = a. 5. Simétricos: A equação a+x = 0 tem solução x R. 6. Inversos: Se a 0, a equação a y = 1 tem solução y R.

5 4 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS Como já referimos, as propriedades indicadas acima são bem conhecidas e é comum tomá-las como óbvias. Os axiomas acima mais não fazem do que formalizar essa opção. Mas é interessante notar que estas propriedades não são certamente específicas dos números reais, porque são igualmente satisfeitas, por exemplo, pelos números racionais e pelos números complexos( 3 ). Como a soma e o produto são comutativos, muitas das afirmações no axioma II podem tomar múltiplas formas, que usaremos sem comentários adicionais. Por exemplo, é claro que a+0 = 0+a = a 1 = 1 a = a (em 4), a+x = x+a = 0 (em 5) e a y = y a = 1 (em 6). Passamos a mostrar como é possível obter outras propriedades algébricas elementares dos reais, mas agora como teoremas. Por exemplo, o axioma II não faz qualquer referência à unicidade dos elementos 0 e 1 que são referidos em 4, nem muito menos à unicidade (para cada real a) dos reais x e y referidos em 5 e 6. É interessante mostrar que tal referência seria supérflua, porque a unicidade referida pode ser demonstrada, a partir do que é usual chamar as Leis do Corte : Teorema Para quaisquer a,u,v R, temos a) Lei do corte para a soma: u+a = v +a = u = v. b) Lei do corte para o produto: a 0 e u a = v a = u = v. Demonstração. Para provar a), observamos que, dado a R, (1) x R tal que a+x = 0 De acordo com II.5. = (u+a)+x = (v +a)+x Pela hipótese u+a = v +a. = u+(a+x) = v +(a+x) A soma é associativa: II.2. = u+0 = v +0 De acordo com (1). = u = v 0 é neutro da soma: II.4. A afirmação b) prova-se de forma inteiramente análoga. As seguintes observações são consequências simples destas Leis do Corte. Teorema Os números racionais são da forma n/m, em que n e m são inteiros. Os complexos são da forma x + iy com x,y R e i = 1. Qualquer conjunto não vazio com duas operações algébricas que satisfaça as propriedades 1 a 6 diz-se um corpo. Temos portanto que Q (formado pelos racionais), R (formado pelos reais) e C (formado pelos complexos) são corpos.

6 1.1. AXIOMAS ALGÉBRICOS 5 a) Unicidade do Elemento Neutro da Soma: Se x R e existe a R tal que a+x = a então x = 0. b) Unicidade dos Simétricos: Para cada a R existe um único x R tal que a+x = 0. c) Unicidade do Elemento Neutro do Produto: Se y R e existe a 0 tal que a y = a então y = 1. d) Unicidade dos Inversos: Para cada a 0 existe um único y R tal que a y = 1. Demonstração. Para verificar a), observamos que (1) a+x = a Por hipótese, (2) a+0 = a De II.4. = a+x = a+0 De (1) e (2). = x = 0 Da Lei do Corte para a soma. Para provar b), supomos que x,x R satisfazem a+x = 0 = a+x. Como a+x = a+x, segue-se da lei do corte para a soma que x = x. As afirmações c) e d) provam-se de forma análoga. As seguintes definições são elementares: Definição (simétricos e inversos, diferenças e quocientes) Dados a,b R, então a) A solução x de a+x = 0 é o simétrico de a, designado a. b) Se a 0, a solução y de a y = 1 é o inverso de a, designado a 1. c) A diferença b menos a, designada b a, é dada por b a = b+( a). d) Se a 0, o quociente de b por a, designado b/a ou b a, é dado por b/a = b (a 1 ). Em particular, 1/a = 1 a 1 = a 1 ( 4 ). É fácil mostrar que o simétrico de 0 é 0, i.e., 0 = 0, e o inverso de 1 é 1, 1 1 = 1 (porquê?). Note-se também que a diferença e o quociente são exemplos simples de operações algébricas que não são comutativas nem associativas. O próximo teorema lista mais propriedades algébricas elementares dos reais. Teorema Se a,b R então: 4 Aconvençãousualsobre aprioridade dasoperações elementareséadeque, naausência de parênteses, as operações são executadas na ordem (1) exponenciação, (2) produto e quociente e (3) soma e diferença. Podemos portanto escrever b/a = b a 1 sem utilizar parênteses. A exponenciação não é associativa, e é necessário distinguir a (bc) (a b ) c = a bc. A convenção usual é escrever a bc = a (bc).

7 6 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS a) A diferença x = b a é a única solução de a+x = b em R. b) Se a 0, o quociente y = b/a é a única solução de a y = b em R. c) 0 a = a 0 = 0. d) a b = 0 se s só se a = 0 ou b = 0. e) Regras dos Sinais: (i) ( a) = a e (a+b) = ( a)+( b) = a b. (ii) (a b) = ( a) b = a ( b) e ( a) ( b) = a b. (iii) Se b 0, então (b 1 ) = ( b) 1. Demonstração. Provamos algumas destas afirmações, a título de exemplo, começando com c). É claro que a 0 = 0 a, por comutatividade. Para mostrar que a 0 = 0, notamos que: a 0+a 0 = a (0+0) Por distributividade: II.3. = a 0+a 0 = a 0 Porque 0+0 = 0: II.4. = a 0+a 0 = a 0+0 Por II.4. = a 0 = 0 Pela lei do corte para a soma. Para provar d), temos apenas que demonstrar que se a b = 0 e b 0 então a = 0 (porquê?). Procedemos como se segue: (a b) b 1 = 0 b 1 Por hipótese. = a (b b 1 ) = 0 Por associatividade e c). = a 1 = 0 Porque b b 1 = 1. = a = 0 Porque a 1 = a. As demonstrações das restantes afirmações são sobretudo aplicações da lei do corte apropriada. Por exemplo, para mostrar que ( a) = a, bastanos verificar que (1) ( a)+a = 0 Por definição. (2) ( a) +( ( a)) = 0 Também por definição. = ( a)+a = ( a)+( ( a)) Por (1) e (2). = a = ( a) Pela lei do corte para a soma. A demonstração da identidade (a b) = ( a) b é ligeiramente mais complexa: a b+( a) b = [a+( a)] b Por distributividade. = a b+( a) b = 0 b Porque a+( a) = 0. = a b+( a) b = 0 Porque 0 b = 0, por c). = a b+( a) b = a b+[ (a b)] Porque a b+[ (a b)] = 0. = ( a) b = (a b) Pela lei do corte para a soma.

8 1.1. AXIOMAS ALGÉBRICOS 7 Apresentamos a seguir as usuais regras para manipular fracções e os chamados casos notáveis da multiplicação. A sua demonstração não deve apresentar dificuldades. Teorema Sejam a,b,c,d R, com b 0 e d 0. Temos então: a) a/b 0 se e só se a 0. b) b/b = 1, para qualquer b 0. c) a/b±c/d = (a d±b c)/(b d), (a/b) (c/d) = (a c)/(b d). d) Se c/d 0 então (a/b)/(c/d) = (a d)/(b c). e) x 2 y 2 = (x y)(x+y) e (x±y) 2 = x 2 +y 2 ±2x y. Os resultados que já indicámos são consequência lógica dos axiomas I e II,mas não nos devem induzir noerrodeimaginar quetodas as propriedades mais ou menos elementares e/ou óbvias dos reais resultam desses axiomas( 5 ). A este respeito, é muito útil reconhecer que o conjunto Z 2 = {0,1} com as operações (da aritmética binária) dadas pelas tabuadas satisfaz I e II( 6 ). É por isso evidente que todas as propriedades que podemos demonstrar com base nos axiomas I e II são igualmente válidas para Z 2 e para R. Dito doutra forma, as propriedades de R que não são partilhadas por Z 2 são impossíveis de deduzir de I e II. Por exemplo, R é infinito( 7 ) enquanto Z 2 tem apenas dois elementos. Portanto, o facto de R ser infinito não é consequência lógica dos axiomas apresentados, mas é uma propriedade independente destes. Por definição, -1 é a solução de 1 + x = 0, que sabemos ser única. As tabuadas acima mostram que, em Z 2, temos = 0, donde concluímos que a identidade 1 = 1 é verdadeira em Z 2. No entanto, em R a equação x = x só tem a solução x = 0. Notamos por isso que a afirmação 1 1, por evidente que seja em R, também não é uma consequência lógica de I e II. 5 As propriedades que resultam dos axiomas I e II, em particular as que já referimos, são comuns a qualquer corpo, incluindo naturalmente Q, R e C. 6 Portanto, Z 2 é também um corpo. 7 Veremos mais adiante como definir a noção de conjunto infinito, mas para já o nosso entendimento intuitivo deve ser suficiente.

9 8 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS Como existem propriedades elementares dos reais que não são consequência lógica dos axiomas que indicámos, é evidente que os axiomas I e II não são uma base completa para o estudo dos reais. Passamos a complementá-los, mas não ainda a completá-los, na próxima secção, com afirmações relativas às propriedades de ordem em R. 1.2 Desigualdades e Relação de Ordem De um ponto de vista intuitivo, a origem divide a recta real em duas semirectas, formadas respectivamente pelos reais positivos e pelos reais negativos, e designadas R + e R. A soma de reais positivos é positiva, como a soma de reais negativos é negativa, e dizemos por isso que R + e R são fechados relativamente à soma. É claro que o produto de elementos de R + está também em R +, ou seja, R + é fechado relativamente à soma e ao produto, o que não é verdade para R. Estas ideias podem ser formalizadas no: Axioma III. Existe um conjunto R + R, dos reais positivos, tal que: 1. Fecho de R + em relação à soma e ao produto: Para quaisquer a,b R +, temos a+b R +,a b R Tricotomia: Qualquer a R verifica uma e uma só das seguintes três condições:( 8 ) a R + ou a = 0 ou ( a) R +. O conjunto dos reais negativos pode ser agora definido por R = {x R : x R + }. Segue-se portanto de 1. que R é igualmente fechado para a soma, como referimos acima. A propriedade de tricotomia é equivalente a afirmar que os conjuntos R +, R e {0} são disjuntos, e a sua união é R. Dizemos por isso que estes três conjuntos formam uma partição de R. Usa-se por vezes o símbolo para representar uniões de conjuntos disjuntos, ou seja, a identidade C = A B significa que C é a união de A e B e A B = é o conjunto vazio. Nesta notação, a propriedade de tricotomia escreve-se R = R + {0} R. A desigualdade b > a, que lemos b é maior do que a, significa apenas que a solução da equação a+x = b é positiva, ou seja, 8 Note que esta condição exige que, quando a 0, então a a, porque caso contrário as duas alternativas a R + ou a R + seriam ambas falsas, ou ambas verdadeiras. Esta observação mostra que o corpo Z 2 com dois elementos não satisfaz um axioma análogo a III. No entanto, o axioma III é igualmente válido pelo menos para Q, depois de adaptações óbvias.

10 1.2. DESIGUALDADES E RELAÇÃO DE ORDEM 9 Definição (Relação de Ordem em R) Se a,b R, dizemos que a é maior que b a > b (a b) R +. As relações (maior ou igual), < (menor) e (menor ou igual) são facilmente definidas a partir de Temos: a b (a > b ou a = b), a < b b > a, a b (a < b ou a = b) É claro que estas definições conduzem directamente a R + = {x R : a > 0} e R = {x R : a < 0}. O axioma III usa-se muitas vezes na forma: Teorema Se a,b R então a) a > 0 e b > 0 = a+b > 0 e a b > 0. b) Verifica-se exactamente um de três casos possíveis: a > b, b > a ou a = b. O próximo teorema indica algumas das mais elementares propriedades das desigualdades em R. Teorema Para quaisquer a,b,c,d R, temos: a) Transitividade: a < b e b < c = a < c. b) a < b a > b. c) Lei do Corte (para a soma): a < b a+c < b+c. d) a < c e b < d = a+b < c+d. Dem. Começamos por verificar a): a < b e b < c Por hipótese. (b a),(c b) R + Pela definição = (b a)+(c b) R + Pela a) do teorema (c a) R + Porque c a = (b a)+(c b). = a < c Pela definição A b) resulta de observar, a partir de e), que a < b b a R + ( a) ( b) R + b < a.

11 10 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS A c) resulta de (b+c) (a+c) = b a: a < b b a R + (b+c) (a+c) R + a+c < b+c. Para provar d), notamos que, como c > a e d > b, temos c a R + e d b R +, donde (d b)+(c a) R + de III.1, donde c+d > a+b (c+d) (a+b) = (d b)+(c a) R + A manipulação de desigualdades que envolvem produtos e divisões é mais delicada, e alguns dos erros mais comuns na sua resolução resultam da incorrecta utilização de regras referidas no próximo resultado. Note-se que, como é usual, escrevemos a 2 = a a. Teorema Para quaisquer a,b,c,d R, tem-se que: a) a b > 0 (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). b) Lei do Corte (para o produto): a c < b c (a < b e c > 0) ou (a > b e c < 0). c) a 2 > 0 se e só se a 0, e em particular 1 > 0. Dem. Para provar a), analisamos todos os casos possíveis: (i) a > 0 e b > 0 a b > 0 De a). (ii) a < 0 e b < 0 a > 0 e b > 0 De b). a b = ( a) ( b) > 0 De f) e a). (iii) a < 0 e b > 0 a > 0 e b > 0 De b). ( a) b = (a b) > 0 De f) e a). a b < 0 De b). (iv) a > 0 e b < 0 a b < 0 É o caso (iii). (v) a = 0 ou b = 0 a b = 0 De c). Resulta claramente que (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0) a b > 0. A Lei do Corte em b) é uma aplicação simples de a): a c < b c 0 < b c a c 0 < (b a) c (b a > 0 e c > 0) ou (b a < 0 e c < 0) (b > a e c > 0) ou (b < a e c < 0) A observação em c) resulta de tomar a = b em a), e em particular de tomar a = 1, porque 1 2 = 1.

12 1.2. DESIGUALDADES E RELAÇÃO DE ORDEM 11 Observações Dado a R, a Raíz Quadrada de a, se existir, é a única solução x = a daequação x 2 = a com x 0. Vimos noteorema anterior quesex 0então x 2 > 0, e é portanto evidente que a equação x 2 = a só pode ter soluções quando a 0. É interessante notar por isso que o corpo dos complexos C não satisfaz um axioma análogo a III, dado que a equação x 2 = 1 tem soluções ±i C. 2. Quando a < b temos também que a < a+b 2 < b e portanto {x R : a < x < b}. Segue-se que na realidade {x R : a < x < b} é sempre infinito (porquê?). A noção de módulo ou valor absoluto é muito útil no que se segue: Definição O módulo ou valor absoluto de x R é definido por x = { x 2 x, se x 0; = x, se x < 0. De um ponto de vista geométrico, o valor absoluto de x é, simplesmente, a distância de x à origem e, mais geralmente, x y é a distância entre x e y. Indicamos a seguir algumas propriedades elementares do valor absoluto. Teorema Para quaisquer a,x,y,ε R temos: a) x x x e x x x. b) Se ε 0, x ε ε x ε e x a ε a ε x a+ε. c) x y = x y e, se y 0, x/y = x / y. d) x 2 y 2 x y. e) Desigualdade Triangular: x+y x + y. f) x y x y. Dem. Deixamos a demonstração de a) como exercício. Para as restantes afirmações, procedemos como se segue b) Consideramos separadamente os casos x 0 e x < 0: x 0 e x ε 0 x ε. x < 0 e x ε 0 < x ε ε x < 0. A equivalência x a ε a ε x a+ε é uma consequência da anterior, obtida substituindo na primeira x por x a. x a ε ε x a ε a ε x a+ε.

13 12 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS c) O resultado é evidente se x y = 0 ou se x > 0 e y > 0. Os restantes casos seguem-se de regras dos sinais do teorema Consideramos (a título de exemplo) o caso x > 0 e y < 0, em que x y < 0 e x/y < 0. x y = (x y) = x ( y) = x y e x/y = (x/y) = x/( y) = x / y. d) Notamos que x 2 y 2 = x 2 y 2 = ( x y )( x + y ). Como x + y 0 e x + y = 0 se e só se x = y = 0, é claro que x 2 y 2 0 x y 0 x y e) Pela alínea d), e como x + y = x + y, a desigualdade triangular é equivalente a (x+y) 2 ( x + y ) 2. Dado que (x+y) 2 = x 2 +2xy +y 2 e ( x + y ) 2 = x 2 +2 x y + y 2 = x 2 +2 x y +y 2, a desigualdade triangular resulta de observar que xy xy = x y. f) Tal como na alínea anterior, notamos que (x y) 2 = x 2 +y 2 2xy e ( x y ) 2 = x 2 + y 2 2 x y = x 2 +y 2 2 xy. Como xy xy, segue-se de d) que x y x y. Os intervalos são subconjuntos de R particularmente simples, que geometricamente se reduzem a segmentos de recta, semi-rectas, ou à própria recta real: Definição (Intervalos) Se a, b R definimos os seguintes intervalos com extremos a e b: O intervalo aberto ]a,b[ = {x R : a < x < b}. O intervalo fechado [a,b] = {x R : a x b}. Os intervalos semi-abertos (e semi-fechados) [a,b[ = {x R : a x < b} e ]a,b] = {x R : a < x b}. Definimos também intervalos com extremos infinitos: abertos: ]a,+ [ = {x R : x > a} e ],b[ = {x R : x < b}. fechados: [a,+ [ = {x R : x a} e ],b] = {x R : x b}. A recta real: ], [= R é um intervalo.

14 1.3. O AXIOMA DO SUPREMO 13 Note-se a título de ilustração que ]a,a[ =,[a,a] = {a} e ] a,a[= {x R : x < a}. Se x é uma aproximação ou valor aproximado de a, então x a, que é a distância entre os pontos x e a, é o erro dessa aproximação, e o conjunto {x R : x a < ε} é formado por todos os reais que são aproximações de a com erro inferior a ε. Esta ideia é utilizada por todo o Cálculo Diferencial e Integral, e deve ser por isso muito bem compreendida. Qualquer intervalo aberto I tal que a I diz-se aliás uma vizinhança de a, e a chamada vizinhança-ε de a é dada por( 9 ) V ε (a) =]a ε,a+ε[= {x R : x a < ε}. As vizinhanças privadas de a, designadas V ε(a), são dadas por V ε(a) = {x V ε (a) : x a} = {x R : 0 < x a < ε}. V ε (a) a ε a a+ε Figura 1.2.1: Vizinhança-ε de a R 1.3 O Axioma do Supremo Dado um conjunto A R, é frequentemente útil determinar estimativas por excesso ou por defeito dos seus elementos. Mais formalmente, introduzimos as seguintes noções: Definição (Majorante e Minorante de A): Se A R e a R, dizemos que a) a é majorante de A se e só se x a, para qualquer x A. Se A tem majorantes, diz-se que A é um conjunto majorado. b) a é minorante de A se e só se a x, para qualquer x A. Se A tem minorantes, diz-se que A é minorado. 9 Se a C e ε > 0, a vizinhança V ε(a) = {z C : z a < ε} é geometricamente um círculo de raio ε e centro em a, e diz-se por vezes uma bola aberta.

15 14 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS c) SeAtemmajoranteseminorantes, entãodizemosqueaéumconjunto limitado. Caso contrário, A diz-se ilimitado. Por outras palavras, a é majorante de A se e só se todos os elementos de A estão à esquerda de a, ou seja, se e só se A ],a]. Neste caso, a é uma estimativa por excesso de todos os elementos de A. Analogamente, a é minorante de A se e só se todos os elementos de A estão à direita de a, ou seja, se e só se A [a,+ [, e a é uma estimativa por defeito dos elementos de A. O conjunto A é limitado se e só se existem a,b R tais que a x b para qualquer x A, e neste caso A [a,b]. A título de ilustração, Exemplos R é ilimitado, porque não é majorado nem minorado. 2. R + éilimitado, porquenão émajorado, mas éminorado. Qualquerreala 0 é minorante de R R éilimitado, porquenão éminorado, mas émajorado. Qualquerreala 0 é majorante de R. 4. OintervaloI =]0,1[eoconjunto A =]0,1] [2,3[sãolimitados. Porexemplo, -1 é minorante de I e de A, e 10 é majorante tanto de I como de A. 5. Se a é majorante de A então qualquer x a é igualmente majorante de A, e se b é minorante de A então qualquer x b é igualmente minorante de A. As noções de máximo e mínimo de um conjunto A R são inteiramente elementares, e apesar de estarem realcionadas com as de majorante e minorante, não devem ser confundidas com estas últimas. Dizemos que a é máximo de A, e escrevemos a = maxa, se e só se a A e x A, x a. b é mínimo de A, e escrevemos b = mina, se e só se b A e x A, x b. É claro que se o conjunto A tem máximo a, então esse máximo é um majorante de A, porque x a para qualquer x A, e é também o menor majorante de A, porque qualquer majorante b satisfaz a b, dado que a A. Da mesma forma, se A tem mínimo, então esse mínimo é simplesmente o maior minorante de A. Exemplos R + não tem majorantes, e portanto certamente não tem máximo. Claro que R + tem minorantes, e osseus minorantes formamointervalo ],0]. O maior minorante de R + é 0, mas 0 não é o mínimo de R +, porque 0 R +.

16 1.3. O AXIOMA DO SUPREMO R não tem minorantes, e portanto certamente não tem mínimo. Claro que R tem majorantes,eosseusmajorantesformamointervalo[0,+ [. Omenor majorante de R é 0, mas 0 não é o máximo de R, porque 0 R. 3. O intervalo I = [0,1[ é limitado. Os majorantes de I formam o intervalo [1,+ [ e os seus minorantes formam o intervalo ],0]. I tem mínimo, que é o maior minorante, mas não tem máximo, porque o menor majorante não pertence a I. 4. Podemos ter maxa = mina = a, o que ocorre exactamente quando A = {a} só tem um elemento. 5. SendoM oconjuntodosmajorantesdea, entãom évazioou,emalternativa, infinito enãomajorado,porquesex M ey > xentãoy M. Analogamente, o conjunto dos minorantes de A é vazio ou infinito e não minorado. 6. Se A, a é minorante de A e b é majorante de A então a b, porque existe algum x A e temos necessariamente a x b. 7. Quando A = então qualquer real x é simultaneamente majorante e minorante de A (porquê?). O maior minorante e o menor majorante do conjunto A, quando existem, dizem-se, respectivamente, o ínfimo e supremo de A. Como veremos, estas noções são utilizadas no Cálculo com alguma frequência, e devem por isso ser bem compreendidas desde já. Definição (Ínfimo e Supremo de A) Dado A R, então a) Se o conjunto dos minorantes de A tem máximo, esse máximo diz-se o ínfimo de A, e designa-se por infa. b) Se o conjunto dos majorantes de A tem mínimo, esse mínimo diz-se o supremo de A, e designa-se por supa. Exemplos Se A = [0,1] então maxa = supa = 1 e mina = infa = Se A =]0,1[ então 1 = supa e 0 = infa, mas como observámos acima A não tem máximo nem mínimo. É por vezes útil observar que o ínfimo de A é a melhor aproximação por defeito de todos os elementos de A, enquanto que o supremode A é a melhor aproximação por excesso de todos elementos de A. Existem múltiplas maneiras equivalentes de caracterizar o supremo e/ou o ínfimo de um dado conjunto A R, e as seguintes proposições são utilizadas com frequência.

17 16 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS Proposição Se A R então s = supa se e só se s é majorante de A e V ε (s) A para qualquer ε > 0. Por outras palavras, s é o supremo de A se e só se s é majorante de A e qualquer vizinhança de s contém pontos de A. Como vimos, é possível que s A, mas esta observação mostra que existem sempre pontos de A arbitrariamente próximos de s = sup A. ε V ε (s) s ε x s Figura 1.3.1: Qualquer vizinhança-ε de s = supa contém pontos x A Demonstração. Supomos primeiro que s = supa e ε > 0. Como s ε < s e s é o menor majorante de A, segue-se que s ε não é majorante de A. Existe portanto pelo menos um elemento x A tal que x > s ε e temos ainda x s, porque s é majorante de A. É claro que x V ε (s), o que mostra que V ε (s) A. Supomos agora que s é majorante de A e qualquer vizinhança-ε de s contém pontos x A. Sendo t < s, tomamos ε = s t, ou seja, t = s ε. Por hipótese, existe x V ε (s) A, e é portanto óbvio que x > t e t não é majorante de A. Dito doutra forma, qualquer t < s não é majorante de A, donde s é o menor majorante de A, i.e., s = supa. É fácil adaptar estas ideias ao caso do ínfimo, para obter: Proposição Se A R então s = infa se e só se s é minorante de A e V ε (s) A para qualquer ε > 0. Como vimos, é inteiramente evidente que um conjunto majorado A pode nãotermáximo, comoocorrecomexemploscomoa = [0,1[. Passamosagora a ponderar uma questão associada, mas um pouco mais subtil, a saber Qualquer conjunto majorado não-vazio tem supremo? A resposta a esta questão, sob a forma do chamado Axioma do Supremo, completa a base axiomática que utilizaremos no nosso estudo dos reais e

18 1.3. O AXIOMA DO SUPREMO 17 esclarece com precisão a diferença entre os reais e os racionais, porque corresponde a uma propriedade satisfeita por R mas não por Q. Para entender melhor a propriedade em questão, suponha-se a recta real R decomposta em dois conjuntos disjuntos e não-vazios, que designaremos E e D, e tais que todos os elementos de E são menores que todos os elementos de D. Por outras palavras, os elementos de E são minorantes de D ou, de forma equivalente, os elementos de D são majorantes de E. Parece geometricamente evidente que E e D são semi-rectas disjuntas cuja união é a recta real completa, e por isso deve existir um ponto p R que separa a recta real nas duas semi-rectas E e D, ou seja, tal que x p y para quaisquer x E e y D. E D Figura 1.3.2: E e D são uma decomposição de R em semi-rectas. A existência do ponto p R não é no entanto consequência dos axiomas que já apresentámos, como veremos mais adiante. Dito doutra forma, a existência do ponto p é em si um axioma adicional sobre o conjunto R, que pode certamente tomar a forma de: Se os conjuntos não-vazios E e D são uma partição de R e temos x < y para quaisquer x E e y D ( 10 ) então existe p R tal que x p y para quaisquer x E e y D. É no entanto mais usual tomar como axioma a afirmação seguinte, e é essa a alternativa que seguimos neste texto: Axioma IV (Axioma do Supremo). Se A R é majorado e não-vazio( 11 ) então A tem supremo. É interessante verificar que o axioma IV é equivalente à afirmação O par de conjuntos (E,D) é essencialmente um corte de Dedekind, assim chamado em homenagem ao matemático alemão Richard Dedekind, , que utilizou partições de Q desta forma para definir os números reais a partir dos números racionais. Não estudamos aqui estes trabalhos de Dedekind, por se afastarem demasiado dos principais objectivos deste texto. 11 O conjunto vazio é um caso algo especial, porque tem majorantes (qualquer real é um seu majorante), mas naturalmente não tem supremo.

19 18 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS Demonstração. Supomos primeiro que o axioma IV é válido: Sendo E e D os conjuntos referidos em 1.3.8, é claro que E tem majorantes, porque qualquer elemento de D é majorante de E, e temos por hipótese que E. Segue-se do axioma IV que E tem supremo p R, e é imediato que x p, para qualquer x E, porque p = supe, e p y, para qualquer y D, porque y é majorante de E e p é o menor majorante de E. Concluímos assim que a afirmação é consequência lógica do axioma IV. Supomos agora que a afirmação é válida: Dado um conjunto não-vazio e majorado A R, seja D o conjunto dos majorantes de A e E o complementar de D, ou seja, o conjunto dos reais que não são majorantes de A. É evidente que D e E formam uma partição de R e observamos que (1) D : por hipótese, A tem majorantes. (2) E : Dado a A, é claro que a 1 E. (3) Se x E e y D então x < y: Basta-nos notar que x não é majorante de A, ou seja, existe a A tal que x < a, e y é majorante de A, donde a y e portanto x < a y. (4) E não tem máximo: Mais umavez, se x E, i.e., se x nãoémajorante de A, então existe a A tal que x < a. Existe igualmente x R tal que x < x < a, e como x não é majorante de A é óbvio que x E e x não é o máximo de E. De acordo com 1.3.8, segue-se de (1), (2) e (3) que existe p R tal que x p y para quaisquer x E e y D. Uma das seguintes alternativas é consequentemente válida: (i) p E, e neste caso p é o máximo de E, ou (ii) p D, e então p é o mínimo de D, ou seja, p é o supremo de A. De acordo com (4), a alternativa (ii) é sempre verdadeira. Como exemplo de uma observação elementar que resulta do axioma IV, mostramos que a equação x 2 = 2 tem soluções em R.( 12 ) Exemplo Esta afirmação não é válida para Q porque, como veremos adiante, as soluções de x 2 = 2 são números irracionais. Podemos por isso concluir deste exemplo que o corpo dos racionais não satisfaz o axioma IV.

20 1.3. O AXIOMA DO SUPREMO 19 Para aplicar o axioma IV ao conjunto A = {x R : x 2 < 2}, notamos que A é não-vazio: é evidente que 1 A. 2 é majorante de A, logo A é majorado: se x 2 então x 2 4 > 2 e portanto x A, donde concluímos que x < 2 para qualquer x A. Segue-se do axioma IV que A tem supremo α, e é óbvio que 1 α 2, e estabelecemos a seguir um resultado auxiliar muito simples: (1) Se δ 1 e x V δ (α) então α 2 5δ < x 2 < α 2 +5δ. Temos x α < δ 1, donde 0 < x < 3, x+α < 5 e x 2 α 2 = x α x+α 5δ, ou seja, α 2 5δ < x 2 < α 2 +5δ. Naturalmente, uma das seguintes alternativas é válida: (a) α 2 < 2 ou (b) α 2 > 2 ou (c) α 2 = 2 Nos casos (a) e (b), tomamos ε = 2 α 2 = 0 e observamos que existe δ < 1 tal que 0 < 5δ < ε. (a) Se α < x < α + δ segue-se de (1) que x 2 < α 2 + 5δ < α 2 + ε = 2 e portanto x A. Neste caso não podemos ter α = supa, porque é óbvio que α não é majorante de A. (b) Se α δ < x < α segue-se de (1) que x 2 > α 2 5δ > α 2 ε = 2 e portanto x A. Neste caso não podemos ter α = supa, porque qualquer vizinhança de sup A contém necessariamente elementos de A. Concluímos por exclusão de hipóteses que a alternativa (c) é válida, ou seja, α é solução da equação x 2 = 2. O próximo teorema é o análogo do Axioma do Supremo para o ínfimo. Teorema Se A R é minorado e não-vazio então A tem ínfimo. Demonstração. Sendo B o conjunto dos minorantes de A, é evidente que B, por hipótese, e B é majorado, porque qualquer elemento de A é majorante de B. Segue-se do Axioma do Supremo que B tem supremo α. Como qualquer elemento a A é majorante de B e o supremo de B é o menor dos seus majorantes, é também claro que α a, ou seja, α é minorante de A e portanto α B. Concluímos que α é o máximo de B, que é por definição o ínfimo de A. Definimos na secção anterior os intervalos em R como conjuntos muito especiais, mas a descrição que utilizámos envolve a consideração de múltiplos tipos diferentes(limitados ou ilimitados, abertos, fechados ou abertos apenas num dos extremos). É por vezes útil caracterizar os intervalos de uma forma

21 20 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS um pouco mais abstracta( 13 ), independente destes detalhes, e aproveitamos o Axioma do Supremo para estabelecer Teorema O conjunto I R é um intervalo se e só se: (1) Para quaisquer x,y I e z R, se x < z < y então z I. Demonstração. Deve ser evidente que qualquer intervalo, independentemente do seu tipo, satisfaz a condição (1). Limitamo-nos por isso a provar que qualquer conjunto que satisfaça (1) é necessariamente um intervalo. Consideramos os seguintes casos: a) I = : nada temos a verificar. b) I não majorado nem minorado: dado qualquer z R existe y I tal que y > z, porque z não é majorante de I, e existe x I tal que x < z, porque z não é minorante de I. Segue-se de (1) que z I, ou seja, I = R =],+ [. c) I majorado e não minorado: Neste caso, I tem supremo α e portanto I ],α]. Dado qualquer z < α, existe y I tal que z < y α (porque α = supi), e existe x I tal que x < z (porque I não tem minorantes). Segue-se de (1) que z I, i.e., ],α[ I. Como ],α[ I ],α], concluímos que I =],α[ ou I =],α]. d) I minorado e não majorado: análogo a c). d) I limitado: I tem ínfimo α, supremo β e I [α,β]. Se α < z < β podemos concluir de (1) que z I, ou seja, ]α,β[ I [α,β]. Temos então I =]α,β[, I =]α,β], I = [α,β[ ou I = [α,β]. 1.4 Números Naturais e Indução É talvez surpreendente reconhecer que é possível, a partir dos axiomas já apresentados, definir os números naturais e provar o clássico Princípio de Indução. Começamos por notar que, de um ponto de vista estritamente intuitivo, é claro que ( 14 ) N = {1, 2 = 1+1, 3 = 2+1 = (1+1)+1,...}. 13 A condição referida em é um caso particular da noção de conjunto conexo, estudada em Topologia. Nesta terminologia, o teorema referido limita-se a afirmar que os intervalos são exactamente os subconjuntos de R que são conexos. 14 Os símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 são suficientes para escrever qualquer número natural no chamado sistema decimal, i.e., na base 10 (de um modo geral, são necessários n símbolos distintos para escrever qualquer natural na base n, onde n 2 é um natural, sendo que hoje, e por pressão da tecnologia digital, as bases 2 (binária), 8 (octal) e 16 (hexadecimal) são também muito utilizadas). O sistema decimal, outra das grandes

22 1.4. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 21 Ainda de um ponto de vista intuitivo, as seguintes propriedades do conjunto N são portanto evidentes: (i) 1 N e (ii) n N = n+1 N Note-se que N não é o único subconjunto de R que satisfaz as propriedades (i) e (ii). Por exemplo, tanto o próprio conjunto R como o conjunto R + satisfazem essas propriedades, se nela substituirmos a referência a N pela referência ao conjunto em causa. A título de ilustração, temos para R + : (i) 1 R + e (ii) n R + = n+1 R + Os conjuntos que satisfazem (i) e (ii) dizem-se: Definição (Conjuntos Indutivos) Um subconjunto A R diz-se indutivo se e só se satisfaz as condições: (i) 1 A e (ii) a A (a+1) A Um momento de reflexão sugere que os números naturais, não sendo o único conjunto indutivo, estão contidos em qualquer conjunto indutivo, e formam por isso o menor conjunto indutivo em R. A seguinte definição formaliza esta ideia: Definição (Números Naturais, o conjunto N) O conjunto dos naturais designa-se por N, e é dado por( 15 ) N = {n R : n pertence a qualquer subconjunto indutivo de R}. Aproveitamos para definir igualmente criações da Humanidade, foi descoberto na Índia, entre os anos 100 e 500 da nossa era, e expandiu-se rapidamente para as regiões sob domínio árabe nos séculos que se seguiram à Hégira. O sistema difundiu-se na Europa perto do fim da Idade Média através do contacto com a civilização árabe, pelo que ainda hoje o referimos como numeração árabe. As palavras algarismo e algoritmo são aliás deturpações do nome do autor persa do século IX (Al-Khwarizmi) que escreveu um dos textos mais estudados no Ocidente sobre o sistema de numeração que Al-Khwarizmi sabia ser indiano. O sistema é geralmente usado na actualidade, mas os símbolos que representam os dez algarismos são distintos em algumas culturas. Em particular, os algarismos árabes que utilizamos no Ocidente são essencialmente os dos países do Magrebe (que é, literalmente, o Ocidente do mundo árabe), mas são bastante diferentes dos que se usam nos países árabes a partir do Egipto, onde 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 se escrevem,,,,,,,, e Analisaremos nesta secção a representação decimal dos naturais, e mais adiante estudaremos a questão mais difícil da representação decimal dos números racionais e irracionais. 15 Com esta definição, é fácil mostrar que 0 N, e na verdade escrevemos aqui N 0 = N {0}, mas em muitos textos opta-se por definir os naturais de modo a incluir o 0.

23 22 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS Definição (Números Inteiros, Racionais e Irracionais) O conjunto dos inteiros designa-se por Z e é dado por Z = Z + {0} Z, onde Z + = N e Z = {m R : m N}. O conjunto dos racionais designa-se por Q e é dado por Q = {n/m : n,m Z,m 0}. Os irracionais constituem o conjunto R\Q. O chamado Princípio de Indução Matemática é apenas mais um teorema da teoria que aqui desenvolvemos: Teorema (Princípio de Indução Matemática) a) N é o menor conjunto indutivo em R, ou seja, (i) Se A R é indutivo então N A, e (ii) N é indutivo. b) Em particular, se A N é indutivo então A = N. Dem. A afirmação (i) da a) é evidente: Por definição de N, se n N e A é indutivo então n A, ou seja, N A. Para verificar (ii) de a), ou seja, para provar que N é indutivo, notamos que (I) 1 N, porque 1 pertence claramente a qualquer conjunto indutivo. (II) Se n N e A é indutivo, então n A, porque o natural n pertence por definição a qualquer conjunto indutivo. Segue-se que n+1 A, porque A é indutivo. Como A é um conjunto indutivo arbitrário, concluímos que n+1 está em todo e qualquer conjunto indutivo, pelo que n+1 N, mais uma vez por definição de N. Temos assim que N satisfaz as condições (i) e (ii) da definição 1.4.1, ou seja, N é um conjunto indutivo. A afirmação em b) é também imediata. Como A é indutivo, temos N A, de a). Como por hipótese A N, é óbvio que A = N. O Princípio da Indução Matemática (teorema 1.4.4) é a base da técnica de demonstração que conhecemos como o Método de Indução Matemática. Sendo P(n) uma determinada proposição ou propriedade que se pretende mostrar verdadeira para todo o n N, este método consiste em a) Verificar que a afirmação P(1) é verdadeira, e b) Mostrar que, para qualquer n N, e se P(n) é verdadeira, então

24 1.4. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 23 P(n+1) é igualmente verdadeira. Provadas as afirmações, o método de indução finita permite-nos concluir que P(n) é verdadeira, para qualquer n N. Para reconhecer que este método é uma aplicação directa de 1.4.4, basta considerar o conjunto dos naturais n para os quais a afirmação P(n) é verdadeira, ou seja, o conjunto S = {n N : P(n) é verdadeira }. Provar as afirmações a) e b) é precisamente o mesmo que verificar que S é um conjunto indutivo. Mas se S é indutivo, o teorema mostra que S = N, o que significa que P(n) é verdadeira para qualquer n N. Apresentamos a seguir alguns exemplos particularmente simples de aplicação do princípio/método de indução. Pelo menos em alguns casos, correspondem a observações que estamos habituados a tomar como evidentes, mas em qualquer caso ilustram bem esta técnica de demonstração. Exemplos Passamos a provar: 1. O mínimo de N é 1: Tomamos P(n) = n 1. Temos então P(1): é obviamente verdadeira. P(n) = P(n+1): Como 1 > 0, segue-se que n+1 > n. Portanto, n 1 = n+1 1, i.e., P(n) = P(n+1). Podemos portanto concluir que n 1 para qualquer n N, e como 1 N segue-se que 1 = minn. 2. Qualquer natural é par ou ímpar: P(n) é agora a afirmação n é par ou ímpar, e recordamos que o natural n é par se existe um natural k tal que n = 2k, e ímpar se existe k N tal que n = 2k 1. P(1): Como 1 = 2 1 1, é claro que 1 é ímpar. P(n) = P(n+1): Existe k N tal que n = 2k ou n = 2k 1, donde n = 2k = n+1 = 2k +1 = 2(k +1) 1, e n+1 é ímpar, ou n = 2k 1 = n+1 = 2k 1+1 = 2k, e n+1 é par. Concluímos que P(n) é verdadeira para qualquer n N n n+1 para qualquer n N: Temos agora P(n) = 2 n n+1. P(1): Esta é a afirmação , que é obviamente verdadeira. P(n) = P(n+1): Basta-nos notar que 2 n n+1 = 2 n+1 2(n+1) = 2n+2 = n+n+2 n+2

25 24 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS A afirmação P(n) é assim verdadeira para qualquer n N. Uma sucessão no conjunto X é simplesmente uma função definida no conjunto N com valores no conjunto X. Por exemplo, a função φ : N N dada por φ(n) = 2n 1 é a sucessão dos números ímpares, e a função ψ : N N dada por ψ(n) = n 2 é a sucessão dos quadrados perfeitos. A função ϕ : N Q dada por ϕ(n) = (1 + 1 n )n é um exemplo clássico, porque quando n aumenta os valores ϕ(n) se aproximam progressivamente do número de Euler, e = 2,71828, que é uma das mais importantes constantes da Matemática. Note-se de passagem que é usual designar os valores deumasucessão φ por φ 1, φ 2,,φ n em vez deφ(1), φ(2),,φ(n). É também muito frequente recorrermos a fórmulas de recorrência para definir sucessões, uma técnica que está directamente ligada ao Princípio de Indução. Não expomos aqui completamente a teoria que sustenta este tipo de definições, mas ilustramos a sua utilização em múltiplos casos, que incluem diversas noções matemáticas básicas. Exemplo A potência de expoente natural n, designada por x n, com base x R e expoente n N é informalmente descrita como um produto com n factores, todos iguais a x ( 16 ), mas a sua definição mais rigorosa deve ser feita como se segue: Se n = 1, então x n = x 1 = x, e Se n 1, então x n+1 = x n x. As propriedades usuais das potências, em particular as identidades (1) x n x m = x n+m,(x n ) m = x nm e x n y n = (x y) n podem ser demonstradas por indução, e são válidas para quaisquer n,m N e quaisquer x,y R. Provamos a título de exemplo que x n x m = x n+m, e para isso fixamos n N, x R e tomamos P(m) = x n x m = x n+m. Notamos que P(1) é verdadeira, porque (por definição) x n x 1 = x n x = x n+1. Supondo que P(m) é verdadeira, temos x n x m+1 = x n (x m x) = (x n x m ) x = x n+m x = x n+m+1 Quando x 0 definimos igualmente x n quando n 0 é um inteiro. Paran = 0 tomamos x 0 = 1 e paran < 0 fazemos x n = (x 1 ) n, onde é claroque n N. As propriedades em (1) são na verdade válidas para quaisquer n,m Z, desde que x 0 e y Não se segue daqui que seja necessário calcular n 1 produtos para determinar x n. Quantas multiplicações são necessárias para calcular, por exemplo, 2 100?

26 1.4. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 25 Dada uma sucessão α : N R, é conveniente dispor de uma notação sucinta e compacta para designar somas da forma α 1 + α α n, e escrevemos para isso n α k = α 1 +α 2 + +α n, k=1 que lemos como somatório dos α k s com k de 1 até n. Esta notação é formalmente definida como se segue: Definição Sendoα : N R, asucessãodesignadaporσ n = n k=1 α k é dada por σ 1 = α 1 se n = 1, e σ n+1 = σ n + α n+1 se n > 1. Por outras palavras, ( n n+1 n ) α k = α 1 se n = 1, e α k = α n+1 + α k se n > 1. k=1 Exemplos k=1 1. Para demonstrar a fórmula n = n(n+1) 2, observamos que n n = k Tomamos P(n) = n k=1 P(1): temos 1 k=1 k = 1 = 1(1+1) 2 P(n) = P(n+1): n+1 k = k=1 k=1 k=1 k = n(n+1), e provamos P(n) por indução: 2 n k=1 k +(n+1) = n(n+1) 2 +(n+1) = = n(n+1) + 2(n+1) = (n+1)(n+2) Nada impede que os termos do somatório sejam constantes. Por exemplo, se a k = 1 para qualquer k N então é fácil mostrar por indução que n n a k = 1 = n, para qualquer n N. k=1 k=1 Esta afirmação mostra que os naturais são as somas finitas com parcelas iguais a 1, ou seja, { n } N = 1 : n N k=1 Mais geralmente, é fácil mostrar que se a R então n a = n a k=1

27 26 CAPÍTULO 1. OS NÚMEROS REAIS 3. Uma progressão aritmética de 1 o termo a R e razão r R é uma sucessão α : N R dada por α 1 = a e α n+1 = α n +r. Podemosestabelecer por indução que n ( α n = a+(n 1)r e α k = n a+ (n 1)r ) 2 k=1 O caso a = 1 e r = 1 é o exemplo 1, e o exemplo 2 corresponde a a = 1 e r = 0. Demonstração. Para mostrar que α n = a+(n 1)r, notamos que Se n = 1, α 1 = a+(1 1)r = a. Supondo que n 1 e α n = a+(n 1)r, temos Para mostrar que ( n k=1 α k = n Se n = 1, ( 1 k=1 α k = α 1 = 1 α n+1 = α n +r = a+(n 1)r+r = a+nr. a+ (n 1)r 2 a+ (1 1)r 2 Supondo que n 1 e n k=1 α k = n k=1 k=1 ( ), observamos que ) = a. a+ (n 1)r 2 ), temos n+1 n ( α k = α n+1 + α k = a+n r+n a+ (n 1)r ) ( = (n+1) a+ (n)r ) Uma progressão geomética de 1 o termo a R e razão r R é uma sucessão α : N R dada por α 1 = a e α n+1 = α n r. Temos agora que α n = a r n 1 e, se r 1, n k=1 α k = a 1 rn 1 r Limitamo-nos a provar por indução que n k=1 r k 1 = 1 rn 1 r Se n = 1, 1 k=1 rk 1 = r 0 = 1 = 1 r 1 r = 1 r1 1 r. Supondo que n 1 e n k=1 rk 1 = 1 rn 1 r, temos n+1 n r k 1 = r n + r k 1 = r n + 1 rn 1 r = rn r n+1 +1 r n 1 r k=1 k=1 = 1 rn+1 1 r Note-se que o símbolo utilizado para designar o índice do somatório, que nos exemplos acima é a letra k, é efectivamente irrelevante. Por outras palavras, se mudarmos o índice do somatório em todas as suas ocorrências,

28 1.4. NÚMEROS NATURAIS E INDUÇÃO 27 a soma em questão não se altera. Em particular, uma mesma soma pode aparecer na notação de somatório de formas diferentes. Dizemos por isso que o índice do somatório é mudo. Por exemplo: n a k = k=1 n n a i = a j e i=1 j=1 5 k = k=1 5 i = 15. i=1 Teorema (Propriedades do Somatório Ficha 2, II 2.) n n a) Aditividade: (a k +b k ) = a k + k=1 b) Homogeneidade: k=1 n k=1 b k ( n n ) (c a k ) = c a k, c R k=1 k=1 n c) Propriedade telescópica: (a k a k 1 ) = a n a 0 k=1 Dem. (a) e (b) ficam como exercício. Provamos (c) por indução. Se n = 1, temos evidentemente 1 (a k a k 1 ) = a 1 a 0, k=1 n Supondo n 1 e (a k a k 1 ) = a n a 0, temos k=1 n+1 n (a k a k 1 ) = (a n+1 a n )+ (a k a k 1 ) = k=1 k=1 = (a n+1 a n )+(a n a 0 ) = a n+1 a 0 Nem o Método de Indução, nem o Símbolo de Somatório, têm necessariamente que começar em n = 1. Ambos admitem generalizações simples, tendo como ponto de partida um dado m Z. O caso m = 0 é ilustrado no exemplo seguinte, mas na verdade todos os casos se podem reduzir ao originalmente considerado, por simples substituições de variáveis, do tipo: 4 2 k = k= i+1 = 2 j+2 = (i = k 1,j = k 2). i=1 j=0