6. Determinação do Conjunto dos Estados Atingíveis

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1 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro Determinação do Conjunto dos Estados Atingíveis No capítulo anterior chegamos a uma implementação que determinava o estado de um sistema quando aplicado um controlo constante. No entanto o sistema pode estar sujeito a muitos controlos distintos, que podem variar ao longo do tempo, em que cada um deles pode produzir um estado final diferente, ora o que vamos pretender neste capítulo é determinar todos esses possíveis estados para todos esses possíveis controlos, ou dito de outro modo pretendemos determinar o Conjunto dos Estados Atingíveis de um sistema. 6.. Definição Já vimos no ponto 2.. do capítulo 2. Uma definição de Conjunto de Estados atingíveis, que vamos aqui relembrar e escrever de outro modo que passaremos a utilizar neste capítulo. Conjunto dos estados atingíveis. É o conjunto de estados que é possível atingir com um dado sistema dinâmico a partir de uma dado estado inicial. Podemos dizer que A ( t, t, x ) é o conjunto dos estados atingíveis no instante de tempo t quando iniciado no instante t no estado x usando controlos admissíveis Implementação de função que determine o Conjunto dos Estados Atingíveis Como já sabemos da equação x x () = x () t = Φ( t,) x + Φ( t, τ) t dτbu ( 6.) resulta o estado que o sistema atinge no instante t quando parte do estado inicial x e é aplicado o controlo u que para já consideramos constante. Por facilidade vamos normalizar a variável tempo entre e [,] estados atingíveis vai ser escrito na seguinte forma A(,, x ) t pelo que o conjunto dos e vamos utilizar como exemplo ilustrativo o sistema x! = Ax + Bu com os seguintes valores 2 A = B = e com x = Continuando a supor que o controlo é constante por exemplo 6., utilizando por exemplo a função xt(a,b,x,u,t) implementada no capitulo anterior, com os valores acima indicados chegamos ao seguinte resultado u =, resolvendo a equação ( ) - -

2 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 23 x 3,945 =,4762 sendo portanto este o estado a que chega o sistema com as condições acima descritas. No entanto podemos aplicar como controlo do sistema um número muito variado de funções, como por exemplo as que aparecem na figura 6.. Figura 6. : Exemplos de controlos possíveis Antes de continuar-mos vamos definir melhor o controlo Definição: Sendo o controlo u é restringido para valores pertencentes ao conjunto fixo t, será chamada de controlo admissível. e é continuo. Uma função continua u: [ ) Ω Vamos supor que o controlo u vai estar definido na seguinte área u [,] para t [,] p Ω R, Figura 6.2 : Área correspondente ao controlo entre e Continuamos a ter um número infinito de controlos admissíveis, mas desta vez restringidos pela área que definimos. Um número infinito de hipóteses de controlo leva a um número infinito de estados atingíveis

3 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro Vamos, para simplificar ainda mais o problema, dizer que o controlo para cada instante t só vai ter dois valores possíveis u u = = e divididos no tempo em instantes iguais. Figura 6.3 : Divisão do controlo em instantes com os valores e Deste modo já temos um número finito de possibilidades de controlo 24 2 n = = o que torna mais fácil a determinação dos Estados. Vamos guardar esses n controlos admissíveis numa matriz a que chamaremos nu. = nu Com este número n finito de controlos admissíveis podemos calcular n vezes o estado do sistema, é claro que isso é moroso fazendo manualmente mas para isso é que existem os computadores, vamos por isso recorrer novamente à nossa ferramenta matemática o MATLAB. Utilizando a como base a função xt(a,b,x,u,t) podemos agora criar uma nova função que calcule, para n possibilidades de controlo, os n possíveis estados atingíveis.

4 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 23 Função ating(nu,a,b,x,t) function nx=ating(nu,a,b,x,t) x=x; [r,c]=size(nu); t=linspace(/c,,c)*t; for j=:r, u=nu(j,:); for i=:c, x=xt(a,b,x,u(i),t()); x=x; end, nx(j,:)=x'; x=x; end, Entradas e saídas da função: A função ating(nu,a,b,x,t) vai ter como entrada os seguintes parâmetros:! a - matiz quadrada A.! b vector B.! x vector representativo do estado inicial.! nu matriz nu contendo n controlos aplicados ao sistema.! t tempo t decorrido entre o instante inicial e o instante final. O resultado desta função, ou seja nx=ating(nu,a,b,x,t), vai ser:! nx matriz resultado da função, representa os n valores possíveis para do estado x () t. Descrição da função A função vai ser implementada seguindo o ponto 6.2. descrito anteriormente. Em primeiro lugar vamos atribuir a variável x o valor de x representativo do estado inicial do sistema. Com a função [r,c]=size(nu) determinamos as dimensões em termos de número de linhas e número de colunas da matriz nu contendo os n controlos aplicados ao sistema, a variável c resultante da função anterior vai corresponder ao número de instantes em que foi dividido o tempo t. Com a função t=linspace(/c,,c)*t criamos um vector com c instantes de tempo. A partir de aqui temos que calcular função implementada no capítulo anterior tantas vezes quantos os controlos aplicados, para isso vamos recorrer a dois ciclos for um que vai evoluir de até ao numero de linhas r e outro interior a este que vai evoluir de ate ao numero de colunas c do sistemas, abrangendo assim todos os controlos contidos na matriz de controlos nu

5 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 23 No primeiro ciclo for criámos um vector u=nu(j,:) com c controlos correspondentes à linha j da matriz nu. Dentro deste ciclo vamos ter outro ciclo for onde é calculada a função x=xt(a,b,x,u(i),t()) descrita no capítulo anterior, no fim de cada cálculo o valor inicial para novo cálculo é actualizado x=x fazendo assim a função evoluir no tempo. Voltando ao primeiro ciclo, os valores do Estado do Sistema que vão sendo encontrados vão ser guardados na matriz nx, para voltarmos a uma nova interacção deste ciclo temos que actualizar novamente o valor da variável x com o valor inicial do sistema x. O resultado final vai ser uma matriz nx com o resultado da função e que representa os valores possíveis para do estado do sistema para os controlos correspondentes à matriz nu a ele aplicados. Teste da função no MATLAB. Estamos agora em condições de testar esta função no MATLAB, para tal vamos considerar novamente o seguinte exemplo para os valores do sistema: 2 A = B = x =» a=[2 ; ] a = 2» b=[;] b =» x=[;] x =» Considerando um tempo final para qual se quer saber os possíveis estados do sistema t=, e aplicando por exemplo n = 2 = 24 controlos, que por facilidade guardamos numa variável uu num ficheiro a que chamamos u24.mat e que precisamos descarregar para o MATLAB.» load u24.mat» uu - 5 -

6 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 23 uu = Podemos agora calcular os valores dos estados do sistema para cada um destes controlos.» nx=ating(uu,a,b,x,) nx = A cada par de valores, de cada linha da matriz nx resultante, vai corresponder a um estado possível que o sistema pode atingir para determinado controlo. A figura 6.4 representa os n = 2 = 24 estados possíveis que o sistema, do nosso exemplo, pode atingir. Com a função plot() podemos construir o gráfico.» plot(nx(:,),nx(:,2),'g.')» - 6 -

7 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 23 Figura 6.4 : Nuvem com os pontos correspondentes ao conjunto dos estados atingíveis do exemplo. Obtemos uma nuvem com n = 2 = 24 pontos correspondentes aos estados atingíveis quando aplicados os n = 2 = 24 hipóteses de controlo pré estabelecidas Simplificação do processo de determinação do Conjunto dos Estados Atingíveis Verificamos no entanto que este processo ainda é moroso devido ao elevado número de operações que temos que realizar. Se admitirmos que u() t Ω() t e que () t t, resulta que A (,, x ) também vai ser convexo e fechado, logo se conseguimos calcular os pontos da margem da nuvem resultante do exemplo anterior ficamos com uma solução mais simplificada para o problema. Ω é convexo e fechado para todo [ ] Se utilizarmos apenas as possibilidades de controlo que correspondem à variação do controlo de para e de para vamos obter a simplificação desejada, ou seja reduzimos de n = 2 = 24 para n = 2 = 2 possibilidades de controlo o que reduz em muito o numero de operações realizadas. Com isto vamos obter n = 2 = 2 pontos na margem da nuvem obtida no exemplo anterior correspondentes a estados limites do sistema. As matrizes n e nque representamos a seguir representam variação do controlo de para e de para, para o exemplo com dez divisões no tempo

8 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro = n = n Vamos voltar a testar a função ating(nu,a,b,x,t) usando o exemplo anterior mas agora com estes valores para o controlo. Teste da função no MATLAB.» a=[2 ; ] a = 2» b=[;] b =» x=[;] x =» Para facilitar a obtenção das matrizes n e n criamos um função auxiliar nu() para criar uma matriz em MATLAB com os 2 valores correspondentes variação do controlo de para e de para, no caso são 2 porque as 2 2 n = = linhas da matriz, foi acrescentada uma para fechar o ciclo. function nu=nu(n) nu=triu(ones(n)); nu(n+:2*n,:)=(nu(:n,:)-)*(-); nu(2*n+,:)=nu(,:);

9 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 23 Com esta função vamos criar os controlos para o sistema que guardamos na variável uu.» uu=nu() uu =»» nx=ating(uu,a,b,x,) nx =

10 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 23 Usando novamente a função plot() obtemos o contorno da área ocupada pelo conjunto dos estados atingíveis.» plot(nx(:,),nx(:,2), g+ )» hold on» plot(nx(:,),nx(:,2)) Figura 6.5 : Contorno da área correspondentes ao conjunto dos estados atingíveis do exemplo. Com uma alteração de código criamos a função ating3() onde podemos verificar as trajectórias tomadas até à obtenção do conjunto dos estados atingíveis. function [x,x2,t]=ating3(nu,a,b,x,t) x=x; [r,c]=size(nu); t=linspace(/c,,c)*t; for j=:r, u=nu(j,:); for i=:c, x=xt(a,b,x,u(i),t()); x(j,i)=x(); x2(j,i)=x(2); x=x; end, x=x; end, - -

11 Sistema para verificação Lógica do Controlo Dezembro 23 Testando esta nova função e utilizando a função do MATLAB, plot3() obtemos as trajectórias.» [x,x2,t]=ating3(nu(),a,b,x,);» plot3(t,x,x2)» hold on» plot3(ones(2,),nx(:,),nx(:,2))» grid on Figura 6.6 : Trajectórias correspondentes ao conjunto dos estados atingíveis do exemplo. - -