EQUAÇÕES RECURSIVAS. A2) Equação: x n = x n 1 + n b (n > 0) Fixado o termo x 0, de ordem n = 0, a equação admite uma única n

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1 EQUAÇÕES RECURSIVAS Chama-se equação recursiva a uma relação usada para definir recursivamente uma sucessão, onde o termo de ordem n é expresso em função de termos de ordem anterior. As equações A), A1), A2), B) e B1) são de 1 a ordem no sentido em que o termo de ordem n fica univocamente determinado pelo termo de ordem n 1. As equações seguintes, C) e D), dizem-se de 2 a ordem porque cada termo depende dos dois termos anteriores, e apenas desses. Todas as equações de 1 a ordem consideradas são lineares, no sentido em cada termo é função linear do termo anterior, i.e. do tipo x n = a n x n 1 + b n. As equações de 2 a ordem consideradas aqui são também lineares porque se reduzem a equações lineares de 1 a ordem. A equação recursiva u n+1 = 2 + u n do exercício 3-8 da Ficha 3, por exemplo, não é linear. A) Equação: x n = x n 1 + b n (n > 0) Fixado o termo x 0, de ordem n = 0, a equação admite uma única n solução: x n = x 0 + b 1 + b b n = x 0 + A1) Equação: x n = x n 1 + b (n > 0) Solução: x n = x 0 + n b A2) Equação: x n = x n 1 + n b (n > 0) Solução: x n = x 0 + ( n) b = x 0 + B) Equação: x n = a n x n 1 (n > 0) b i n (n + 1) 2 Fixado o termo x 0, de ordem n = 0, a equação admite uma única n solução: x n = a n a n 1 a 1 x 0 = ( a i ) x 0 B1) Equação x n = a x n 1 (n > 0) Solução x n = a n x 0 b 1

2 C) Equação x n+1 2 x n + x n 1 = a n (n > 0) Fixados os termo x 0 e x 1, de ordens 0 e 1, a equação admite uma única solução. Esta equação é equivalente a um sistema de duas equações recursivas { vn+1 = v n + a n x n = x n 1 + v n (n > 0) Resolvendo a primeira equação para determinar o termo geral v n podemos, substituindo a expressão encontrada na segunda equação, determinar o termo geral de x n. n 1 Solução v n = v 1 + a 1 + a a n 1 = v 1 + x n = x 0 + v 1 + v v n = x 0 + D) Equação x n+1 = a x n + b x n 1 (n > 0) n 1 v i Fixados os termo x 0 e x 1, de ordens 0 e 1, a equação admite uma única solução. Esta equação pode ser resolvida pelo método descrito, para a sucessão de Fibonacci, no exercício 3-10 da Ficha 3. Considere na alínea a) a equação x = a x + b em vez de x = x + 1 x x e trabalhe com as raízes desta equação em vez de λ e λ 1. a i MODELAÇÃO ATRAVÉS DE EQUAÇÕES RECURSIVAS Exemplo 1: Num museu há quatro entradas: N, E, S e O. Em cada uma um dispositivo ligado a vários torniquetes controla o número de entradas e saídas. Representemos o tempo, medido em minutos a partir da horário de abertura, por um número natural n N. Para cada I=N, E, S, O, seja φ I (n) o 2

3 fluxo de entrada pela porta I, i.e. o número de pessoas que entram menos o número de pessoas que saiem durante o n ésimo minuto [n 1, n[. Seja φ(n) = φ N (n) + φ E (n) + φ S (n) + φ O (n) o fluxo total de entradas no museu, que mede o número de entradas menos o número de saídas durante o mesmo intervalo de tempo. O número N n, de pessoas presentes no museu ao fim do minuto n, relacionase com o fluxo total de entradas no museu através da seguinte equação recursiva: N n N n 1 = φ(n) N n = N n 1 + φ(n). Chama-se fluxo integral de entradas no intervalo [0, n] à soma de todos os fluxos totais correspondentes a esse intervalo de tempo n S0 n φ = φ(1) + φ(2) + + φ(n) = φ(i). A variação do número de pessoas no museu durante o intervalo de tempo [0, n] é exactamente igual ao fluxo integral S n 0 φ, N n N 0 = S n 0 φ. Esta relação é a versão discreta de uma das mais importantes descobertas do Cálculo, o Teorema Fundamental do Cálculo. Considere por exemplo a seguinte tabela com os fluxos de entrada nas quatro portas do museu medidos ao longo de duas horas, em intervalos de 15 minutos. 3

4 n (min) φ N (n) φ E (n) φ S (n) φ O (n) Somando as colunas desta tabela obtemos os fluxos totais de entradas no museu, de 15 em 15 minutos. Por sua vez somando os fluxos totais ao longo do tempo obtemos os fluxos integrais S n 0 φ. n (min) φ(n) S0 n φ Neste caso a equação recursiva que relaciona o número de pessoas dentro do museu no minuto n com o fluxo total no quarto de hora precedente é N n = N n 15 + φ(n). Logo ao fim de duas horas há N 120 = N 0 + S φ = N pessoas no museu. Exemplo 2: O exemplo seguinte é um jogo, uma corrida de carros que se desenrola numa pista desenhada sobre uma folha de papel quadriculado, onde dois ou três jogadores alternadamente vão traçando no papel, a cores distintas, as trajectórias das suas viaturas. Como é óbvio, ganha quem cruzar a linha de meta em primeiro lugar. 4

5 A trajectória de um carro é uma linha poligonal que começa na sua posição inicial, marcada sobre a linha de meta, e termina na posição correntemente ocupada pela viatura. Apenas são admissiveis posições marcadas sobre as intersecções das linhas horizontais e verticais da quadrícula. Na sua vez ao marcar a posição seguinte cada jogador deve efectuar uma escolha entre 9 opções possíveis. Sendo P a posição corrente, e P a posição anterior, seja P a posição simétrica de P relativamente a P. Por outras palavras, a escolha de P deve ser tal que P seja o ponto médio do segmento [P, P ]. A posição seguinte pode ser P, ou qualquer uma das suas 8 posições vizinhas na quadrícula. Na jogada inicial deve considerar P = P, e portanto P = P. Qualquer saída fora da pista implica uma desqualificação do respectivo jogador. Seja (P n ) a sucessão de posições de um carro na pista, a que chamaremos a sua trajectória. Cada posição fica determinada por um par de coordenadas inteiras, ou seja por um ponto P n = (x n, y n ) R 2 com x n, y n Z. Sendo V n = P n P n 1 o vector que liga a posição anterior, P n 1, à nova posição, P n, marcada durante a n ésima jogada, a escolha de V n fica condicionada pelo facto de a variação destes vectores entre duas jogadas consecutivas, A n = V n+1 V n, ser sempre, pelas regras do jogo, um vector com ambas as coordenadas iguais a 1, 0 ou +1. Assim, conhecendo a sucessão (A n ) de escolhas feitas por um concorrente, a trajectória do seu carro fica recursivamente definida pelo sistema de equações { Vn+1 = V n + A n P n = P n 1 + V n, que é equivalente à equação de 2 a ordem P n+1 2 P n + P n 1 = A n. 5

6 Imagine agora que cada jogada corresponde a um tempo imaginário de 1 s (segundo), e que cada quadrícula corresponde a 1 dam (1 decâmetro=10 metros). Cinemáticamente, V n é o vector deslocamento no segundo que antecede o instante n. Sendo este um intervalo de tempo unitário, podemos também interpretar V n como a velocidade da viatura, em decâmetros por segundo, no intervalo de tempo imediatamente anterior à n ésima jogada. Assim sendo, o parâmetro A n controlado pelo jogador durante a corrida não é mais do que a aceleração do carro, medida em decâmetros por segundo quadrado, ao n ésimo segundo, i.e. a variação de velocidade entre os segundos imediatamente anterior e posterior ao instante n. 6