Controle estatístico da qualidade e Auditoria da qualidade Professor Reinaldo Azevedo Vargas

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1 Controle estatístico da qualidade e Auditoria da qualidade Controle estatístico da qualidade e Auditoria da qualidade Professor Reinaldo Azevedo Vargas 1

2 Introdução 3 1. A estatística descritiva O que é estatística? Estatística descritiva e indutiva 7 2. Organização dos dados numéricos Variável discreta Variável contínua 10 SUMÁRIO 3. Distribuição de frequências Frequência relativa Frequência acumulada Frequência acumulada relativa Medidas de tendência central Medidas de dispersão ou variabilidade Gráficos: diagrama das medianas e histograma Gráficos de controle O gráfico das médias O gráfico da variabilidade O gráfico X i individual e amplitude móvel O gráfico do tipo p Gráficos para defeitos Gráficos dos deméritos O gráfico de controle certo para cada situação Aproveitando ao máximo os gráficos de controle A ISO e o controle estatístico do processo Auditorias da qualidade 53 Referências bibliográficas 56 2

3 INTRODUÇÃO Para iniciarmos o curso, precisamos definir intuitivamente o conceito de qualidade. Este pode ser definido de várias maneiras, dependendo dos propósitos de cada análise: adequação ao uso (JURAN, 1992), grau de excelência a um preço aceitável (BRAVO, 2010), entre outros. Neste texto, enfatizamos como as características mais importantes do produto ou do processo devem ser definidas concretamente e mensuradas (tamanho, peso ou algum outro índice considerado de desempenho) ou simplesmente contadas (como o número de defeitos numa peça e o número de peças defeituosas) em determinada operação. A suposição básica é a de que a qualidade será assegurada, principalmente, com a minimização da variabilidade das características importantes. Como Crosby (1996) sempre enfatizava, qualidade é a conformidade às especificações, e conformidade, neste texto, significa fazer corretamente e repetidas vezes as tarefas necessárias, utilizando material de qualidade consistente para conseguir resultados do processo de produção que refletem o desejo e o interesse do consumidor. Breve histórico e objetivos A aplicação de algumas ferramentas estatísticas para melhorar a qualidade começou com Walter Shewhart (1931), que colocou pela primeira vez em prática nas fábricas alguns conceitos básicos da estatística e também da metodologia científica na década de 1930, nos Estados Unidos. Ele foi o pioneiro da área de controle estatístico de processo (CEP). Atualmente, não existe fábrica no mundo que não aplica pelo menos algumas ferramentas básicas e mais simples de CEP com a finalidade de melhorar os processos industriais. O objetivo principal neste curso é apresentar essas ferramentas, esclarecendo alguns pontos teóricos e indicando como a sua utilização pode melhorar os processos da fábrica continuamente, no sentido de reduzir custos e elaborar um produto com melhor qualidade. A percepção extraordinária do Shewhart é a de que a qualidade e a variabilidade são conceitos antagônicos no sentido de que onde tem muito de um terá necessariamente pouco do outro. Esta ideia funciona tanto para um processo quanto para um produto. Uma tarefa dentro de um processo que leva um período de tempo irregular para se completar pode causar uma grande confusão na linha de produção por exemplo, no caso da irregularidade das medidas de uma peça: uma hora saindo grande demais, outra hora pequena demais. Foi assim que Shewhart entendeu que, para medir, analisar e monitorar a questão da variabilidade das informações, seria necessário entender a estatística e que, através de aplicações desta ciência nas fábricas, os processos e produtos poderiam chegar a melhores níveis de qualidade. Para alcançar este objetivo, do ponto de vista da estatística, isso simplesmente significa menor variabilidade nas medidas do processo e do produto e mais exatidão em alcançar metas e alvos. Em seguida, Shewhart também propôs a aplicação da metodologia científica na linha de produção. Simplificando a terminologia, ele sugeriu que a metodologia poderia ser conceituada em quatro fases: identificação da problemática e o planejamento de experimentos (fase 1), experimentação em si (fase 2), análise dos resultados dos experimentos (fase 3) e, por fim, a reação do gerente para melhorar o processo (fase 4) (SHEWHART, 1931). 3

4 As ferramentas do CEP apresentados neste texto estão inseridas também nas quatro fases: identificação de pontos críticos na linha de produção e a escolha da ferramenta adequada e mais relevante para aplicar no ponto crítico (fase 1), aplicação da ferramenta na linha de produção (fase 2), análise dos dados (fase 3) e a reação do gerente para melhorar o processo (fase 4). É importante enfatizar que a busca por qualidade não termina nunca e, consequentemente, as quatro fases nunca terminam, na realidade, mas sim continuam como um ciclo permanente (JURAN, 1992; BRAVO, 2010; CROSBY, 1996; SHEWHART, 1931). Conceitos iniciais A ideia principal do CEP é a de que melhores processos de produção com menos variabilidade propiciam níveis melhores de qualidade nos resultados da produção. Surpreendentemente, quando se fala em melhores processos, isso significa não somente qualidade melhor, mas também custos menores. Os custos diminuem principalmente em função de duas razões: a inspeção por amostragem e a redução dos rejeitos (BRUNI, 2010). Um dos pilares dos estudos que envolvem os conceitos da estatística é a amostragem. Populações (na fábrica, o engenheiro utiliza a palavra lotes ) são em geral grandes demais para análises muito detalhadas ou por cada item. Em muitos casos a inspeção a 100% é uma regra da fábrica, mas na realidade este procedimento não funciona adequadamente. Imagine o operador que possui a responsabilidade de verificar o nível de preenchimento de um lote de garrafas de cerveja. O lote contém unidades. Depois de inspecionar apenas cem garrafas, é muito provável que o operador já não esteja mais pensando em níveis de preenchimento, mas sim no próximo jogo do seu time de futebol, na próxima oportunidade de tomar uma cerveja ou na próxima namorada. No final, inspeção a 100% tem custos elevados e resultados péssimos. A seleção de amostras de tamanho muito menor que a população enxuga os custos e paradoxalmente acaba representando melhor as características daquela população. A amostragem também é necessária quando a inspeção necessita da destruição do item amostrado (ensaio destrutivo). Neste caso, poucos itens vão para o laboratório para sofrer a verificação dos técnicos. No próximo capítulo serão discutidos esses conceitos para o entendimento das ferramentas que serão utilizadas (BRUNI, 2010). Uma segunda razão pela qual a aplicação de CEP impulsiona os custos para baixo é que o número e percentagem de peças defeituosas produzidas na fábrica diminuirão com as melhorias na linha de produção. Portanto, com menos refugo e menos retrabalho, o custo por peça produzida vai diminuir. Enfatiza-se que existe somente uma razão para utilizar CEP na fábrica: aumentar o resultado financeiro da empresa, se possível no curto prazo, mas também e talvez mais importante no longo prazo. No entanto, CEP não é nenhum milagre e consequentemente deve ser abordado na empresa como qualquer projeto de investimento nos quais os custos são contabilizados e os benefícios previstos e medidos (BRUNI, 2010; TIBONI, 2010). A otimização nos processos industriais para que estes sejam caracterizados por altos níveis de eficiência não é muito comum nas fábricas. No entanto, dentro do CEP existem ferramentas para monitorar o processo e, portanto, melhorá-lo. O monitoramento tem como requisitos amostragem feita periodicamente e tamanho da amostra adequado. Este assunto será abordado no capítulo que contém os denominados gráficos de controle (BRUNI, 2010). 4

5 A ideia de controlar um processo é totalmente diferente da ideia de inspecionar peças para identificar as que são consideradas não conformes, embora os dois procedimentos em parte utilizem as mesmas ferramentas estatísticas. A inspeção de peças individuais tem como objetivo a eliminação de peças de baixa qualidade que não alcançam as expectativas do consumidor e não devem ser colocadas no mercado. Com constante inspeção do produto ao longo da linha de produção, a empresa pode identificar o produto que precisa ser melhorado ou até mesmo ter rejeição total. Neste caso, a fábrica gastará desnecessariamente para corrigir erros que não aconteceriam com tanta frequência numa fábrica melhor organizada. Em uma fábrica considerada melhor, é feita a coisa certa desde a primeira vez e, em uma fábrica realmente eficiente, não se exige inspeção a todo instante porque há confiança que o produto já está saindo dentro das especificações. Na indústria, é muito comum que a fabricação de peças não conformes ocorra porque os processos da empresa são instáveis (irregulares) a ponto de gerar um produto fora das especificações (TIBONI, 2010; SAMOHYL, 2009). Em outras palavras, a fábrica não está controlando o processo para melhorar constantemente a qualidade do produto. Para estabilizar os processos da empresa, utilizam-se as ferramentas do CEP, exigindo apenas pequenas amostras, sempre muito menores do que os lotes. As investigações do gerente se voltarão a grandes causas das irregularidades na linha de produção. Cada vez que uma nova causa é identificada e documentada para análise e, portanto, eliminada, o processo de produção é estabilizado e a qualidade garantida e/ou melhorada (TIBONI, 2010; SAMOHYL, 2009). As causas são divididas em três grupos básicos (SAMOHYL, 2009): - Causas especiais Uma causa especial é assinalável e, em geral, única. No entanto, é suficientemente grande para produzir perturbações fortes no processo. É um evento que ocorre uma vez ou ocasionalmente e é imprevisível. Estas causas têm que ser eliminadas ou, se por alguma razão não são elimináveis, então sua influência pode ser reduzida por ações consideradas compensatórias. Exemplos de causas especiais são: trovoada e relâmpago, vento de uma janela deixada aberta, funcionário intoxicado, treinamento onde faltou um ensinamento importante, uma substância estranha na matéria-prima, um atraso na chegada dos funcionários porque o ônibus quebrou, entre outros. - Causas estruturais Como a causa especial, a estrutural é também eliminável ou compensável, mas a diferença é que esta causa ocorre periodicamente. Quando o período entre ocorrências é relativamente grande, a causa estrutural se confunde com uma causa especial, mas se o gerente for atento, ele vai acabar percebendo sua natureza repetitiva. Para entender melhor o conceito, um exemplo simples é apresentado em seguida. Um gerente já entendeu que a produtividade da fábrica é sofrível em algumas segundas-feiras. Então ele mandou avisar que a ocorrência de preguiça na fábrica não seria mais tolerada. Infelizmente, o tal evento preguiça continuou até mesmo após várias advertências. O gerente notou que a sua própria produtividade nesses dias também foi muito baixa. Às vezes, é necessário procurar causas estruturais: o problema, neste caso, é que se tratava das segundas-feiras que caem depois do grande clássico de domingo na capital. Em termos de produtividade, este tipo de segunda-feira é intrinsecamente um dia diferente de todos outros, independentemente de quem ganha ou quem perde o jogo. Resultado: hoje em dia há um consenso na fábrica de que, embora o atraso não seja tolerado, segunda-feira de manhã depois do clássico é um período na fábrica que exige uma 5

6 gerência diferenciada, com mais café, sucos de vários tipos e dois ou três períodos curtos de exercícios e alongamento. A causa estrutural assim não é eliminada porque a tradição do futebol no Brasil dificilmente irá desaparecer, mas é compensada por normas de gerenciamento mais sensatas. - Causas comuns Estas causas são relativamente pequenas, mas ocorrem quase sempre e em grande número. É o acúmulo destas causas num certo período de tempo que gera a existência da variável aleatória. Por que, em uma simples jogada de uma moeda homogênea (considerada justa em ambas as faces) pode por vezes cair cara e em outras vezes coroa? Muitos fatores podem afetar a jogada de uma moeda, e cada um deles é tão pequeno que uma análise científica deste resultado é praticamente impossível. As ferramentas de CEP não são apropriadas, em geral, na análise e eliminação de causas comuns. Embora as causas comuns possam ser reduzidas, elas sempre vão existir, enquanto que a natureza, na sua totalidade, possui uma diversidade muito grande e em boa parte incompreensível pelo ser humano. A redução destas causas vem apenas com muito sacrifício em tempo e recursos. Para diminuir irregularidades das causas comuns, é necessário investir em novas e melhores máquinas, melhor matéria-prima, treinamento intensivo, um ambiente de trabalho mais confortável, entre outros. Neste caso, qualidade e custo andam juntos. Assim, é fácil entender por que o carro popular custa barato e o carro de famosos jogadores de futebol custa cem vezes mais. Exemplos de causas comuns são: uma fábrica no sertão do Ceará sem ar-condicionado, matéria-prima de baixa qualidade mas de baixo preço, gerente de produção sem nenhum estudo na área de produção, maquinaria velha, combinação errada de ingredientes num processo químico etc. Com estes conceitos básicos do CEP, serão introduzidas algumas ferramentas simples para melhorar a qualidade, encontradas em utilização generalizada na manufatura e em algumas instâncias da administração. 1. A ESTATÍSTICA DESCRITIVA Quando o gerente de produção mede e analisa uma característica (por exemplo, da linha de produção, uma característica física do produto ou uma medida do desempenho do processo), ele tem em mente a melhoria do processo. Ele vê uma combinação dos insumos do processo, a atuação dos operadores com a combinação dos insumos e as atividades das máquinas e, finalmente, o produto final. A visão do gerente é de aspectos concretos da sua linha de produção e em termos sistêmicos (KACHIGAN, 1991). O estatístico, por outro lado, verá este mesmo processo como algo mais abstrato, como um gerador de números. Este profissional notará se os números gerados são centrados e simétricos ao redor de uma tendência central, se existem ou não alguns dados muito discrepantes dos outros ou se há relações entre variáveis (TIBONI, 2010; KACHIGAN, 1991). É fácil observarmos que o gerente que trabalha sem a ajuda do estatístico não captará todas as informações disponíveis nos dados, e o estatístico sozinho não saberá onde ele deve concentrar seus esforços para melhorar o processo. Portanto, o gerente de produção e o estatístico têm muito a ganhar trabalhando em conjunto (SAMOHYL, 2009). 6

7 1.1 O que é estatística? No início do estudo de uma ciência ou na estruturação de um curso costuma-se definir ou tentar definir o que é essencial para o completo entendimento das disciplinas mais específicas e direcionadas, como é o caso da estatística e sua disciplina controle estatístico do processo de qualidade. Assim, para Kachigan (1991), a estatística é a ciência que consiste na recolha, organização e interpretação de dados de acordo com procedimentos bem definidos. Outro importante autor da área, Murtera (1993), também discutiu algumas ideias no mesmo sentido: A estatística é um repositório de instrumentos adequados para recolher, explorar e descrever, ou seja, interpretar conjuntos de dados numéricos. A análise de qualquer uma destas duas definições revela que, na base da estatística, está um conjunto de dados. A estatística é então constituída pelos métodos que são utilizados para recolhê-los, organizá-los, descrevê-los e interpretá-los, além de auxiliar para uma tomada de decisão (KACHIGAN, 1991; MURTERA, 1993). A estatística é, portanto, um conjunto de métodos adequados para recolher, organizar e explorar, descrever e interpretar conjuntos de dados numéricos (BRUNI, 2010). Para melhor se compreender a natureza desta disciplina, mas também o que se entende por dados, os próximos capítulos se referem às principais fases para a compreensão do processo da análise estatística. 1.2 Estatística descritiva e indutiva A estatística descritiva reúne um conjunto de técnicas para sumarizar os dados (tabelas e gráficos) e medidas descritivas que permitem tirar inúmeras informações contidas nos dados numéricos que foram coletados. A estatística indutiva (ou estatística inferencial) produz informações sobre uma dada característica da população de interesse a partir de dados colhidos de uma parte dessa população (BRUNI, 2010; TIBONI, 2010). Em ambos os casos, a finalidade da pesquisa é coletar dados para obter informações que podem ser de extrema valia para a tomada de uma decisão (BRUNI, 2010; MURTERA, 1993). É importante saber que os dados numéricos utilizados na estatística são decorrentes de uma pesquisa ou observações de uma ou mais variáveis. Por sua vez, variável é tudo aquilo que se deseja pesquisar ou observar para se tirar algum tipo de conclusão (idade, sexo, peso, salário, quantidade de defeitos, entre outras). Os dados usualmente provêm de uma amostra, a qual representa uma população de interesse (BRUNI, 2010). O conceito de população pode ser definido como o conjunto de indivíduos (ou objetos) que apresentam pelo menos uma característica em comum, cujo comportamento deseja-se analisar ou inferir. Para entender o que significa amostra, basta saber que é uma parte da população, ou seja, um subconjunto (BRUNI, 2010; TIBONI, 2010). 7

8 Mas qual é o papel da estatística na ciência ou para a empresa? O principal propósito da investigação é responder a uma questão científica ou de interesse da empresa. Na ciência, são realizados estudos experimentais ou observacionais, levando à coleta de dados numéricos. O padrão de variação entre os dados faz com que a resposta não seja óbvia, tornando o conhecimento da estatística essencial para a validação do resultado. Existem basicamente dois tipos diferentes de pesquisa e seus conceitos podem ser estendidos para diversas aplicações. A primeira é conhecida como pesquisa de levantamento, correspondente à observação ou medição da característica de interesse de uma população, mas sem a manipulação dos dados coletados. A segunda é conhecida como pesquisa experimental, que corresponde ao tipo de pesquisa em que as características de grupos de indivíduos (por exemplo, animais ou objetos) são levantadas e depois manipuladas para se avaliar o efeito de diferentes tratamentos dos dados coletados. De qualquer forma, uma pesquisa deve conter as fases: 1. definição do problema 2. planejamento 3. coleta dos dados 4. apuração 5. apresentação 6. análise e interpretação (TIBONI, 2010; SAMOHYL, 2009) Os processos estatísticos de abordagem avaliam de uma forma direta ou indireta um parâmetro em análise de uma determinada população. Em estatística, o parâmetro pode ser entendido como uma grandeza mensurável que permite apresentar, de forma mais simples, as características principais de um conjunto de dados. O censo é um processo estatístico de abordagem que avalia diretamente um parâmetro, utilizando todos os componentes da população, e a estimação é um processo estatístico de abordagem que avalia indiretamente um parâmetro com base em um estimador, envolvendo probabilidades (TIBONI, 2010; SAMOHYL, 2009). O Quadro 1 compara sucintamente as principais vantagens e desvantagens entre a aplicação do censo e da estimação. 8

9 Quadro 1. Comparação entre censo e estimação Censo Admite erro processual zero e possui confiabilidade de 100% É mais caro É demorado (mais lento para obter) É quase sempre desatualizado Nem sempre é viável economicamente Estimação Admite erro processual positivo e possui confiabilidade menor que 100% É mais barato É rápido É atualizado É viável economicamente Fonte: adaptado de Silva (2010). Uma pesquisa de coleta de dados normalmente retorna números desorganizados conhecidos como dados brutos. A primeira atitude de qualquer profissional que trabalhe com estatística será a de organizar estes dados na forma crescente ou decrescente, o que é conhecido como rol, para facilitar a aplicação das ferramentas estatísticas. 2. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS NUMÉRICOS Após os conceitos iniciais e essenciais para um melhor entendimento das partes seguintes, vamos organizar os dados numéricos na forma de tabelas, com o objetivo de facilitar os cálculos posteriores e interpretar os valores de uma maneira simples e objetiva. Na estatística descritiva, existem formas diversas de construir uma tabela de acordo com cada situação de pesquisa e também com a experiência adquirida pelo especialista no decorrer do estudo e da prática. Entretanto, para não estendermos muito o assunto, trataremos de duas das mais importantes tabelas: a variável discreta e a variável contínua. Caso necessite de informações mais específicas sobre a organização de dados numéricos na forma de tabelas, consulte as referências que tratam de estatística no final da apostila. 2.1 Variável discreta A variável discreta é uma série estatística que contém dados ou conjunto de dados na forma de uma simples tabela prática e organizada (SILVA, 2010). Conceitualmente, é uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna, em ordem crescente, apenas os valores distintos (diferentes) da série e, na segunda coluna, os valores das frequências simples correspondentes (Tabela 1). É importante entender que a frequência simples é o número de vezes em que um dado aparece no conjunto de dados, ou seja, o número de vezes que se repetiu após a realização da pesquisa. Exemplo 1 - Uma pesquisa retornou os seguintes dados numéricos: 3,5 5 4,5 4 4,5 5 3, ,5 3,5 4 4, ,5 3,5 3, Após a organização dos valores acima na forma da variável discreta, temos: 9

10 Tabela 1. Representação tabular contendo os valores distintos com as frequências simples Valores distintos (x i ) Frequência simples (f i ) , , Fonte: elaborada pelo autor. É importante informar que o exemplo acima não possui uma aplicação (exemplo meramente conceitual) e foi apresentado com o intuito de compreender a simples montagem da tabela os significados das colunas valores distintos (representado por ) e frequência simples (representada por ). Dependendo da pesquisa, se torna dispendioso e inviável construir a variável discreta, em decorrência da mesma começar a possuir uma quantidade de linhas que dificulta cálculos posteriores e que é cansativa na interpretação dos valores contidos na tabela (SILVA, 2010; CRESPO, 2009). Não existe uma regra rígida para a construção deste tipo de tabela, mas cabe ao especialista ou estudioso no assunto definir com a experiência se será ou não de extrema valia e praticidade. De maneira geral, a variável discreta é utilizada quando o número de elementos distintos da série (denominação dos especialistas para uma sequência de números após a realização da pesquisa) for relativamente pequeno, se comparado com o número de repetições (frequência simples) de cada (SILVA, 2010; CRESPO, 2009). Se, após a realização da pesquisa, o número de elementos distintos da série for relativamente maior do que o número de repetições de cada um deles, entenda que a construção da variável discreta resultará em uma tabela longa e de difícil interpretação. Principalmente por este motivo existe uma tabela alternativa conhecida como variável contínua. Esta tabela simplifica a anterior na maioria das aplicações, facilitando a interpretação de determinadas medidas e a tomada de alguma decisão. 2.2 Variável contínua A variável contínua também é uma série estatística que contém dados ou conjunto de dados na forma de uma tabela organizada. Entretanto, é uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna, em ordem crescente, os intervalos de classes da série e, na segunda coluna, os valores das frequências simples correspondentes aos números presentes nos respectivos intervalos de classes (Tabela 2) (BRUNI, 2010; SILVA, 2010; CRESPO, 2009). 10

11 Exemplo 2 - Uma pesquisa retornou os seguintes dados numéricos: Após a organização dos valores acima na forma da variável contínua, temos: Tabela 2. Representação tabular contendo intervalos de valores com as frequências simples Classe Intervalo de classe Frequência simples (f i ) Fonte: elaborada pelo autor. A diferença deste tipo de tabela, quando comparada com a variável discreta, está na coluna denominada intervalo de classe, que significa faixa de valores numéricos. Como o exemplo anterior, este também não possui uma aplicação e foi apresentado com o intuito de compreender o significado da tabela. Para este caso, existe uma teoria para a sua construção, de forma a adequar os dados numéricos e distribui-los homogeneamente (distribuir os números em partes iguais por toda a tabela) em cada linha (na variável contínua, cada linha é chamada de classe) da tabela. Uma teoria para a construção da variável contínua é apresentada a seguir, mas para informações mais específicas, consulte as obras de Bruni (2010) e Silva (2010). A elaboração de tabelas para dados que apresentam grande quantidade de números distintos e, consequentemente, grande dispersão entre eles pouco pode ajudar nos cálculos envolvendo os dados, principalmente na interpretação dos mesmos. Por isso, para entender a construção da tabela apresentada acima, vamos trabalhar com um exemplo envolvendo uma pesquisa realizada para levantar a variável renda de 25 funcionários (Tabela 3) (SAMOHYL, 2009). 11

12 Tabela 3. Pesquisa da renda na forma tabular da variável discreta Renda (em $) Número de funcionários 910, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Soma (Ʃ) = 25 Fonte: adaptado de Bruni (2010). Analisando a tabela acima, percebe-se que os 25 casos originais foram agrupados em 22 categorias (linhas) de renda. A análise resultante da tabela prova que não adiantou muita coisa construir a tabela na forma de uma variável contínua para organizar os dados numéricos, com o objetivo de construir uma tabela mais curta para facilitar os cálculos e tornar a interpretação mais simples. A redução de um total de 25 casos para 22 categorias é, de fato, muito pequena. Quando variáveis quantitativas com alta dispersão e marcadas pela presença de muitos valores diferentes são analisadas, um resultado mais adequado pode ser obtido por meio do agrupamento dos dados numéricos em classes, isto é, agrupando os números em faixas de valores, ao invés de apenas um valor diferente em cada linha da tabela (BRUNI, 2010). Alguns textos e autores mais conservadores da estatística ainda sugerem procedimentos formais para a construção de classes ou também chamadas de classes de frequências. Neste sentido, a determinação do número de classes, representado pela letra K, depende fundamentalmente do número de elementos pesquisados e/ou estudados (ou número total de elementos da série), representado pela letra n. No geral, os procedimentos formais envolvem os seguintes conceitos (BRUNI, 2010; SILVA, 2010): ( 1) Se n 25: devem ser criadas cinco classes na tabela; 12

13 ( 2 ) Se n > 25: o número mais adequado de classes pode ser obtido mediante dois procedimentos distintos: ou. A primeira fórmula é conhecida como método da raiz quadrada e a última é chamada de fórmula de Sturges. Normalmente, as fórmulas anteriores resultam em números não inteiros (decimais), mas grande parte dos especialistas indica o seguinte procedimento: a. Se K for um número inteiro, será o número de classes (linhas) que a tabela conterá. b. Se K for a metade de dois números inteiros (por exemplo: a metade entre 3 e 4 é 3,5), o número de classes será um desses números inteiros. c. Se K for um número decimal diferente da metade de dois números inteiros, o número de classes será definido entre três aproximações resultando em números inteiros. A primeira aproximação será o número inteiro mais próximo do decimal obtido. A segunda será o número inteiro anterior ao inteiro mais próximo do decimal obtido. A terceira será o número inteiro posterior ao inteiro mais próximo do decimal obtido. Exemplo 3 - Se = 40, (com duas casas decimais). De acordo com o item (c) da página anterior, as três aproximações resultando em números inteiros são: 5, 6 ou 7. Se aplicarmos a fórmula de Sturges, temos com as mesmas aproximações: 5, 6 ou 7. Com um número de classe definido ou entre duas ou três aproximações obtidas, pode-se calcular a amplitude total da série (At). Essa amplitude é a diferença existente entre o maior (X máximo ) e o menor (X mínimo ) número da série, ou seja,. Para o nosso exemplo, o cálculo resulta:. O processo de construção de classes demanda o estabelecimento de convenções que representem os limites de cada uma das classes construídas. Assim, por exemplo, se no agrupamento em classes das idades o especialista resolver construir uma classe que compreenda as idades entre 10 e 14 anos, ele precisará estabelecer se os limites inferiores (número antes do intervalo) e superiores (número depois do intervalo) serão do tipo inclusive ou exclusive. Os limites do tipo inclusive, como o próprio nome revela, incluem o valor representado. Os limites exclusive não incluem o valor representado. De acordo com a literatura (BRUNI, 2010; SILVA, 2010; CRESPO, 2009), uma das convenções mais empregadas na representação dos limites de intervalos de classes envolve a colocação de barras verticais (simbolizadas por ) juntamente a barras horizontais (simbolizadas por ). A barra horizontal representa o intervalo entre os limites inferior e posterior, enquanto a barra vertical ao lado do número indica se tratar de um limite do tipo inclusive. A ausência da barra caracteriza limites do tipo exclusive. A Tabela 4 contém as principais representações. 13

14 Tabela 4. As quatro principais formas de representação dos intervalos de classes Representação Interpretação intuitiva A barra vertical está presente apenas no limite inferior. Desse modo, o elemento 2 faz parte do intervalo de valores (classe) e o elemento 5 não será incluído nesta classe, pois é do tipo exclusive. A barra vertical está presente apenas no limite superior. Desse modo, o elemento 5 faz parte da classe e o elemento 2 não será incluído nesta classe. A ausência da barra em ambos os limites os caracteriza como do tipo exclusive. Os dois elementos não serão incluídos nesta classe. A presença de barras verticais em ambos os limites indica que são do tipo inclusive. Os dois elementos serão incluídos nesta classe. Fonte: adaptado de Bruni (2010). Para direcionarmos o estudo e não nos estendermos nos conceitos mais específicos sobre a construção da variável contínua, será adotada a representação da classe com o limite inferior do tipo inclusive e o limite superior do tipo exclusive, ou seja: 2 5. Podemos interpretar que este intervalo de classe contempla todos os elementos iguais e maiores que dois e menores que cinco (BRUNI, 2010). É importante considerar que, na última classe da tabela, quando se adota o limite superior como do tipo exclusive, não se pode excluir o maior elemento da série na contagem das frequências e na interpretação dos resultados, pois o mesmo faz parte da pesquisa. Neste caso, realizaremos um ajuste na fórmula da amplitude total. Para o nosso exemplo, o cálculo resultou em:. Uma maneira prática e simples de não desconsiderar o maior elemento da série na estatística é acrescentar uma unidade no maior elemento, ou seja, ajustar a fórmula da amplitude total para ou. Dessa forma, se o fechar o último intervalo de classe, não será descartado o Após a definição do número de classes e da amplitude total da série, poderemos definir a amplitude de cada intervalo de classe (h) dividindo simplesmente a amplitude total por cada um dos números de classes definidos anteriormente, através da seguinte fórmula: Como temos três possíveis números de classes (K = 5, 6 ou 7), precisaremos dividir a amplitude total por cada um dos três valores de K. A divisão que resultar em um valor inteiro é adotada por padrão, pois amplitudes com valores inteiros são mais fáceis de serem construídas e interpretadas, além de facilitar cálculos posteriores. Se duas das três divisões resultarem em números inteiros, pode-se adotar o caminho que se considerar mais adequado. Entretanto, se nenhuma divisão resultar em um número inteiro, considere os seguintes ajustes: 14

15 1. Na fórmula da amplitude total, como o valor do maior elemento da série foi ajustado uma unidade para cima, ajuste o menor elemento da série uma unidade para baixo. Esse procedimento é usado, pois o menor elemento da série começa na primeira classe e do lado do símbolo com a barra vertical, ou seja, é do tipo inclusive. Não se pode ajustar o menor elemento uma unidade acima, pois o mesmo seria desconsiderado da estatística. 2. Se não for suficiente para obter um h igual a um número inteiro, ajuste novamente o maior elemento da série uma unidade para cima. 3. Se novamente não for suficiente, diminua outra unidade do menor elemento da série. 4. Repita o ciclo até que se consiga dividir a nova amplitude total pelos valores de K e resultar em um número inteiro. No exemplo, aplicando a fórmula da amplitude de cada intervalo de classe, temos: a) Para = 5 b) Para = 6 c) Para = 7 A divisão de por 6 resultou em um número inteiro igual a 221. Com isso, temos todas as informações necessárias para a construção da variável contínua do exemplo discutido. Após os conceitos apresentados e cálculos realizados, temos a Tabela 5: Tabela 5. Pesquisa da renda na forma tabular da variável contínua Fonte: adaptado de Bruni (2010). 15

16 3. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS Uma vez que o interessado tenha colocado os dados na forma de uma variável discreta ou contínua (na forma de tabelas), ele poderá rapidamente obter algumas informações adicionais e úteis para a compreensão da série, se considerar os seguintes conceitos: 3.1 Frequência relativa A frequência relativa ( de um elemento da série é a divisão da frequência simples ( deste elemento pelo número total de elementos da série ( (SILVA, 2010; CRESPO, 2009). Para converter o valor em percentual, basta multiplicar o resultado da divisão anterior por 100: Exemplo 4 - Considere a seguinte variável discreta: O total de elementos desta série é 25. Portanto, a frequência relativa do primeiro elemento distinto da série, que é 2, vale: No caso anterior, a numeração que acompanha as siglas de frequência relativa e frequência simples representa o cálculo para o elemento que ocupa a primeira linha da tabela. Da mesma forma, determinamos a frequência relativa dos demais elementos da tabela: 16

17 Note que estes valores representam a participação percentual de cada elemento distinto na série. Assim, podemos escrever e compreender as seguintes interpretações: 1º linha: 12% dos valores da série são iguais a 2. 2º linha: 28% dos valores da série são iguais a 3. 3º linha: 32% dos valores da série são iguais a 4. 4º linha: 24% dos valores da série são iguais a 6. 5º linha: 4% dos valores da série são iguais a 7. O conceito apresentado se torna mais fácil quando construímos uma coluna adicional na tabela para calcular e interpretar a frequência relativa de cada elemento da série Como a frequência relativa representa a participação percentual de cada elemento distinto da série, a soma de todas as frequências relativas representa a participação percentual da série toda, ou seja, é igual a 100%. Portanto,. A frequência simples e a frequência relativa representam, respectivamente, a quantidade de vezes e o percentual de cada elemento distinto. Entretanto, em determinadas situações, precisaremos saber a quantidade de vezes e o percentual não somente para um único elemento, mas também para dois ou mais ao mesmo tempo. 3.2 Frequência acumulada A frequência acumulada ( de cada elemento da série é a soma da frequência simples desse elemento com as frequências simples dos elementos anteriores (SILVA, 2010; CRESPO, 2009): Desta forma, a frequência acumulada para cada um dos elementos 3, 4, 6 e 7 é: 17

18 Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma: 1º linha: 3 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 2. 2º linha: 10 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 3. 3º linha: 18 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 4. 4º linha: 24 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 6. 5º linha: 25 elementos componentes da série são valores menores ou iguais a 7. O procedimento, assim como o anterior, se torna mais simples quando construímos uma coluna adicional na tabela para calcular e interpretar a frequência acumulada A principal finalidade de utilizar a frequência acumulada nas tabelas que contêm a frequência simples não é somente saber a quantidade de vezes que um elemento se repete, mas também é importante conhecer a quantidade de elementos iguais ou menores que o elemento de referência. 3.3 Frequência acumulada relativa A frequência acumulada relativa ( de cada elemento da série, também conhecida como frequência relativa acumulada, é a divisão da frequência acumulada deste elemento pelo número total de elementos da série (SILVA, 2010; CRESPO, 2009): Assim, as frequências acumuladas relativas dos elementos 3, 4, 6 e 7 são: 18

19 Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma: 1º linha: 12% dos valores da série são menores ou iguais a 2. 2º linha: 40% dos valores da série são menores ou iguais a 3. 3º linha: 72% dos valores da série são menores ou iguais a 4. 4º linha: 96% dos valores da série são menores ou iguais a 6. 5º linha: 100% dos valores da série são menores ou iguais a 7. O conceito se torna mais fácil quando construímos uma coluna adicional na tabela para calcular e interpretar a frequência acumulada de cada elemento da série Quando acrescentamos todos os valores de frequências à tabela original, a mesma passa a se chamar distribuição de frequências. O procedimento acima foi aplicado na variável discreta, mas é aplicado da mesma forma na variável contínua. No caso da variável contínua, pelo fato de se utilizar intervalos de classe, as interpretações são diferentes. 19

20 Exemplo 5 - Considere a seguinte variável contínua: Classe Intervalo de classe Em primeiro lugar, calcule o número total de elementos da série (n). Para calcular, some a coluna que contém as frequências simples. Aplicando os conceitos da distribuição de frequências, da mesma forma apresentada para a variável discreta, temos: Classe Intervalo de classe Observe na tabela acima que os valores das frequências relativas representam o percentual dos elementos por classe. Desse modo, podemos fazer a seguinte interpretação: 1º classe: 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 2 e menores que 4. 2º classe: 45% dos valores da série são maiores ou iguais a 4 e menores que 6. 3º classe: 25% dos valores da série são maiores ou iguais a 6 e menores que 8. 4º classe: 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 8 e menores que 10. Com relação à frequência acumulada, podemos interpretar da seguinte forma: 1º classe: 6 elementos da série são valores menores que 4. 2º classe: 24 elementos da série são valores menores que 6. 3º classe: 34 elementos da série são valores menores que 8. 4º classe: 40 elementos da série são valores menores que 10. E finalmente, com relação à frequência acumulada relativa, sendo todos os elementos maiores ou iguais a 2, podemos interpretar da seguinte forma: 20

21 1º classe: 15% dos valores da série são menores que 4. 2º classe: 60% dos valores da série são menores que 6. 3º classe: 85% dos valores da série são menores que 8. 4º classe: 100% dos valores da série são menores que MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Em qualquer área de investigação onde os números aparecem com frequência, os profissionais estudam conceitos e metodologias gráficas de estatística para expressar estes números de uma forma mais clara e resumida. Isso é um dos objetivos principais do trabalho dos gerentes e estatísticos. Por exemplo, existem várias maneiras de medir a tendência central dos dados e nenhuma delas é necessariamente a melhor, pois depende de cada situação e principalmente da característica dos dados numéricos. O cálculo de uma medida de tendência central é importante porque consegue representar uma série de dados em apenas um único número ou elemento. Certamente a mais popular é a média, que os conhecedores do assunto usualmente denominam de média aritmética (simples ou ponderada) e que representa a soma de uma série de dados dividida pelo número total de dados que foram somados entre si (SILVA, 2010; CRESPO, 2009). Na Tabela 6, são informadas sessenta medidas do comprimento (em milímetros) de uma peça, a princípio uma das características essenciais da peça. Uma tabela contendo números nem sempre é interessante para um engenheiro ou gerente. Por outro lado, a média das medidas da tabela pode ser calculada facilmente aplicando as fórmulas: Após o cálculo, o especialista agora pode saber se o produto está sendo fabricado dentro da especificação desejada, mantendo a qualidade da produção. Tabela 6. Medidas do comprimento (em milímetros) de uma peça 103, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

22 101, , , , , , , , , , , ,5689 Fonte: adaptado de Bruni (2010). Para essa tabela, temos uma média de 101,4993 milímetros (mm) ou 101,50 mm (com a precisão de apenas duas casas decimais). Para o especialista, se diversas peças apresentarem comprimentos muito diferentes do valor da média, as peças não estão sendo fabricadas rigorosamente e, consequentemente, cai a qualidade da linha de produção. Um problema que pode ocorrer em determinadas situações é que a média perde a sua representatividade se existirem valores muito diferentes entre os dados numéricos, pois valores discrepantes levam a média a se afastar da tendência central dos dados. Uma maneira de resolver o problema da distorção seria simplesmente descartando estes números. No entanto, o estatístico não recomenda este procedimento por causa de certo grau de arbitrariedade. Por exemplo, o gerente ou especialista pode sentir uma necessidade de eliminar o valor 98,1239 em decorrência de ser o menor dos números, mas por qual razão faria isso? Para resolver a distorção de números discrepantes, utiliza-se a mediana, número que está no meio dos números quando a quantidade de elementos da série é ímpar ou a média dos dois números do meio quando a quantidade de elementos da série é par. Para calcular de forma correta a mediana, os números precisam estar organizados na forma crescente ou decrescente, ou seja, posicionados seguindo um ordenamento numérico. Em uma relação de números ordenados do menor para o maior (ou vice versa), existe um número que separa todos os números em dois grupos iguais (quando n é ímpar), os números maiores que a mediana e os números menores (TIBONI, 2010; SAMOHYL, 2009). No exemplo apresentado, temos dois números, e não apenas um, que separam a série em duas partes iguais (quando n é par). Neste caso, deve-se calcular uma média simples entre os dois números centrais para encontrar um valor que melhor representa o centro da sequência. Na lista dos sessenta números, como n = 60 (número par), temos os seguintes números no centro da sequência quando a mesma está ordenada: 101,8990 e 101,9989. Para encontrar a mediana, neste caso, basta calcular a média: (101, ,9989)/2 = 101,9489. E como se interpreta este valor? A mediana é o número que divide uma sequência ordenada em duas partes iguais, ou seja: 50% dos valores da série são menores que a mediana e 50% são maiores. Podemos concluir no exemplo utilizado que 50% dos comprimentos da peça são inferiores a 101,9489 mm e 50% são superiores. É importante reforçar que, quando o número de dados numéricos ou elementos da série ( ) é ímpar, a mediana é exatamente o número no meio dos números ordenados, sem a necessidade de calcular a média dos dois números posicionados no meio da sequência. Os especialistas argumentam que a mediana é melhor do que a média para representar a tendência central dos números na presença de dados muito diferentes nos dois extremos da sequência. Isso ocorre porque a mediana é insensível aos valores muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo: se for alterado 22

23 o maior valor da sequência para de ,0 (um número bem maior que ele), o valor da mediana não muda, porque a mediana ainda continua tendo metade dos dados acima e metade abaixo de seu valor (SAMOHYL, 2009). A diferença numérica entre a mediana e a média em nosso exemplo (101, ,4993) = 0,4496 pode ser considerada razoavelmente grande por algum engenheiro, considerando uma variabilidade pequena dos números, e significaria que a média é realmente distorcida como medida de tendência central, levando o engenheiro a utilizar à mediana. Partindo da mediana, os quartis são calculados. Com a mediana os dados foram divididos em dois grupos, acima e abaixo da mediana. Para cada grupo encontra-se sua própria mediana e esta mediana secundária é denominada quartil. Obviamente, há um quartil inferior, o primeiro quartil, e um quartil superior, o terceiro quartil. Para completar o raciocínio, pode-se chamar a mediana do grupo de segundo quartil. Os quartis dividem os dados em quatro grupos distintos, cada grupo possuindo exatamente um quarto dos dados. No exemplo apresentado, cada um dos dois grupos tem aproximadamente 60/4 elementos e os quartis são fáceis de se encontrar. Os quartis podem ser utilizados também para definir a variabilidade dos dados (SILVA, 2010; CRESPO, 2009). Caso a série contenha um número que se repete muito mais do que os demais, pode-se calcular a moda. A moda é conceituada como o valor de maior frequência em um conjunto de dados estatísticos (SILVA, 2010; CRESPO, 2009). Entretanto, em decorrência de ser uma medida aplicada somente em casos muito específicos, este assunto não será abordado nesta apostila. Para consultar estas informações, verifique os livros de estatística localizados na seção de referências. 5. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE As medidas de dispersão, também conhecidas como medidas de variabilidade, são tão importantes como as medidas de tendência central e representam como os dados numéricos se dispersam (ou se afastam) da média. Quando os números são sempre próximos à média, isso significa que a tendência central representa bem os dados. No entanto, se alguns números ficarem longe da média, então a média não irá representar muito bem todos os dados numéricos da sequência (BRUNI, 2010; TIBONI, 2010; SILVA, 2010; CRESPO, 2009). A ideia de variabilidade é importante na área da engenharia de qualidade porque oferece uma definição operacional para qualidade, uma definição que poderíamos medir e analisar e discutir com os demais colegas do curso. Por exemplo, peças fabricadas e que exibem mensurações muito espalhadas não têm qualidade, pois muitas peças acabarão rejeitadas ou retrabalhadas, o que implica em custos maiores de fabricação e uma posição fraca em termos da competição empresarial do mercado (BRUNI, 2010; TIBONI, 2010). O desvio ao redor da média é definido como a diferença entre um número individual e a média de todos os dados numéricos. Vale informar que, para o conceito de um desvio (uma distância), não existe sentido se o valor for um número negativo. 23

24 Por exemplo, a Tabela 7 contém dados numéricos referentes ao tempo gasto (expresso em minutos) por uma empresa para solucionar problemas dos clientes desde o momento do recebimento da queixa até a solução apresentada. A média de tempo gasto é 182,89 minutos (ou min), um pouco mais do que três horas. Tabela 7. Minutos decorrentes até a solução referente à reclamação do cliente Código da reclamação Tempo gasto (em minutos) Desvio da média Módulo do desvio (valor absoluto) Desvio ao quadrado ,00-82,89 82, , ,01 33,11 33, , ,42-69,47 69, , ,33 104,43 104, , ,47 38,58 38, , ,95 12,06 12,06 145, ,55-21,35 21,35 455, ,89 142,99 142, , ,62 109,73 109, , ,38 83,49 83, , ,19-76,70 76, , ,56 124,66 124, , ,49 72,59 72, , ,39 20,50 20,50 420, ,71-34,19 34, , ,00-165,89 165, , ,78-116,11 116, , ,34-17,55 17,55 308, ,20-87,70 87, , ,95-79,94 79, , ,43 244,53 244, , ,34 3,45 3,45 11, ,04-100,85 100, , ,00-123,89 123, , ,00-146,89 146, , ,89-14,00 14,00 195, ,95 25,05 25,05 627, ,94 35,05 35, , ,79 42,90 42, , ,19 44,30 44, ,51 Média = 182,29 0,00 75, ,82 Amplitude = 410,43 Desvio-padrão = 94,99 Fonte: adaptado de Samohyl (2009). 24