ANÁLISE DOS ERROS COMETIDOS NAS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS REAIS: UM ESTUDO DE CASO

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1 ANÁLISE DOS ERROS COMETIDOS NAS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS REAIS: UM ESTUDO DE CASO GT 02 Educação Matemática no Ensino Médio e Ensino Superior Paulo Cléber M. Teixeira, Universidade Federal do Tocantins clebermt@uft.edu.br Resumo: Este trabalho apresenta uma pesquisa de natureza quantitativa, desenvolvida em uma escola pública da rede estadual, na cidade de Miracema do Tocantins-TO, estado do Tocantins. Constituiu-se em um estado de caso sobre o estudo das operações com números reais, no 1º Médio Básico do Ensino Médio. A partir da discussão do desenvolvimento dessas operações e, visando verificar onde estão os pontos mais críticos na resolução dessas operações observadas, buscando maior compreensibilidade, por meio dos resultados, de modo a propiciar uma discussão em relação ao trabalho pedagógico do professor. Como meio de suporte e, em decorrência do estudo dos algoritmos, outros elementos forram investigados, como por exemplo, as controvérsias sobre os números negativos e uma pesquisa sobre erros que os alunos cometem nas operações fundamentais com números reais. A parte empírica da investigação aponta algumas recomendações que podem ajudar o trabalho do professor, que ministra aulas de Matemática no Ensino Fundamental e Médio Palavras-chave: Números; Operações; Erros; Alunos e Matemática. Introdução É comum escutar nos corredores das escolas, em sala de aula ou em qualquer conversa onde se nota a presença do aluno a seguinte a frase não consigo aprender Matemática. Mas, porque será que isso é tão recorrente? Será que aprender Matemática é mesmo tão complicado? Uma coisa é certa, para aprender Matemática é estritamente necessário desenvolver com segurança as operações fundamentais com os números reais, pois todos os conteúdos Matemáticos dependem dessas operações de uma forma ou de outra. Podemos perceber então, que os problemas são muitos e decorrem de diversos fatores sobre os quais raramente temos condições de intervir e solucionar. O que podemos e devemos fazer é em quanto professor(a), preparar boas aulas, exigir participação efetiva e comprometimento dos alunos, pois essas são ações que dependem de nós. Porém é

2 necessário melhorar a estrutura física das escolas, investir cada vez mais em formação continuada para os professores, aumentar o tempo para que os professores preparem suas aulas e dar autonomia às equipes gestoras das escolas para desenvolverem o trabalho sem ingerências políticas. O trabalho com as operações fundamentais requer sem dúvidas um cuidado todo especial por parte do professor e da escola como um todo, pois dele depende o sucesso ou o fracasso no aprendizado dos conteúdos matemáticos e na compreensão dos mesmos por parte dos alunos. O presente trabalho justifica-se devido às enormes dificuldades dos alunos em aprender matemática, visto que isso é bastante evidenciado nos resultados de diversos exames que objetivam medir a qualidade do ensino em nosso estado, o Tocantins, o que também se estende aos demais estados brasileiros, como exemplo, ENEM, SAEB, Prova Brasil,... Entretanto, é no dia a dia que cada vez mais observamos alunos concluindo o Ensino Médio sem saber realizar operações fundamentais com números relativos e dos números fracionários, decimais e irracionais, não sabem o significado e muito menos operá-los matematicamente. Os estudos acerca dos erros cometidos pelos alunos no trato com o conhecimento matemático vêm apontando no decorre do tempo, a necessidade de se trabalhar a questão dos erros como ferramenta pedagógica que auxilie o processo de ensino-aprendizagem, enfatizando o papel construtivo do erro e suas possibilidades para reflexão, novo planejamento e ação corretiva e direcionadora da atividade, Diante dos meus estudos e análise, creio poder afirmar que os erros constituem uma importante ferramenta que possibilita o diagnóstico dos problemas presente no processo tanto de ensino como aprendizagem. Ressalta-se que no processo de ensino, os erros podem ajudar o professor a concluir que a estratégica do ensino adotada se mostra inadequada e necessita ser redefinida mediante novas ações metodológicas e pedagógicas (SOUZA, 2002, p. 10). Reportando-nos ainda a Souza (2002) em especial a sua dissertação de mestrado intitulada O papel construtivo do erro no processo de ensino e aprendizagem da matemática realizada em uma turma de 6ª série do Ensino Fundamental em Londrina PR, classifica os erros em duas categorias de saber Ainda no esforço de aprofundamento

3 da análise busquei organizar categorias que emergiram da leitura das repostas dos alunos. São categorias não excludentes, nomeadas como gerais e locais (SOUZA, 2002, p.4). A autora coloca como erros gerais, aqueles que ocorrem de forma sistemática, ou seja, não dependem do conteúdo trabalhado. Segundo a autora são eles: os erros de cálculo, os que envolvem troca de operações e regra de sinais. E ainda, aqueles que são sistemáticos porque, Segundo Rico (1995, apud Souza, 2002, p.6), completa que, os erros sistemáticos aparecem com freqüências, são sintomas de um método ou compreensão equivocada que o aluno considera e utiliza como correta e, geralmente são mais efetivos para revelar os processos mentais. Contudo, Souza (2002, p.6) organizou os erros locais, em categorias, vejamos: A categoria dos locais abarca os demais tipos de erros presentes no levantamento. Então classificados como: 1. Erros por apropriação deficiente de conceitos; 2. Erros por falta de compreensão e domínio de procedimentos; 3. Erros por fragilidade nas organizações conceituais que impedem integração de novos conhecimentos. Outros estudos feitos por educadores matemáticos, em relação à aceitação dos negativos, como ponto de partida para tal mudança encontra-se nos trabalhos originais de George Peacock ( ). Em seu princípio da permanência das formas equivalentes, ele estabeleceu que as leis fundamentais dos velhos números da aritmética eram preservadas para os novos números. Todavia as dificuldades na aprendizagem de conceitos e operações envolvendo números negativos são decorrentes da falta de significado, ou seja, talvez a falta de mecanismos que os relacione a alguma situação que seja facilmente exemplificado: A dificuldade que os matemáticos sentiram é a mesma que os nossos alunos enfrentam ao estudarem os números relativos e suas operações. Além disso, a passagem do estágio das operações concretas para as abstratas, com todas as implicações que elas trazem, acentua a necessidade de estudo e de aprofundamento didático em números relativos (HOFFMANN, s.d., p.1).

4 Porém, é preciso entender as dificuldades de aprendizagem dos educandos, um bom começo para tal diálogo é o professor se utilizar dos possíveis erros cometidos pelos alunos na resolução de suas atividades, como ferramenta pedagógica que propicie uma reorganização e melhor compreensão dos conceitos e operações por meio de sua (re)significação e aplicação na realidade. De acordo com o texto Origem dos sinais (Só Matemática) 1 os primeiros indícios dos símbolos positivos e negativos foram usados antes mesmo de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não. Posteriormente, embasado no texto Origem dos números negativos (Só matemática), vimos que todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento da Matemática e conseqüentemente os números negativos aparecerem pela primeira vez na China Antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras vermelhas para os números positivos e pretos para os números negativos. No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplos disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas já eram conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtração, como, por exemplo, (a b)(c d) = ac + bd ad bc, mas, os hindus converteram-nas em regras numéricas sobre números negativos e positivos Metodologia do estudo A pesquisa apresentada nesse trabalho foi realizada junto aos alunos do 1ª ano do Ensino Médio Básico do CEM Dona Filomena Moreira de Paulo, no Município de Miracema do Tocantins, estado do Tocantins. Como instrumento de coleta de dados foi aplicado um teste diagnóstico aos alunos, contendo operações fundamentais de adição, 1 Texto extraído do site em junho de 2007.

5 subtração, multiplicação e divisão. Participaram da investigação aproximadamente 25% dos alunos de quatro turmas, sendo duas no período matutino e duas no noturno. Após a aplicação do teste diagnóstico, corrigiram-se todos os exercícios, ou seja, exercício por exercício, fazendo comentário a respeito da resolução de cada questão explicitada, a fim de fazer um tabulamento dos erros e dos acertos cometidos pelos alunos. Após essa etapa, os erros cometidos em cada exercício foram agrupados e contabilizados por similaridade para facilitar a análise e interpretação para que pudessem gerar algumas considerações e recomendações em relação ao trabalho com as operações fundamentais. Resultados e discussões As atividades selecionadas para este artigo são as que expressam as dificuldades mais elementares relacionadas ao sistema de numeração decimal. A Matemática se constrói neste conjunto de regras e permite o registro escrito e a possibilidade entre outros, de operar quantidades. Se um aluno apresenta dificuldades na compreensão destes saberes precisará definitivamente superá-los para que outros e novos conceitos se incorporem aos anteriores na construção do conhecimento matemático. Uma das perguntas tinha como objetivo verificar o que pensa o aluno sobre a Matemática, como mostra o Gráfico 1. 17% 18% 18% 8% 39% Gosta importante não gosta branco muito difícil Gráfico 1. O que você pensa sobre a Matemática. Fonte: Pesquisa de campo.

6 O gráfico nos mostra que 17% dos alunos dizem gostar de Matemática e 18% considera importante, porém 8% não gostam da disciplina, 18% dizem que é muito difícil e 39% deixaram em branco. Sendo estes pontos relevantes para uma reflexão junto aos professores de Matemática, as instituições formadoras de futuros professores de Matemática. Apresentamos aqui os resultados obtidos na execução da implementação da proposta na escola. Nas tabelas a seguir, as questões que se pediu era uma atividade de complementos básicos de aritmética, adquiridos no Ensino Fundamental. Na tabela 1, apresentamos algumas operações sobre adição e subtração de números reais. ATIVIDADE Acertaram Tabela 1. Adição e subtração de números reais erraram Sinal % Sinal e numero ERRO % Numero % Em Branco % ,6 4 17, /07/ ,4 2 10,5 4 21,1 1 2, ,8 5 19, , ,8 6 22,2 9 22,5 Fonte: Pesquisa de campo. Analisando os erros cometidos vemos que o grande problema está no sinal, visto que: no item em que os dois números são negativos, 69,6% dos alunos erraram o sinal, 17,4% o sinal e a operação e 13% a operação; no item em que o primeiro número é positivo e o segundo é negativo, 68,4% erraram o sinal, 10,5% o sinal e a operação e 21,1% a operação; quando o primeiro número é negativo e o segundo é positivo, 30,8% erraram o sinal, 19,2% o sinal e o número e 50% a operação; e no item que continha três números positivos e quatro negativos, 77.8% o sinal e o número, 22,2% a operação e 22,5 deixaram em branco. Na tabela 2, Apresentamos algumas operações sobre adição e subtração, em relação aos números racionais (forma fracionária e decimal), na tabela 2, a uma situação alarmante.

7 ATIVIDADE Quant. Acertaram Tabela 2: Adição e subtração de números racionais de ERRO erraram Sinal % Sinal e numero % Numero % Em Branco % (2/3 + 1/3-4/3) , , ,34 2/3-1/ , , ,5 0,5 + 1/2-1, ,3 6 54,5 2 18, ,5 Fonte: Pesquisa de campo. Em relação aos números racionais observa-se que as dificuldades são as operações e o sinal: pois no item em que os denominadores são iguais 27,6% erraram apenas o sinal, 41,4 erraram a operação e o sinal e 31% cometeram erro na operação; quando os denominadores são diferentes, 95,8% erram a operação; e quando a operação envolve números nas formas fracionária e decimal 27,3% erram o sinal, 54,4% erraram a operação e o sinal e 18,2% erram a operação. Além disso, 10,3% deixaram em branco o item em que os denominadores são diferentes e 72,5% o que envolvia frações e decimais. Trabalhando agora com a multiplicação de números reais, conforme Tabela. 3. ATIVIDADE Acertaram Tabela 3: Multiplicação de números reais erraram Sinal % Sinal e numero ERRO % Numero % Em Branco % (-3).(-7) ,2 3 23,1 1 7, (-7) (-3).(+7) ,1 2 28,6 1 14, (2).(5).(-4).(-3) ,5 8 61, Fonte: Pesquisa de campo Em relação à multiplicação de números inteiros relativos, o erro relacionado ao sinal é mais preocupante do que o da operação, visto que, os erros cometidos foram: 69,2%

8 no sinal, 23,1% no sinal e na operação e, 7,7% na operação, para o item que apresentava dois números negativos; na multiplicação de um número positivo por um negativo 90% no sinal e 10% na operação; 57,1% no sinal, 28,6% no sinal e, na operação e 14,3% na operação quando o primeiro fator é negativo e o segundo é positivo e na situação que envolvia dois fatores negativos e três positivos 38,5% no sinal e na operação e 61,5% na operação. A Tabela 4 mostra a multiplicação com números racionais. ATIVIDADE Acertaram Tabela 4: Multiplicação de números racionais erraram Sinal % Sinal e numero ERRO % Numero % Em Branco % (0,2).(-5).(2/3) ,7 2 33, (2/3).(-1/5) 2,00% ,5 6 37, Fonte: Pesquisa de campo. Na multiplicação de números racionais a maior parte dos erros cometidos foi no sinal e na operação, pois 66,7% erraram o sinal e 33,3% a operação quando os fatores estavam na forma decimal e fracionária e 50% erraram o sinal, 12,5% o sinal e a operação e 37,5% a operação no item que apresentava os dois fatores na forma fracionária. Trabalhando na ultima parte da pesquisa, desta vez com a divisão, primeiramente com números reais, como mostra a Tabela 5. ATIVIDADE Acertaram erraram Tabela 5: Divisão de números reais Sinal % Sinal e numero ERRO % Numero % Em Branco % (-20): (-4) ,9 1 5,3 3 15, : (-4) , ,6 7 17,5 (-20) : ,9 1 7,7 2 15,4 8 20

9 (8 : 4) : (-2/5) : (4/3) , ,1 6 33, ,5 : ,7 5 83, ,5 Fonte: Pesquisa de campo Conforme as evidencias apontadas nas tabelas ratificamos o que vem acontecendo nas operações descritas anteriormente. Em relação aos números inteiros relativos confirmase o problema: visto que quando os dois números são negativos 37,5% dos alunos realizaram corretamente a operação, 47,5% erraram e 15% não responderam; 65% acertaram; 17,5% não responderam corretamente e 17,5% deixaram em branco; na situação em que o primeiro número é positivo e o segundo é negativo; 47,5% de acerto, 32,5% de erro e 20% em branco quando o primeiro número é negativo e o segundo é positivo; observa-se que 67,5% dos alunos acertaram, 17,5% erraram e 15% deixaram em branco no caso da divisão simultânea de três números positivos e negativos. Em se tratando dos números racionais na forma fracionária obteve-se 0% de acerto, 45% de erro e 55% em branco, quando foi envolvido decimal e inteiro positivo 22,5% responderam corretamente, 15% erraram e 62,5% não responderam. Conclusão Os problemas educacionais atuais precisam de solução e eficaz, porém as dificuldades são enormes tanto no campo das políticas públicas como no cultural, social, cidadão, familiar. No entanto, no que se refere às políticas públicas educacionais o governo precisa destinar mais recursos, reformular o sistema educacional, viabilizar formação contínua que venha a contemplar as reais dificuldades existentes na relação ensinoaprendizagem, promover parcerias escolas e família de modo a primar pela qualidade e não só pela quantidade, quantidade essa muitas vezes duvidosa; e a sociedade necessitar sair da cultura do passar de ano a qualquer custo, para então, a cultura da aquisição e aprimoramento de conhecimentos e, em conseqüência destes ser promovido à série seguinte.

10 Contudo a investigação realizada com os alunos do 1º ano do Ensino Médio aponta a análise dos erros nas operações fundamentais em Matemática e a correção construtiva deles, propiciando uma reorganização da prática docente e uma nova abordagem dos conteúdos com o intuito de melhorar o processo de ensino-aprendizagem, apresenta-se como fator decisivo para o sucesso na aquisição do conhecimento matemático. A abordagem significativa dos números inteiros negativos, das frações e dos decimais, bem como das operações fundamentais que envolvam, ou ainda, a eles e os inteiros positivos se faz necessária e urgente um repensar sobre didático sobre o seu ensino, pois, a maior parte dos alunos do Ensino Médio não tem noção do significado desses números e/ou das operações das quais fazem parte. Portanto, é preciso introduzir um estudo rigoroso com sinais (positivos e negativos) e com as operações a que estão ligados, de forma adequada e cautelosa, pois dele depende todo o desenvolvimento dos conteúdos subseqüentes e a construção do conhecimento matemático. De todo o modo, concluímos esta pesquisa com a esperança de que algumas sugestões apresentadas sejam pensadas, testadas e que possa incentivar novas investigações na busca da compreensibilidade crescente do conhecimento matemático escolar, principalmente no que se diz respeito às operações com números reais. Referências HOOFFMANN, Vera Kern. Construção dos Números Relativos e de suas Operações. Educação matemática em revista. RS. s.d. SÓ MATEMATICA. Disponível em: < Acesso em 25 de junho de 2007 SOUZA, Sueli Spolador Simões de. O papel construtivo do erro no processo de ensino e aprendizagem da matemática Dissertação de Mestrado em Educação pela UNESP de Marília SP. Disponível em < Acesso em: 22 maio 2007.