43 x 2 = = (40 x 2) + (3 x 2) = = 86

Transcrição

1 Local: Campus UFABC São Bernardo do Campo Rua Arcturus, 03 - Jardim Antares - SBC Carga horária: 32 h (20h presenciais e 12h à distância) Datas do curso: 21/05; 04/06; 11/06; 25/06; 02/07 Horário: 8h às 12h 43 x 2 = = (40 x 2) + (3 x 2) = = 86 Inscrições: até o dia no site Início das aulas:

2 OBJETIVOS DO ENCONTRO Discutir os aspectos teóricos metodológicos da álgebra para os anos iniciais: O que é o pensamento algébrico; Formas de abordagem do pensamento algébrico para os anos iniciais; Propriedades dos números e das operações; A importância do sinal de igualdade; Sequência e padrões;

3 Pauta h00 às 9h Introdução aos conceitos sobre pensamento algébrico 9h as 10h Apresentação e discussão sobre os textos lidos na tarefa de casa, com análises teórico metodológicas; 10h as 10h20 Café 10h20 às 12h Discussão sobre as propriedades dos números e das operações e a importância do trabalho com o sinal de igualdade;

4 Verdadeiro ou Falso V F Justificativa = = 27 x 1 = + 0 = (Fonte: Adaptado de MESTRE; OLIVEIRA, 2011)

5 Ensino tradicional da matemática ARITMÉTICA Ênfase no cálculo e no algoritmo ÁLGEBRA

6 Definições ARITMÉTICA ÁLGEBRA Parte da matemática que estuda as operações numéricas: soma, subtração, multiplicação, divisão etc

7 Integração entre Álgebra e Aritmética Pensamento Algébrico Álgebra Aritmética Blanton e Kaput, (2005), Canavarro (2007), Kieran, (2004), Carraher et al, (2006), Russell, Schifter, e Bastable, (2011), Schliemann, Carraher, e Brizuela, (2007), Mestre e Oliveira (2011).

8 Para Blanton e Kaput (2005) Aritmética é uma das formas do pensamento algébrico quando: Expressa e formaliza as generalizações, que se referem às operações e as propriedades associadas aos números

9 é um processo no qual os alunos generalizam ideias matemáticas de um conjunto particular de exemplos, estabelecem generalizações por meio do discurso de argumentação, e expressam-nas, cada vez mais, em caminhos formais e apropriados à sua idade DEFINIÇÕES DE Blanton e Kaput (2005) PENSAMENTO a generalização está no coração do pensamento algébrico Schliemann; Carraher; Brizuela (2007) ALGÉBRICO envolve o desenvolvimento de formas de pensar dentro de atividades para as quais a letrasímbolo pode ser usada como uma ferramenta, mas que não são exclusivos de álgebra, tais como, analisando as relações entre quantidades, percebendo as estruturas, estudando as mudanças, generalizando, resolvendo problemas, a modelagem, justificando, provando, e prevendo. Kieran (2004)

10 Trabalho com álgebra nos anos iniciais Não significa um acréscimo de conteúdo ao currículo (Russell, Schifter, e Bastable, 2011); Agrega ao trabalho já realizado com a aritmética, oportunidades de construção de padrões, generalizações e justificativas matemáticas (Canavarro, 2007); Integra o pensamento algébrico ao planejamento das aulas, indo além do trabalho com os algoritmos. (Carraher et al, 2006)

11 Early algebra Projeto de estudo sobre o trabalho com os elementos da álgebra nos anos iniciais Constrói-se a partir de: problemas contextualizados que permitam aceder à compreensão dos conceitos mais abstratos; a notação formal é introduzida gradualmente; entrelaça-se fortemente com os tópicos que já integram o currículo da matemática elementar. Desta forma, a questão a colocar-se nesta abordagem da Early Algebra não é quando, mas antes o quê, porquê e como.

12 Blanton e Kaput (2005) dividem o pensamento algébrico em quatro grandes categorias: Aritmética Generalizada Pensamento Funcional Modelação Generalização de sistemas abstratos do cálculo

13 Segundo Blanton e Kaput (2005) formas de pensamento algébrico mais trabalhados nos anos iniciais: Aritmética Generalizada Pensamento Funcional

14 ARITMÉTICA GENERALIZADA PENSAMENTO RELACIONAL Explorar propriedades e relações de números inteiros; Explorar propriedades das operações com números inteiros; Explorar a igualdade como expressão de uma relação entre quantidades; Tratar o número algebricamente; Resolver expressões numéricas com um número desconhecido, enfatizando o sentido de incógnita;

15 PENSAMENTO FUNCIONAL Simbolizar quantidades e operar com as expressões simbólicas (usar símbolos para modelar problemas); Representar dados graficamente; Descobrir relações funcionais; Prever resultados desconhecidos usando dados conhecidos; Identificar e descrever padrões numéricos e geométricos;

16 POR QUE PENSAMENTO ALGÉBRICO PARA QUÊ O QUE COMO

17 Pensamento algébrico 1 - Propriedades dos números e das operações 2 - Sinal de igualdade 3 Sequências e Padrões Generalização

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20 Situação problema Martinique tem seis caixas de doces, com 23 doces em cada caixa. Quantos doces Martinique tem ao todo? TAREFA: Imagine as várias possibilidades de resolução deste problema.

21 Situação problema Martinique tem seis caixas de doces, com 23 doces em cada caixa. Quantos doces Martinique tem ao todo? Resolução da Elena: Eu fiz vinte e depois três. Seis grupos de 20 são 120; seis grupos de 3 são 18. Ou seja, 120 mais 18, ou 138 doces. O que Elena fez?

22 Elena usou um entendimento intuitivo da propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição para resolver o problema: Este é um tipo de conhecimento essencial para um conhecimento profundo da aritmética 6 x 23 = (6 x 20) + (6 x 3) É um ponto de partida importante para o desenvolvimento do entendimento algébrico via generalização

23 Para Canavarro (2007) Os aspectos da álgebra são construídos a partir de estruturas aritméticas; = Chegar a conclusão que esta expressão é verdadeira porque na adição a ordem das parcelas é indiferente.

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25 Propriedades fundamentais dos números e das operações Nome da propriedade Representação da propriedade Exemplo da propriedade Propriedades da adição Associativa (a + b) + c = a + (b + c) = ( ) + 75 = 78 + ( ) = Comutativa a + b = b + a = Elemento neutro a + 0 = a e 0 + a = a = 9875 Propriedades da multiplicação Associativa (a x b) x c = a x (b x c) = (32 x 5) x 2 = 32 x (5 x 2) Comutativa a x b = b x a 10 x 38 = 38 x 10 Elemento neutro a x 1 = a e 1 x a = a 387 x 1 = 387 Distributiva da multiplicação sobre a adição a x ( b + c) = a x b + a x c 7 x (50 + 2) = 7 x x 2

26 Falkner et al. (1999) realizaram um estudo onde os professores propunham aos alunos a resolução do seguinte problema: = _ + 5.

27 Falkner et al. (1999) realizaram um estudo onde os professores propunham aos alunos a resolução do seguinte problema: = _ + 5. O quadro seguinte mostra as respostas dadas por alunos de diferentes anos de escolaridade, do 1.º ao 6º Analise as respostas dos alunos e responda por que embora o problema pareça trivial para muitos professores, a maior parte dos alunos não deu a resposta correta.

28 Como Lucy entendeu o problema: Prof. Podes dizer-me qual o número que é necessário colocar no espaço vazio para tornar esta expressão verdadeira? Lucy (depois de uma breve pausa) Doze. Prof. Como sabes que é 12? Lucy Porque é a resposta, oito e quatro são 12. Eu contei 8, 9, 10, 11, 12. São 12. Prof. E o que acontece ao cinco? Lucy Fica aí. Prof. Precisas fazer alguma coisa com ele? Lucy Não. Só está lá. Não tem nada a ver com o oito e o quatro. Prof. O que pensas que significa? Lucy Eu não sei. Penso que não significa nada. Se calhar só está lá para nos confundir. Sabes, às vezes, a minha professora põe números a mais na história dos problemas para nos fazer pensar sobre o que temos de adicionar ou subtrair.

29 Como Gina entendeu o problema: Gina (muito depressa) Sete. Prof. Como sabes que é sete? Gina Bem, eu vi que o cinco aqui (apontando para o cinco na expressão) é mais um do que o quatro aqui (apontando para o quatro na expressão), então o número no espaço vazio tinha de ser menos um do que oito. É sete. Prof. Isso é muito interessante. Vamos tentar com outra: = Gina (quase imediatamente) É fácil. É 59. Prof. Foi rápido! Gina Sim. É como a outra. É apenas dois mais porque 84 é menos dois.

30 Qual a diferença do entendimento de Lucy e Gina para o problema: = _ + 5.

31 TAREFA DE CASA 1 - Leitura do texto A concepção relacional do sinal de igual. Trecho extraído da tese de doutorado de Celia Mestre (p. 58 ap. 65); 2 - Leitura do Artigo: Caminhos discursivos multimodais na Aprendizagem da Álgebra no Primeiro Ano do Ensino Fundamental (p. 15 a p. 18).