PENSAMENTO ALGÉBRICO NOS ANOS INICIAIS: UMA ABORDAGEM BASEADA NAS OPERAÇÕES E SUAS PROPRIEDADES

Transcrição

1 PENSAMENTO ALGÉBRICO NOS ANOS INICIAIS: UMA ABORDAGEM BASEADA NAS OPERAÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Miriam Criez Nobrega Ferreira Mestra pela Universidade Federal do ABC Lilian Cristina de Souza Barboza Mestranda pela Universidade Federal do ABC

2 OBJETIVOS DO ENCONTRO *Apresentar uma proposta de abordagem do Pensamento Algébrico nos Anos Iniciais; * Propiciar ao participante repensar sua prática de sala de aula de modo a incorporar novas abordagens em seu trabalho na escola.

3 Pauta 11/05/2017 9h às 9h30 Apresentação dos participantes, dos formadores e da proposta de trabalho; 9h30 às 10h00 Introdução aos conceitos sobre pensamento algébrico voltado para o trabalho nos Anos Iniciais; 10h00 às 10h30 Análise, em subgrupos, da atividade 1 destacando as propriedades; 10h30 às 11h00 Discussão sobre as atividades dos alunos; 11h às 11h30min Análise e discussão da atividade 2 destacando um dos significados do sinal de igualdade; 11h30min as 12h Fechamento dos conceitos abordados.

4 Nome Local de trabalho Experiência profissional Motivação para o mini curso

5 PROBLEMA DA ALICE (SMULLYAN, 1982, p. 44 e 45). Enfim, os dois estavam comendo tortas de framboesa no chá. Ora, o Chapeleiro tinha três vezes mais tortas que a Lebre de Março, e a Lebre de Março não estava gostando disso. - Eu não a censuro! comentou Alice. Em todo caso, de má vontade, o Chapeleiro deu uma de suas tortas a ela. Isso não basta!, gritou a Lebre de Março, zangada, Você ainda tem o dobro do que eu tenho! Pois então o problema é: Quantas outras tortas o Chapeleiro tem que dar a Lebre de Março para que os dois fiquem com a mesma quantidade? - Quantas eram as tortas, ao todo? perguntou Alice. - Isso eu não vou dizer!- gritou o Grifo. Aí fica fácil demais! Alice achou estranho que o enigma pudesse ser resolvido sem saber quantas tortas havia, mas resolveu tentar. Pensou por algum tempo, e então abanou a cabeça.

6 - Acho que não sei resolver esse. Tenho certeza de que, se minha irmã estivesse aqui, ela saberia. Ela é mais velha do que eu, sabe?, e aprendeu álgebra. Tenho certeza que se poderia fazer isso com a álgebra. - Você não precisa de álgebra nenhuma! riu-se o Grifo. É só uma fantasia sua achar que precisa! - Bem, o único jeito que concebo de fazer isso é por ensaio e erro: tentar, até finalmente adivinhar o número certo de tortas. - Você não precisa de nenhuma adivinhação! disse o Grifo. Não precisa de adivinhação e também não precisa de álgebra! Ora, eu sei que nas escolas eles ensinam esse tipo de coisa com a álgebra, mas eu não andei muito em escola nenhuma, daí que inventei meu próprio método...ele é exatamente tão bom quanto os que eles lhe ensinam!

7 Por que Álgebra é ensinada a partir dos Anos Finais e a Aritmética nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental? Segundo Carraher et al (2006), por dois motivos: Natureza do conteúdo matemático Restrições do desenvolvimento cognitivo

8 Álgebra no currículo dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental Outros países (EUA, Portugal, Espanha, Nova Zelândia) a Álgebra nos Anos Iniciais surge no início do séc. XXI; No Brasil (Ferreira, 2017, no prelo), somente em 2013 nos documentos do PNAIC surge o eixo do Pensamento Algébrico, e na BNCC (em estudo) surge a Álgebra, como o quinto eixo da matemática dos Anos Iniciais.

9 Filloy e Rojano (1989) e Herscovics e Linchevski (1994) sugerem: uma lacuna entre Álgebra e Aritmética; o pensamento aritmético evolui muito lentamente - do concreto para o abstrato - para o pensamento algébrico; um ponto de corte separando um tipo de pensamento do outro.

10 Sá e Fossa (2008) Aritmética Álgebra Não são usadas as propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade Ex: Tinha R$ 50,00 ganhei R$ 30,00, com quanto fiquei? =? São usadas as propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade Ex: Meu pai tinha certa quantia no cofre, depois de guardar R$ 28,00, ficou com R$ 75,00. Quanto papai tinha no início?? + 28 = 75 Foco na competência do cálculo Foco no raciocínio sobre as operações

11 Autores que defendem uma integração entre Álgebra e Aritmética: Blanton e Kaput, (2005); Canavarro (2007); Kieran (2004); Carraher et al, (2006); Russell, Schifter, e Bastable (2011); Schliemann, Carraher, e Brizuela (2007); Mestre e Oliveira (2011).

12 Por que falar de Álgebra nos Anos Iniciais? Insucesso dos alunos quando entram em contato com a Álgebra formal (Cai & Knuth, 2011; Lins e Gimenez, 2001); Capacidade dos alunos em pensar algebricamente desde pequenos (Canavarro, 2007; Blanton e Kaput, 2005); Os alunos necessitam de um tempo maior para desenvolver as diferentes formas do pensamento envolvido na atividade algébrica (Molina, 2009);

13 O que significa o trabalho com Álgebra nos Anos Iniciais? Não significa um acréscimo de conteúdo ao currículo (Russell, Schifter, e Bastable, 2011); Agrega ao trabalho já realizado com a aritmética, oportunidades de construção de padrões, generalizações e justificativas matemáticas (Canavarro, 2007); Integra o pensamento algébrico ao planejamento das aulas, indo além do trabalho com os algoritmos. (Carraher et al, 2006)

14 O que a Álgebra e o Pensamento Algébrico tem a ver com o ensino e a aprendizagem nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental?

15 Ponte, Branco e Matos (2009) Aprender Álgebra Pensar algebricamente Ser capaz de generalizar ideias matemáticas a partir de um conjunto de exemplos particulares

16 Para Canavarro (2007) existe uma relação intrínseca entre álgebra e aritmética: É a partir da estrutura da Aritmética que se podem construir os aspectos sintáticos da Álgebra, o que implica analisar as expressões aritméticas não em termos do valor numérico obtido através do cálculo, mas em termos da sua forma Concluir que = não porque ambos constituem 41, mas porque na adição a ordem das parcelas é indiferente.

17 é um processo no qual os alunos generalizam ideias matemáticas de um conjunto particular de exemplos, estabelecem generalizações por meio do discurso de argumentação, e expressam-nas, cada vez mais, em caminhos formais e apropriados à sua idade Blanton e Kaput (2005) DEFINIÇÕES DE PENSAMENTO ALGÉBRICO a generalização está no coração do pensamento algébrico Schliemann; Carraher; Brizuela (2007) envolve o desenvolvimento de formas de pensar dentro de atividades para as quais a letra-símbolo pode ser usada como uma ferramenta, mas que não são exclusivos de álgebra, tais como, analisando as relações entre quantidades, percebendo as estruturas, estudando as mudanças, generalizando, resolvendo problemas, a modelagem, justificando, provando, e prevendo. Kieran (2004)

18 Blanton e Kaput (2005) dividem o pensamento algébrico em quatro grandes categorias: Aritmética Generalizada Pensamento Funcional Modelação Generalização de sistemas abstratos do cálculo

19 Segundo Blanton e Kaput (2005) formas de pensamento algébrico mais trabalhados nos anos iniciais: Aritmética Generalizada Pensamento Funcional

20 ARITMÉTICA GENERALIZADA PENSAMENTO RELACIONAL Explorar propriedades e relações de números inteiros; Explorar propriedades das operações com números inteiros; Explorar a igualdade como expressão de uma relação entre quantidades; Tratar o número algebricamente; Resolver expressões numéricas com um número desconhecido, enfatizando o sentido de incógnita;

21 PENSAMENTO FUNCIONAL Simbolizar quantidades e operar com as expressões simbólicas (usar símbolos para modelar problemas); Representar dados graficamente; Descobrir relações funcionais; Prever resultados desconhecidos usando dados conhecidos; Identificar e descrever padrões numéricos e geométricos;

22 ARITMÉTICA GENERALIZADA PENSAMENTO RELACIONAL Explorar propriedades das operações com números inteiros; Explorar a igualdade como expressão de uma relação entre quantidades;

23 O SINAL DA IGUALDADE

24 DIFERENTES SIGNIFICADOS DO SINAL DE IGUALDADE OPERACIONAL 12 4 = EQUIVALÊNCIA 18 + x = 23 RELACIONAL 2x = y

25 Verdadeiro ou Falso V F Justificativa = = 27 x 1 = + 0 = (Fonte: Adaptado de MESTRE; OLIVEIRA, 2011)

26 Falkner et al. (1999) realizaram um estudo onde os professores propunham aos alunos a resolução do seguinte problema: = _ + 5

27 O quadro seguinte mostra as respostas dadas por alunos de diferentes anos de escolaridade, do 1.º ao 6º: Analise as respostas dos alunos e responda por que embora o problema pareça trivial para muitos professores, a maior parte dos alunos não deu a resposta correta.

28 Como Lucy entendeu o problema: Prof. Podes dizer-me qual o número que é necessário colocar no espaço vazio para tornar esta expressão verdadeira? Lucy (depois de uma breve pausa) Doze. Prof. Como sabes que é 12? Lucy Porque é a resposta, oito e quatro são 12. Eu contei 8, 9, 10, 11, 12. São 12. Prof. E o que acontece ao cinco? Lucy Fica aí. Prof. Precisas fazer alguma coisa com ele? Lucy Não. Só está lá. Não tem nada a ver com o oito e o quatro. Prof. O que pensas que significa? Lucy Eu não sei. Penso que não significa nada. Se calhar só está lá para nos confundir. Sabes, às vezes, a minha professora põe números a mais na história dos problemas para nos fazer pensar sobre o que temos de adicionar ou subtrair.

29 Como Gina entendeu o problema: Gina (muito depressa) Sete. Prof. Como sabes que é sete? Gina Bem, eu vi que o cinco aqui (apontando para o cinco na expressão) é mais um do que o quatro aqui (apontando para o quatro na expressão), então o número no espaço vazio tinha de ser menos um do que oito. É sete. Prof. Isso é muito interessante. Vamos tentar com outra: = Gina (quase imediatamente) É fácil. É 59. Prof. Foi rápido! Gina Sim. É como a outra. É apenas dois mais porque 84 é menos dois.

30 Qual a diferença do entendimento de Lucy e Gina para o problema: = _ + 5

31 Bibliografia BLANTON, M.; KAPUT, J. Characterizing a classroom practice that promotes algebraicreasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), p , CANAVARRO, A. P. O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos primeiros anos. Quadrante, Lisboa-Portugal, v. XVI, n. 2, p , CARRAHER, D. W., SCHLIEMANN, A. D., BRIZUELA, B. M., & EARNEST, D. Arithmetic and algebra in early mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 37, p , 2006 CYRINO, M. C. C. T.; OLIVEIRA, H. M. Pensamento algébrico ao longo do Ensino Básico em Portugal. Bolema, v. 24, n. 38, p. 97 a 126, Rio Claro (SP), FILLOY E.; ROJANO T. Solving Equations: The transition from Arithetic to Algebra. For the Learning of Mathematics, 9 (2), p , 1989 HERSCOVICS, N; LINCHEVSKI, L. A cognitive gap between arithmetic and algebra. Educational Studies In Mathematics, Springer Nature, v. 27, n. 1, p.59-78, jul

32 MESTRE, C. M. M. V. O desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos do 4ª ano de escolaridade: Uma experiência de ensino p. Tese (Didática da Matemática). Instituto de Educação, Universidade de Lisboa, Lisboa, MOLINA, M. Una propuesta de cambio curricular: integración del pensamiento algebraico en educación primaria. PNA, 3(3), p , PONTE, J.; BRANCO, N.; MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. Portugal: Ministério da Educação, Direção Geral de Integração e de Desenvolvimento Curricular (DGIDC), RUSSELL, S. J.; SCHIFTER, D.; BASTABLE, V. Developing Algebraic Thinking in the Context of Arithmetic. Early Algebraization, Advances in Mathematics Education, 2011.

33 SÁ, P. F.; FOSSA, J. A. Uma Proposta de Distinção entre Problemas Aritméticos e Algébricos. In: Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, , Santos. Anais... São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, SILVA, D. P.; SAVIOLI, A. M. P. D. Caracterizações do pensamento algébrico em tarefas realizadas por estudantes do ensino fundamental I. Revista Eletrônica de Educação, São Carlos, SP: UFSCar, v. 6, no. 1, p , mai SMULLYAN, R. Alice no País dos Enigmas. Rio de Janeiro: Zahar, 2000.

34

35 CONTATOS Miriam C. N. Ferreira Lilian C. S. Barboza