A mobilização da capacidade de generalização em contextos de promoção do pensamento relacional: Um estudo com alunos do 4.º ano de escolaridade

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1 A mobilização da capacidade de generalização em contextos de promoção do pensamento relacional: Um estudo com alunos do 4.º ano de escolaridade Célia Mestre Agrupamento de Escolas Romeu Correia, Almada, UIDEF, Instituto de Educação, Universidade de Lisboa, Resumo. Esta comunicação centra-se na mobilização da capacidade de generalização dos alunos de uma turma de 4.º ano, em tarefas que exploram aspetos do pensamento relacional, no âmbito da realização de uma experiência de ensino enquadrada por uma perspetiva de desenvolvimento do pensamento algébrico. O estudo tem como objetivo analisar possíveis relações entre o desenvolvimento do pensamento relacional e o desenvolvimento da capacidade de generalização manifestados pelos alunos. A recolha de dados incidiu sobre seis tarefas matemáticas realizadas em diferentes momentos da experiência de ensino. As conclusões apontam para a estreita relação entre o desenvolvimento do pensamento relacional e o desenvolvimento da capacidade de generalização. Para além disso, as características das tarefas parecem ter influenciado a forma como os alunos apreenderam as relações numéricas e, consequentemente, a sua generalização. Palavras-chave: generalização; pensamento relacional; pensamento algébrico; tarefas; experiência de ensino. Abstract. This paper focuses on the mobilization of grade 4 students generalization ability, on tasks exploring relational thinking aspects, in a teaching experiment context, supported by a perspective of algebraic thinking development. The study aims to analyse possible relationships between the development of the level of relational thinking and the ability to generalize expressed by students. Data collection focused on six mathematical tasks performed at different times of teaching experience. We conclude about the close relationship between the development of relational thinking and generalization. The characteristics of tasks also seem to influence the way students perceive relational thinking and generalization. Keywords: generalization; relational thinking; algebraic thinking; tasks; teaching experiment. Introdução A exploração da aritmética nos primeiros anos de escolaridade pode promover o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos, considerando-se este como um processo em que os alunos generalizam ideias matemáticas a partir de um conjunto de exemplos particulares, estabelecem essa generalização através do discurso da Martinho, M. H., Tomás Ferreira, R. A., Vale, I., & Guimarães, H. (Eds.) (2016). Atas Provisórias do XXVII Sem. Investigação em Educação Matemática. Porto: APM, pp

2 argumentação, e expressam-na gradualmente de uma forma simbólica apropriada à sua idade (Blanton & Kaput, 2005, p. 413). Neste sentido pode ser explorada a generalização de relações numéricas e das propriedades das operações, assim como a compreensão da noção de equivalência associada ao sinal de igual. Esta comunicação centra-se no desenvolvimento da capacidade de generalização de alunos do 4º ano de escolaridade, em contextos de promoção do pensamento relacional. Procura identificar possíveis relações entre o desenvolvimento do pensamento relacional e a capacidade de generalização manifestados pelos alunos. O pensamento relacional e a generalização A introdução do pensamento algébrico na escola elementar acarreta novas visões sobre a aritmética e a álgebra e a forma como estas se relacionam (Carraher & Schliemann, 2007). Para Carpenter, Franke e Levi (2003) a separação artificial entre álgebra e aritmética impede que os alunos construam formas poderosas de pensamento sobre a matemática nos primeiros anos e torna mais difícil a aprendizagem da álgebra nos anos mais avançados. Se ficarmos apenas na natureza concreta da aritmética corremos o risco de oferecer aos alunos uma visão superficial da matemática e desencorajar a generalização (Carraher, Schliemann, Brizuela, & Earnest, 2006). Carpenter et al. (2003) sintetizam as ideias sobre a aritmética generalizada naquilo que designam por Pensamento Relacional e que consideram dizer respeito à capacidade de olhar para expressões na sua conceção mais ampla, revelando as relações existentes. No pensamento relacional atende-se às relações e propriedades fundamentais das operações aritméticas em vez de se focar exclusivamente nos procedimentos de cálculo (Carpenter, Levi, Franke, & Zeringue, 2005). Assim o pensamento relacional diz respeito à capacidade de usar relacionalmente a aritmética de forma a fazer uso da estrutura subjacente das relações numéricas e das propriedades das operações e encarar a igualdade como uma relação de equivalência. No âmbito do pensamento relacional, a noção de quase-variável (Fujii, 2003) reveste-se de particular importância. Expressões quase-variáveis são expressões numéricas particulares passíveis de ser generalizadas por revelarem a relação matemática subjacente e que se manterá verdadeira independentemente dos números que sejam usados. 266 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

3 A generalização envolve deliberadamente a extensão do alcance do raciocínio para além do caso ou casos considerados, o que implica a identificação e exposição explícita da comunalidade entre casos, elevando o raciocínio para um nível onde o foco não é tanto o caso ou as situações em si mesmas, mas antes os padrões, procedimentos, estruturas e as relações entre eles (Kaput, 1999). Britt e Irwin (2011) salientam a necessidade de os alunos mais novos trabalharem em diferentes níveis de compreensão da generalização que envolvam a expressão dessa generalização em palavras, imagens, assim como com símbolos numéricos que atuem como quase-variáveis. Radford (2013) apresenta os conceitos de indeterminação, denotação e analiticidade como condições que permitem distinguir diferentes níveis de generalização. A indeterminação refere-se à existência de quantidades não determinadas, como incógnitas, variáveis, etc. A denotação implica que as quantidades indeterminadas sejam nomeadas ou simbolizadas. Essa nomeação pode revestir-se de diferentes formas, usando a linguagem natural, gestos, signos não convencionais ou a notação alfanumérica. A analiticidade permite tratar as quantidades indeterminadas como se fossem conhecidas, ou seja, tornando possível operar (adicionar, subtrair, multiplicar, dividir) essas quantidades como se procede com quantidades numéricas conhecidas. Estas condições podem assumir diversas formas, conduzindo a diferentes níveis de generalidade. Nos níveis mais concretos, a indeterminação e a analiticidade podem aparecer de uma forma intuitiva e nos níveis mais gerais estas condições são mais explícitas. Contexto e metodologia do estudo Esta comunicação insere-se num estudo mais amplo, de implementação de uma experiência de ensino em sala de aula (Gravemeijer & Cobb, 2006), desenvolvida ao longo de um ano letivo, onde a investigadora assumiu, simultaneamente, o papel de professora (Mestre, 2014). A turma onde decorreu a experiência de ensino era constituída por 19 alunos, sete raparigas e 12 rapazes, com uma média de nove anos de idade. Foram desenvolvidas quarenta e duas tarefas matemáticas, organizadas em cinco sequências, de acordo com os temas e tópicos matemáticos da planificação anual da professora titular de turma, respeitando a perspetiva de conceber o pensamento algébrico como um fio condutor curricular (NCTM, 2000), numa lógica de integração 267 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

4 curricular. Nas primeiras quatro sequências as tarefas pretendiam promover o desenvolvimento do pensamento relacional e última sequência explorava situações de promoção do pensamento funcional. Das tarefas matemáticas exploradas com o objetivo de desenvolverem o pensamento relacional foram selecionadas seis para análise, enquadradas nas sequências II, III e IV (Figuras 1 e 2). Sequência II Tarefa 13 Tarefa 15 Sequência III Tarefa 21 Tarefa 22 Figura 1. Enunciados das tarefas 13, 15, 21 e XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

5 Sequência IV Tarefa 30 Tarefa 32 Figura 2. Enunciados das tarefas 30 e 32. As tarefas da sequência II exploravam estratégias de cálculo mas apresentavam diferentes características: enquanto a tarefa 13 apresentava a estratégia de cálculo aplicada em três exemplos particulares, a tarefa 15 apresentava apenas um exemplo particular. As tarefas da sequência III exploravam uma relação de igualdade com dois valores desconhecidos, introduzida na tarefa 21 através de um contexto de modelação. Por fim, as tarefas da sequência IV exploravam regularidades em contextos marcadamente numéricos. Em todas as tarefas era solicitado aos alunos que reconhecessem as relações numéricas, com o objetivo de promover a sua generalização. Os alunos trabalharam nas tarefas em pares ou em trios, nos momentos de trabalho autónomo. As suas resoluções escritas foram analisadas com o propósito de identificar os níveis de pensamento relacional e os níveis de generalização manifestados, de acordo com as categorias apresentadas no Quadro 1 (Mestre, 2014). Estes níveis são marcadamente gradativos, embora não sejam necessariamente consecutivos. 269 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

6 Quadro 1. Categorias de análise dos níveis de pensamento relacional e dos níveis de generalização Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 Níveis de Pensamento Relacional Não reconhece as relações numéricas e/ou Não relacional propriedades das operações, centrando-se em procedimentos de cálculo. Utilização de exemplos Reconhece e usa relações numéricas e/ou propriedades particulares das operações em exemplos particulares. Reconhece e usa relações numéricas e/ou propriedades Utilização de Quase-variáveis das operações em exemplos particulares, mas com sentido de quase-variáveis. Reconhece e usa relações numéricas e/ou propriedades Relacional das operações independentemente dos casos particulares, evidenciando a sua generalidade. Níveis de Generalização Não Generaliza Generalização Aritmética Generalização Algébrica Factual ou empírica Contextual Global Não reconhece a comunalidade entre os casos apresentados. Apresenta, eventualmente, tentativas de apreensão da comunalidade, mas que se baseiam em palpites e não são testadas. Reconhece a comunalidade entre os casos apresentados, mas apenas considera as quantidades conhecidas e opera com elas. Não faz a extensão para quantidades indeterminadas e, desta forma, não define uma regra geral. Reconhece a indeterminação com sentido de quasevariável, a partir de casos particulares, mas não a nomeia. Apresenta, eventualmente, uma regra para os casos particulares. Nomeia a indeterminação e trata-a analiticamente, apoiando-se numa descrição do contexto da situação. Define uma regra geral, mas dentro do contexto da situação. Nomeia a indeterminação de forma global e trata-a analiticamente, não se apoiando na descrição do contexto da situação. Define uma regra geral. Na análise do pensamento relacional foram identificados cinco níveis. O nível zero é entendido como não relacional por não evidenciar qualquer aspeto do pensamento relacional. No nível um, utilização de exemplos particulares, estes são usados no reconhecimento das relações numéricas, mas sem estender o raciocínio para outros casos. No nível dois, utilização de quase-variáveis, os exemplos particulares são usados com sentido quase-variável (Fujii, 2003), ou seja, não são restritos aos casos particulares e são utilizados como exemplos da relação numérica. O último nível, marcadamente relacional, não se centra em exemplos particulares e revela a generalidade da relação numérica. 270 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

7 Para a definição das categorias de análise relativamente à capacidade de generalização foi considerada a pertinência da existência de diferentes níveis de generalização e a distinção entre generalização aritmética e generalização algébrica (Radford, 2013). O nível zero corresponde às situações em que não é detetada a comunalidade entre os casos e é considerado como um nível de não generalização. O nível um corresponde à generalização aritmética, identificado quando a comunalidade é detetada apenas nos casos apresentados, não enunciando a extensão para quantidades indeterminadas. No primeiro nível de generalização algébrica, nível dois de generalização, a indeterminação aparece mas não é nomeada. As quantidades são tratadas com o sentido de quasevariável e há a emergência de uma regra para os casos particulares. O nível três de generalização diz respeito ao nível contextual onde a indeterminação aparece e é tratada analiticamente. Neste nível de generalização há a definição de uma regra geral, mas ainda ancorada na descrição do contexto da situação. O nível quatro da generalização considera a generalização global e não envolve a descrição do contexto da situação na definição da regra geral. Apresentação dos resultados Em seguida, apresentam-se e discutem-se os níveis de pensamento relacional e os níveis de generalização manifestados pelos oito pares/trios de alunos nos momentos de trabalho autónomo. A figura 3 apresenta o nível de pensamento relacional evidenciado nas resoluções dos alunos no decurso das tarefas referidas. Figura 3. Nível de pensamento relacional evidenciado pelos alunos nas tarefas analisadas das sequências II, III e IV. Pela análise da figura 3 constata-se que, de forma geral, nas tarefas analisadas das três sequências, os níveis de pensamento relacional mais apresentados pelos alunos foram os de utilização de exemplos particulares (EP) e relacional (R). Nas tarefas analisadas 271 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

8 da segunda sequência, os alunos apenas apresentaram níveis de pensamento relacional centrados em exemplos particulares (EP) e através da utilização de quase variáveis (QV). As tarefas analisadas na terceira sequência foram as que mais mobilizaram o nível de pensamento relacional (R), sendo este apresentado pela maioria dos pares/trios de alunos nas duas tarefas. Nas tarefas analisadas na quarta sequência os níveis de pensamento relacional mobilizados pelos alunos foram diversos, mas com maior incidência no nível de utilização de exemplos particulares (EP) e, em número ligeiramente inferior, o nível de utilização de quase-variáveis (QV). Desta forma, constata-se que os alunos apresentaram um nível superior de pensamento relacional nas tarefas analisadas da terceira sequência. Relativamente ao nível de generalização evidenciado pelos alunos nas tarefas analisadas das três sequências referidas, constata-se que os níveis de generalização com mais expressão foram o aritmético (A) e, em valores muito próximos, o contextual (C) e o global (G) (Figura 4). Nas tarefas analisadas da segunda sequência, apenas na primeira tarefa os alunos evidenciaram um nível de generalização identificado como aritmético (A), pois, na segunda tarefa não evidenciaram qualquer nível de generalização. Na terceira sequência, os níveis de generalização foram maioritariamente contextuais (C), embora um número considerável de evidências da generalização global (G) se tenha registado na última tarefa. Nas tarefas analisadas da quarta sequência, os níveis de generalização foram de sofisticação inferior relativamente aos apresentados nas tarefas analisadas da sequência anterior. Nestas tarefas da quarta sequência, os níveis de generalização foram maioritariamente aritméticos (A). Figura 4. Nível de generalização evidenciado pelos alunos nas tarefas analisadas das sequências II, III e IV. 272 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

9 De forma a relacionar os níveis de pensamento relacional e os níveis de generalização manifestados pelos alunos, apresentam-se e discutem-se, em seguida, exemplos de resoluções dos alunos nas diferentes tarefas referidas. A relação que existe entre os dois números é que a caixa A tem de ter 20 e a caixa B tem de ter 18 cromos. Figura 5. Resolução do par Diogo e Daniel da tarefa 21. Esta resolução da tarefa 21 (Figura 5) mostra que estes alunos centraram-se apenas em um caso particular e não conseguiram identificar a relação aritmética envolvida na igualdade, apresentando uma resposta que se situa num nível não relacional (NR). Da mesma forma, não identificando a comunalidade entre os casos possíveis para a igualdade, este par não apresenta qualquer tentativa de generalização (NG). Por outro lado, houve resoluções que, embora não evidenciando um nível de generalização por não reconhecerem a comunalidade entre os casos (NG), apresentaram um nível de pensamento relacional em que reconheceram as relações numéricas em casos particulares (EP). A figura 6 mostra um exemplo de uma resolução deste tipo, para a tarefa 15. A resposta do Afonso está correta. O Afonso fez o dobro (X2) do 5 que é 10. Multiplicou 36x10=360. E como 10 é a metade do 5 fez a metade de 360 que era 180. Figura 6. Resolução do par Fábio e Henrique da tarefa 15. Na figura 7 apresenta-se uma resolução com um nível de generalização aritmético (A) e o reconhecimento das relações numéricas em casos particulares (EP). Nesta resolução da tarefa 13, o par consegue perceber que estavam envolvidas as relações numéricas de dobro e metade nos exemplos particulares apresentados no enunciado, mas apenas apreende a comunalidade entre os casos apresentados. 273 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

10 Eles usaram o dobro para conseguir chegar ao resultado das contas que eles não sabiam. Eles também fizeram para achar o resultado do, que dá 48 e depois fizeram o dobro de 48. Figura 7. Resolução do par João P. e Beatriz da tarefa 13. Ainda neste nível de generalização aritmético (A), outras resoluções apresentaram o reconhecimento das relações numéricas aplicadas a outros casos particulares, mas com sentido de quase-variáveis (QV), ou seja, tomando-os como exemplos da relação numérica, mas não a circunscrevendo a esses casos particulares. Na resolução que se apresenta em seguida (Figura 8) os alunos explicaram a relação aritmética usando outros exemplos particulares que não eram apresentados no enunciado da tarefa. O facto de usarem outros exemplos revela que estes alunos reconheceram a relação aritmética de forma a estendê-la para além dos casos particulares apresentados no enunciado, embora não tenham ainda enunciado essa estratégia de forma geral. A forma como representaram numericamente a relação, ainda que de forma incorreta no que respeita à representação da igualdade, dá evidência do procedimento correto que efetuaram para obter os produtos da tabuada do oito usando o dobro dos produtos da tabuada do quatro. Figura 8. Resolução do par Joana e Gonçalo da tarefa 13. Na figura 9 mostra-se a resolução da tarefa 13 do par Matilde e André que, apesar de usar os casos particulares, consegue descrever a relação usando esses casos com sentido de quase-variáveis. Desta forma, a indeterminação aparece quando estes alunos não se 274 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

11 referem a casos concretos, mas a um fator qualquer, como referem na explicação da estratégia:... já que não sabiam o que era o fator multiplicado por 8, multiplicaram 2 vezes a metade de 8 pelo fator. No entanto, não nomeiam ainda a indeterminação de forma explícita, como num nível de generalização superior, por ainda se centrarem num fator e não nos fatores em geral. Este par mostra, assim, a relação aritmética através dos casos particulares usados com sentido de quase-variável (QV) e enunciando um nível de generalização factual (F). Figura 9. Resolução do par Matilde e André da tarefa 13. A resolução seguinte (Figura 10) apresenta um nível de generalização contextual (C) e um nível de pensamento relacional de quase-variável (QV). Desta forma, a resolução que este par de alunos apresentou está ainda muito dependente do contexto da situação, embora revele a relação multiplicativa subjacente. Ambos sabiam o resultado do fator multiplicado pela metade de 8 4. Então eles multiplicaram por 2 esse mesmo resultado. Então eles passaram a saber que 6x8=48. A estratégia que eles fizeram foi, já que não sabiam o que era o fator multiplicado por 8, multiplicaram 2 vezes a metade de 8 pelo fator, e conseguiram descobrir o resultado. Eles usaram o dobro e a metade. Figura 10. Resolução do par João V. e Lawry da tarefa 22. Por outro lado, na resolução seguinte (Figura 11) os alunos conseguiram apreender a relação (R) e apresentar a regra geral sem usarem o contexto da situação, evidenciando um nível de generalização global (G). A relação que existe entre os números que coloquei na caixa A e B é que 6x2=12 e porque 12 é o dobro (X2) do número 6 por isso todos os números que eu pus na caixa A são todos o dobro (X2) da caixa B. Figura 11. Resolução do par Fábio e António da tarefa XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

12 De forma a sistematizar a relação entre os níveis de pensamento relacional e os níveis de generalização manifestados pelos alunos apresenta-se, em seguida, a figura 12. Pela análise da figura, constata-se que os níveis de generalização algébricos superiores (contextual e global) implicaram sempre que as relações numéricas fossem apreendidas. Por outro lado, o nível de generalização aritmético (e desta forma, não algébrico) esteve ancorado a níveis de pensamento relacional maioritariamente centrados na exploração de exemplos particulares. Quando os alunos conseguiram estender os casos particulares para outros casos, usando-os com sentido de quase-variáveis, os níveis de generalização permitiram reconhecer a indeterminação (generalização factual) ou até nomeá-la embora ainda ancorada no contexto da situação (generalização contextual). Desta forma, os níveis de generalização parecem ter sido influenciados pelos níveis de pensamento relacional apreendidos. Figura 12. Relação entre o nível de generalização e o nível de pensamento relacional. Para além destas relações evidenciadas, as características das tarefas parecem ter influenciado quer os níveis de generalização quer os níveis de pensamento relacional. Assim, constatou-se que as tarefas que apresentavam diferentes possibilidades de variação da relação numérica ou um contexto de modelação rico para a sua compreensão, conduziram os alunos a níveis de pensamento relacional e de generalização mais sofisticados. Tarefas que apresentavam mais do que um caso particular (tarefa 13) ou um contexto de modelação facilitador da compreensão das relações numéricas (tarefas 21 e 22) promoveram nos alunos um maior reconhecimento 276 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

13 dessas relações e uma maior capacidade de expressão da generalização. Por outro lado, tarefas que apresentavam no seu enunciado apenas um caso particular (tarefa 15) ou contextos estritamente numéricos (tarefas 30 e 32) reverteram-se de maiores dificuldades na mobilização do pensamento relacional e da generalização. Conclusões A capacidade de generalização dos alunos da turma foi evoluindo à medida que eram exploradas tarefas com contextos de promoção do pensamento relacional. Assim, nas tarefas com contextos de promoção do pensamento relacional, os alunos começaram por explorar as relações numéricas em casos particulares e, a partir deles, conseguiram estendê-las para outros casos até enunciar a sua generalização algébrica. Desta forma, os primeiros níveis de pensamento relacional centraram-se exatamente na exploração desses exemplos particulares e assumiram níveis de generalização aritméticos em que a comunalidade não é estendida para quantidades indeterminadas. Progressivamente, os alunos conseguiram estender esses casos particulares para outros semelhantes, usando um sentido de quase-variável (Fujii, 2003), e apreender níveis de generalização algébricos, embora de nível inferior. Quando os alunos conseguiam apreender relacionalmente as situações para além dos casos particulares, evidenciavam um nível de generalização algébrico superior. Esse nível poderia ainda evidenciar uma dependência com a descrição do contexto da situação (generalização contextual) ou não necessitar da descrição desse contexto, evidenciando um nível de generalização mais geral (generalização global). Dois factores parecem ter sido determinantes para a evolução dos níveis de generalização dos alunos: o nível de pensamento relacional apreendido e as características das tarefas. Relativamente ao primeiro factor, constata-se que, quando os alunos evidenciam um nível relacional das situações exploradas, conseguem níveis de generalização mais sofisticados. Assim, parece ser claro que os níveis de generalização estão dependentes da capacidade de os alunos conceberem relacionalmente as situações que lhes são apresentadas. Tendo em conta que, o pensamento relacional diz respeito à capacidade de olhar para expressões ou equações na sua conceção mais ampla, revelando as relações existentes (Carpenter et al., 2003), é natural a relação entre o desenvolvimento do pensamento relacional e o desenvolvimento da capacidade de generalização. 277 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

14 Relativamente ao segundo factor, características das tarefas, evidencia-se uma estreita relação entre dois aspetos particulares das tarefas. O primeiro prende-se com a apresentação da possibilidade da variação de quantidades numéricas e o segundo com a existência de contextos de modelação. Assim, quando as tarefas apresentavam não apenas um caso particular, mas vários, os alunos acediam com maior facilidade às relações numéricas de forma geral. Em tarefas que apresentavam apenas um caso particular, os alunos centravam-se na exploração desse caso e, com maior dificuldade conseguiam apreender a possibilidade de variação de quantidades, dificultando a extensão para além dos casos particulares e a generalização. De facto, Stephens (2006) salienta a importância de os alunos serem capazes de ver e usar possibilidades de variação, considerando-a como uma importante característica do pensamento relacional. A existência de contextos de modelação também foi facilitador para a compreensão da situação, conduzindo a uma maior apreensão do nível relacional e de generalização. Constata-se, assim, a importância dos contextos de modelação de forma a dar sentido aos conceitos (Tabach & Friedlander, 2008) e, em particular, à indeterminação. De acordo com Carraher et al. (2006), a utilização de problemas com contextos ricos para suportar a compreensão dos conceitos mais abstratos é um dos três aspetos definidores da Early Algebra. Estes resultados são consistentes com os estudos que demonstram a importância da promoção do pensamento relacional para o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos (e.g., Carpenter et al., 2003, 2005; Carraher et al., 2006, 2007; Fujii, 2003; Stephens, 2006; Rivera, 2006). De facto e de acordo com Rivera (2006), a aritmética deve ser ensinada de tal forma que os alunos percebam as propriedades das operações ou as relações numéricas existentes em objetos individuais para, progressivamente, verificarem que são invariantes dos objetos iniciais. Neste sentido, reitera-se a importância da exploração de tarefas envolvendo contextos de promoção do pensamento relacional, assumindo a conceção de Carpenter et al. (2003) ao considerarem a potencialidade desta ligação entre a aritmética e a álgebra e o aportar de significado, profundidade e coerência à aprendizagem dos próprios conteúdos aritméticos (NCTM, 2000). Concluindo, a capacidade de generalização dos alunos, em contextos de promoção do pensamento relacional, foi evoluindo no sentido da mudança de atenção dos casos 278 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

15 individuais para os casos mais gerais. Esta mudança do foco de atenção conduziu a uma progressiva sofisticação da capacidade de generalização, ancorada ao mesmo sentido de progressão da apreensão do pensamento relacional. No entanto, essa progressão não foi linear, revelando-se particularmente dependente das características das tarefas. Assim, nas tarefas que apresentavam diferentes possibilidades de variação de quantidades ou contextos de modelação significativos para a compreensão das relações numéricas, os alunos apresentaram níveis de generalização e de pensamento relacional mais sofisticados. Referências bibliográficas Blanton, M., & Kaput, J. (2005). Characterizing a classroom practice that promotes algebraic reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), Britt, M. S., & Irwin, K. C. (2011). Algebraic thinking with and without algebraic representation: A pathway for learning. In J. Cai & E. Knuth (Eds.) Early algebraization: A global dialogue from multiple perspectives (pp ). New York: Springer. Carpenter, T. P., Franke, M. L., & Levi, L. (2003). Thinking mathematically: Integrating arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth, NH: Heinemann. Carpenter, T. P., Levi, L., Franke, M. L. & Zeringue, J. K. (2005). Algebra in the elementary school: Developing relational thinking. ZDM, 37(1), Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (2007). Early algebra and algebraic reasoning. In F. Lester (Ed.), Second handbook of mathematics teaching and learning (pp ). Greenwich, CT: Information Age Publishing. Carraher, D., Schliemann, A.D., Brizuela, B., & Earnest, D. (2006). Arithmetic and algebra in early mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 37(2), Confrey, J., & Lachance, A. (2000). Transformative teaching experiments through conjecturedriven research design. In A. Kelly, & R. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education (pp ). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Fujii, T. (2003). Probing students understanding of variables through cognitive conflict problems: Is the concept of a variable so difficult for students to understand? In N. A. Pateman, B. J. Dougherty & J. T. Zilliox (Eds.), Proceedings of the 27th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Honolulu: PME. Gravemeijer, K., & Cobb, P. (2006). Design research from a learning design perspective. In J. van den Akker, K. Gravemeijer, S. McKenney, & N. Nieveen (Eds.), Educational design research (pp ). London: Routledge. Kaput, J. (1999). Teaching and learning a new algebra with understanding. In E. Fennema & T. Romberg (Orgs.), Mathematics classrooms that promote understanding (pp ). Mahawah, NJ: Erlbaum. Mestre, C. (2014). O desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos do 4.º ano de escolaridade: uma experiência de ensino (Tese de doutoramento). Universidade de Lisboa, Lisboa. 279 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória

16 NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Retirado de Radford, L. (2013). Three key concepts of the theory of objectification: Knowledge, knowing, and learning. Journal of Research in Mathematics Education, 2(1), Rivera, F. D. (2006). Changing the face of arithmetic: Teaching children algebra. Teaching Children Mathematics, 12(6), Stephens, M. (2006). Describing and exploring the power of relational thinking. In P. Grootenboer, R. Zevenbergen & M. Chinnappan (Eds.), Identities, cultures and learning spaces. Proceedings of the 29th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (pp ). Canberra: MERGA. Tabach, M., & Friedlander, A. (2008). The role of context in learning beginning algebra. In C. Greenes & R. Rubenstein (Eds.) Algebra and algebraic thinking in school mathematics: Seventieth Yearbook (pp ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 280 XXVII SIEM - Vers~ao Provisória