Movimento Circular Uniforme. Movimento Circular Uniforme. v v

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1 Moimento Circular Uniforme Existe uma enorme quantidade de aparelhos e equipamentos em nossas residências, indústria e comércio onde podemos obserar o moimento circular: relógios, liquidificadores, furadeiras, máquinas de laar roupas e serras elétricas são alguns exemplos. Pense na roda gigante e no carrossel em um parque de diersões. Lá também está presente o moimento circular uniforme. Nesta atiidade focaremos nossas reflexoes no Moimento Circular Uniforme (MCU). Ele é caracterizado por ser um moimento de trajetória circular em que o módulo da elocidade linear () é constante, entretanto, com ariação da direção e do sentido de moimento. rata-se de um moimento periódico. Figura 1 Brinquedo spinner girando em moimento circular KeyVisualStock / Shutterstock rata-se de um moimento periódico. Ou seja, ele gasta sempre o mesmo interalo de tempo para realizar uma olta completa. É importante destacar que o objeto que está em moimento circular uniforme apresenta além da elocidade linear (), uma outra elocidade denominada elocidade angular representada pela letra ω. Não se esqueça que o objeto em moimento circular está mudando continuamente a sua direção e o seu sentido. Lembre-se! A elocidade linear () descree a rapidez com que uma partícula percorre determinada trajetória. A elocidade angular (ω) descree a rapidez com que uma partícula percorre determinado ângulo central da circunferência descrita durante o moimento (figura 2). Uma unidade de medida bastante utilizada para a elocidade angular (ω) é o radiano por segundo (rad/s).

2 R Ângulo descrito por uma pedra ligada a um barbante, em um certo interalo de tempo, durante parte de sua trajetória. Figura 2 Ângulo descrito por um objeto em MCU Fonte: Fundação Bradesco Algumas expressões matemáticas importantes no estudo do MCU Matematicamente há uma expressão que relaciona a elocidade angular, a elocidade linear e o raio (R) da trajetória descrita pelo corpo em moimento circular uniforme. Portanto é importante que no estudo do moimento circular ocê consiga diferenciar a grandeza física elocidade linear () da grandeza elocidade angular (). A primeira e importante expressão aqui apresentada é: = ω.r Além da elocidade linear e da elocidade angular é importante entender a relação existente entre os conceitos de período () e frequência (f). O moimento do brinquedo spinner, por exemplo, pode nos ajudar no resgate dessa relação. Esse passatempo quando impulsionado começa a girar constantemente na ponta dos dedos do seu usuário. Obserando o giro do brinquedo podemos determinar o tempo necessário para efetuar uma olta completa. No caso do spinner é um interalo de tempo extremamente pequeno. A esse alor chamamos de período (). Por outro lado, obserando o moimento circular do brinquedo, considere contar o número de oltas em um segundo ou em um minuto, por exemplo. Essa quantidade recebe o nome de frequência (f).

3 Ou seja, o período fornece o tempo gasto para uma olta completa e a frequência é a quantidade de oltas dadas em um determinado interalo de tempo. As unidades de medidas do período são aquelas utilizadas para a medida do tempo. Estas ocê já conhece: segundo (s), hora (h), minuto (min). Para a medida da frequência as mais utilizadas são o hertz (Hz) e o rotações por minuto (rpm). A frequência e o período se relacionam atraés das expressões mostradas a seguir: ff = 11 = 11 ff Além dessas expressões é importante destacar aquelas outras que relacionam a elocidade linear (), a elocidade angular (ω), o raio (R), o período () e a frequência (f). ω = 2.π ω = 2.π.f R = 2.π.R.f = 2.π.R Nos cálculos utilizaremos para π o alor 3,14. Figura 3 Pás de um gerador de energia eólica executando moimento circular Fonte: BSD / Shutterstock.com É partir da leitura do enunciado do exercício e da obseração das ilustrações que o acompanham que se toma a decisão sobre qual será a melhor expressão matemática ideal para a sua resolução. É importante identificar as grandezas enolidas (elocidade linear, elocidade angular, período, frequência etc). A partir dessa identificação erifica-se qual dentre as expressões do moimento circular uniforme é a mais adequada para a resolução de determinado exercício.

4 A aceleração centrípeta Além das grandezas elocidade linear e elocidade angular é importante falarmos sobre a aceleração centrípeta (a c). Comentamos que no moimento circular uniforme, embora o alor numérico da elocidade do objeto, em rotação permaneça constante, sua direção e seu sentido estão ariando. Corpos executado esse tipo de moimento circular ficam sujeito a uma aceleração dirigida para o centro da circunferência e denominada aceleração centrípeta (a c). Essa aceleração é perpendicular à direção da elocidade. ac ac ac Figura 4 No MCU surge uma aceleração denominada aceleração centrípeta Fonte: UFPA A aceleração centrípeta, a elocidade linear, a elocidade angular e o raio da trajetória podem ser relacionadas a partir das expressões indicadas a seguir. ac = 2 R ac = ω 2.R VELOCIDADE LINEAR VELOCIDADE ANGULAR PERÍODO FREQUÊNCIA MCU RAIO ACELERAÇÃO CENRÍPEA

5 Exercícios Nesta atiidade nós retomamos as noe expressões utilizadas aqui para abordar o moimento circular uniforme (MCU). Estas expressões foram reescritas a seguir. Siga o exemplo e escrea no espaço indicado, o nome de cada uma das grandezas que aparecem na expressão matemática. Exemplo = ω.r Velocidade linear Velocidade angular Raio ff = 11 = 11 ff ω = 2.π ω = 2.π.f

6 = 2.π.R = 2.π.R.f ac = 2 R ac = ω 2.R

7 Nos próximos exercícios faremos uso dessas expressões. Mais uma ez fique atento para as informações no enunciado. Elas te auxiliarão a decidir qual a expressão apropriada para a resolução. 2. Uma engrenagem que faz parte de um motor, gira, no sentido horário, em moimento circular uniforme e demora 0,25 s para efetuar uma olta completa. Adote para π o alor 3, cm Disponíel em: Acesso em: 13 out h51min. a) Qual o periodo de rotaçao da engrenagem? b) Qual a frquência de rotaçao da engrenagem? c) Qual a elocidade angular da engrenagem? d) Qual a elocidade linear, em cm/s, do ponto A localizado em um dos dentes, a 20 cm do eixo central.

8 3. A figura mostra uma bola amarrada a uma corda de comprimento total de 0,8 m. A bola gira em moimento circular uniforme, sem qualquer tipo de atrito agindo sobre ela. A bola gira presa à corda com frequência de 2,5 Hz. Adote π = 3,14. a) Quanto tempo a bola demora para efetuar uma olta completa? b) Quanto ale sua elocidade angular e sua elocidade linear (em m/s)? c) Qual o alor da sua aceleração centrípeta?

9 4. (UFPR Adaptado) Um ponto em moimento circular uniforme descree 15 oltas por segundo em uma circunferência de 8,0 cm de raio. Determine os alores para sua elocidade angular, o seu período e a sua elocidade linear (em m/s). Adote π = 3, (UERJ) A distância média entre o Sol e a erra é de cerca de 150 milhões de quilômetros. Assim, a elocidade média de translação da erra em relação ao Sol é, aproximadamente, de Adote π = 3,14. a) 3 km/s. b) 30 km/s. c) 300 km/s. d) 3000 km/s.

10 6. (UEL PR Adaptado) Duas crianças, identificadas como A e B, estão brincando em um carrossel de um parque de diersões. Uma delas encontra-se sentada nas proximidades da borda, distante 2 metros do centro de rotação e a outra está a 1 m do centro do carrossel, conforme figura a seguir. O brinquedo lea 4 s para efetuar uma olta completa. Considerado que o carrossel está girando e que as posições das crianças, em relação ao carrossel, são mantidas constantes, é correto afirmar: 1 m 2 m A B Para a situação apresentada, foram feitas as afirmações a seguir. Para cada uma delas realize os cálculos necessários e indicando com V as afirmações erdadeiras e com F as falsas. a) ( ) O período do moimento é de 0,25 s b) ( ) A frequência tem alor de 4 Hz. c) ( ) Suas elocidades angulares são iguais. d) ( ) Suas elocidades lineares são diferentes. e) ( ) A aceleração centrípeta da criança A é menor que aceleração centrípeta da criança B.

11 7. (FMM MG Adaptado) Com a finalidade de destacar a rapidez de uma serra circular em cortar pedras e cerâmicas, um folheto ressalta uma noção confusa, ao explicar que a máquina, muito rápida, gira com elocidade de rpm. De fato, a informação dada é a frequência da máquina e não sua elocidade. O folheto ficaria correto e coerente se ressaltasse a elocidade angular da máquina que, em rad/s, corresponde a Admita π = 3 a) b) c) d) e)

12 Gabarito Comentado 1. ff = 11 Frequência Período = 11 ff Período Frequência Velocidade angular ω = 2.π Período Velocidade angular ω = 2.π.f Frequência Velocidade linear = 2.π.R Raio Período = 2.π.R.f Frequência Velocidade linear Raio

13 Aceleração centrípeta ac = 2 R Velocidade linear Raio Aceleração centrípeta ac = ω 2.R Raio Velocidade angular 2. a) Ela demora 0,25 segundos para efetuar uma olta, portanto seu período é de 0,25 s. b) f = 1/ f = 1/0,25 f = 4 Hz c) ω = 2.π/ ω = 2.3,14/0,25 ω = 25,12 rad/s d) = ω.r = 25,12.20 = 502,4 cm/s 3. a) O tempo gasto para efetuar uma olta completa corresponde ao período (). = 1/f

14 = 1/2,5 = 0,4 s b) ω = 2.π/ ω = 2.3,14/0,4 ω = 15,70 rad/s = ω.r = 15,70.0,8 = 12,56 m/s c) a c = 2 R a c = (12,56) 2 0,8 a c = 197,2 m/s 2 4. O ponto descree 15 oltas por segundo. Sendo assim, sua frequência é de 15 Hz. Para a elocidade angular (ω) ω = 2.π.f ω = 2.3,14.15 ω = 94,2 rad/s Para a elocidade linear () = ω.r Lembrando que R = 8 cm = 0,08 m, teremos: = ω.r = 94,2.0,08 7,54 m/s Para o período () = 1/f = 1/15 0,067 s

15 5. Alternatia B Comentário: A distância média fornecida no enunciado corresponde ao raio da órbita. Para calcular a elocidade de translação, que corresponde à elocidade linear, podemos utilziar a expressão = 2.π.R Onde, que é o período corresponde ao tempo gasto pela erra para completar uma olta em torno do Sol. Esse tempo é de 1 ano. Obsere que as respostas foram fornecidas na unidade de medida km/s. Sendo assim, o tempo que está em anos, precisa ser expresso em segudos. 1 ano = 365 dias 1 dia = 24 h 1 h = 3600s Dessa maneira: 1 ano = 365 x 24 x ano = s E inserindo as informações do raio R que ale km e do período com alor s, teremos: = 2.π.R = 2x3,14x ,87 km/s 30 km/s 6. a) (F) O período do moimento é de 0,25 s b) (F) A frequência tem alor de 4 Hz. O brinquedo lea 4 s para efetuar uma olta completa. Seu período será = 4 s e sua frequência f = 1/. f = 1/4 f = 0,25 Hz c) (V) Suas elocidades angulares são iguais. Para o cálculo da elocidade angular (ω) podemos utilizar as expressões ω = 2.π/ ou ω = 2.π.f

16 Obsere que o período () e a frequência (f) não mudam, permanecendo constantes. Sendo assim, a elocidade angular das duas crianças, é a mesma d) ( V ) Suas elocidades lineares são diferentes. A elocidade linear depende da posição com relação ao centro de rotação do brinquedo Para a criança A (R = 1 m). Podemos realizar o cálculo com a expressão da elocidade linear que enole o período ou com aquela outra que faz uso da frequência. Faremos os cálculos com ambas. = 2.π.R R = 1 m = 4 s = 2.π.R.f R = 1 m f = 0,25 Hz = 2.3, = 1,57 m/s = 2.3,14.1.0,25 = 1,57 m/s Para a criança B (R = 2 m). Noamente a elocidade linear depende da posição com relação ao centro de rotação do brinquedo. Podemos noamente realizar o cálculo com a expressão da elocidade linear que enole o período ou com aquela outra que faz uso da frequência. Faremos os cálculos com ambas. = 2.π.R R = 2 m = 4 s = 2.π.R.f R = 2 m f = 0,25 Hz = 2.3, = 3,14 m/s = 2.3,14.2.0,25 = 3,14 m/s e) (V) A aceleração centrípeta da criança A é menor que aceleração centrípeta da criança B. A aceleração centrípeta pode ser expressa como: a c = 2 R Acompanhe os cálculos no quadro a seguir:

17 Criança A R = 1 m = 1,57 m/s Criança B R = 2 m = 3,14 m/s a c = 2 R a c = 2 R a c = (1,57) 2 1 a c 2,46 m/s 2 a c = (3,14) 2 2 a c 4,93 m/s 2 7. Alternatia A Considerando que a frequência ale rpm, precisamos escreer esse alor utilizando a unidade de medida hertz. 1 rpm = 1 rotação por minuto E lembrando que 1 min = 60 s, podemos escreer rpm = rotações por minuto = rotações por 60 s São realizadas rotações em 60 segundos? E em 1 segundo, quantas rotações são realizadas? Achando esse alor determinamos a frequência em hertz. Utilizando a regra de três rotações 60 s f rotações 1 s f.60 = f = /60 f 217 Hz E utilizando a expressão ω = 2.π.f, e adotando π = 3, conforme informado no enunciado, teremos ω = 2.π.f ω = 2x3x217 ω = 1302 rad/s

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