EE-981 Telefonia Prof. Motoyama 1º Semestre Capítulo 5. Tráfego Telefônico

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1 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 Capítulo 5 Tráfego Telefônico 5. Introdução O objetivo do tráfego telefônico é dimensionar de maneira eficiente os recursos da rede telefônica. Os dimensionamentos eficientes dos equipamentos auxiliares em uma central telefônica, como registradores, geradores de tons de campainha, de discar, etc, são exemplos de aplicações do tráfego telefônico. Um outro exemplo clássico é o dimensionamento de troncos, circuitos ou linhas que interligam duas centrais telefônicas. o exemplo da Fig. 5. a central BX possui um certo número de aparelhos telefônicos utilizados para fazer ligações externas através da rede comutada. Quantos troncos são necessários para um bom atendimento aos usuários de aparelhos telefônicos, mas ao mesmo tempo garantindo a eficiente utilização dos troncos? Ou em outras palavras quantos troncos são necessários para uma dada especificação de qualidade de serviço? ssa qualidade de serviço significa, por exemplo, uma chamada perdida em chamadas ocorridas, isto é uma perda de %. BX Troncos Central ocal Rede de Telefonia ública Figura 5. xemplo de dimensionamento de tronco. o exemplo acima, não foi mencionada qualquer característica da central para se obter a qualidade de serviço desejada. Quando as características da central são evidenciadas, pode-se ter os seguintes critérios de tratamento de chamadas: a) sem espera de chamadas e com bloqueio b) com espera de chamadas (sem e com bloqueio) O critério do item a) é o tratamento clássico das chamadas em que quando não há troncos livres as chamadas sofrem bloqueios. o critério do item b), as chamadas que chegam à central são colocadas em um buffer, e se não houver troncos disponíveis aguardam por um determinado tempo até que se liberem os troncos ou são bloqueadas, recebendo nesse último caso, tons de ocupados. maioria das centrais digitais opera com chamada em espera e, também, com bloqueio. este capítulo, estudam-se, inicialmente, as principais medidas utilizadas em tráfego telefônico. m seguida, a fórmula clássica de grande utilidade, a fórmula de rlang-b, será desenvolvida e vários exemplos de aplicação serão mostrados, e por fim, as principais fórmulas com chamada em espera serão desenvolvidas, utilizando as mesmas técnicas apresentadas para demonstrar a fórmula de rlang-b. 5. Medidas de Tráfego telefônico 8

2 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 s ocorrências das chamadas telefônicas são aleatórias, podendo ocorrer a qualquer instante, assim como os tempos de conversação que podem durar alguns segundos como algumas horas. Dessa maneira, há uma necessidade de caracterizar as medidas de tráfego telefônico. s medidas mais importantes são o volume, a intensidade e a hora de maior movimento. Volume de Tráfego É a soma dos tempos ocupados durante as conversações em um grupo de enlaces ou circuitos de conexão. Seja t i, i,,4, os tempos de ocupação de um enlace, como mostrado na Fig. 5.. t t t t 4 O volume de tráfego Y é dado por: Y 4 i i Figura 5. Tempos de ocupação de um enlace. t (5.) O volume de tráfego indica apenas a quantidade de ocupação, mas não a eficiência ou grau de utilização. Como exemplo, sejam dois enlaces, e B, que foram ocupados 6 e 8 horas, respectivamente. ode-se concluir que o enlace B foi mais utilizado que o. Intensidade de Tráfego intensidade de tráfego escoado, por um grupo de enlaces, durante um período de tempo T, é a soma das durações de tempo de ocupação dividida por T. T é o tempo de observação ou unidade de tempo. t t t t 4 T Figura 5. Tempos de ocupação de um enlace por unidade de tempo. intensidade de tráfego da Fig. 5. é dada por: 4 ti i T Y T (5.) intensidade de tráfego é uma grandeza adimensional. ntretanto, utiliza-se uma unidade que é o rlang () em homenagem a. K. rlang (878-98), considerado o fundador da teoria de tráfego. Se um enlace ou circuito ou canal tem de intensidade de tráfego, significa que ele está % do tempo de observação ocupado. T pode ser hora, minuto, segundo. m geral, trabalha-se com tempo médio de ocupação (t m ou / ) ou conversação que pode ser obtido após uma série de medições estatísticas. 8

3 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 Seja c o número de ocorrências de chamadas, então, a intensidade de tráfego pode ser escrita como: ct m (5.) T onde, c número de chamadas por unidade de tempo ou taxa de chamadas. T t m (5.4) Quando a intensidade de tráfego (ou simplesmente tráfego) se referir ao tráfego de circuitos (enlaces, troncos ou canais), é admitida que a distribuição de probabilidade de ocupação dos circuitos seja a mesma para todos eles. ssim, ρ, representa a intensidade de tráfego de circuito individual. Como exemplo de duração média das chamadas, pode-se ter: Comunicação local : a minutos Comunicação interurbana : 4 minutos Comunicação internacional: minutos. baixo, são mostrados exemplos de utilização das linhas: inha residencial:,75 inha comercial :, a,4 Telefone úblico:,5. Hora de maior movimento - HMM hora de maior movimento é o período de tempo durante o qual uma central telefônica acusa o tráfego máximo a escoar. Fig. 5. mostra a utilização da central durante um dia típico da semana. O período entre 9 e horas está o maior tráfego que corresponde o período em que as empresas, escritórios, fábricas, etc, estão em plena atividade de trabalho. O tráfego começa a diminuir em torno das 7 horas, mas recomeça a aumentar por volta das 9 e horas, quando a maioria das pessoas está em suas residências e iniciam chamadas consideradas sociais. hora de maior movimento no exemplo da figura é entre 9: a : horas. rlangss horas Figura 5.4 Utilização de uma central telefônica durante um dia. ara determinar a HMM, a ITU-T (International Telecomunications Union - Telecommunication Sector) recomenda efetuar medições de tráfego a cada quarto de hora entre 9 horas e horas, e isto durante dias úteis consecutivos. stes dias deverão ser normais, ou seja, não poderão ser feriados ou conterem quaisquer acontecimentos anormais. 84

4 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre xemplo 5. Um condomínio tem uma central BX para fazer chamadas locais (dentro do condomínio) e chamadas externas (de/para fora do condomínio). m uma hora de maior movimento (HMM), a central registrou 6 chamadas. % é ligação local e o restante é ligação externa. duração média da ligação local é de minuto, e a ligação externa tem em média uma duração de minutos. a) Calcule a intensidade de tráfego das ligações locais. b) Calcule a intensidade de tráfego das ligações externas. c) Calcule o tráfego total. Solução: a) s chamadas locais são. x 6 chamadas (serão abreviadas como chms). taxa de chamadas é l / 6 chm/min. duração da ligação local é t ml min. ortanto, a intensidade de tráfego é l l x t ml x. b) s chamadas externas são 6-48 chms. taxa de chamadas é e 48 / 6 8 chms/min. duração da ligação externa é t me minutos. ortanto, a intensidade de tráfego é e e x t me 8 x 4. c) O tráfego total é Α t Α l Α e Caracterizações dos processos de chegada e de conversação das chamadas telefônicas Seja uma central BX mostrada na Fig central possui n terminais telefônicos e troncos de saída. Suponha que cada telefone tenha uma probabilidade p de estar ativo. Qual é a probabilidade de ocorrer chamadas (,,,... n. )? n BX Figura 5.5 Uma central com n aparelhos telefônicos e troncos de saída. ara responder a pergunta acima, admite-se somente dois estados para cada telefone: ativo (em conversação), com probabilidade p, e inativo, com probabilidade -p. ssa variável aleatória que modela os estados do telefone é conhecida como variável aleatória de Bernoulli e, matematicamente, pode-se escrever r { X } p > ; r{ X } p q (5.5) esperança matemática (ou valor médio esperado ou média ou momento de primeira ordem), o valor quadrático médio e a variância dessa variável são: 85

5 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 { X } x r { X } p ( p) p (5.6) { } { } X r X p ( p) p (5.7) σ X { } { } { } ( X x) r X X X (5.8) σ X p( p) pq Considere, agora, X, X,... X n variáveis aleatórias de Bernoulli independentes e com a mesma distribuição de probabilidade. r{x i } p, r{x i } - p q, i,... n Definindo Y X X... X n, pode-se responder a pergunta inicialmente feita nesta seção. Refazendo a pergunta em termos das definições apresentadas: Qual é a probabilidade de r{ Y } ou qual é a probabilidade de telefones estarem ativos num conjunto de n? r{ Y } é dada por: n ( ) r{ Y } pq n onde, n n! é o número de combinações possíveis de telefones ativos em n,!( n )! p é a probabilidade de telefones estarem ativos, q (n-) é a probabilidade dos (n - ) restantes estarem inativos. (5.9) ara variáveis aleatórias independentes, pode-se afirmar que: a) a média da soma é a soma das médias e b) a variância da soma é a soma das variâncias. ortanto, Y { } σ Y np npq (5.) (5.) m geral, o número de chamadas telefônicas por um período de tempo é de maior interesse, pois, é mais fácil fazer medições na prática. q. 5.9 fornece a probabilidade de número de chamadas somente em função de p. Considere um período de tempo θ e seja np θ constante; n p ssim, np taxa média de chamadas (número de chamadas por intervalo de θ tempo). Substituindo essa relação na q. 5.9, e calculando o limite da probabilidade, tem-se: 86

6 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 onde, r { Y } r{ Y lim r{ Y n n! p!( n )! n! ( θ ) }!( n )! n } ( n) ( p) ( n ) θ n n! ( θ ) lim!( n )! n n ( n ) θ n ( n) θ lim exp( θ ) n n n! n( n )...( n ) lim lim n ( n )! n n n... n ( θ ) lim r{ Y } exp( θ) (5.) n! y np θ média e θ θ σy npq lim n θ variância. n n n Conclui-se que o limite de uma distribuição binomial é uma distribuição de oisson. média da distribuição poissoniana é igual à variância. ssim, as ocorrências das chamadas telefônicas podem ser modeladas como uma distribuição de oisson, que é caracterizada apenas pela sua taxa média. seguir, as principais propriedades da distribuição de oisson são estudadas. - soma de variáveis aleatórias poissonianas independentes é uma poissoniana. Considere a variável aleatória Y Y Y, onde Y e Y são poissonianas de médias e, respectivamente. ssim, ( θ) r{ Y } exp( θ ) (5.)! - ocorrência de eventos simultâneos tem probabilidade nula. Seja θ t. O termo exp(- t) pode ser expandido em série de Taylor. ( t) exp( t)! ara e e retendo os termos de primeira ordem na série de Taylor, a q. 5. pode ser escrita como: r { Y } t e r{ Y } t 87

7 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 ara, a q. 5. terá somente termos de segunda ordem. ortanto, { Y } r ara t infinitesimal, há apenas uma ocorrência com probabilidade t, ou nenhuma ocorrência com probabilidade - t. m outras palavras, em processos poissonianos não há ocorrências simultâneas. - O dual da distribuição de oisson é uma distribuição exponencial. Suponha as ocorrências de chamadas obedecendo a uma distribuição de oisson, como ilustra a Fig Seja T a variável aleatória que representa o tempo entre as ocorrências sucessivas. Quer-se calcular a distribuição da variável aleatória T T t Figura 5.6 Distribuição entre as ocorrências sucessivas. Seja F T (t) r{t< t} a função distribuição de probabilidade da variável aleatória T. derivada dessa distribuição é a função densidade de probabilidade e será denotada por p T (t). função complementar r{t>t} representa a probabilidade de não haver ocorrência num intervalo de duração t. ortanto, r { > t} r{ zero chamada no intervalo t T } ( t) r{ T > t} exp( t) exp( t)! F(t) r{ T> t } exp( t); t T Derivando, obtém-se: p T () t exp( t ); t (5.4) distribuição do tempo entre as chamadas é uma exponencial negativa. média e a variância da exponencial negativa são { T} tp ( t) dt texp( t) dt ortanto, x n T t dt exp( t ) t exp( t ) dt Γ( n ) n! exp( ax) dx n a ( ) 88

8 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 { T } { } T e σ T (5.5) (5.6) ode-se caracterizar o processo de chegada como poissoniana de média, ou, alternativamente, como exponencial negativa de média /, dependendo se está contando o número de chamadas ou se está observando o tempo entre as chamadas. O processo de conversação pode ser caracterizado de maneira análoga ao processo de chegada. Basta, neste caso, olhar o tronco de saída e verificar os tempos entre as partidas que podem ser modelados como exponencial negativa. ssim, e FT () t exp( t); t (5.7) p T () t exp( t ); t (5.8) onde é a taxa média de término de conversação, e t m / é o tempo médio de conversação xemplo 5. Seja uma central BX em que os terminais telefônicos são divididos em dois grupos. Um grupo gera chamadas obedecendo a uma distribuição poissoniana de taxa chamada/seg. O outro grupo gera chamadas obedecendo a uma distribuição exponencial negativa com média igual a 4 segundos. a) Calcule a probabilidade de que em um intervalo de segundos não haja nenhuma chamada chegando à central. Solução: a) Utilizando a propriedade da distribuição de oisson, de que o dual da distribuição é a distribuição exponencial, e que a taxa média da exponencial é o inverso da taxa média poissoniana, tem-se: chm/seg e / 4,5 chm/seg taxa média total é calculada, utilizando a propriedade. t,5 chms/seg probabilidade pedida pode ser calculada pelo uso da q. 5., com e θ segs. { Y } (,5.) (,5.) exp(,5), 8 r exp!

9 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre Sistemas sem espera de chamadas e com bloqueio Seja uma central BX com somente um tronco de saída, mostrada na Fig O processo de chegada das chamadas obedece a uma distribuição poissoniana de taxa média, e o tempo de conversação tem uma distribuição exponencial negativa de média /. central opera sem espera, isto é quando o tronco estiver ocupado, e se chegarem novas chamadas, essas chamadas são bloqueadas. É suposto que existem infinitos aparelhos telefônicos. ssa suposição garante que a taxa seja constante. Se existe um número finito de aparelhos, por exemplo, aparelhos telefônicos, quando dois aparelhos estão em conversação, somente o terceiro aparelho pode gerar a chamada. essas condições, a taxa de chamadas não será constante e dependerá de número de aparelhos telefônicos. Quando o número de aparelhos telefônicos é infinito, a taxa de chamadas pode ser considerada constante, pois, mesmo que tenha um número significativo de aparelhos em conversação, restam ainda infinitos aparelhos gerando novas chamadas. BX Tronco Central ocal Rede de Telefonia ública Figura 5.7 Central telefônica com taxa constante de chegada das chamadas e um tronco. ara caracterizar o número de chamadas na central BX, é utilizada uma representação em diagrama de estados. Figura 5.8 Diagrama de transição de estados para central com um tronco. O diagrama da Fig. 5.8 representa as duas possibilidades de ocorrência de chamadas na central. O estado indica a probabilidade de se ter uma chamada na central e o estado, a probabilidade da central estar sem chamadas. os casos em que ocorrerem novas chamadas, enquanto uma conversação está em andamento, são situações em que as chamadas são bloqueadas e não ficam na central, portanto, são possibilidades ou estados não existentes, para este exemplo. taxa representa a taxa de transição do estado para estado (taxa de chegada) e representa a taxa de partida (término de uma conversação). m situação de equilíbrio estatístico (significa um processo ergódigo em que a média estatística é igual a média no tempo), o fluxo escoado ou atendido de chamadas deve ser igual ao fluxo de chamadas que deixa o sistema. m termos de probabilidade, pode-se escrever: 9

10 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 Resolvendo o sistema de equações e, e O termo / é a intensidade de tráfego definida na seção 5.. média das chamadas na central é: { n}.. Se,6 { n}, 75 probabilidade de bloqueio de chamada é definida como a situação em que, dado que houve a geração de uma chamada, qual é a probabilidade de troncos de saída estarem ocupados. Matematicamente, pode-se escrever, robabilidade de bloqueio B r { troncos ocupados / chegada}. como, Recorrendo da definição de probabilidade condicional, a expressão acima pode ser escrita r { troncos ocupados / chegada }. r { chegada } r { chegada / troncos ocupados }. r { troncos ocupados } Mas, r { chegada / troncos ocupados} r { chegada }. ois, o processo de chegada das chamadas foi admitido ser processo poissoniano de taxa que não varia com a ocupação dos troncos. ortanto, B r { troncos ocupados / chegada } r { troncos ocupados } (5.9) ssim, a probabilidade de bloqueio da central em consideração é, e o tráfego perdido é. O tráfego escoado é (- ). ara o caso do exemplo acima,,75, ou seja uma perda de 7,5 %. O tráfego perdido é,5, e o tráfego escoado é,75. lternativamente, a probabilidade de bloqueio pode ser definida como: B tráfego perdido / tráfego oferecido (5.9 a) Usando essa definição, para exemplo acima, tem-se B,5 /,6,75. 9

11 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 Considere, agora, uma central com troncos. O diagrama de transição de estados está mostrado na Fig. 5.9 Figura 5.9 Diagrama de transição de estado com dois troncos. este caso, tem-se até duas chamadas em conversação. taxa de transição de partida do estado para o estado é agora, pois, é taxa de partida de chamadas de um tronco. s equações de equilíbrio, a solução e a média das chamadas são ( ) e { n}. probabilidade de bloqueio, neste caso, é dada por, B r { troncos ocupados / chamada} r { troncos ocupados } Considere, agora, o caso geral da central com troncos, como mostrado na Fig. 5. BX Troncos Central ocal Rede de Telefonia ública Figura 5. Central com troncos 9

12 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 O diagrama de transição de estados, para este caso, é mostrado na Fig ( ) ( ) Figura 5. Diagrama de transição de estados para troncos s equações de equilíbrio são: ( ) ( ), < ( ),, (5.) O sistema de equações pode ser resolvido de modo recursivo. [ ] ( ) ( ) (5.) ara ( ) ( ) 6 M or indução pode-se escrever,! (5.) 9

13 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 Mas,!! Substituindo a q. 5.4 na q. 5., tem-se:!! (5.4) (5.5) equação acima representa a distribuição de probabilidade de se ter chamadas em andamento na central. probabilidade de bloqueio é dada por r { troncos ocupados / chamada } r { troncos ocupados } B! B, ( ) (5.6)! fórmula acima é conhecida como rlang-b ou de a espécie. notação, () significa que é uma probabilidade de bloqueio de ª espécie, para uma central com troncos e com uma intensidade de tráfego aplicada de erlangs. q. 5.6 não é conveniente para valores grande de e de. or exemplo, para e, a relação /! pode levar a erro de arredondamento. ara evitar erros de arredondamentos, a q. 5.6 pode ser modificada para calcular a probabilidade recursivamente. ara (-) troncos, a probabilidade de bloqueio é dada por ortanto, ( )!, ( ) (5.7)! ( )! (5.8)! ( )!, Substituindo a q. 5.8 na q. 5.6, obtém-se 94

14 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4,! /( ) ( )!,,, ( ), ( ),, (5.9) ( ), q. 5.9 é uma fórmula de recorrência que permite calcular a probabilidade de bloqueio a partir da condição inicial de que o número de troncos é igual a zero (, ), ou seja a probabilidade de bloqueio é igual a. o passo seguinte, considera que o tronco é igual a e calcula a probabilidade de bloqueio em função de,, e assim por diante, até chegar ao valor de desejado. tabela de rlang, que está no apêndice, foi calculada utilizando a q xemplo 5. Um tráfego de é aplicado à uma central com troncos de saída e infinitos telefones de entrada. O processo de chegada das chamadas é oissoniano. distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média minutos. O sistema é sem espera. a) Calcule a probabilidade de que tronco esteja ocupado. b) Calcule a probabilidade de que troncos estejam livres. c) Calcule a probabilidade de bloqueio. d) Calcule as proporções de tráfego escoado e perdido. e) Calcule o número médio de chamadas na central. f) Calcule o tempo médio de permanência das chamadas na central. Solução: a) probabilidade de ocupação da central é dada pela q ara o caso do exemplo, e. ortanto,!!,4 b) probabilidade de que troncos estejam livres é igual a probabilidade de nenhuma chamada na central. ssim,!!,4 95

15 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 c) probabilidade de bloqueio é dada pela q. 5.6.!!! B, d) O tráfego aplicado é. O tráfego perdido é B.,, e o tráfego escoado é ( - B ).( -,),8. e) O número médio de chamadas na central é dado por {} n....,4.,4.,, 8 f) Como a central opera sem espera, o tempo médio de permanência de uma chamada é igual ao tempo de conversação, que é minutos xemplo 5.4 Os troncos de saída de uma central são divididos em dois grupos. Um grupo é utilizado somente para receber chamadas externas; o outro grupo é utilizado somente para fazer chamadas externas. s distribuições de ocorrências das chamadas são poissonianas. taxa de chamadas que entram é,5 chms/min, tendo cada chamada uma duração média de 5 minutos. taxa de chamadas que saem é 5 chms/min, com duração média de,5 minutos. qualidade de serviço ou a probabilidade de bloqueio exigida é de 4%. a) Quantos troncos são necessários para atender as chamadas que entram e que saem? b) Supondo os troncos bidirecionais, isto é, os troncos podem receber ou fazer chamadas, calcule o número de troncos necessários para atender as chamadas, satisfazendo a qualidade de serviço exigida. Solução: a) intensidade de tráfego das chamadas recebidas é,5 x 5, e a intensidade de tráfego das chamadas feitas é 5 x,5. Será utilizada a tabela de rlang do apêndice, com os valores e B B,4. Como não há na tabela, o valor exato de, utiliza-se o valor mais próximo que seja sobreestimado, isto é,,59. Com esse valor, o número de troncos é igual a 6, para chamadas recebidas. O mesmo valor é encontrado para chamadas feitas. ssim, o total de troncos necessários para atender as chamadas com a qualidade exigida é. b) este caso, os troncos podem receber ou fazer as chamadas. Desse modo, deve-se utilizar o tráfego agregado, que é t. Com esse valor e B B,4, utiliza-se a tabela de rlang do apêndice. ovamente, não há valor exato de. O valor mais próximo sobreestimado é,99, que necessita de 8 troncos. Observe que houve um ganho significativo de 4 troncos, comparado com o item a). sse ganho é obtido pela utilização mais eficiente de 96

16 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 troncos. utilização dos troncos no item a) é ρ Α ( - B ) / 6,59 (,4) / 6,66. utilização dos troncos no item b) é ρ t ( B ) / 8,99 (,4) / 8, q. 5.6 não é válida para um central com um número finito de telefones de entrada, ou seja, quando a taxa de chamadas não é constante. esse caso, o desenvolvimento matemático é mais complexo, e o resultado final é denominado de fórmula de ngset. M Central sem espera Figura 5. Central com taxa média de chamadas não constante. Considerando a central da Fig. 5., com M telefones de entrada e enlaces de saída ( < M) a fórmula de ngset é dada por []: M M (5.) q. 5. representa a probabilidade de se ter chamadas em conversação na central. probabilidade de bloqueio é dada por []: M B (5.) M ara valor de M a q. 5. se aproxima da fórmula de rlang-b. 5.5 Sistema com espera de chamadas análise feita na seção anterior foi considerada que a central não tinha capacidade para armazenar chamadas telefônicas. ssim, quando todos os troncos eram ocupados, as novas chamadas eram bloqueadas. ntretanto, as centrais digitais atuais têm capacidades para reter, por um certo tempo, as novas chamadas antes de bloquear. esta seção, são feitas as análises das centrais com espera de chamadas. Inicialmente, a central com espera, com tronco e sem bloqueio (ou buffer infinito) é analisada. seguir, a mesma central com tronco mas com bloqueio (ou buffer finito) é investigada. Finalmente, a central com troncos, com buffer infinito e finito é analisada em detalhes. Sistema com tronco e sem bloqueio 97

17 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 Seja uma central BX com somente um tronco de saída, mostrada na Fig. 5.. O processo de chegada das chamadas obedece a uma distribuição poissoniana de taxa média, e o tempo de conversação tem uma distribuição exponencial negativa de média /. central opera com espera, isto é, quando o tronco estiver ocupado, todas as outras chamadas que chegam ficam esperando em um buffer de tamanho infinito. O esquema de atendimento é do tipo FIFO (first in - first out), ou seja, as chamadas são atendidas em ordem de chegada. Buffer Tronco Central ocal Rede de Telefonia ública BX Figura 5. Central com buffer de tamanho infinito e um tronco. O diagrama de transição de estados é mostrado na Fig Figura 5.4 Diagrama de transição de estados de uma central com espera e um tronco. s equações de equilíbrio são: ou ( ) ( ), O sistema de equações pode ser resolvido em função de. (5.) (5.) 98

18 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 M ( ) ( ) O valor de é calculado por: (5.4) estacionaridade. rog. geom., para <, que é a condição de ortanto, e - (5.5) ( - ) (5.6) Fig. 5.5 mostra o comportamento da central em função do número de chamadas. - (-) (-) (-) (-) Figura 5.5 Distribuição de probabilidade em função de. O gráfico da figura mostra que a probabilidade diminui com aumento de ; por ex., a probabilidade de se ter duas chamadas no sistema é maior do que a probabilidade se ter chamadas. média pode ser calculada por { } ( ) ( ) Mas, ogo, ( ) 99

19 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 { } (5.7) Figura 5.6 úmero médio de chamadas em função do tráfego. ara o tráfego aproximando do valor, o número médio das chamada tende a infinito. Isto significa que a fila tem um número muito grande de chamadas em espera. m geral, tem-se bastante interesse em saber qual é o tempo médio de espera das chamadas. O relacionamento entre o número médio e o tempo médio das chamadas foi estabelecido por ittle []. O teorema de ittle estabelece que, { } T { } ef (5.8) onde ef é a taxa média de chamadas efetivamente atendida. ste relacionamento é bastante geral, e não depende da distribuição da chegada, nem do tempo de conversação, nem do número de troncos, e nem da maneira como os troncos são utilizados. ssim, { } { T} ( ) ( ) (5.9) { T} expressão acima mostra que quando se aproxima de, o tempo de espera tende a infinito. É a situação em que se forma uma fila muito grande. O tipo de fila analisado é conhecido na teoria de fila como M/M/. notação foi proposta por Kendal e no caso mais geral possui 5 campos /B/m/z/U. O primeiro campo () descreve a distribuição do processo de chegada; o segundo (B), a distribuição do processo de

20 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 atendimento (ou conversação no caso telefônico); m representa o número de servidores (ou troncos): z representa o tamanho máximo do sistema de fila ( capacidade do buffer somado ao número de servidores) e o último campo (U) representa o tamanho da população que procura o sistema de fila. Os campos e B podem descrever as distribuições de oisson (M de maroviano), exponencial negativa (M de maroviano), determinística (D), geral (G), etc. ssim, a fila M/M/ representa a distribuição de chegada poissoniana, atendimento ou tempo de conversação exponencial negativa, uma fila com servidor (ou tronco) e os outros campos são considerados de tamanho infinito xemplo 5.5 Suponha uma central com um tronco de saída. O tamanho do buffer de espera na central é infinito. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de oisson. intensidade de tráfego aplicada é de,6, e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média minutos. a) Calcule o número médio de chamadas na central. b) Calcule o tempo médio de permanência das chamadas na central. Solução: a) O número médio de chamadas na central é dado pela q ogo,,6 {}, 5 chamadas,6 b) ara calcular o tempo médio de permanência das chamadas na central, pode-se utilizar o teorema de itlle. O valor de é igual a ( / t m ) (,6 / ), chms/min. ortanto, {} T {} {} ef,5, 7,5 minutos sse item pode ser resolvido utilizando a q O valor de é ( /). ssim, {} T 7, 5 minutos 4, Considere, agora, a central com tronco de saída e o buffer, como ocorre na prática, tem uma capacidade finita, e acomoda até chamadas. cima de ( chamadas em espera mais chamada sendo atendida), as novas chamadas são bloqueadas. essas condições, algumas chamadas são perdidas. ara uma dada qualidade de serviço (por exemplo, perda em chamadas), quer-se dimensionar o tamanho do buffer. sse problema pode ser resolvido através do diagrama de transição de estados mostrado na Fig a notação de Kendall, é uma fila do tipo M/M//

21 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre Figura 5.7 Diagrama de transição de estado para central com um tronco e buffer finito. s equações de equilíbrio são:,,, ) ( (5.4) solução para é a mesma solução da fila M/M/. ssim, (5.4) O valor de pode ser calculado por Mas, < para, ortanto, (5.4) e para, (5.4) probabilidade acima representa o número de chamadas no sistema. probabilidade de bloqueio pode ser calculada utilizando a expressão abaixo. r { locais e o tronco ocupados / chamada } r { locais e o tronco ocupados } B

22 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 ssim, ( ) B (5.44) taxa média de perda é B e a taxa média escoada é (- B ). ela escolha adequada do tamanho de buffer, é possível satisfazer a qualidade de serviço especificada. Fig. 5.8 ilustra a variação da probabilidade de bloqueio em função do tamanho de buffer, tendo como parâmetro a intensidade de tráfego. ara uma certa intensidade, por exemplo,,5, o valor de probabilidade de bloqueio poderá ser aproximar do especificado, se for escolhido um valor de adequado. Se a probabilidade especificada for %, pode-se observar pela Fig. 5.8, que é necessário em torno de locais de espera. Figura 5.8 robabilidade de bloqueio em função de locais de espera xemplo 5.6 Suponha uma central com um tronco de saída. O tamanho do buffer de espera na central é finito, com somente local de espera. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de oisson. intensidade de tráfego aplicada é de,6, e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média minutos. a) Calcule o número médio de chamadas na central. b) Calcule o tempo médio de permanência das chamadas na central. Solução: a) Com um local de espera, pode-se ter, ou chamadas na central. s probabilidades de ocorrências dessas chamadas são dadas pela q. 5.4 e são:

23 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 ara, -,6 -,6,5 ara, ara, -,6,6 -,6,6 -,6,6,84 -,6 O número médio de chamadas é dado por: {}....,6.,84, 674 Observe que este número é menor do que o valor encontrado no exemplo 5.5, pois acima de duas chamadas, elas são bloqueadas e não esperam na central. b) O teorema de ittle é utilizado para resolver este item. O valor de é o mesmo que foi calculado no exemplo 5.5, e é, chms/min. O valor de B,84. ortanto, {} T {} {} ( ef B,674 4, minutos ),(,84) Observe que o valor encontrado é, também, menor do que do exemplo 5.5, pois as chamadas bloqueadas não esperam na central, permitindo que as chamadas atendidas permaneçam menos tempo na central Considere, agora, uma central com troncos e infinitos locais de espera. É uma fila do tipo M/M/. O diagrama de transição de estado é mostrado na Fig Figura 5.9 Diagrama de transição de estado para troncos e locais de espera ilimitados. ara escrever as equações de equilíbrio, o diagrama pode ser dividido em duas partes: a) ara 4

24 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 ( ) ( ) e (5.45) solução, neste caso, é igual a distribuição de rlang, e é!, (5.46) b) ara ( ) ou ( ) (5.47) ela q vale! ortanto, ( )!!! M!!!!, (5.48) pode ser calculado através da probabilidade total.!!!!! c c! c c!, para ρ < relação ( / ) ρ < é a condição de estacionaridade do sistema. 5

25 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 ( )!! (5.49) ortanto,!,!, - (5.5) probabilidade de haver espera pode ser dada por: { } { } { } ) (! r ortanto,! r r, espera! z z Se!! espera z z z z - (5.5) expressão acima é conhecida como fórmula de rlang-c ou de a espécie. O número médio de chamadas em espera no buffer é: { } ( ) ) (! - q! (-) fetuando a mudança de variável: z se e z z 6

26 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4!! z ( ) 44! 44, ( ) z z ortanto, { q}, ( ) (5.5) O tempo médio de espera no buffer pode ser calculado utilizando o teorema de ittle. { q} W { } q, ( ), ( ) ( ) ( ) (5.5) m casos práticos, o tamanho do buffer não é infinito. ara um buffer finito, de tamanho, é possível o cálculo da probabilidade de bloqueio. Inicialmente, o valor de é calculado, pela probabilidade total. Ou,!!!!!! ( ) (5.54) ( )!! probabilidade de bloqueio pode ser calculada por: B r { troncos e locais ocupados / chamada } r { troncos e locais ocupados } B! (5.55) O valor de, neste caso, é dado pela q xemplo 5.7 7

27 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 Um tráfego de é aplicado à uma central com troncos de saída. O processo de chegada das chamadas é oissoniano. distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média minutos. central tem buffer de espera de tamanho ilimitado. a) Calcule o número médio de chamadas em espera no buffer. b) Calcule o tempo médio de espera das chamadas na central. c) Suponha que o tamanho do buffer seja limitado a local de espera. Refaça os itens a) e b). Solução: a) O número médio de chamadas na central é dado pela q O valor de é, e o de é. { } q, ( ),,! ) ( ( ) ) /!(!!!!! ) (, ortanto, { } chamadas, ) (, q b) O tempo médio de espera é dado pela q O valor de é ( / t m ) / { } { } minuto / / q q W c) Com o buffer limitado a local de espera, pode-se ter,, e chamadas na central. s probabilidades de ocorrência dessas chamadas são dadas pela q. 5.5.,!,! - e ( )!! ( ) ( ),6,75 / /!!!! 8

28 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4!,6,6!,6,6!,,6!,8, -!,6,9 -! O número médio de chamadas em espera é dado por: { } ( ) ),9 chamadas q ( O número médio de chamadas na central é: {}...,6.,6.,9,5 chamadas O tempo médio de espera pode ser calculado pelo teorema de itlle. O valor de já foi calculado, e é igual a /. probabilidade de bloqueio pode ser calculada pela q. 5.55, e é igual a. ortanto, { } W { } q,9,9 x,9,7,9, minutos q ( ) ef B O tempo médio de permanência das chamadas na central é: {} T { },5,5 x,9 4,5 4,45,9 minutos ( ) ef B xemplo 5.8 9

29 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 Uma empresa de cartão de credito tem uma central BX digital. central tem um certo número de mesa de atendentes para clientes do tipo 8 e um certo número de telefones comuns. O tráfego total esperado, para os atendentes e para os telefones comuns, é 5. a) Supondo uma central sem espera, calcule o número de troncos bidirecionais necessários para satisfazer uma qualidade de serviço de 4%. b) Suponha que do tráfego escoado é direcionado para os atendentes. Supondo que a central permita até chamadas em espera e, que a qualidade de serviço exigida seja de %, calcule o número de atendentes necessários. Solução: a) ste item está relacionado com o dimensionamento de troncos de entrada/saída para atendimento adequado de todos os telefones. Utilizando a tabela de rlang do apêndice, para 5 e B B,4, o valor sobreestimado de é 9 troncos. b) ara dimensionar o número de atendentes, deve-se considerar que os atendentes são equivalentes a troncos e que um tráfego de é aplicado. lém disso, a central, neste caso, opera com espera de até chamadas. essas condições, a q pode ser utilizada. solução, aqui proposta, é resolver através de aproximações sucessivas. ela tabela de rlang do apêndice, para e B B,, o valor de é igual a 4. Se não houvesse chamada em espera, seriam necessários 4 atendentes. Mas, como há a espera, o número de atendentes pode ser menor. Supondo atendentes, é verificado se a probabilidade de bloqueio satisfaz a aquela exigida. ara, tem-se:!!, 4 ( ) ( / ),5,5 75!! / probabilidade de bloqueio é dada pela q B! 6!,75,45 O valor de B encontrado é subestimado. Dessa maneira, pode-se verificar se o valor de, satisfaz a probabilidade exigida. ara, tem-se: 4 ( ) ( / ), 94!!!! / e 6 B,!!,94 O valor B encontrado está muito próximo da qualidade exigida. ntretanto, se a qualidade exigida deve ser estritamente inferior aos %, deve-se utilizar atendentes. ara uma exigência branda, pode-se utilizar atendentes

30 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 RFRÊCIS. D. Bear, " rinciples of Telecommunication Traffic ngineering", eter eregrinus TD., ngland, Kleinroc, "Queueing Systems Volume : Theory", John Wiley & Sons, J.. Flood, "Telecommunications Switching, Traffic and etwors", rentice Hall, 995. XRCÍCIOS 5. m uma hora de maior movimento (HMM), uma empresa faz chamadas telefônicas de duração média de minutos em ligações externas e recebe chamadas de duração média de minutos. a) Qual é a intensidade de tráfego de saída? b) Qual é a intensidade de tráfego de entrada? c) Qual é o tráfego total? d) Qual é o número médio de chamadas por tempo médio de conversação? Calcule para os tráfegos de entrada e de saída. 5. Uma central BX possui terminais telefônicos e tronco de saída. Suponha que cada telefone tenha uma probabilidade p,5 de fazer uma ligação externa. a) Determinar a probabilidade de ocorrer i chamadas, onde i,,,. b) Determinar o número médio de ocorrências de chamadas. c) Determinar o número médio de chamadas bloqueadas. d) Determinar o número médio de chamadas atendidas. e) Determinar a probabilidade de bloqueio. 5. Suponha para o x. 5., que a central BX possui dois tronco de saída. Refaça os ítens c), d) e e). 5.4 Suponha para o x. 5., que a central BX possui n terminais telefônicos. screva a expressão geral para a probabilidade de ocorrer i chamadas, onde i,,,... n. 5.5 Seja uma central BX em que as chegadas das chamadas obedecem a uma distribuição poissoniana com uma taxa de,5 chamadas/min. a) Qual é a probabilidade de chegadas em um intervalo de 5 minutos? b) Qual é a probabilidade de chegadas em um intervalo de 5 minutos? 5.6 Seja uma central BX em que os terminais telefônicos são divididos em dois conjuntos. Um conjunto gera chamadas obedecendo a uma distribuição poissoniana de taxa chamada/seg. O outro conjunto gera chamadas obedecendo a uma distribuição exponencial negativa com média igual a 4 segundos. a) Qual é a probabilidade de que em um intervalo de segundos não haja nenhuma chamada chegando à central?

31 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre Um tráfego de é aplicado à uma central com troncos de saída e infinitos enlaces de entrada. O processo de chegada das chamadas é oissoniano. distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média minutos. O sistema é sem espera. a) Qual é o número médio de chamadas aplicadas por hora? b) Qual é a probabilidade de que nenhuma chamada seja aplicada durante o período de minutos? c) Qual é a probabilidade de que troncos estejam ocupados? d) Qual é a probabilidade de que troncos estejam livres? e) Qual é a probabilidade de bloqueio? f) Quais são as proporções de tráfego escoado e perdido? g) Qual é o número médio de chamadas na central? h) Qual é o tempo médio de permanência das chamadas na central? 5.8 Seja uma central com troncos de saída e sem espera. taxa de chegada das chamadas é chamadas/min (oisson). O tempo médio de conversação é minutos (exponencial negativa). Seja o seguinte tipo de encaminhamento de chamada: Se os dois troncos estiverem livres, escolhe-se um tronco aleatoriamente, com probabilidade p,5. Se um estiver ocupado, o outro é ocupado sem escolher. a) Desenhe o diagrama de transição de estado bidimensional. b) screva e resolva as equações de equilíbrio. c) Calcule a probabilidade de bloqueio e compare com aquela obtida pela fórmula de rlang. 5.9 Seja uma central com troncos, numerados de e, e sem espera. taxa de chegada das chamadas é chamadas/min. (oisson). O tempo de conversação é minutos (exponencial negativa). Seja o seguinte tipo de encaminhamento de chamada: O tronco é sempre escolhido em primeiro lugar. O tronco é utilizado somente se o tronco estiver ocupado. a) Desenhe o diagrama de transição de estado bidimensional. b) screva as equações de equilíbrio. c) Calcule a probabilidade de bloqueio e compare com as probabilidades obtidas no x. 5. Os troncos de uma BX são divididos em dois grupos. Um grupo é utilizado somente para receber chamadas externas; o outro grupo é utilizado somente para fazer chamadas externas. taxa de chamadas que entram é chamadas por hora, tendo cada chamada uma duração média de 4,5 minutos; a taxa de chamadas que saem é 8 chamadas por hora com duração média de minutos. qualidade de serviço ou a probabilidade de bloqueio exigida é de %, a) Quantos troncos são necessários para atender as chamadas que entram e que saem? Supondo agora que os troncos são bidirecionais, isto é, os troncos podem receber ou fazer chamadas b) Quantos troncos são necessários para atender todas as chamadas e satisfazer a mesma qualidade de serviço? c) Comente os resultados obtidos. 5. central BX de uma empresa tem tronco. central opera sem espera. a medição feita durante a hora de maior movimento, foi constatado que a utilização do tronco foi de 5%. a) Qual é a probabilidade de bloqueio? b) Quantos troncos devem ser adicionados para se ter uma qualidade de serviço de 5%?

32 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 5. central BX de uma empresa tem tronco. central opera com chamada em espera. a medição feita durante a hora de maior movimento, foi constatado que a utilização do tronco foi de 5%. a) Qual é a probabilidade de bloqueio? b) Quantos troncos devem ser adicionados para se ter uma qualidade de serviço de 5%? 5. Seja uma central com dois enlaces de saída. O buffer de espera na central possui somente um lugar de espera. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de oisson de média e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média /. a) Desenhe o diagrama de transição de estado. b) screva as equações de equilíbrio. c) Calcule o número médio de chamadas na central. d) Calcule a probabilidade de bloqueio. e) Calcule o tempo médio de espera das chamadas na central. 5.4 Seja uma central com dois troncos de saída e infinitos enlaces de entrada. O buffer de espera na central possui locais de espera. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de oisson de média chamada/seg e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média (/) seg. a) Desenhe o diagrama de transição de estado. b) screva as equações de equilíbrio. c) Calcule a probabilidade de bloqueio. 5.5 Seja uma central com um tronco de saída e infinitos enlaces de entrada. O buffer de espera na central possui 5 locais de espera. O processo de geração das chamadas obedece a uma distribuição de oisson de média,5 chamdas/seg e a distribuição do tempo de conversação das chamadas é exponencial negativa de média (/) seg. a) Desenhe o diagrama de transição de estado. b) screva as equações de equilíbrio. c) Calcule a probabilidade de bloqueio. 5.6 Uma empresa de cartão de crédito tem uma central BX digital. central tem um certo número de mesa de atendentes para clientes do tipo 8 e uma certa quantidade de telefones comuns. O tráfego total esperado é. a) Quantos troncos bidirecionais são necessários para satisfazer uma qualidade de serviço de 5%, supondo sem espera? b) Suponha que do tráfego escoado é direcionado para os atendentes. Supondo que a central permite somente uma chamada em espera e, que se exige uma qualidade de serviço de 5%, quantos atendentes são necessários?

33 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 pêndice Tabela de rlang tabela abaixo foi desenvolvida utilizando a q. 5.9., ( ) B, ( ),, ( ), B. B. B. B.4 B.5 B. B. B. B.4 B.5 B. B.5 B. B.5 B

34 -98 Telefonia rof. Motoyama º Semestre 4 B. B. B. B.4 B.5 B. B. B. B.4 B.5 B. B.5 B. B.5 B