Teoria das filas. Clientes. Fila

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1 Teoria das filas 1 - Elementos de uma fila: População Clientes Fila Servidores 1 3 Atendimento Características de uma fila:.1 Clientes e tamanho da população População infinita > Chegadas independentes População finita > Chegadas interdependentes. Processo de chegadas: Não basta fornecer valores médios, é necessário também mostrar como os valores se distribuem em torno da média, i.e., qual distribuição de probabilidades rege o processo. Ritmo de chegada IC Intervalo entre chegadas Obs: Intervalos regulares > processos altamente automatizados.3 Processo de atendimento: Ritmo de atendimento TA Tempo de atendimento.4 Número de servidores: Quantidade de servidores que atendem aos clientes

2 .5 Disciplinas das filas: FIFO First in, first out LIFO Last in, first out Prioridade Uma característica do cliente define sua prioridade de atendimento Randômico Atendimento aleatório. 6 Tamanho médio da fila: Se e são constantes > o tamanho da fila oscila em torno de um valor médio. Se < a fila aumentará indefinidamente..7 Tamanho máximo da fila: Os clientes devem aguardar em uma área de espera que deve ser dimensionada de acordo com o tamanho máximo esperado para a fila..8 Tempo médio de espera: O tempo médio de espera depende dos processos de chegada e atendimento. TF f (, ) 3 Variáveis aleatórias: O comportamento de uma variável aleatória pode ser expresso pelo seu valor médio e a forma como os valores se distribuem em torno desta média. 4 Dinâmica de uma fila: Exemplo de um banco: Intervalo entre chegadas (minutos): Cliente Intervalo Média.5 Momento / h Duração do atendimento: Cliente Duração Média.0 30 / h

3 Tempo de espera de cada cliente: Cliente Momento Duração Liberação Espera TF ( )/1 16/ min NF ( )/35 16/ clientes 5 - Sistemas estáveis: Sistema estável é aquele em que e se mantêm constantes ao longo do tempo. Se e não são estáveis, a análise do comportamento do sistema Pela teoria das filas só é possível se retalharmos o período de tempo, o que torna a análise muito mais complexa. 6 Tamanho da amostra: Um estudo sobre um sistema estável, apresentará sempre os mesmos resultados desde que adequadamente analisado. O tamanho da amostra é fundamental. 7 Tipos de filas: fila e 1 servidor 7. 1 fila e n servidores 7.3 m filas e n servidores 7.4 filas especiais (ex: caixas expressos de supermercados) 7.6 filas que seguem uma alteração dinâmica do sistema de atendimento

4 8 - Variáveis aleatórias fundamentais: Variáveis referentes ao sistema: TS tempo médio de permanência no sistema NS nr. médio de clientes no sistema 8. - Variáveis referentes ao processo de chegada: ritmo médio de chegada IC intervalo entre chegadas por definição: IC 1/ Variáveis referentes à fila: TF tempo médio de permanência na fila NF nr. médio de clientes na fila Variáveis referentes ao processo de atendimento: TA tempo médio de atendimento ou serviço M quantidade de atendentes ou servidores NA nr. médio de clientes que estão sendo atendidos ritmo médio de atendimento de cada atendente por definição: TA 1/ Relações básicas: NS NF + NA TS TF + TA Pode-se demonstrar também que: NS NF + / NF + TA/IC Taxa de utilização dos atendentes: para 1 fila e 1 servidor: / para 1 fila e M servidores: /(M ) Assim, representa a fração média de tempo em que cada servidor está ocupado. Para sistemas estáveis, tem-se que : < Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes: i / TA/IC i é o próximo valor inteiro que se obtém pela divisão /. Assim, i representa o número mínimo de atendentes necessário para atender a um dado fluxo de tráfego. Unidade de i erlangs ( em homenagem A. K. Erlang)

5 8.8 - Fórmulas de Little (J. D. C. Little): NF. TF NS. TS Postulados básicos: 1 - Em qualquer sistema estável, o fluxo que entra é igual ao fluxo que sai. - Em um sistema estável, o fluxo de entrada se mantém nas diversas seções do sistema. 3 - Em um sistema estável, a junção de fluxos equivale às suas somas. 4 - Em um sistema estável, o fluxo se desdobra aritmeticamente. 9 - Processos de chegada e atendimento: Exemplo de chegadas de veículos a um pedágio: foram anotados o número de veículos que chegaram a cada intervalo de 1 min. Entre 7 e 8 horas. Chegaram no total 10 veículos. Ritmo Freq. Absoluta Freq. Relativa Dist. Poisson ( ) veículos / 60 min veículos / min.

6 Distribuição de Poisson: f ( x) x e x! x é a probabilidade ( freq. Relativa) de ocorrerem x chegadas na unidade de tempo, sendo que representa o ritmo médio de chegadas. Por ex: para x tem-se: f() Distribuição Exponencial Negativa: Quando um processo de chegada possui um ritmo que segue Poisson, o intervalo entre chegadas segue uma distribuição exponencial negativa. f ( x) Notação de Kendall (David Kendall): Fila A/B/c/K/m/Z x e onde: A distribuição dos intervalos entre chegadas B distribuição dos tempo de serviço c quantidade de servidores (atendentes) K capacidade max. Do sistema m tamanho da população Z disciplina da fila A anotação condensada A/B/c é muito usada e se supõe que não há limite para o tamanho da fila, a população é infinita e a disciplina é FIFO. Para A e B, quando a distribuição for exp. Negativa, usa-se M (Marcoviana)

7 Filas: Modelo M/M/1 Modelo de fila que tanto as chegadas quanto o atendimento são marcovianos, i.e., seguem a distribuição de Poisson (p/ ritmos) ou exponcencial negativa (p/ intervalos). Além disso, existe apenas um servidor. 1 - População infinita - Fórmulas usuais (dedução : vide ref. 03 Cap. 07): 1 Nr. Médio de clientes na fila: NF µ ( µ ) Nr. Médio de clientes no sistema: 3 Tempo médio que o cliente fica na fila: 4 Tempo médio que o cliente fica no sistema: ( µ ) 5 Probabilidade de existirem n clientes no sistema: Pn ( 1 / µ )( / µ ) NS TF µ ( µ ) 1 TS ( µ ) n Taxa de utilização: Quando tende p/ 1 a fila tende a aumentar Infinitamente. NF NF µ ( µ ) ρ 1 ρ 0 1

8 - População finita - Fórmulas usuais (dedução : vide ref. 03 Cap. 07): Modelo M/M/1/K 1 Nr. Médio de clientes na fila: NF ( + µ ) K.(1 P 0 ) Nr. Médio de clientes no sistema: 3 Tempo médio que o cliente fica na fila: 4 Tempo médio que o cliente fica no sistema: 5 Probabilidade de existirem n clientes no sistema: NS TF ( + µ ) K.(1 P 0 ) + µ K ( + µ ).(1 P K ( + µ ).(1 P ) TS Pn µ ( ) ( k n)!. K n k µ ( ) j 0 j! 0 ) 0 + j 1 µ Exemplo 1: Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedeçam a lei de Poisson, com ritmo de 6 chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minuts e suponhamos que siga a distribuição exponencial negativa. Pede-se: 1 Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar? Qual o número médio de pessoas na fila? 3 Qual o número médio de pessoas no sistema? 4 Qual o número médio de clientes usando o telefone? 5 Qual o tempo médio de fila? 6 Para qual ritmo de chegada teríamos a situação em que o tempo médio de espera na fila seria de 3 min? 7 Qual a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?