Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.

Transcrição

1 Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza

2 Agenda do Dia Aula 4 (12/08/15) Conceito de erro: Erro absoluto Erro relativo Erro de arredondamento Erro de trucamento Propagação de erros

3 Conceito de Erro A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico: Os dados nem sempre são exatos Operações sobre dados não exatos propagam erros aos resultados Métodos numéricos (frequentemente aproximados), buscam Minimizar erros Chegar o mais próximo do resultado exato

4 Conceito de Erro Erro: é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado. Também chamado de erro absoluto N =N '+EA N (N >N ' EA N >0) (N <N ' EA N <0) EA N =N N '

5 Erro Absoluto Nem sempre conhecemos o valor N (número exato) Nem sempre conhecemos o valor do erro também Conhecemos o valor de N' (número aproximado) Nesses casos, trabalhamos com limites aceitáveis para o erro Muitas vezes, em módulo

6 Erro Absoluto Exemplo: Π = Π є (3.14, 3.15) EAn = Π Π' < 0.01

7 Erro Absoluto Exemplo: N' = M' = 5.3 N' є (2112.8, ) M' є (5.2, 5.4) Os limitantes são os mesmos N' e M' têm a mesma precisão?

8 Erro Absoluto Exemplo: N' = M' = 5.3 N' є (2112.8, ) M' є (5.2, 5.4) Os limitantes são os mesmos N' e M' têm a mesma precisão? Não. O efeito do erro máximo aceitável é maior no número M' Olha-se para a ordem de grandeza dos números Verifica-se através do erro relativo

9 Erro Relativo O erro relativo é uma relação: É o erro absoluto dividido pela aproximação Mede o quanto o erro interfere em um número ER N = EA N N N ' '= N N ' Assim, para N' e M' anteriores: ER N = 0,1 N ' = 0,1 2112,9 4, , ER M = 0,1 M ' =0,1 5,3 0,02

10 Outros Erros Existem outros erros que interferem nos cálculos: Erros de arredondamento: quando se aproxima o número a ser trabalhado para outro

11 Outros Erros Existem outros erros que interferem nos cálculos: Erros de arredondamento: quando se aproxima o número a ser trabalhado para outro Erros de truncamento: quando se ignora parte de um número ou método que é infinito ou muito grande segundo algum critério

12 Erros de Arredondamento Ao se aplicar um método numérico, podemos ter: Erros iniciais: erros no arredondamento dos dados iniciais Erros intermediários: decorrentes dos erros cometidos durante a aplicação do método numérico Erros finais: decorrentes da apresentação final do resultado

13 Erros de Arredondamento Os arredondamentos mais conhecidos são: Para baixo ou por falta Para cima ou por excesso Para o número de máquina mais próximo

14 Erros de Arredondamento Critério de Arredondamento: no cálculo manual, usa-se a regra 1. somar meia unidade após a última casa decimal a conservar; 2. desprezar as demais casas. Esse critério limita o erro a meia unidade da última casa conservada

15 Erros de Arredondamento Exemplo: conservar 2 números significativos 2 = 1, ,41 (para baixo/por falta) 5 = 2, ,24 (para cima/por excesso)

16 Erros de Arredondamento Exemplo: conservar 2 números significativos 2 = 1, ,41 (para baixo/por falta) 5 = 2, ,24 (para cima/por excesso) Erro absoluto máximo de 0,005: EA= 2 1,41=1, ,41=0, <0,005 EA= 5 2,24=2, ,24= 0, <0,005 em módulo, EA <0,005

17 Erros de Arredondamento É importante saber o número de dígitos significativos do sistema de representação da máquina utilizada Isso permite ter a noção da precisão do resultado obtido O ε (épsilon) da máquina dá uma ideia da exatidão da máquina O que é o ε?

18 Erros de Arredondamento O ε da máquina é: O menor número de ponto flutuante, tal que 1 +ε > 1 Alguns métodos de cálculo do ε não dão valor exato Porém, retorna a ordem de grandeza do ε

19 Erros de Arredondamento Curiosidade: para ter noção do ε da máquina Atribua valor 1 para variável ponto flutuante Aplique divisões sucessivas por 2 Até que a variável + 1 seja 1 Máquina achará que a variável vale zero Testar com float, double (C/C++) Testar com real, double, extended, comp (Pascal)

20 Erros de Truncamento Processos infinitos ou muito grandes: Pode ser demorado realizá-los Podem não terminar A solução é truncar o método Truncar é interromper os cálculos quando chega-se em uma determinada precisão

21 Erros de Truncamento Exemplos: seno(x) e e x seno(x)=x x3 3! + x5 5! x7 7! +... e x =1+x+ x2 2! + x3 3! +... O erro de truncamento pode ser diminuído até ficar na ordem do erro de arredondamento

22 Propagação de Erros Durante as operações aritméticas de um método: Erros dos operandos produzem erro no resultado da operação Adição, subtração e multiplicação são influenciadas por erros dos operandos

23 Propagação de Erros Adição: A + B (A' + Ea) + (B' + Eb) = A' + B' + Ea + Eb Portanto: EA(a+b) = Ea + Eb Subtração: A - B (A' + Ea) - (B' + Eb) = A' + Ea B' Eb = A' B' + Ea - Eb Portanto: EA(a-b) = Ea - Eb

24 Propagação de Erros Multiplicação: A * B (A' + Ea) * (B' + Eb) = A'*B' + A'*Eb + Ea*B' + Ea*Eb Portanto: EA(a*b) = A'*Eb + Ea*B' + Ea*Eb

25 Propagação de Erros Exemplo: Máquina com 4 dígitos significativos X1 = 0,3491 * 10⁴ = 3491 X2 = 0,2345 * 10⁰ = 0,2345 (x2 + x1) x1 x2 + (x1 x1)

26 Propagação de Erros (x2 + x1) x1 = = (0,2345*10⁰ + 0,3491*10⁴) 0,3491*10⁴ = 0,3491*10⁴ 0,3491*10⁴ = 0,0000

27 Propagação de Erros x2 + (x1 x1) = = 0,2345*10⁰ + (0,3491*10⁴ 0,3491*10⁴) = 0,2345*10⁰ 0,0000 = 0,2345

28 Propagação de Erros Pela matemática: Ambos devem produzir o mesmo resultado Adição é distributiva Erro: arredondamento feito em (x2 + x1) Resultado de 8 dígitos Máquina guarda apenas 4 dígitos Mais significativos

29 Próxima Aula No fim do capítulo 1 de Ruggiero, há exercícios Zero de funções