TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Erros-Erros Numéricos

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Jorge Figueira Galindo
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1 TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Erros-Erros Numéricos Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, 2015

2 Muitos problemas podem ser formulados em equações matemáticas simples. Isso não significa, que elas podem ser resolvidas facilmente! Para qualquer aplicação, usa-se números Métodos Numéricos! Necessário para a maioria das coisas básicas: 3 exp(3) ( e ) sqrt (7) ( 7 ) sin(42 o ) ( seno 42 ) pi ( ) Muitas vezes, modelagem e cálculos numéricos podem ajudar no design, construção, segurança 2

3 Erro é a diferença entre o valor exato e o valor apresentado. 3

4 Erro absoluto Seja x uma aproximação à quantidade exata (verdadeira) x. Então: O erro absoluto x em x é definido por x = x x Resultado da operação: ,7 Valor Real: ,5 Erro absoluto: 1,8 Resultado da operação: 0,234 Valor Real: 0,128 Erro absoluto: 0,106 4

5 Erro relativo Seja x uma aproximação à quantidade exata (verdadeira) x. Então: O erro relativo em x é definido por Resultado da operação: ,7 Valor Real: ,5 Erro absoluto: 1,8 Erro relativo: 0, (0,0008%) Resultado da operação: 0,234 Valor Real: 0,128 Erro absoluto: 0,106 Erro relativo: 0,83 (83%) 5

6 i) Erros iniciais ii) Erros de programação e de modelagem iii) Erro de truncamento e x = 1 + x + x 2 + x 3 + 2! 3! e x 1 + x + x 2 2! e = 2,5 2! erro absoluto: x = 2,718 2,5 = 0,218 o erro relativo é igual 0,218 2,718 = 0,08 (8,0%) 6

7 iv) Erros de arredondamento 0,1 (10) 0, (2) = 0, (10) erro absoluto = 0,1-0, = 0, Arredondamento para baixo ou por falta; Arredondamento para cima ou por excesso; Arredondamento para o numero de máquina mais próximo. 3 2 = 1,414 1,41 2 = 1,259 1,26 x = 2 1,41 = 1,414 1,41 = 0,004 < 0,005 3 x = 2 1,26 = 1,259 1,26 = 0,001 < 0,005 (Usando arredondamento) 7

8 Arredondamento versus Truncamento Considere uma máquina com b = 10, l = 5, u = 5 e t = 4. Seja x = 0,937 x 10 4 e y = 0,1272 x Calcular x + y Sol: x = 0,937 x 10 4 e y = 0, x 10 4 x + y = 0, x 10 4 Considerando 4 dígitos Arredondamento: (X+Y) = 0,9383 x 10 4 Truncamento: (X+Y) = 0,9382 x 10 4 Calcular (xy) Sol: (xy) = (0,937 x 10 4 ) x (0,1272 x 10 2 )= 0, x 10 6 Considerando 4 dígitos Arredondamento: (XY) = 0,1192 x 10 6 Truncamento: (XY) = 0,1191 x 10 6 Mesmo que as parcelas ou fatores de uma operação possam ser representados exatamente no sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja exato. No exemplo, x e y tinham representação exata, mas o resultado x + y teve representação aproximada. 8

9 Erros na Aritmética do Ponto Flutuante Ordem de execução das operações em ponto flutuante: A ordem da execução de operações de ponto flutuante pode variar o resultado Exemplo: Seja uma máquina com b = 10, l = 5, u = 5 e t = 3. Em ponto flutuante temos 1,0 + ( ) = 1,0 (1, ) 10 3 = 0,0 A ordem da execução de várias operações de ponto flutuante pode variar o resultado. Assim, ao programar no computador, é preciso ter cuidado com números em ponto flutuante, em especial com acumuladores e comparações. 9

10 Erros na Aritmética do Ponto Flutuante Ponto flutuante no Excel ( Combinações de operações aritméticas em números de ponto flutuante no Microsoft Excel podem produzir resultados que parecem estar incorretas. Por exemplo, a equação =(0,5 0,4 0,1) pode ser avaliada com a quantidade -2,7755x10-17 em vez de 0. Para minimizar os efeitos de imprecisão de armazenamento aritmética de ponto flutuante, pode-se usar a função round () para arredondar números para o número de casas decimais que é exigido pelo seu cálculo. P.ex., =ROUND( (0,5 0,4 0,1),2). Pode se usar também a opção precisão conforme exibido de arredondamento de ponto flutuante. Essa opção força o valor de cada número na planilha seja igual ao número/precisão exibido na planilha. Uso da opção precisão conforme exibido pode ter efeitos de cálculo cumulativo que podem tornar os dados cada vez mais imprecisas ao longo do tempo. 10

11 História e Evolução dos Computadores Máquinas Calculadoras Mecânicas 1) Ábaco 2) Pascalina 3) Calculadora de Leibnitz 4) Tear de Jacquard 5) Máquina Diferencial de Babbage que utilizava os cartões de Jacquard 6) Máquina Analítica de Babbage Pai do Computador Início da Era da Computação Eletromecânico 1) Tabulador de Holleitz (1890) 2) Mark I (1944) Máquina Eletromecânica Início da Era da Computação Eletrônica 1) ENIAC (1942): Usava válvulas 2) EDVAC (1944) 3) EDSAC (1949): 1º computador de programa armazenado operacional de grande escala Válvula x Transistor 4) UNIVAC I: 1º computador comercial de sucesso 5) IBM System/360 modelos 40, 50, 65 e 75 6) PDP-8 (1965): 1º minicomputador comercial, PDP 10, PDP 11 7) Cray I (1976): 1º supercomputador 8) Micromputadores: Apple IIc Plus, Xerox Alto 9) IBM/PC: Computador Pessoal (por Lucas Máximo Alves) 11

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