Congruência de segmentos. Objetivos. Introduzir um conceito fundamental em Geometria: o conceito de congruência.

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1 ongruência de segmentos e ângulos MÓULO 1 - UL 2 ula 2 ongruência de segmentos e ângulos Objetivos Introduzir um conceito fundamental em Geometria: o conceito de congruência. studar congruência de segmentos e de ângulos. Introdução Vamos agora estudar um conceito fundamental em Geometria: o conceito de congruência. Intuitivamente, podemos dizer que duas figuras planas são congruentes se é possível sobrepô-las exatamente, ou seja, sem faltar nem sobrar um ponto em nenhuma das duas, mesmo que para isso seja necessário virar uma delas ao avesso (o que ocorre quando uma é a imagem da outra refletida num espelho). Faça uma experiência desenhando a mão livre a mesma figura em dois papéis transparentes. Procure juntar os dois e olhá-los contra a luz. Provavelmente as figuras não ficarão exatamente sobrepostas: é muito difícil desenhar figuras congruentes a mão livre. figura 14 mostra três figuras congruentes. Figuras planas Uma figura plana é formada por um conjunto de pontos no plano. Fig. 14: Figuras congruentes. ongruência de segmentos No caso específico de segmentos, a congruência é relacionada ao tamanho. ssim, intuitivamente, dois segmentos de reta são congruentes se têm o mesmo tamanho. Partindo dessa noção intuitiva, podemos formular os seguintes axiomas: 19 RJ

2 ongruência de segmentos e ângulos Todo segmento é congruente a si mesmo. Se é congruente a, então é congruente a. Se é congruente a e é congruente a F, então é congruente a F. ongruência de segmentos O primeiro axioma sobre congruência de segmentos diz que a congruência de segmentos é reflexiva. O segundo diz que a congruência de segmentos é simétrica e o terceiro diz que a congruência de segmentos é transitiva. Uma relação em Matemática, que satisfaz às três propriedades acima, é chamada de relação de equivalência. Para indicar que dois segmentos são congruentes, usaremos o símbolo. ssim, se e são dois segmentos congruentes, vamos escrever (lê-se é congruente a ). Nos desenhos, a indicação de segmentos congruentes é feita com alguns riscos curtos transversais, de modo a indicar que todos os segmentos cortados com um risco são congruentes entre si; todos aqueles cortados com dois riscos são congruentes entre si, e assim por diante, como você pode ver na figura 15. P N Q M Fig. 15: Segmentos congruentes. O próximo axioma (ilustrado na figura 16) diz que a congruência de segmentos é aditiva: F Noções comuns lguns axiomas por nós colocados estão relacionados com o que uclides chamou de noções comuns. omo exemplo, podemos citar o axioma que diz que a congruência de segmentos é aditiva. sse axioma está relacionado com a seguinte noção comum: se iguais são adicionados a iguais então os resultados são iguais. Fig. 16: congruência de segmentos é aditiva. Se está entre e, está entre e F, e F então F. RJ 20

3 ongruência de segmentos e ângulos ado um segmento de reta, a nossa intuição nos diz que existem vários segmentos que são congruentes a ele e que se você considerar uma reta r qualquer, e um ponto nessa reta, vão existir exatamente dois segmentos de reta congruentes a contidos em r e começando em (um para cada lado de ). O axioma a seguir formaliza essa idéia. xioma de transporte de segmentos. ados um segmento e uma semi-reta, existe um único ponto tal que (veja a figura 17). Fig. 17: Transporte do segmento para a semi-reta. omo já dissemos, o que temos visto até agora são propriedades e características de objetos ideais. m esenho Geométrico estuda-se como obter boas aproximações dessas idéias, usando apenas régua e compasso para desenhar no papel retas, circunferências, segmentos congruentes, etc. lgumas dessas construções geométricas serão vistas na seção de exercícios desta aula e ao longo das próximas. Veja o exemplo a seguir onde dois segmentos e são somados sobre uma semi-reta F. Pelo axioma de transporte de segmentos, existe um único ponto G F tal que G. O mesmo axioma garante que existe um único ponto H na semi-reta oposta a G tal que GH. Veja a figura 18. O segmento H obtido representa a soma dos segmentos e. MÓULO 1 - UL 2 esenho geométrico e Geometria omo linguagem de comunicação e expressão, a arte do desenho antecede em muito a escrita. través de desenhos feitos nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos relacionados com o seu cotidiano, deixando registros para que possamos conhecer um pouco seu modo de vida. Podemos dizer que a arte do desenho é algo inerente ao homem. O esenho Geométrico nasceu na Geometria grega. ntre os gregos era tênue a diferença entre esenho Geométrico e Geometria. Podemos dizer que o esenho Geométrico é uma parte da Geometria que se propõe a resolver problemas com o auxílio de instrumentos. F H G Fig. 18: Soma dos segmentos e. 21 RJ

4 ongruência de segmentos e ângulos o mesmo modo, podemos obter múltiplos de um segmento dado, somando-o repetidas vezes a ele mesmo. Veja na figura 19 um caso particular em que somamos 4 cópias do segmento. Neste caso, podemos escrever que = 4. Quando ocorre de um segmento conter exatamente n segmentos congruentes a, escrevemos simplesmente n ou 1. n izemos que um segmento é múltiplo de se n para algum número natural n não-nulo. Nesse caso, diz-se também que é um submúltiplo de. Fig. 19: Múltiplo de um segmento. onsideramos N = {0, 1, 2,...} o conjunto dos números naturais. Observe que incluímos o 0 (zero) no conjunto dos números naturais. Representamos o conjunto dos números naturais, excluindo o 0 (zero), por N. O conjunto Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} é chamado de conjunto dos números inteiros. izer que um número é inteiro positivo é o mesmo que dizer que esse número é natural não-nulo. Um número é dito racional se ele pode ser escrito na ssas considerações nos conduzem naturalmente à idéia de medir segmentos. idéia de medir segmentos servirá para fundamentarmos a noção de congruência. Para medir segmentos adotamos um segmento como unidade de medida e verificamos simplesmente quantas vezes ele cabe em um outro segmento dado. idéia é de fato simples, mas o processo pode trazer surpresas como veremos adiante. Por exemplo, o segmento a ser medido pode não ser um múltiplo de. Faça um teste com os segmentos da figura 20, usando o segmento como unidade de medida, para medir os demais segmentos (você pode usar uma régua ou um palito com o mesmo comprimento de ). F forma p q, sendo p e q números inteiros e q 0. G H Fig. 20: Medida de um segmento. RJ 22

5 ongruência de segmentos e ângulos Note que, na figura 20, o segmento é congruente a 2 e o segmento F é congruente a 3. dotando como unidade de medida, dizemos que a medida de é 2 e que a medida de F é 3. Porém, o segmento GH não é um múltiplo de. sse segmento é congruente a três vezes 1. Nesse caso, dizemos que a medida de GH é 3. m geral, quando 2 2 ocorre de um dado segmento ser congruente a m vezes 1, dizemos que n sua medida é m. n onsidere agora um segmento. inda pensando no segmento como unidade de medida, podem acontecer três situações: a medida de é um número inteiro positivo, ou a medida de é um número racional positivo ou não é congruente a nenhum múltiplo de nenhum segmento da forma 1, para nenhum n inteiro. Nos dois primeiros casos, dizemos n que e são comensuráveis. No último, dizemos que e são incomensuráveis. existência de segmentos que não são comensuráveis é atribuída aos pitagóricos. Voltaremos a falar de tais segmentos na aula 11. onsiderando essa noção de medida de segmento que acabamos de introduzir, e fixando uma unidade de medida, apresentamos os seguintes axiomas: cada segmento está associado um número real positivo que chamamos medida de, e escrevemos m(). ois segmentos são congruentes se, e somente se, suas medidas são iguais. o mesmo modo, se considerarmos um número real positivo qualquer, digamos c, então existem segmentos com medida igual a c. Se está entre e, então m() = m() + m(). Se e são incomensuráveis, a medida de, usando como unidade de medida, será um número irracional positivo. Usando essa noção de medida, definimos distância entre pontos: MÓULO 1 - UL 2 Pitágoras, filósofo e matemático grego, nasceu na ilha de Samos, na costa oeste da Ásia Menor. Foi estudioso na juventude e então viajou cerca de 30 anos. os mais ou menos 50 anos de idade emigrou para a colônia grega de rotona, no sul da Itália, onde começou sua vida pública. le se estabeleceu como professor e fundou a scola Pitagórica, uma associação semi-secreta com centenas de alunos e que disputa a honra de ser a primeira universidade do mundo. O movimento fundado por Pitágoras chamou-se pitagorismo e tinha propósitos religiosos, políticos e filosóficos. Os pitagóricos aconselhavam obediência, silêncio, abstinência de certos alimentos, simplicidade no vestir e nas posses e o hábito da auto-análise. creditavam na imortalidade e na transmigração da alma. Pitágoras foi o primeiro a conceber a Matemática como um sistema de pensamento mantido coeso por provas dedutivas. Foi mesmo o primeiro a usar a palavra Mathematike para designar a Matemática. ntes dele, havia apenas a palavra mathemata, que designava conhecimento ou aprendizado em geral. onsulte: desgeo/ efinição 7 (istância entre dois pontos) distância entre dois pontos distintos X e Y é a medida do segmento XY. 23 RJ

6 ongruência de segmentos e ângulos tividade 1: (Traçando segmentos congruentes) Para esta atividade você deverá usar régua e compasso. O objetivo é construir na semi-reta da figura 21 um segmento de reta começando no ponto e congruente ao segmento dado. Ou seja, vamos marcar um ponto em tal que. Fig. 21: tividade 1. Primeiro método: Use uma régua graduada para medir o segmento e depois marcar o ponto de forma que m() = m(). Segundo método: oloque uma das pontas do compasso no ponto e a outra no ponto, ao mesmo tempo. o fazer isso, você estará fixando uma abertura do compasso. Veja figura 22. Sem modificar essa abertura, coloque a ponta de metal do compasso no ponto e faça um risco com a ponta de grafite cruzando a semi-reta. tenção! Se o compasso abrir ou fechar um pouquinho nessa operação, você deve começar de novo. O ponto que fica determinado pela interseção da semi-reta com o traço do compasso é o ponto procurado. Fig. 22: Fixando uma abertura do compasso. RJ 24

7 ongruência de segmentos e ângulos MÓULO 1 - UL 2 ongruência de ângulos No caso de ângulos, a congruência é relacionada à abertura de seus lados. ssim, intuitivamente, dois ângulos são congruentes se eles têm a mesma abertura. Partindo dessa noção intuitiva, formulamos o seguinte axioma: xioma de transporte de ângulos ados um ângulo  e uma semi-reta, em cada semiplano determinado pela reta (que é o prolongamento de ) existe uma única semi-reta F tal que  é congruente a ˆF. Veja a figura 23. F Fig. 23: Transporte do ângulo Â. Usaremos também o símbolo para indicar a congruência de ângulos. ssim, para denotar que  é congruente a ˆF escreveremos simplesmente  ˆF. Finalizamos os axiomas sobre congruência de ângulos com os próximos dois axiomas. O primeiro deles formaliza a nossa prática de medir ângulos com ajuda de um transferidor (veja a tividade 2 desta aula) e o último diz que a medida de ângulos é aditiva. cada ângulo  do plano está associado um número real positivo menor que 180 chamado medida do ângulo Â, e denotado por m(â), tal que dois ângulos são congruentes se, e somente se, têm a mesma medida. Reciprocamente, para todo número real positivo c menor que 180, existe um ângulo cuja medida é c. Se é uma semi-reta que divide Â, então m(â) = m(â) + m(â), veja figura RJ

8 ongruência de segmentos e ângulos Você sabia que... base de numeração hindu era decimal, exatamente como utilizamos hoje. Porém, a base de numeração babilônica era sexagesimal. Isto significa que eles utilizavam 60 símbolos (algarismos) distintos para escrever todos os números. Infelizmente o zero era representado por uma lacuna, o que tornava a leitura de alguns números confusa. Talvez essa tenha sido a dificuldade essencial, que levou esse sistema a não ser absorvido pelas civilizações que sucederam a civilização babilônica. Para esse povo, que utilizava um sistema de numeração de base 60, foi muito natural dividir o círculo em 360 partes (grau), e cada uma destas partes em 60 partes (minuto) e repetir o processo para essas subpartes. ssim, o grau é uma invenção dos babilônios, que entraram para a história da ciência matemática tendo dado a ela uma contribuição importante que utilizamos até hoje. Fig. 24: m(â) = m(â) + m(â). Nota: No segundo axioma enunciado acima usamos a noção de semi-reta que divide um ângulo. Uma semi-reta divide um ângulo se ela tem como origem a origem do ângulo e está contida no interior do ângulo. Outro modo equivalente de definir este conceito seria: uma semi-reta divide um ângulo se possui origem coincidente com a origem do ângulo, e intersecta qualquer segmento cujas extremidades pertençam aos lados distintos do ângulo. Veja a figura 24. tividade 2: (Traçando ângulos congruentes) Para esta atividade você deverá usar régua, compasso e transferidor. O objetivo é construir um ângulo a partir da semi-reta da figura 25 que seja congruente ao ângulo  dado. Fig. 25: tividade 2. Primeiro método: Neste método use um transferidor. O primeiro passo é medir o ângulo  usando esse instrumento. Observe que o transferidor é transparente e tem o formato de um meio círculo (ou de um círculo). Próximo ao meio do lado reto (ou no centro do círculo), está marcado um ponto. hame esse ponto de centro do transferidor. oloque o transferidor sobre o ângulo  de forma que o centro do transferidor fique em cima do ponto, e o zero do bordo do transferidor fique em cima de uma das semi-retas que determinam o ângulo Â. Veja figura 26. outra semi-reta determina a medida do ângulo no bordo circular do transferidor. RJ 26

9 ongruência de segmentos e ângulos MÓULO 1 - UL 2 Fig. 26: Transporte de um ângulo usando transferidor. O segundo passo é transportar o ângulo. oloque o transferidor sobre a semi-reta de modo que seu centro fique sobre o ponto. Faça o zero da borda cair sobre a semi-reta e marque um ponto na posição da borda correspondente à medida que você tomou. hame esse ponto de. O ângulo ˆ terá a mesma medida de Â. Segundo método: Neste método use um compasso e uma régua (que não precisa ter marcação de medida). Fixe a ponta de metal do compasso sobre o ponto e, com qualquer abertura, trace com a outra ponta uma curva que corte as duas semi-retas que formam o ângulo  em dois pontos, e F. gora mantenha a abertura do compasso e fixe-o com a ponta de metal no ponto. Trace com a outra ponta uma curva que corte (em um ponto que chamaremos G) e seja grande o bastante para cortar o ângulo depois de transportado (você deve ter uma estimativa do tamanho que ele vai ficar). gora marque com o compasso a distância entre e F e transporte para a curva no segundo desenho começando em G, determinando um ponto H. Trace a semi-reta H. O ângulo G ˆH será congruente a Â. onfira usando um transferidor. Veja a figura 27. H G F Fig. 27: Transporte de ângulo usando compasso. Unidade de Medida de ângulo Por motivos históricos, usa-se o grau para indicar a medida de um ângulo. ssim, se a medida de  é 50, por exemplo, dizemos que  mede 50 o (cinqüenta graus). Observe que... congruência de ângulos também é uma relação de equivalência. 27 RJ

10 ongruência de segmentos e ângulos Seja  um ângulo e um ponto tal que está entre e (veja figura 28). O ângulo  é chamado ângulo suplementar adjacente ao ângulo Â. Fig. 28:  e  são ângulos suplementares adjacentes. Usando os axiomas anteriores, pode-se mostrar que a soma das medidas de dois ângulos suplementares adjacentes é 180 o. m vista disso, estendemos a noção de ângulos e de medida de ângulos para o caso em que seus lados são semi-retas coincidentes e para o caso em que seus lados são semi-retas opostas. No primeiro caso dizemos que o ângulo é nulo, e no segundo caso dizemos que o ângulo é raso. medida de um ângulo nulo é zero e a medida de um ângulo raso é 180 o. ois ângulos são chamados suplementares se a soma de suas medidas for 180 o, e são chamados complementares se a soma de suas medidas for 90 o. lém do grau, há também outras unidades para medir ângulos, como o radiano e o grado. Um ângulo mede um grado quando corresponde a 1/400 de uma circunferência. Falaremos sobre o radiano na aula 17. Se dois ângulos suplementares adjacentes são congruentes (ou seja, têm a mesma medida), eles são chamados retos, e indicados como o ângulo  na figura 29. omo a soma das medidas de dois ângulos suplementares adjacentes é 180 o, tem-se que a medida de um ângulo reto é 90 o. Fig. 29:   são ângulos retos. om relação à figura 29, tome um ponto pertencente ao interior do ângulo  (veja figura 30). O ângulo  é menor que o ângulo  e o ângulo  é maior que o ângulo Â. Um ângulo é chamado agudo se ele for menor que um ângulo reto e é chamado obtuso se for maior que um ângulo reto. ssim, a medida de um ângulo agudo é menor que 90 o e a medida de um ângulo obtuso é maior que 90 o. RJ 28

11 ongruência de segmentos e ângulos MÓULO 1 - UL 2 Ângulo reto e ângulo raso Fig. 30:  e  são ângulos retos,  é agudo e  é obtuso. É importante enfatizar que você não deve decorar os axiomas e sim se convencer de que eles são naturais. Muitas das propriedades que estão nestas duas primeiras aulas em forma de axiomas vão ser usadas nas aulas seguintes sem justificativa e, muitas vezes, nem notaremos que estamos usando um desses axiomas. Vamos resumir a nomenclatura sobre ângulos e suas medidas: Ângulos e suas medidas Ângulo reto - Um ângulo cuja medida é 90 graus. Ângulo agudo - Um ângulo cuja medida é menor que 90 graus. Ângulo obtuso - Um ângulo cuja medida é maior que 90 graus. Ângulo nulo - Um ângulo cuja medida é 0 grau. Ângulo raso - Um ângulo cuja medida é 180 graus. Ângulos suplementares - Ângulos cuja soma das medidas é 180 graus. Ângulos complementares - Ângulos cuja soma das medidas é 90 graus. O ângulo reto mede 90 o e o ângulo raso mede 180 o. Mas qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180? Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. esse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. ssim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau. Pode-se concluir, então, que para os antigos egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência. Resumo Nesta aula você aprendeu... O significado de congruência em Geometria. lguns axiomas de congruência de segmentos e de ângulos. s noções de medida de ângulo e de medida de segmento. 29 RJ

12 ongruência de segmentos e ângulos xercícios 1. Faça um desenho onde constem pontos,, e e retas r e s, satisfazendo ao mesmo tempo a todos os itens abaixo: r e s são concorrentes, r e r, s e s,, e não se intersectam. 2. esenhe sobre uma reta r três pontos diferentes, e (não necessariamente nessa ordem). iga se é verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo, de acordo com seu desenho. m() = m(),, Se está entre e, então m() = m(), m() = 2m(). lguma das afirmações depende do desenho que você fez para ser falsa ou verdadeira? lguma delas é sempre falsa (independentemente do seu desenho)? lguma delas é sempre verdadeira? 3. onsidere três pontos, e tais que esteja entre e. Se m() = 18cm e m() = 2m(), determine m() e m(). 4. onsidere quatro pontos,, e tais que esteja entre e e esteja entre e. Se m() = 30cm, m() = 2m() e m() = 3m(), determine m(), m() e m(). 5. Sejam, e F segmentos tais que 2 e 5F. dotando como unidade de medida, determine a medida de F. 6. onsidere quatro pontos,, e dispostos nessa ordem sobre uma reta r (ou seja, está entre e e está entre e ). Se, mostre que. RJ 30