UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA ENGENHARIA ELÉTRICA DANILO TEMERLOGLOU DE ABREU

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1 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA ENGENHARIA ELÉTRICA DANILO TEMERLOGLOU DE ABREU ESTIMAÇÃO DE SINAIS CAÓTICOS UTILIZANDO O ALGORITMO DE VITERBI São Paulo 2007

2 1 DANILO TEMERLOGLOU DE ABREU ESTIMAÇÃO DE SINAIS CAÓTICOS UTILIZANDO O ALGORITMO DE VITERBI Trabalho de Graduação Interdisciplinar apresentado a Escola de Engenharia Elétrica da Universidade Presbiteriana Mackenzie, como requisito parcial à obtenção do grau de Bacharel em Engenharia. ORIENTADOR: PROF. DR. MARCIO EISENCRAFT São Paulo 2007

3 2 AGRADECIMENTOS A Deus, que me concedeu inteligência e disposição para a realização desse trabalho. Ao orientador Dr. Marcio Eisencraft pelo incentivo e constante disposição em me ajudar e orientar ao longo desta pesquisa. A meus pais, Maria Helena e Dionísio, e ao meu irmão, Thales, pelo apoio durante a realização deste trabalho. À minha namorada Martha pelo incentivo e paciência para que eu pudesse desenvolver uma boa pesquisa.

4 3 RESUMO Sinais caóticos têm sido estudados visando-se possíveis aplicações em Telecomunicações. Porém, os sistemas propostos na literatura apresentam baixo desempenho comparado aos sistemas convencionais quando o canal de comunicação é ruidoso. Neste trabalho, é analisada uma alternativa para melhorar esse desempenho. Ela se baseia na teoria da estimação, que por meio de métodos estatísticos, busca recuperar o sinal transmitido. O trabalho se propõe a discutir um dos métodos de estimação de sinais caóticos chamado algoritmo de Viterbi. Tentando tornar este trabalho mais acessível, preocupa-se em fazer uma revisão bibliográfica sobre a teoria dos sistemas dinâmicos não-lineares e sobre o processamento estatístico de sinais. Utilizam-se sinais e sistemas de tempo discreto para facilitar a análise das técnicas propostas por meio de simulações computacionais. Palavras-chave: Sinais caóticos. Estimação de sinais. Algoritmo de Viterbi.

5 4 ABSTRACT The possible applications of chaotic signals in Telecommunications have been largely investigated. However, the systems proposed until now present low performance when the communication channel is noisy. In this work, we study an alternative to improve their results. It is based on the estimation theory, which by statistical methods, seeking to recover the transmitted signal. The work intends to discuss one of the methods of estimation of chaotic signals called Viterbi algorithm. To make this work accessible to a larger public, we include a review on the theory of nonlinear dynamical systems and on the statistical processing of signals. The algorithms performance are accessed via computer simulations. Key-words: Chaotic signals. Estimation of signals. Viterbi algorithm.

6 5 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Gráfico 1 - Exemplo de órbita do mapa logístico com condição inicial y ( 0) = 0, Gráfico 2 - Exemplo de órbita com um ponto fixo Gráfico 3 - Exemplo de órbita com dois pontos fixos Gráfico 4 - Diagrama de bifurcação Gráfico 5 - Diagrama de bifurcação ampliado entre os pontos 3,82 e 3, y 0 = 0,2 e (b) com Gráfico 6 - (a) Iteração do mapa logístico com condição inicial ( ) condição inicial y ( 0) = 0, Gráfico 7 - Exemplo de órbita de período Gráfico 8 - (a) Mapa tenda inclinada com α = 0,4 ; (b) exemplo de órbita deste mapa Gráfico 9 - (a) Mapa tenda; (b) exemplo de órbita do mapa tenda Gráfico 10 - (a) Mapa quadrático; (b) exemplo de órbita do mapa quadrático Gráfico 11 - Expoente de Lyapunov em função do parâmetro a para o mapa logístico Gráfico 12 - (a) Densidade invariante x pontos da órbita; (b) Histograma de um mapa logístico Gráfico 13 - (a) Densidade invariante x pontos da órbita; (b) Histograma de um mapa tenda inclinada Gráfico 14 - (a) Densidade invariante x pontos da órbita; (b) Histograma de um mapa quadrático Gráfico 15 - (a) Sinal original; (b) sinal corrompido por ruído; (c) sinal estimado Gráfico 16 - (a) Erro sem utilizar o algoritmo de Viterbi; (b) erro após utilizar o algoritmo.. 46 Gráfico 17 - SNR x SNR Gráfico 18 - in in out SNR x SNR do mapa tenda inclinada com variações do parâmetro α out Gráfico 19 - SNRin x SNR out do mapa tenda inclinada com variações do número de intervalos Gráfico 20 - SNR x SNR do mapa quadrático com variações do número de intervalos in out

7 6 LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E SÍMBOLOS C j pr (.) f '(.) U a ij n f ( x ) q( n) = h (.) y( n + 1) f ( x ) A ϕ N N I ( n, j) L(.) α p Pr δ ( n, j) SNRin SNRout r sɶ ŝ s U j n ˆq q j Centro de cada subintervalo do domínio Densidade de probabilidade de ruído Derivada de f Domínio Elemento da matriz de transição de estados Enésima iteração de um mapa genérico Estado Expoente de Lyapunov Mapa específico Mapa genérico Matriz de transição de estados Matriz que indica o estado anterior mais provável Número de pontos da órbita Número de intervalos Número de Lyapunov Parâmetro do mapa tenda inclinada Ponto fixo Potência do ruído Probabilidade da amostra n estar no estado j Relação sinal-ruído de entrada Relação sinal-ruído de saída Ruído Sinal distorcido Sinal estimado Sinal original Subintervalos do domínio Variável discreta independente (tempo) Vetor contendo a seqüência de estados estimada Vetor genérico contendo uma seqüência de estados

8 7 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO SINAIS CAÓTICOS E SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO ESTRUTURA DO TRABALHO SINAIS CAÓTICOS HISTÓRICO DE SINAIS CAÓTICOS EM SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO SISTEMAS DINÂMICOS NÃO LINEARES DEFINIÇÕES BÁSICAS EXEMPLOS DE MAPAS QUE GERAM SINAIS CAÓTICOS Mapa Logístico Mapa Tenda Inclinada Mapa Tenda Mapa Quadrático CAOS E NÚMERO DE LYAPUNOV DENSIDADE INVARIANTE ESTIMAÇÃO DE ÓRBITAS POR MEIO DO ALGORITMO DE VITERBI REPARTIÇÃO DO DOMÍNIO ESTIMAÇÃO DE UM SINAL CORROMPIDO PELO RUÍDO Exemplo numérico do algoritmo de Viterbi Exemplo gráfico do algoritmo de Viterbi SIMULAÇÕES CONCLUSÕES APÊNDICE A ROTINAS COMPUTACIONAIS NO MATLAB REFERÊNCIAS... 64

9 8 1 INTRODUÇÃO A comunicação é cada dia mais importante na vida humana. Telefonia celular, televisão de alta definição, transmissão via satélite, comunicação óptica e comunicação sem fio são alguns exemplos de como o mundo está envolvido com as tecnologias de sistemas de comunicação. Um sistema de comunicação genérico pode ser representado pelo Diagrama 1 (HAYKIN, 2001). Fonte de informação Sinal de mensagem Estimativa da mensagem do sinal Usuário da informação Codificador da fonte Decodificador da fonte Transmissor Codificador de canal Decodificador de canal Receptor Modulador Demodulador Canal Diagrama 1- Sistema de comunicação Fonte: Haykin (2001)

10 9 A fonte de informação é o ente que envia um sinal de mensagem para o transmissor. Muitas vezes, para facilitar a transmissão de dados, uma modulação é feita no transmissor. Modulação é o processo de converter o sinal da mensagem para uma forma que seja compatível com as características de transmissão do sinal (HAYKIN, 2001, p.23). O canal, que é o meio de comunicação, pode ser um fio, cabo coaxial, fibra óptica ou ar, dentre outras possibilidades. Ao longo do canal surgem interferências e distorções que afetam o sinal transmitido. Ao chegar ao receptor, o sinal é novamente convertido para sua forma original. Devido às características do canal, o sinal recuperado quase nunca é exatamente igual ao transmitido. A comunicação pode ser feita através de sinais analógicos ou digitais (HAYKIN, 2001). Sinais analógicos podem assumir uma quantidade não-enumerável de valores diferentes. Já os sinais digitais podem assumir apenas um número enumerável de valores. A seguir define-se de forma intuitiva o que é um sinal caótico e mostra-se um exemplo. Além disso, resumem-se as possíveis aplicações destes sinais em sistemas de comunicação, inserindo este trabalho no contexto de pesquisa atual. 1.1 SINAIS CAÓTICOS E SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO O termo sinal caótico tem várias definições na literatura. Nesta pesquisa é adotada a definição de Alligood, Sauer e Yorke (1996) segundo a qual um sinal caótico é determinístico, aperiódico e sensível às condições iniciais, ou seja, condições iniciais muito próximas geram seqüências com valores completamente diferentes depois de algumas iterações.

11 10 A seqüência formada pelos pontos obtidos após sucessivas iterações é chamada de órbita (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996). diferenças Como exemplo de sistema que gera órbitas caóticas, considere a equação de conhecida como mapa logístico. ( 1) 4 ( )( 1 ( )) y n + = y n y n (1) Para exemplificar, no Gráfico 1, são apresentadas as N = 101 primeiras iterações deste mapa com condição inicial igual a y ( 0) = 0,01 utilizando a Equação (1). Gráfico 1 Exemplo de uma órbita do mapa logístico com condição inicial y ( 0) = 0,01 Os sinais caóticos têm características que podem ser interessantes para sistemas de comunicação. Algumas delas são: possuem banda larga, são aperiódicos e tem impossibilidade de predição após pouco tempo de simulação (ABEL; SCHWARZ, 2002). A idéia da aplicação do caos em sistemas de comunicação surgiu no início da década de 1990 (PECORA; CARROLL, 1990). Nos últimos anos, vários artigos têm proposto

12 11 sistemas de modulação que utilizam sinais caóticos ao invés dos sinais senoidais (ABEL, 2002; CORRON, 1997; DRAKE, 1998; LAU; TSE, 2003). Duas das áreas de comunicação que podem vir a aplicar sinais e sistemas caóticos são a comunicação por espalhamento espectral (spread spectrum) e a criptografia (ABEL; SCHWARZ, 2002; CORRON; HAHS, 1997). A comunicação por espalhamento espectral pode aumentar a robustez contra interferências causadas por sinais de banda estreita (ABEL; SCHWARZ, 2002). Ela é utilizada na terceira geração de comunicações móveis, em alguns satélites para comunicações e no Sistema de Posicionamento Global (GPS - Global Positioning System) (LAU; TSE, 2003). No caso da criptografia, a mensagem é codificada antes da transmissão dificultando a captura da informação ao longo do canal. A característica aperiódica dos sinais caóticos pode ser usada para gerar vários códigos em sistemas CDMA. Essa propriedade dificulta o entendimento de como esses sinais se comportam ao longo do tempo para um receptor não-autorizado (ABEL; SCHWARZ, 2002). O uso de sinais caóticos nessas aplicações se justifica por três fatores: (i) baixo custo, (ii) dificuldade de detecção da informação e (iii) facilidade para gerar diferentes formas de onda devido à sensibilidade às condições iniciais (ABEL; SCHWARZ, 2002). Um problema de sistemas de comunicação baseados em sinais caóticos é que seu desempenho em canais com ruído é ruim (DRAKE, 1998; EISENCRAFT, 2001). O objetivo deste trabalho é estudar uma alternativa para tentar melhorar este desempenho. Esta consiste em obter estimativas desses sinais usando o algoritmo de Viterbi (DEDIEU; KISEL, 1999; EISENCRAFT, 2006).

13 12 Para tornar o trabalho acessível a um público mais amplo, é feita uma revisão bibliográfica sobre sinais caóticos em sistemas unidimensionais e sobre o processamento estatístico de sinais. Para facilitar a análise da técnica proposta por meio de simulações computacionais, utilizam-se sinais e sistemas de tempo discreto. As simulações são feitas com o programa Matlab. 1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO Este trabalho é dividido em 5 capítulos. No Capítulo 2 faz-se uma revisão bibliográfica sobre caos em sistemas dinâmicos unidimensionais. Ele começa com um breve histórico a respeito de sinais caóticos. Logo a seguir é feita uma abordagem rápida envolvendo algumas aplicações de sinais caóticos na área de comunicações e apresenta-se o problema debatido nesta pesquisa. Além disso, conceitos a respeito de sistemas dinâmicos unidimensionais são abordados. Esses conceitos englobam: órbitas caóticas, periodicidade, sensibilidade às condições iniciais, número de Lyapunov e densidade invariante. Alguns mapas também são discutidos. Nesse capítulo, as principais referências utilizadas são (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996; MONTEIRO, 2006; STROGATZ, 1993). No Capítulo 3, o algoritmo de Viterbi é analisado tanto conceitualmente quanto matematicamente. Ele contém um resumo histórico da teoria da estimação. Depois é explicado como é feita a estimação e como é implementado o algoritmo de Viterbi. As principais fontes de pesquisa foram (DEDIEU; KISEL, 1999; EISENCRAFT, 2006). O Capítulo 4 contém simulações e as respectivas análises da estimação por meio do algoritmo de Viterbi.

14 13 Finalmente, no Capítulo 5, são apresentadas as principais conclusões desta monografia e indicadas propostas de trabalhos futuros.

15 14 2 SINAIS CAÓTICOS O início desse capítulo descreve um resumo histórico da evolução do conceito matemático de caos e os fatores que desencadearam o interesse por ele em diversas áreas, em especial em Telecomunicações. Logo a seguir, as definições básicas a respeito do estudo de sistemas dinâmicos não-lineares são apresentadas. Alguns mapas que geram órbitas caóticas são analisados. Rapidamente é mostrado o que é o expoente de Lyapunov e sua relação com o caos. Por fim, o conceito de densidade invariante ajuda a entender a estimação de sinais conforme é visto a partir do Capítulo 3. Existem muitos livros e artigos que retratam esses assuntos aos quais o leitor interessado pode recorrer. Por exemplo, Alligood, Sauer e Yorke (1996), Monteiro (2006), Strogatz (2000) e Devaney (1992). Sendo assim, limita-se aqui a discussão ao essencial necessário nos capítulos subseqüentes. 2.1 HISTÓRICO SOBRE SINAIS CAÓTICOS EM SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO O estudo de sistemas dinâmicos e conseqüentemente do caos começa no século XVII. Na época, Newton formulou os princípios da Física clássica (NEWTON, 1999). Estas leis foram usadas para explicar a atração gravitacional entre dois corpos. Depois de Newton, outros cientistas e matemáticos buscaram estender estes resultados ao Problema dos Três Corpos (STROGATZ, 2000). Porém, muitas dificuldades foram encontradas. Poincaré, no fim do século XIX, propôs uma nova forma de pensar a respeito dessa questão (POINCARÉ, 1890). Poincaré queria saber se um sistema convergiria para um ponto fixo ou para uma órbita periódica ao invés de tentar descobrir como ele funcionava em

16 15 cada momento. Portanto, ele estava preocupado com a solução qualitativa das equações diferenciais que descreviam o problema (STROGATZ, 2000). No início do século passado, técnicas não-lineares começaram a ser estudadas por matemáticos e físicos que observavam, modelavam e analisavam os fenômenos naturais. As novas descobertas que foram feitas encontraram aplicações na área de Engenharia (SILVA; YOUNG, 2000). Por exemplo, os osciladores não-lineares foram importantes no desenvolvimento de tecnologias, tais como: radar, rádio, laser e Phase-Locked-Loop (PLL) (STROGATZ, 2000). Até a década de 1960, pensava-se que a solução de uma equação de diferenças poderia gerar dois tipos de resultados: a tendência de chegar a um valor fixo ou a uma órbita periódica (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996). Por meio das suas experiências, Lorenz estudou modelos para estimar previsão do tempo (LORENZ, 1963). A partir da resolução das equações obtidas por Lorenz, obtiveram-se duas conclusões: essas equações nunca tendem a um equilíbrio ou estado periódico e que partindo de condições iniciais próximas, rapidamente os resultados ficam completamente diferentes (STROGATZ, 2000). Essa dependência sensível das equações da circulação atmosférica ficou conhecida como efeito borboleta (MONTEIRO, 2006). O termo caos no sentido usado neste trabalho foi utilizado pela primeira vez num artigo publicado por Li e Yorke (1975). Eles mostraram que para qualquer mapa que originasse uma órbita de período 3, existiriam órbitas com qualquer período inteiro e todas elas seriam instáveis. Para um sinal ser caótico ele deve ser aperiódico, ou seja, não tender a nenhuma órbita periódica e ser sensível às condições iniciais, isto é, órbitas com condições iniciais muito próximas logo serão totalmente diferentes ao longo das iterações. (ALIGOOD;

17 16 SAUER; YORKE, 1996). Um exemplo de sinal caótico é mostrado no Gráfico 1 da página 10. Com a evolução da tecnologia, o desempenho dos computadores melhorou e estes ficaram mais acessíveis. A facilidade para verificar experimentalmente as teorias na área de sistemas dinâmicos não-lineares permitiu que muitos pesquisadores viessem a se interessar em utilizá-las em suas respectivas áreas (EISENCRAFT, 2006). O estudo dos sinais caóticos surgiu da análise de problemas em tempo contínuo. Entretanto, durante a década de 1970, May achou exemplos de caos por meio da iteração de equações de diferenças no estudo de população biológica. (MAY, 1974; STROGATZ, 2000). A análise de sistemas não-lineares em tempo discreto tem algumas vantagens: as equações de diferenças são fáceis de serem simuladas em computador, as equações de tempo contínuo podem ser analisadas por meio de equações de diferenças e os comportamentos caóticos podem ocorrer em casos mais simples em tempo discreto (MONTEIRO, 2006). Em tempo contínuo, um sinal caótico só pode ser gerado para sistemas de ordem maior ou igual a três, ou seja, com três equações diferenciais, enquanto em tempo discreto é possível que ele ocorra em sistemas de primeira ordem (MONTEIRO, 2006). 2.2 SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES Todo o estudo é feito usando análise de modelos. Modelos sugerem como os processos do mundo real se comportam (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996, p.3).

18 17 A maioria dos fenômenos físicos é não-linear. Os sistemas que geram sinais caóticos também são não-lineares e, logo, são muito importantes para a compreensão de grande parte dos fenômenos. Sistemas dinâmicos podem ser estudados de duas formas: em tempo contínuo e em tempo discreto. Em tempo contínuo a abordagem é feita através de equações diferenciais. No caso da análise no tempo discreto, equações de diferenças são utilizadas para representar o sistema. Nessa pesquisa todas as considerações são feitas em tempo discreto. Sistema dinâmico é uma variedade de estados possíveis que segue uma regra que determina o estado presente em termos de estados passados (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996, p.1). Inicialmente trata-se apenas de sistemas unidimensionais definidos no intervalo [ 0,1 ]. Além disso, os sistemas não devem mudar com o tempo e devem ser não-lineares. Conseqüentemente, apenas com a condição inicial é possível obter todos os demais pontos da órbita. 2.3 DEFINIÇÕES BÁSICAS Para o estudo de recuperação de sinais caóticos imersos em ruído, são necessários conceitos sobre dois tópicos: sinais caóticos e métodos de estimação. A seguir são apresentadas definições fundamentais de sinais caóticos. Mapa é uma equação de diferenças usada para representar um modelo. Uma órbita ou sinal com condição inicial x de um mapa f ( x ) é o conjunto de { } 2 3 pontos x, f ( x), f ( x), f ( x ), Entende-se que f ( ) 2 f ( x ). Outra maneira de simbolizar seria f ( x) f ( f ( x) ) =. x é a segunda iteração da função

19 18 O domínio U contém todos os pontos possíveis de uma órbita. Algumas considerações podem ser feitas a partir do gráfico chamado teia de aranha (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996). Considerando o eixo de coordenadas cartesianas, a representação de um gráfico teia de aranha segue os seguintes passos: esboçar os gráficos do mapa e de f ( x) = x, adotar uma condição inicial, calcular a saída, fazer um tracejado vertical ligando a condição inicial até o ponto obtido atingir o gráfico f ( x) = x, fazer o tracejado horizontal até a intersecção com o mapa. Depois, deve-se manter o procedimento e verificar o que ocorre ao longo das iterações. Os pontos de intersecção dos gráficos são chamados de pontos fixos. Observe os Gráficos 2 e 3 dos mapas f ( x) = 3x e f ( x 1) 2x( 1 x) + =. Gráfico 2 Exemplo de mapa com um ponto fixo

20 19 Gráfico 3 Exemplo de mapa com dois pontos fixos No Gráfico 2, o ponto fixo é p = 0. Observe que para condições iniciais longe de zero os valores afastados de zero tenderão a ir para. No Gráfico 3, temos os pontos fixos p = 0 e 1 p =. Note que para a condição inicial de 0,1 a órbita tende a 0,5 que é um dos 2 pontos fixos dessa órbita. A análise da estabilidade de pontos fixos é importante porque os sistemas do mundo real são constantemente sujeitos a pequenas perturbações (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996, p.9). Suponha que numa órbita exista um ponto fixo p e uma vizinhança V ( p ) em torno desse ponto. Considere também que a distância entre p e V ( p ) seja ε. Supondo ε um número pequeno e, que todos os pontos próximos do ponto fixo p, tendam a se afastar dele

21 20 (ao longo das iterações), então p é um ponto fixo instável. Ele também é chamado de fonte ou ponto fixo repulsivo. O ponto fixo p = 0 do Gráfico 2 é um exemplo de fonte. Por outro lado, se os pontos próximos ao ponto fixo p tenderem ao próprio p, ele será um ponto fixo estável. Ele também é chamado de sorvedouro ou ponto fixo atrativo. O ponto fixo p = 0,5 do Gráfico 3 é um exemplo de ponto fixo atrativo. Matematicamente a definição de ponto fixo atrativo é essa: lim k k ( ) f x = p (2) Na Equação 2, k é o número de iterações e f ( ) x representa o mapa analisado. O conjunto das condições iniciais que têm órbitas que convirjam para um atrator é chamado de bacia do ponto fixo atrator. Para classificar analiticamente a estabilidade dos pontos fixos deve-se calcular o módulo da derivada no ponto fixo. Caso o módulo seja menor que 1, o ponto fixo é estável. Matematicamente define-se que se f '( p ) < 1 o ponto fixo p é estável. Porém, se ( ) f ' p > 1 o ponto fixo p é instável. Quando f '( p ) = 1 não é possível determinar analiticamente a estabilidade do ponto fixo. Esses resultados podem ser demonstrados conforme (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996), página 10. Assim, a estabilidade está ligada à derivada no ponto estudado. Logo, a análise gráfica está ligada à reta tangente ao ponto. Se a reta tangente ao ponto fixo apresentar uma inclinação que esteja no intervalo π π 3π 5π < θ < ou < θ <, o ponto fixo será estável (MONTEIRO, 2006). Existem casos em que após certo número de iterações a órbita varia sempre entre os mesmos pontos. Por exemplo, uma órbita que após muitas iterações oscile entre 0,5 e 0,8 apresenta uma órbita de período 2.

22 21 Portanto, se p é um ponto periódico de período 2 para um mapa f ( x ), então 2 p é um ponto fixo do mapa g ( x) f ( x) Gráfico 7 na página 26. =. Um exemplo de órbita periódica é mostrado no Pode-se estender o conceito de estabilidade para órbitas periódicas. Considere que os pontos dessas órbitas sejam p1, p 2,..., p k sendo k o período da órbita. Para determinar sua estabilidade calcula-se o módulo do produto das derivadas nos pontos fixos da órbita. Caso esse valor seja menor que 1, a órbita periódica é estável. Então, se f '( p )... f '( p ) f '( p ) < 1, a órbita é estável e caso ( ) ( ) ( ) k instável. 2 1 f ' p... f ' p f ' p > 1, a órbita é k EXEMPLOS DE MAPAS QUE GERAM ÓRBITAS CAÓTICAS Nessa seção, analisam-se as características de alguns mapas. O mapa logístico é analisado com mais detalhes. Os outros mapas são abordados de maneira sucinta ESTUDO DO MAPA LOGÍSTICO O mapa logístico surgiu da pesquisa sobre o número de habitantes numa região. Primeiramente foi elaborado um modelo em que y( n 1) 2y( n) + =. Mas esse modelo não é satisfatório porque existem fatores limitantes, tais como: falta de alimento, guerras e falta de espaço físico. Sem essas considerações, a população tenderia ao infinito. Depois disso foi proposto o seguinte modelo y( n 1) 2y( n) ( 1 y( n) ) + =. Esse já é um modelo bem melhor porque leva em conta as limitações referidas acima. Genericamente, a equação é

23 22 ( 1) ( )( 1 ( )) y n + = ay n y n (3) (MONTEIRO, 2006). Esta é a família de mapas logísticos. Um dos mapas mais estudados dessa família é aquele em que a = 4. Considere as condições iniciais no intervalo [ 0,1 ]. A análise do valor de a pode ser resumida assim: para 0 < a < 1, o mapa tem um ponto fixo atrativo em x = 0 ; para 1 < a < 3, temos um ponto fixo atrativo em a 1 x = ; para 3 < a < 3, 45, o mapa tem a uma órbita periódica de período 2; para 3, 45 < a < 4, ocorre um comportamento que será analisado pouco adiante e para a > 4, a análise deixa de ser interessante porque não há atração de órbitas. No último caso, a tendência é que após várias iterações as órbitas tendam a. A compreensão do estudo do comportamento do mapa logístico pode ser facilitada pelo diagrama de bifurcação. Por meio dele é possível analisar mudanças significativas num conjunto de pontos fixos ou órbitas periódicas (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996). O procedimento para obtê-lo através de simulação computacional é: escolher um valor inicial do parâmetro a, escolher um valor aleatório y no intervalo [ 0,1 ], calcular a órbita de y segundo a Equação 3, ignorar as 100 primeiras iterações e plotar o gráfico a partir da iteração de número 101 (ALIGOOD; SAUER; YORKE, 1996). As primeiras iterações devem ser rejeitadas porque deve se esperar que a órbita convirja para um ponto fixo ou órbita periódica ou não convirja. O número de iterações que deve ser descartado não é fixo. Por exemplo, no Gráfico 7 da página 26, somente 7 iterações não devem ser consideradas.

24 23 mostra o Gráfico 4. Usando o computador, pode-se gerar um diagrama de bifurcação, conforme Gráfico 4 Diagrama de bifurcação O diagrama mostra o início, a evolução e o fim dos atratores. Por exemplo, para a = 3,3, se for passada uma reta vertical, verifica-se que dois pontos são cortados. Eles representam uma órbita de período 2. Por esse diagrama fica fácil observar que para a em torno de 3,5 começam a ocorrer órbitas de período 4. Depois passamos a ter órbitas de período 8, depois 16 e assim sucessivamente. os períodos. Aproximadamente a partir de a 3, 57, observe que existem órbitas de todos

25 24 Por meio do Gráfico 5, percebe-se também que existe um trecho interessante de 3,82 a 3,86. Gráfico 5 Diagrama de bifurcação ampliado entre os pontos 3,82 e 3,86 período 3. Analisando esse gráfico, pode-se dizer que para a = 3,84 existe uma órbita de Uma característica marcante que ocorre em sinais caóticos é a sensibilidade às condições iniciais. Isso significa que quando condições iniciais muito próximas são iteradas várias vezes, no começo elas estarão bem próximas, porém os valores das órbitas logo começarão a ficar totalmente diferentes uns dos outros. Essa característica é também chamada de dependência sensível com relação às condições iniciais. Como exemplo observe o Gráfico 6 no qual foram utilizados a = 4 e n = 41.

26 25 Gráfico 6 (a) Iteração do mapa logístico com condição inicial y ( 0) = 0,2 e (b) com condição inicial de y ( 0) = 0, 201 A Tabela 1 mostra alguns pontos das órbitas acima. Tabela 1 - Valores das órbitas obtidas de um mapa logístico com pequena variação da condição inicial Número de iterações Condição inicial igual a 0,2 Condição inicial igual a 0, ,2 0, ,64 0, ,9216 0, ,289 0, ,5854 0, ,9708 0, ,0039 0, ,82 0, ,9864 0, ,3203 0,4324 Perceba que, bem no início, os pontos das órbitas são quase iguais e que logo eles ficam totalmente diferentes. A análise numérica também ajuda a verificar essa característica dos sinais caóticos.

27 26 Considerando N com um inteiro positivo, define-se que um ponto x é n+ p n eventualmente periódico quando f ( x) f ( x) =, para qualquer n N e p o menor inteiro possível. Isso significa que após certo número de iterações a órbita passa a ser periódica. Observe a órbita obtida para a família do mapa logístico feito com 50 iterações, com 3,3 a = e ( ) y 0 = 0,35 no Gráfico 7. Gráfico 7 Exemplo de órbita de período 2. Nota-se que a partir da sétima iteração, inicia-se uma órbita periódica de período 2 que oscila entre os valores 0,4794 e 0,8236. O número de órbitas do mapa para cada período pode ser feita por meio de uma tabela periódica de mapas. A tabela 2 mostra o início da tabela periódica do mapa logístico: Tabela 2 - Pontos fixos e periodicidade no mapa logístico

28 27 Número de pontos Número de pontos fixos de k y de Órbitas de período Período k fixos de k y órbitas periódicas k menores Sendo y o mapa logístico e k o período da órbita, o número de pontos fixos de k y é 2 k. Para o preenchimento da terceira coluna basta observar que os pontos fixos de órbitas de período 2 também são pontos fixos de órbitas de período 4. Da mesma forma, os pontos fixos de órbitas de período 3 também são pontos fixos de órbitas de período 6. Para a obtenção da última coluna faz-se a segunda coluna menos a terceira e divide-se pela primeira. Assim na terceira linha temos 8 2 = 2. 3 Quando o sistema possui órbitas de todos os períodos ele gera sinais caóticos MAPA TENDA INCLINADA

29 28 O mapa tenda inclinada é definido pelas seguintes expressões: ( ) 2y n 1 α +, 1 y( n) α α + 1 α + 1 y( n + 1) = 2y( n) α + 1 +, α y( n) 1 α 1 α 1 (4) O Programa 2 do Apêndice faz o Gráfico 8 (b) correspondente a uma órbita gerada pelo mapa tenda inclinada. Observe abaixo o mapa tenda inclinada e uma órbita gerada por ele para n = 81 iterações, condição inicial y ( 0) = 0,2 e o parâmetroα = 0,4. Gráfico 8 (a) Mapa tenda inclinada com α = 0,4 ; (b) exemplo de órbita deste mapa MAPA TENDA

30 29 O mapa tenda é definido pela seguinte equação de diferenças: ( 1) 1 2* y( n) y n + = (5) Quando o parâmetro α do mapa tenda inclinada é zero, é obtido o mapa tenda. Logo, o mapa tenda é um caso particular do mapa tenda inclinada. No Gráfico 9, é mostrado o mapa tenda e a órbita gerada por ele para y ( 0) = 0,026 com n = 71 iterações. Para condições iniciais com números racionais, a órbita tende ao ponto fixo 1, ou seja, não é caótica (EISENCRAFT, 2006). Para gerar o Gráfico 9, foi necessário fazer a conjugação do mapa quadrático (EISENCRAFT, 2006). Essa adaptação está explicada nas páginas 30 e 31. Gráfico 9 (a) Mapa tenda; (b) Exemplo de órbita do mapa tenda MAPA QUADRÁTICO

31 30 O mapa quadrático é definido pela seguinte equação de diferenças: 2 ( ) ( ) y n + 1 = 2y n + 1 (6) A seguir o mapa quadrático e uma órbita gerada por esse mapa com n = 61 iterações e condição inicial y ( 0) = 0,845. Gráfico 10 (a) Mapa quadrático; (b) Exemplo de órbita do mapa quadrático O problema de gerar órbitas para o mapa tenda pode ser resolvido por meio da relação entre os mapas quadrático e tenda. Pode se mostrar que se pode obter uma órbita do mapa tenda a partir do quadrático pela seguinte relação (ALLIGOD; SAUER; YORKE, 1996): C TQ ( x 1) π + = cos (7) 2

32 31 Na Equação 7, x é o vetor contendo os valores dos pontos da órbita em cada iteração do mapa quadrático e C TQ corresponde ao vetor contendo os valores dos pontos da órbita do mapa tenda. 2.5 CAOS E NÚMERO DE LYAPUNOV O número de Lyapunov serve para quantificar a taxa média de separação dos pontos que estão perto de um ponto fixo. O expoente de Lyapunov é o logaritmo natural do número de Lyapunov. Considere um mapa genérico f ( x) que possui uma órbita constituída pelos pontos{ x1, x2, x 3,... }. Então, o número de Lyapunov, matematicamente, é dado por: ( ) 1 n ( ) ( ) ( ) ( ) n L x = lim f ' x f ' x... f ' x (8) n O expoente de Lyapunov, matematicamente, é dado por: 1 h x1 lim ln f ' x1 ln f ' x2... ln f ' xn n n ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) (9) Note que ln L = h. Deve-se ressaltar que existem algumas órbitas com número de Lyapunov indefinido. Um desses casos ocorre quando ( ) = 0 periódica. f. x i Toda órbita que é atraída para um ponto fixo atrativo é assintoticamente Se a órbita não for assintoticamente periódica e o expoente de Lyapunov h( x 1) for maior que zero, a órbita é caótica.

33 32 No Gráfico 11, é mostrado como varia o expoente de Lyapunov em função do parâmetro a do mapa logístico. Gráfico 11 Expoente de Lyapunov em função do parâmetro a para o mapa logístico A partir do Gráfico 11, algumas observações interessantes podem ser feitas. Note que até a 3,57, não existe caos porque o expoente de Lyapunov é negativo. Após esse valor existem finos traços negativos que são aquelas órbitas periódicas analisadas no diagrama de bifurcação. Essa análise do expoente de Lyapunov é outra maneira de visualizar que o caos para a família de mapas logísticos y( n 1) ay( n) ( 1 y( n) ) + = começa a partir de a 3,57.

34 DENSIDADE INVARIANTE Um histograma geralmente pode indicar a quantidade de pontos de uma órbita que estão em cada região dentro de cada subintervalo num domínio. (DEVANEY, 1992). A estatística de sinais digitais pode começar a ser analisada a partir de um histograma, em que é mostrada a freqüência com que cada valor iterado aparece. Para a geração de um histograma prático, primeiro divide-se o intervalo do domínio em intervalos uniformes. Depois, itera-se o mapa em questão. Suponha que U = [ 0,1] e que i seja o número de intervalos. Considerando que n i é o número de pontos num determinado intervalo e que N é o número total de pontos analisados, calcula-se a freqüência com a equação: ni fi = (10) N y ( 0) Para o mapa logístico com a = 4, n = iterações e condição inicial π =, obteve-se o histograma do Gráfico Gráfico 12 (a) Densidade invariante x pontos da órbita ; (b) Histograma de um mapa logístico

35 34 Observe agora um histograma do mapa quadrático com n = iterações e condição inicial y ( 0) = 0,845. Gráfico 13 (a) Densidade invariante x pontos da órbita; (b) Histograma de um mapa quadrático As funções densidade evoluem de acordo com o operador de Perron Frobenius. Pode ser demonstrado que para o mapa quadrático, o gráfico teórico da densidade invariante é dada pela fórmula (LASOTA, A; MACKEY, M, 1985). f ( x) = π x 1 ( 1 x) (11) Note que no Gráfico 13, referente ao mapa quadrático, há um número maior de pontos nos extremos do intervalo [ 1,1] e que há poucos pontos perto de zero. Em outras palavras, o mapa quadrático possui uma densidade invariante não-uniforme. Existe uma maior probabilidade de um ponto da órbita desse mapa estar nos extremos do domínio do que nas demais partes.

36 35 A seguir um histograma do mapa tenda inclinada com n = iterações e condição inicial y ( 0) = 0,2. Gráfico 14 (a) Densidade invariante x pontos da órbita; (b) Histograma de um mapa tenda inclinada No gráfico acima, nota-se uma distribuição quase constante ao longo de todos os intervalos, dificultando a previsão das próximas iterações de uma órbita do mapa tenda inclinada. Nesse caso, a densidade invariante é uniforme com qualquer ponto da órbita tendo igual chance de estar em cada lugar do domínio. O intuito deste capítulo é explicar os assuntos e conceitos mais relevantes sobre sinais caóticos e estimação de sinais de tal forma que o entendimento do algoritmo de Viterbi fique mais claro no Capítulo 3.

37 36 3 ESTIMAÇÃO DE ÓRBITAS POR MEIO DO ALGORITMO DE VITERBI Neste capítulo, trata-se da aplicação do algoritmo de Viterbi à estimação de órbitas, tema central deste trabalho. Antes disso, comenta-se de forma resumida a respeito da teoria da estimação. A teoria da estimação tem importância em diversas áreas de processamento de sinais, tais como: radar, voz, análise de imagens, biomedicina, comunicações, controle e sismologia (KAY, 1993). Esse trabalho visa aplicá-la em sistemas de Telecomunicações. O comportamento intrincado de sinais caóticos pode ser tratado quando observado de uma perspectiva estatística (SETTI et al., 2002). A análise individual de sinais caóticos é difícil. Por esta razão, eles são estudados conjuntamente, por meio de um estudo estatístico. Qualitativamente, os métodos desenvolvidos para recuperar sinais caóticos em meio ruidoso, em geral, têm desempenho igual: todos funcionam quando há pouco ruído junto com o sinal e dificilmente apresentam bons resultados para ruído elevado. A dificuldade fundamental de desenvolver um bom modelo de estimador para sinal caótico é a própria natureza do sinal (DRAKE, 1998, p.2). O problema é que esses sinais são analisados apenas com funções não-lineares, tornando difícil encontrar um modelo adequado de estimador. A principal razão pela qual as aplicações da modulação caótica ainda estão em seus estágios iniciais é a grande sensibilidade do processo de demodulação, ou seja, o ruído dificulta o estabelecimento da comunicação (DEDIEU; KISEL, 1999). As maneiras de reduzir os efeitos do ruído podem ser divididas em 4 abordagens: (i) auto-sincronismo, (ii) teoria de controle, (iii) redução de ruído e (iv) teoria da estimação (DRAKE, 1998).

38 37 O auto-sincronismo é a capacidade de sistemas caóticos se sincronizarem sem a necessidade de intervenção externa. Esses sistemas podem ser separados em estáveis e instáveis. O subsistema instável é usado para copiar o sistema. Quando há ruído, o subsistema estável permite uma menor distorção do sinal devido ao ruído (DRAKE, 1998). A teoria de controle pode ser feita de duas formas: utilizar técnicas que estimam valores de estados imediatamente anteriores e técnicas de identificação de sistemas que mudam os parâmetros do modelo conforme o comportamento do sistema. Esse método se utiliza de sistemas dinâmicos lineares (DRAKE, 1998). A redução de ruído busca separar o comportamento caótico de flutuações aleatórias. Ao contrário da teoria de controle, a redução de ruído utiliza propriedades específicas de sistemas dinâmicos caóticos (DRAKE, 1998). A primeira conexão entre caos e a teoria da estimação foi elaborada por (MYERS ; TAPLEY, 1976). A teoria da estimação pode ser dividida basicamente em dois grupos: clássico e bayesiano. Os estimadores clássicos modelam o valor a ser pesquisado como desconhecido, mas considerando o sinal sendo determinístico. Já os bayesianos o caracterizam como uma quantidade aleatória caracterizada pela função densidade de probabilidade. (DRAKE, 1998). O algoritmo de Viterbi se enquadra no grupo bayesiano. 3.1 REPARTIÇÃO DO DOMÍNIO O algoritmo de Viterbi funciona bem para mapas com densidade invariante uniforme. A seguir é analisado como é feita a repartição do domínio para os casos com densidade uniforme e não-uniforme.

39 38 Uma das decisões importantes para que o algoritmo de Viterbi funcione bem é a partição do domínio. Conforme visto no Capítulo 2, o domínio diz respeito a todos os valores possíveis de uma órbita. Nos casos que são estudados neste capítulo, o domínio é [ 1,1] U =. A divisão do domínio é simbolizada por subintervalos U j,1 j NI sendo N I o número total de subintervalos do domínio. q( n) Cada subintervalo define um estado. Define-se que o sistema está no estado = j se o ponto da órbita s( n ) estiver no subintervalo cada subintervalo U j é representado por C ( j ). U j no instante n. O centro de Até hoje foram propostos dois modos de divisão do domínio em intervalos. A primeira maneira foi proposta por Dedieu e Kisel (1999). A partição é feita com intervalos uniformes. Nos casos analisados, o domínio U = [ 1,1] tem comprimento 2. Logo, cada intervalo tem comprimento 2 =. N I Por exemplo, para N I = 5, têm-se os seguintes subintervalos: [ ] [ ] [ ] [ 0,2;0,6 ], U [ 0,6;1 ]. U = 1; 0,6, U = 0,6; 0,2, U = 0,2;0,2, U = = 4 5 (12) A Equação 13 expressa o subintervalo U j em função do. ( ) [ ] j 1 1; j 1, j = 1,2,..., NI 1 1 ;1, j = NI (13) Estudos e simulações mostraram que, utilizando esta escolha de partição, o algoritmo de Viterbi produz bons resultados somente em órbitas geradas por mapas que têm densidade invariante uniforme (DEDIEU; KISEL, 1999; EISENCRAFT, 2006). Para os casos de mapas com densidade invariante não-uniforme, surgiu a idéia de dividir o domínio em subintervalos de tal forma que a probabilidade de cada ponto da

40 39 órbita estar em um subintervalo seja igual em cada um deles. O estudo dessa implementação está em (EISENCRAFT, 2006). Para o mapa quadrático, da Equação 6, por exemplo, com N = 5, os subintervalos são I [ ] [ ] [ ] [ 0, 2992; 0,8115 ], U [ 0,8115;1 ]. U = 1; 0,8081, U = 0,8081; 0,3111, U = 0,3111; 0, 2992, U = = 4 5 (14) Utilizando o Programa 3 do Apêndice podem-se obter esses valores. Para o desenvolvimento da idéia proposta, calcula-se a área total compreendida entre o mapa e o eixo horizontal. Depois divide-se a área total em A T N I intervalos de tal forma que cada área seja igual. A Equação (15) fornece o cálculo de cada área A I. A I A T = (15) NI Conhecendo-se A I, obtém-se os pontos nos quais divide-se o domínio. A seguir, é apresentado como se chega à equação do problema de estimação e a sua solução pelo algoritmo de Viterbi. 3.2 ESTIMAÇÃO DE UM SINAL CORROMPIDO PELO RUÍDO O objetivo do algoritmo de Viterbi é obter um sinal ŝ( n ) contendo os valores mais próximos de um sinal original s( n ) que foi corrompido por ruído ( n) ( ) = ( ) + ( ) r a partir de sɶ n s n r n. Neste trabalho, o ruído que modifica o sinal é o ruído branco gaussiano aditivo.

41 40 Define-se ˆq como sendo o vetor que contém a seqüência de estados estimada. A partir de ˆq, o vetor contendo os pontos da órbita estimado ŝ é obtido pelo centro C ( j ) dos intervalos definidos por estes estados. Para n + 1 amostras de s, o vetor corrompido pelo ruído é sɶ = s ɶ ( 0 ), s ɶ ( 1 ),..., s ɶ ( n), a seqüência estimada é ˆ qˆ ( 0 ), qˆ ( 1 ),..., qˆ ( n ) é: q = e o vetor estimado ( ( )) ( ( )) ( ( )) s ˆ = C q ˆ 0, C q ˆ 1,..., C q ˆ n. (16) Antes do estudo do algoritmo faz-se necessário a obtenção das funções densidade de probabilidade envolvidas. Considere q como sendo um vetor genérico contendo uma seqüência de n + 1 estados, q( 0 ), q( 1 ),..., q( n) q =. O problema da estimação pode ser resumido em encontrar ˆq tal que P ( q s) = P( q s) ˆ ɶ max ɶ. (17) q A seqüência estimada ˆq dado o sinal distorcido sɶ é a que possui maior probabilidade entre as seqüências de estado q possíveis dado o sinal distorcido. Em outras palavras, a seqüência estimada ˆq será a de maior probabilidade dada as amostras corrompidas por ruído sɶ. O teorema de Bayes afirma que P ( q sɶ ) = ( ɶ q) P( q) p( sɶ ) p s (18)

42 41 sendo p( sɶ ) a função densidade de probabilidade dos possíveis vetores sɶ e p ( s q) ɶ a função densidade de probabilidade levando em conta que o vetor de estados original é q. A probabilidade P( q) diz respeito à chance de obter o vetor q quando o mapa for iterado. Como p( sɶ ) não depende de q, o vetor estimado ˆq é: ( ) p( s q) P( q) qˆ = arg max P q sɶ = arg max ɶ (19) q O vetor estimado ˆq é o vetor q que tem a maior probabilidade de ocorrer. Enquanto na Equação 17, faz-se referência à probabilidade, a Equação 19 mostra quem é o vetor contendo a seqüência mais provável de estados. Considere somente os primeiros p + 1 estados de um vetor genérico um vetor observado sɶ p. Pela notação que está sendo utilizada, tem-se que: ( 0 ), ( 1 ),..., ( 1 ), ( ) q q p e de q p = q q q p q p (20) e ( ) ( ) ( ) ( ) sɶ p = s ɶ 0, s ɶ 1,..., s ɶ p 1, s ɶ p. (21) p 1 A probabilidade de obter a seqüência de estados ( p ) = ( ( ) ( 1) ) ( p 1) q p quando o mapa é iterado é: P q P q p q p P q (22) A probabilidade de obter a seqüência q tenha ocorrido vezes a chance de estando no estado ( 1) q( p ). q p é a probabilidade de que a seqüência q p ele mude para o estado

43 42 As amostras de ruído são independentes. Por esta razão, pode-se equacionar a probabilidade do vetor de amostras do sinal distorcido sabendo que a seqüência estimada é q p como: ( sɶ p q p ) = ( ɶ ( ) ( )) = r ( ɶ( ) ( )) p n= 0 r p p p s n q n p s n s n n= 0 n= 0 ( ɶ ( ) ( ( ))) p s n C q n p (23) sendo p (.) a função densidade probabilidade do ruído ( ) r r n. A aproximação na Equação 23 é devido à repartição do domínio. Para um N I pequeno, s( n ) e ( ( )) C q n estarão possivelmente afastados. Porém, se for utilizado um elevado N I, a aproximação torna-se próxima de uma igualdade. Supondo que o mapa em questão possui densidade invariante uniforme, podese dizer que a probabilidade de estar em qualquer dos subintervalos no instante n = 0 é igual. A partir dessa consideração e combinando as Equações 19, 22 e 23 chega-se a que é descrito a seguir. N 1 n= 1 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) qˆ = arg max P q n q n 1 p sɶ n q n (24) q Uma forma de implementar a Equação 24 é dada pelo algoritmo de Viterbi, Considere ( n, j) δ simbolizando a probabilidade da seqüência de estados mais provável que no instante n esteja no estado j dado o vetor sɶ. Matematicamente, em que δ ( n, j) = max P(, q( n) = j s) q n q ɶ (25) n 1 Assim, a Equação 24 pode ser reescrita dessa maneira: δ ( n j) = δ ( n i) a b ( ), max 1, ij j i sɶ (26)

44 43 ij ( ( ) ( 1) ) a = P q n = j q n = i (27) e j ( s( )) = ( s( ) ( ) = ) b ɶ n P ɶ n q n j (28) Os valores de ij a correspondem às probabilidades de uma amostra ( n) s estar no subintervalo U quando em ( n 1) j s ela estiver em U i. Os valores de b j são as probabilidades que dependem da função densidade de probabilidade de ruído P r. j O Diagrama 2 ajuda a esclarecer o algoritmo de Viterbi. ϕ ( 3,5) = δ ( 5,4) 3 2 ϕ ( 5,2) = n Diagrama 2 Exemplo do funcionamento do algoritmo de Viterbi. Estão representadas possíveis seqüências até n = 5 de um sinal. que no instante 5 O símbolo δ ( 5,4) é a probabilidade da seqüência de estados mais provável n = está no estado ( ) q 5 = 4.

45 44 obter ( n, j) Primeiramente, numa fase chamada de avanço, a Equação 25 é utilizada para δ no instante n para os N I intervalos. Sempre é escolhido o caminho mais provável na continuidade de cada seqüência. Ao final dessa fase, seleciona-se a opção que fornece a mais alta probabilidade. Depois, inicia-se a fase de retrocesso, que permite obter a seqüência de estados mais provável ˆq ( n ). Através da matriz ( n, j) contém a maior probabilidade de ter ocorrido. Sendo i π a probabilidade a priori de ( 0) algoritmo de Viterbi através das equações a seguir: Início do algoritmo ϕ é guardado o estado anterior n 1 que sɶ estar no estado i, pode-se resumir o ( ) i i ( sɶ ( )) ( 0, i) = 0 δ 0, i = Π b 0,1 i N ϕ I (29) Fase de avanço ( ) δ ( ) ( sɶ ( )) δ n, j = max n 1, i bj n,1 i N 1,1 j NI 1 i NI ϕ ( n, j) = max δ ( n 1, j) a b ( ( n) ),1 i N 1,1 j N 1 i N sɶ I ij j I (30) Término do avanço Fase de retrocesso ( ) = δ ( ) qˆ N 1 arg max N 1, i (31) 1 i N I ( ) ϕ ( ˆ ( )) qˆ n = n + 1, q n + 1, n = N 2,...,1,0 (32) EXEMPLO NUMÉRICO DO ALGORITMO DE VITERBI exemplo. O intuito desse tópico é facilitar o entendimento do algoritmo através de um

46 45 Considere um sinal s = [ 0, 75; 0, 25; 0, 25; 0, 75;0,3]. Existem 5 amostras indo de n = 0 até n = 4. Suponha que após o sinal ter sido corrompido, tem-se [ 0,82; 0, 6;0,1; 0, 4; 0,1] sɶ =. O caso de análise será do mapa tenda que possui densidade invariante uniforme. Logo, cada intervalo tem = 2 = 2 0,5 4 =. O domínio U é dividido nos seguintes N I subintervalos: U 1 = [ 1; 0,5], U 2 = [ 0,5; 0], U 3 = [ 0; 0,5] e 4 [ 0,5;1] U =. Com os dados fornecidos a seqüência original é q = [ 4;2;3;1;3 ] n = 0, o valor de 0,75 se enquadra em 4 U. Sendo assim, q( ) 0 = j = 4.. Na amostra Neste exemplo utiliza-se uma matriz de transição A = ( a ),1 i, j 4 que pode ser obtida de maneira similar à do Programa 3 do Apêndice e é: 0,5 0, ,5 0,5 A = (33) 0 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 O elemento a 34 indica que a probabilidade de que se o ponto da órbita estiver em U 3 no instante n e ele estar em U 4 no instante n + 1 é 0,5. estado 3 Suponha que a seqüência mais provável até o instante n = 4 terminando no j = seja q = [ 4,1,3,5,3 ]. Supondo que dentre todas as outras seqüências que terminam em n = 4, o vetor q do estado j = 3 seja o mais provável, pode-se dizer que q = q ˆ. A probabilidade de q ocorrer é δ ( 4,3). Ao final da fase de avanço, além das probabilidades, têm-se as os estados anteriores mais prováveis. Assim, ϕ ( 4,3) = 5, ϕ ( 3,5) = 3, ( ) ϕ ( 1,1) = 4 e ( ) ϕ 0,4 = 0. ij ϕ 2,3 = 1,

47 46 Para obter a seqüência, parte-se da Equação 31. Depois, é necessário somente substituir na Equação 32. Assim: q ˆ ( 4) = 3 (34) ( ) ϕ ( qˆ ( )) ϕ ( ) qˆ 3 = 4, 4 = 4,3 = 5 (35) ( ) ϕ ( qˆ ( )) ϕ ( ) qˆ 2 = 3, 3 = 3,5 = 3 (36) ( ) ϕ ( qˆ ( )) ϕ ( ) qˆ 1 = 2, 2 = 2,3 = 1 (37) ( ) ϕ ( qˆ ( )) ϕ ( ) qˆ 0 = 1, 1 = 1,1 = 4 (38) EXEMPLO GRÁFICO DO ALGORITMO DE VITERBI Os gráficos desse tópico foram gerados a partir do mapa tenda inclinada com α = 0,2, n = 21 iterações e N = 10 subintervalos. I O Gráfico 15 mostra um exemplo de como o algoritmo de Viterbi melhora um sinal original distorcido pelo ruído. No item (a), temos sinal original s. No item (b), é mostrado o sinal corrompido por um ruído branco sɶ e no item (c), o sinal estimado ŝ obtido.

48 47 Gráfico 15 (a) Sinal original; (b) sinal corrompido por ruído; (c) sinal estimado O Gráfico 16 mostra o erro dos sinais distorcido e estimado, respectivamente. Gráfico 16 (a) Erro sem utilizar o algoritmo de Viterbi; (b) erro após utilizar o algoritmo

49 48 Na simulação também foi calculada a média dos erros sem utilizar e utilizando o algoritmo. A média de erro com ruído foi de 0,3538 enquanto que a média de erro com a estimação foi de 0,1091. Com esses valores, percebe-se que o algoritmo de Viterbi foi muito eficiente neste caso. O Gráfico 17 mostra a relação sinal ruído da entrada SNRin pela relação sinal ruído na saída SNR out. vetor de Gráfico 17 - SNR in x SNR out Esse gráfico foi obtido a partir do Programa 5 do Apêndice. Após a escolha do SNR in, calculou-se o sinal estimado e a variância entre este sinal e o sinal original para cada amostra do sinal original. Cada amostra do sinal original foi elevada ao quadrado e dividida pela variância. Depois foi feita a conversão desse vetor para decibéis. Por fim, foi feita uma média do desvio quadrático, obtendo SNR out.

50 49 O desempenho é bom enquanto SNRout > SNRin. Percebe-se que até cerca de 20 db o algoritmo consegue uma boa estimação do sinal. Caso venha um sinal com uma SNR in maior que esse valor, o algoritmo estima um sinal pior do que o corrompido. Para que esse método seja utilizado, deve-se ter um número elevado de subintervalos do domínio e, além disso, o método não pode estimar um sinal com pouco ruído.