Tópicos em teoria de muitos corpos: Interação elétron-fônon. Diana Mercedes Meneses Gustin

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1 Tópicos em teoria de muitos corpos: Interação elétron-fônon Diana Mercedes Meneses Gustin O conceito de Polaron foi introduzido por Landau em 1933 [1], resulta da interação de elétron com as vibrações da rede de um cristal, assim, um elétron, injetado na banda de condução, polariza o material, os íons deslocam das posições de equilíbrio blindando-o. Em quanto o elétron se movimenta pelo cristal, um estado ligado se vá formando e a rede sofre distorções geradas pela polarização induzida ao cristal, a tal fenômeno emergente se conhece como polaron. Propriedades de cristais, semicondutores e metais, quando interatuando com elétrons, foram descritas usando este conceito, e como a interação é basicamente uma partícula carregada em presença de um campo escalar bosônico, resulta um interessante exemplo e modelo de investigação teórico e experimental para a física de matéria condensada e para física de campos. Figura 1: Representação artística de um polaron. O elétron atrai os íons positivos, repele os negativos, e ca envestido pelas vibrações da rede. A deformação da rede acompanha o elétron. Uma das primeiras evidencias experimentais da interação elétron-fônon foi a fotocondutividade oscilatória, 1966 [2]. A interpretação qualitativa proposta, estaria baseada no acoplamento dos elétrons com os fônons longitudinais ópticos do cristal. As oscilações na resposta espectral da fotocondutividade, gura 2, apresentava mínimos em múltiplos da energia de oscilação da rede do InSb, estas quedas foram associadas ao processo de emissão de fônons devidas ao forte acoplamento com os elétrons injetados na banda de condução devidos a um campo elétrico externo, posteriormente, estas apreciações foram conrmadas mediante uma derivação formal da física do mencionado processo oscilatório [3]. Com a conrmação da existência da interação elétron-fônon em cristais algumas propriedades físicas foram explicadas. por exemplo, a mobilidade dos elétrons pode estar comprometida com a formação de polarons, os semicondutores orgânicos também resultam serem sensíveis à este fenômeno, as interações que originam pares de Cooper são modelados com polarons. Para entender o processo de interação entre elétrons e fônons, vamos considerar que sobre um um campo bosônico um elétron é enviado, ele interage, e com a informação que ele for espalhado vamos deduzir algumas propriedades. Essa amplitude de probabilidade é a função de Green. Para um sistema não 1

2 Figura 2: Fotocondutividade oscilatória do p-insb a 7K, extraída de [2]. interagente, a função de Green, para o operador ψr, t)ψ r, t ) atuando no estado fundamental ψ >, é denida usando o operador de ordenamento temporal T, G r r ; t t ) = i < ψ T ψr, t)ψ r, t ) ψ > < ψ ψ > 1) Vamos supor agora que uma perturbação V é ligada. O estado ψ > possivelmente sofrera mudanças devido aos novos acoplamentos dentro do sistema e a probabilidade de uma partícula, que começou a interatuar com o sistema no tempo t 1 no ponto r 1, ser encontrada num tempo posterior t 2 num ponto r 2 é calculada usando o formalismo da matriz S, ou Gr r ; t t ) = i < ψ T ψr, t)ψ r, t )S ψ > < ψ S ψ > Gr r ; t t ) = i < ψ T ψr, t)ψ r, t ) exp i dt 1 V t 1 )) ψ > < ψ exp i. 2) dt 1 V t 1 )) ψ > Para férmions livres com frequência ω e vetor de onda k, a função de Green no espaço de momentos é G k; ω) = 1 ω ɛ k + iηsgnk k f ) 3) Para fônons não interagentes é usada a letra D para identicar a função de Green, que corresponde á D q; t t ) = i < ψ T b q t) + b qt)) b q ) + b q) ) ψ > 4) 2

3 Como a temperatura zero não há fônons, ψ > é o estado de vácuo. partículas serão criadas e destruídas por os operadores b e b respetivamente. Tendo em mente que b q t) = b q )e iωt, b q ψ >= e que a transformada de Fourier para Dq, t) é Dq; ω) = dte iωt Dq; t), a equação 4, para fônons com momento q e frequência ω, é D q; ω) = 2ω q ω 2 ω 2 q + iη 5) Nas expressões 4 e 5 iη é uma quantidade innitesimal que assegura a convergência para tempos longos. A interação elétron-fônon é descrita pelo potencial V, V = q,k M q C k+q C kb q + b q) 6) M q é a matriz de elementos da interação. Baixo esta consideração, o estado fundamental do sistema é uma combinação do estado fundamental de elétrons e do vácuo dos fônons. O Hamiltoniano que descreve tal acoplamento é [4] : H = H e + H ph + V 7) H e = k ε k C k C k 8) H ph = q ω q b k b k 9) V = q,k M q C k+q C kb q + b q) 1) Se consideramos V como uma perturbação ao sistema, o formalismo da matriz S pode ser usado, e o valor esperado do novo estado fundamental é determinado por meio do teorema de Wick, o qual diz que o ordenamento temporal dos operadores no braket, é a soma de todas as possíveis contrações entre os operadores. Admitindo isto, a função de Green do sistema interagente é exata quando S é expandido innitamente: 3

4 Gk, t t ) =G k, t t )+ + i) 1 ˆ dt 1 ψ M q1 T [C k t)c k t )C k 1+q 1 t 1 )C k1 t 1 ) q 1,k 1 ) b q1 t 1 ) + b q 1 t 1 ) ] ψ + ˆ + i)3 dt 1 dt 2 ψ T [M q1 M q2 C k t)c k 2! t ) q 1k 1,q 2,k 2 C k 1+q 1 t 1 )C k1 t 1 )C k 2+q 2 t 2 )C k2 t 2 ) ) ) b q1 t 1 ) + b q 1 t 1 ) b q2 t 2 ) + b q 2 t 2 ) ] ψ ) Em primeira ordem de V, temos um termo do tipo ψ b q t) + b qt) ψ que é zero. Logo não temos contribuição de primeira ordem na função de Green para esta interação, a partir deste resultado, é fácil ver que para ordens ímpares de V não teremos contribuição alguma) à função de Green exata. ) Em segunda ordem, respeito a fônons temos o termo ψ b q1 t 1 ) + b q 1 t 1 ) b q2 t 2 ) + b q 2 t 2 ) ψ = iδ q1,q 2 D q; t 1 t 2 ). Para elétrons, as seguintes contrações devem ser avaliadas, a) ψ C k t)c k t ) ψ ψ C k 1+q 1 C k1 ψ ψ C k 2+q 2 C k2 ψ = ψ C k t)c k t ) ψ ψ C k 1+q 1 C k1 ψ ψ C k 2+q 2 C k2 ψ b) ψ C k t)c k t ) ψ ψ C k 1+q 1 C k2 ψ ψ C k1 C k 2+q 2 ψ = ψ C k t)c k t ) ψ ψ C k2 C k 1+q 1 ψ ψ C k1 C k 2+q 2 ψ c) ψ C k t)c k 1+q 1 ψ ψ C k t )C k1 ψ ψ C k 2+q 2 C k2 ψ = ψ C k 2+q 2 C k2 ψ ψ C k t)c k 1+q 1 ψ ψ C k1 C k t ) ψ d) ψ C k t)c k 1+q 1 ψ ψ C k t )C k2 ψ ψ C k1 C k 2+q 2 ψ = ψ C k t)c k 1+q 1 ψ ψ C k1 C k 2+q 2 ψ ψ C k2 C k t ) ψ 12) e) ψ C k t)c k 2+q 2 ψ ψ C k t )C k1 ψ ψ C k 1+q 1 C k2 ψ = ψ C k t)c k 2+q 2 ψ ψ C k2 C k 1+q 1 ψ ψ C k1 C k t ) ψ f) ψ C k t)c k 2+q 2 ψ ψ C k t )C k2 ψ ψ C k 1+q 1 C k1 ψ = Ou, em termos das funções de Green ψ C k 1+q 1 C k1 ψ ψ C k t)c k 2+q 2 ψ ψ C k2 C k t ) ψ 4

5 a) i i) 2 G k, t t)g k 1 )G k 2 )δ q1= b) i) 3 G k, t t )G k 1, t 1 t 2 )G k 1 + q 1 ; t 2 t 1 )δ k1=k 2 q 1 c) ii) 2 G k 2 )G k, t t 1 )G k, t 1 t )δ k=k1,q 1= d) i) 3 G k, t t 1 )G k + q 1 ; t 1 t 2 )G k, t 2 t )δ k=k1+q 1=k 2 e) i) 3 G k, t t 2 )G k + q 1 ; t 2 t 1 )G k, t 1 t )δ k=k2 q 1=k 1 f) ii) 2 G k 1 )G k, t t 2 )G k, t 2 t )δ q1=,k=k 2 Estes termos serão desenhados por líneas sólidas e por líneas tracejadas representando a função de Green do elétron e do fônon respetivamente. Uma seta indicará a direção do processo. Os termos a) até f) são a continuação mostrados junto com as líneas de fônon. Os diagramas a), c) e f) contem termos de fônon com vetor de onda q =, e esses termos não serão considerados de interesse. O diagrama b), por sua vez, é um diagrama desconectado, logo não contribui para a função de Green exata. Para desenhar os processos fermiônicos e de fônon, na gura 3, linhas continuas e tracejadas foram designadas respetivamente, etiquetas necessárias nos vértices e ao longo dos processos também são explicitadas. Então, vemos que para para gerar os diagramas que representam uma função de Green de ordem n, G n k, ω), ou vice-versa, as seguintes regras deveram ser cumpridas: ˆ Desenhar os diagramas conetados com n 2 linhas de fônon e n + 1) linhas fermiônicas. ˆ Por cada linha de elétron associe a função de Green G k, ω) ˆ Por cada linha de fônon associe o termo M q D k, ω) ˆ some sobre os graus de liberdade. Se estiver calculando o termo de auto energia, a soma devera ser feita sobre os graus de liberdade internos dos sistema. ˆ Integre sobre as variáveis internas de tempo. ˆ Multiplique por i n+ n ) L sendo n o número de linhas fermiônicas e L o número de loops. Para temperaturas T >, a interação será determinada pelo banho térmico do sistema, e a função de Green para fônons não interagentes, será: D q, τ τ ) = ψ T τ [ b q τ) + b qτ)) b q τ ) + b qτ ) ) ] ψ { = T r ρ T τ [ b q τ) + b qτ)) b q τ ) + b qτ ) ) } ] 5

6 Sendo ρ a matriz de densidade, T τ o operador de ordenamento temporal, onde τ ɛ C. A dependência dos operadores de criação e destruição com τ está denida por meio da relação b q τ) = e τh b q e τh, tal que b q τ) =b q e τωq b qτ) =b qe τωq logo, [ ) D q, τ) = T r {ρ T τ b q e τωq + b b q qe τωq + b ) ]} q [ 1 ) ]} ) ]} = θτ)t r {ρ + b q b q e τω q + b qb q e τωq θ τ)t r {ρ [1 + b qb q e τωq + b qb q e τωq = θτ) [ 1 + n q ) e τωq + n q e τωq] θ τ) [ 1 + n q ) e τωq + n q e τωq] n q = 1 é a função de distribuição para um sistema de bosons. e βωq 1 Usando o fato de que no formalismo para T >, as frequências estão discretizadas isto é, a funcao de Green é periodica sendo ω n = 2π β 2n + 1) n ɛ Z para fermions 2π β n n ɛ Z para bosons, 13) a função de Green de Matsubara para um sistema de fônons não interagentes com frequência ω é D q; ω n ) = β eiωnτ D q, τ) D q; ω n ) = 2ω q ωn 2 + ωq 2 Se uma interação for ligada e a temperatura for diferente de zero, a amplitude de probabilidade, para um elétron ser espalhado pelos fônons do sistema, poderá ser determinada por meio de um calculo de teoria de perturbações, análogo ao descrito antes. A função de Green a T >, agora chamada função de Green Matsubara, será calculada como a soma de todos os possíveis diagramas conetados, respeitando novos limites de integração devidos à periodicidade) e lembrando que a variável de tempo é imaginaria. 14) Gk, τ) = 1) n n= ˆ β = G q, τ) 1) 1 1) 2 ˆ β dτ 1 dτ n ψ T τ C k τ)c k V τ 1) V τ n ) ψ ˆ β dτ 1 dτ 2 ψ dτ 1 ψ q 1,k 1,q 2,k 2, q 1,k 1 M q1 T τ ) ) b q1 τ 1 ) + b q 1 τ 1 ) b q2 τ 2 ) + b q 2 τ 2 ) ] ψ [ )] C k τ)c k )C k 1+q 1 τ 1 )C k1 τ 1 ) b q1 τ 1 ) + b q 1 τ 1 ) ψ M q1 M q2 T τ [C k τ)c k )C k 1+q 1 τ 1 )C k1 τ 1 )C k 2+q 2 τ 2 )C k2 τ 2 ) 6

7 Não temos contribuição de primeira ordem nem) para ordens ímpares) de V. Em segunda ordem, respeito a fônons temos o termo ψ b q1 τ 1 ) + b q 1 τ 1 ) b q2 τ 2 ) + b q 2 τ 2 ) ψ = δ q1,q 2 D q; τ 1 τ 2 ). Para elétrons, as contrações que fornecerão diagramas conetados já foram calculadas em 12, e estão etiquetados como d) e e), logo, os termos de interesse de Gq, τ) em segunda ordem são: a) ψ C k τ)c k 1+q 1 ψ ψ C k1 C k 2+q 2 ψ ψ C k2 C k τ ) ψ b) ψ C k τ)c k 2+q 2 ψ ψ C k2 C k 1+q 1 ψ ψ C k1 C k τ ) ψ Estes dois termos diferem só das etiquetas das variáveis internas τ 1 e τ 2 já que os momentos k 1,2 e q 1,2 cam denidos por δ k=k1+q 1=k 2 e δ k=k2 q 1=k 1, logo Gk, τ) = G k, τ) β dτ 1 dτ 2 q 1 M 2 q 1 D q; τ 1 τ 2 )G k, τ τ 1 )G k + q 1 ; τ 1 τ 2 )G k, τ 2 ). Para saber a dependência com ω devemos lembrar que agora as frequências de vibração estão discretizadas, tal que < τ < β. D q; τ 1 τ 2 ) = 1 e iωnτ1 τ2) D q; ω n ) 15) β n G k; τ 1 τ 2 ) = 1 e iω n τ 1 τ 2) G k; ω n ) 16) β n Gk, ω) G k, ω n ) q 1 Mq 2 1 β ˆ β dτdτ 1 dτ 2 n,m,n, n,n e iτωm ω n ) e iτ1ω n ω n ω n) e iτ2ω n ω n +ω n) D q; ω n )G k, ω n )G k + q 1 ; ω n )G k, ω n ) Gk, ω) G k, ω n ) [ 1 + G k, ω n )Σ 1 k, ω n ) ]. Com uma continuação analítica, iω n ω + iη µ, obtemos a função de Green G k, ω) retardada, a qual brinda as expressões para as quantidades sicamente mensuráveis. 7

8 Referências [1] J.T. Devreese. Polarons. Digital Encyclopedia of Applied Physics, Artigo disponivel a condmat/4497v2, 28. [2] H. J. Stocker, H. Levinstein, and C. R. Stannard. Oscillatory photoconductivity in insb. Phys. Rev., 15:613618, Oct [3] H. KAPLAN H. J. STOCKER. Theory of oscillatory photoconductivity in semiconductors: Boltzmann-equation approach. Phys. Rev., 15: , [4] Gerald D. Mahan. Many-Particle Physics. Plenum, New York, N.Y., 2nd edition,

9 a) b) c) d) e) f ) Figura 3: Diagramas de Feynman correspondentes a equação 11 até segunda ordem de V 9