Teoria de Jogos. Algoritmo Minimax e Alfa-Beta AED

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1 Teoria de Jogos Algoritmo Minimax e Alfa-Beta AED

2 Conceptualização do Problema Jogar pode ser visto como uma generalização do problema de procura em espaço de estados, em que existem agentes hostis que procuram diminuir o nosso próprio valor. Para facilita a identificação da melhor jogada usam-se heurísticas para auxiliar a exploração das árvores que descrevem o espaço de estados, associadas a técnicas de corte da árvore e funções de avaliação que permitem calcular a utilidade de um estado sem explorar toda a sub-árvore respectiva. Ana Fred (IST/DEEC) 2

3 Jogos de 2 pessoas MAX vs. MIN Componentes da procura: Estado inicial Conjunto de operadores Teste terminal Função de utilidade Uma jogada é composta por 2 lances alternados primeiro MAX depois MIN. O jogo é composto por uma sequência de jogadas. Ana Fred (IST/DEEC) 3

4 O Algoritmo MINIMAX O algoritmo é desenhado para determinar a estratégia óptima para MAX. 1. Gerar toda a árvore de procura desde o nó inicial até aos nós terminais. 2. Aplicar a função de utilidade a cada nó terminal para determinar o respectivo valor. 3. Usar a utilidade dos nós terminais para determinar através de um processo de backup a utilidade dos nós no nível imediatamente acima na árvore de procura: 1. Se for um lance de MIN o valor calculado é o mínimo dos nós do nível inferior; 2. se for MAX a jogar, o valor calculado é o máximo. 4. Continuar a usar o processo de backup um nível de cada vez até atingir o nó inicial. 5. Tendo chegado ao nó inicial, realizar o lance correspondente ao valor determinado para esse nó. Ana Fred (IST/DEEC) 4

5 Exemplo de aplicação do minimax Ana Fred (IST/DEEC) 5

6 Exemplo de aplicação do minimax MAX: Eu MIN: adversário MAX: Eu MAX MIN Ana Fred (IST/DEEC)

7 Comentários ao algoritmo minimax Se a profundidade máxima da árvore for m e em cada ponto houver b lances possíveis (factor de ramificação), então a complexidade (temporal) do minimax é O(b m ). O algoritmo é essencialmente do tipo procura em profundidade primeiro (depth-first) embora usando recursividade em vez de uma fila de nós por isso os requisitos de espaço são lineares em b e m. Para problemas reais o custo de tempo é geralmente inaceitável, mas este algoritmo serve de base a outros métodos mais realistas, bem como de suporte à análise matemática de jogos. Ana Fred (IST/DEEC) 7

8 Corte Alfa-Beta Objectivo: Calcular o minimax correcto sem analisar todos os nós da árvore. Princípio geral: Considere-se um nó n tal que MAX tem a opção de jogar para esse nó. Se MAX detectar a possibilidade de escolher um nó m melhor que n, ou no nível do nó pai de n ou em algum nível acima desse, então n nunca será atingido durante o jogo. Por consequência, assim que se souber o suficiente acerca de n (explorando alguns dos seus descendentes) para validar esta conclusão, pode cortar-se o nó n. Ana Fred (IST/DEEC) 8

9 Exemplo de corte Alfa-Beta 3 3 <= Ana Fred (IST/DEEC) 9

10 Valores alfa e beta O limite inferior do valor de um nó designa-se por valor alfa. O limite superior do valor de um nó designa-se por valor beta. O valor real do nó está no intervalo [α, β]. Os valores alfa dos nós MAX nunca podem decrescer. Os valores beta dos nós MIN nunca podem crescer. Estes considerandos permitem enunciar regras de descontinuação da procura próximo slide. Ana Fred (IST/DEEC) 10

11 Regras de descontinuação da procura! A procura pode ser descontinuada abaixo de qualquer nó MIN com um valor beta alfa de qualquer dos seus antecessores MAX (corte alfa). " Nesse caso, o valor retornado por esse nó MIN pode ser o seu valor beta corrente, apesar de este valor poder não ser o mesmo que se obtém com o minimax.! A procura pode ser descontinuada abaixo de qualquer nó MAX com um valor alfa beta de qualquer dos seus antecessores MIN (corte beta). " Nesse caso, o valor retornado por esse nó MAX pode ser o seu valor alfa corrente. Ana Fred (IST/DEEC) 11

12 Algoritmo Alfa-Beta Notar que a procura alfabeta é do tipo depth-first, pelo que em cada instante apenas é necessário considerar os nós ao longo de um ramo da árvore de procura. Seja α o valor da melhor escolha encontrada até ao momento, ao longo do ramo corrente, para MAX. Seja β o valor da melhor escolha encontrada até ao momento, ao longo do ramo corrente, para MIN. O Alfa-Beta actualiza o valor de α e de β ao longo da procura e corta uma sub-árvore (terminando uma chamada recursiva) logo que se sabe ser pior que os valores correntes de α e de β. Ana Fred (IST/DEEC) 12

13 Exemplo de corte Alfa-Beta MAX: Eu MIN: adversário MAX: Eu α=- β=9 β=8 β= β=+ α=7 β= α=7 β= MAX MIN Ana Fred (IST/DEEC) 13

14 Exemplo de corte Alfa-Beta MAX: Eu β=+ α= MIN: adversário α=- β= α= β=4 4 4 MAX: Eu β=+ α= 4 β= α=8 8 8 β=+ α= MIN MAX MIN Ana Fred (IST/DEEC) 14

15 Pseudocódigo AB(n; α; β) 1. Se n no limite de profundidade d, devolve AB(n)=f(n). Caso contrário calcula os sucessores n 1,...,n k,... n b (por ordem), faz k=1 e, se n é um nó MAX, vai p/2 c.c. p/ ii. 2. α max[α, AB(n k ; α; β)] 3. Se α! β devolve β; c.c. continua 4. Se k=b devolve α; c.c. vai para n k+1 i.e. k k+1 e vai p/2 ii. β min[β, AB(n k ; α; β)] iii. Se β " α devolve α; c.c. continua iv. Se k=b devolve β; c.c. vai para n k+1 i.e. k k+1 e vai p/ii Ana Fred (IST/DEEC) 15

16 Jogo do Galo Usar simetrias na geração de sucessores: As jogadas seguintes são consideradas idênticas O X X O X O O X X X X Ana Fred (IST/DEEC) 1