LAJES APOIOADAS EM QUATRO BORDOS PUNÇOAMENTO PILARES FUNDAÇÕES

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1 LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL ESTRUTURAS DE BETÃO LAJES APOIOADAS EM QUATRO BORDOS PUNÇOAMENTO PILARES FUNDAÇÕES EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS

2 LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL ESTRUTURAS DE BETÃO O objectivo deste documento é o de ajudar os alunos no estudo e compreensão das matérias abordadas na Unidade Curricular de Estruturas de Betão, assim como na preparação para as provas de avaliação. Os exercícios aqui reunidos estiveram incluídos em provas de avaliação ou nas fichas das aulas de Orientação Tutorial da autora. As resoluções apresentadas foram disponibilizadas aos alunos da UC EBET no ano lectivo 009/010, pelo que a regulamentação e regras utilizadas eram as que nessa data estavam em vigor na UC. Qualquer comentário que contribua para a revisão e melhoria deste documento será bem acolhido, agradecendo a autora desde já o contacto através do mail: iat@isep.ipp.pt Isabel Alvim Teles versão 0 i INTRODUÇÃO

3 ESTRUTURAS DE BETÃO EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS ÍNDICE LAJES APOIADAS EM QUATRO BORDOS Exercício Exercício... 1 Exercício 3... PUNÇOAMENTO Exercício Exercício Exercício PILARES Exercício Exercício Exercício FUNDAÇÕES Exercício Exercício Exercício DESENHOS EXEMPLIFICATIVOS DE PROJECTO DE BETÃO ARMADO Quadro de pilares... 8 Quadro de sapatas versão 0 ii ÍNDICE

4 ESTRUTURAS DE BETÃO 01 EXERCÍCIO PROPOSTO (EXAME ) O desenho anexo representa a planta estrutural de um edifício industrial realizado com betão C0/5 e aço S400. As lajes são maciças armadas em duas direcções, constituindo painéis rectangulares com dimensão em planta 6,00m x 7,50m (ver desenho) e com 0,1m de espessura (d0,17m). Os valores característicos das acções a actuar nas lajes, para além do seu peso próprio, são os seguintes: - enchimentos... 3,0 kn/m - paredes divisórias...,0 kn/m - sobrecarga... 6,0 kn/m Foram determinados os esforços nas lajes e após ter sido realizada uma redistribuição dos momentos negativos sobre a viga V3, foi calculada uma armadura superior de Ø1//0.15 como se descreve na Planta de Armaduras Superiores (ver página seguinte). Faça o projecto de betão armado da laje seguindo os pontos abaixo listados. PLANTA Determine qual a redistribuição dos momentos negativos sobre a viga V3 que foi considerada; V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50) Calcule as armaduras inferiores paralelas ao lado menor da laje compatíveis com a redistribuição efectuada; Determine todas as armaduras inferiores e superiores paralelas ao lado maior da laje (sem redistribuição); Determine todas as restantes armaduras, identificando-as claramente; Complete o desenho das armaduras superiores da laje na planta da página seguinte; Cotando devidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras inferiores da laje; V (0,30x0,55) V (0,30x0,55) V1 (0,30x0,50) V3 (0,30x0,60) V3 (0,30x0,60) V1 (0,30x0,50) V (0,30x0,55) V (0,30x0,55) 7,50 7,50 Caracterize detalhadamente as acções que permitem determinar os diagramas de esforços de cálculo da viga V1; V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50) Verifique a segurança da laje em relação ao esforço transverso. 6,00 6,00 versão 0 1 EXERCÍCIO 1

5 ESTRUTURAS DE BETÃO versão 0 EXERCÍCIO 1

6 ESTRUTURAS DE BETÃO 01 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Materiais: Betão C0/5 f f f ck cd ctm 0MPa 13,3MPa,MPa Aço S400 f f yk yd 400 MPa 348 MPa QUANTIFICAÇÃO DE CARGAS Carga uniformemente distribuída p 1,35 (0,1 x 5 + 3,0 +,0) + 1,50 x 6,0,84 kn/m DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS INICIAIS PELAS TABELAS DO MONTOYA (ANTES DA REDISTRIBUIÇÃO) ly 6,00 Caso: 9ª linha e 0,8 l 7,50 x Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje m y +, 0,001 x,84 x 6,00 x 33 7,13 knm/m Momento que permite calcular a armadura superior sobre os apoios // lado menor da laje m y -, 0,001 x,84 x 6,00 x 88 7,36 knm/m Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje m x +, 0,001 x,84 x 6,00 x 7,0 knm/m Momento que permite calcular a armadura superior sobre os apoios // lado maior da laje m x -, 0,001 x,84 x 6,00 x 74 60,85 knm/m versão 0 3 EXERCÍCIO 1

7 ESTRUTURAS DE BETÃO REDISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS NEGATIVOS SOBRE A VIGA V3 Momento negativo resistente após redistribuição O momento negativo após redistribuição será igual ao momento resistente correspondente à armadura Ø1//0,15. A s Ø1//0,15 9,05 cm /m As. fyd 9, ω b. f cd 0,17 13,3 0,1393 μ 0,194 M μ.b.d.f 0,194 x 0,17 x13,3x103 Rd cd 49,74 knm/m Momento negativo após redistribuição 49,74 knm/m M - Redistribuição efectuada M Momento inicial Momento final (após redist.) 7,36 49,74,6 knm/m,6 % Redistribuição efectuada 31,6 % 7,36 Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje após redistribuição + m y, 7,13 + M,6 7, ,44 knm/m DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS Armadura mínima A mín f, 0,6. ctm b.d 0,6x x0,17,431 cm /m fyk 400 0,0013 b.d 0,0013 x 0,17,1 cm /m Armadura máxima A 0,04 b.h 0,04x0,1 84cm/m máx condicionante Espaçamentos regulamentares máximos Zona de esforços máximos s Ap h 0,5 m s Ap 0,5 m s Ad 3h 0,40 m s Ad 0,40 m Outras zonas s Ap 3h 0,40 m s Ap 0,40 m s Ad 3,5h 0,45 m s Ad 0,45 m versão 0 4 EXERCÍCIO 1

8 ESTRUTURAS DE BETÃO Armadura principal inferior // lado menor da laje m y +, 38,44 knm/m μ my, b.d.fcd 38,44 1 0,17 13, ,1000 ω 0,106 ω.b.f cd 0,106 0,17 13,3 A/m 6,89cm /m fyd 348 Banda central: Amín Amáx 6,89 cm /m Ø10//0,10 (7,85 cm /m) Ø10//0,0 (até ao apoio) + Ø10//0,0 (dispensa) Bandas laterais: Ø10//0,0 (3,93 cm /m) A mín (,43 cm /m) Armadura principal inferior // lado maior da laje m x +,,0 knm/m μ mx, b.d.fcd,0 1 0,17 13, ,0578 ω 0,0598 ω.b.f A/m cd fyd Banda central: Bandas laterais: 0,0598 0,17 13,3 3,89cm/m 348 Amín Amáx 3,89 cm /m Ø8//0,15 (4,0 cm /m) Como Ø8//0,5 < A mín (,43cm /m) não se faz dispensa A mín (,51 cm /m) Ø8//0,0 (,51 cm /m) Armadura principal superior sobre os apoios // lado maior da laje m x -, 60,85 knm/m μ mx, b.d.fcd 60,85 1 0,17 13, ,1583 ω 0,17396 A/m ω.b.fcd fyd 0, ,17 13,3 11,30cm/m 348 Armadura: 11,30 cm /m Ø1//0,10 (11,31 cm /m) Amín Amáx Nota Tabela de armaduras consultada: Tabela, página 8, coluna A' 0 A versão 0 5 EXERCÍCIO 1

9 ESTRUTURAS DE BETÃO Outras armaduras superiores Armadura representada a vermelho A armadura superior representada a vermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes: - armadura de canto 0,50 x (maior armadura inferior) 0,50 x 7,85 3,95 cm /m - A mín (,431 cm /m) - armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos (0% de Ø1//0,10,6 cm /m) Armadura a vermelho condicionante 3,95 cm /m Ø8//0,15 (4,0 cm /m) Armadura representada a verde A armadura superior representada a verde é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes: - armadura de continuidade 15% de Ø10//0,10 1,18 cm /m - A mín (,431 cm /m) Armadura a verde condicionante,431 cm /m Ø8//0,0 (,431 cm /m) Armadura representada a amarelo A armadura superior representada a amarelo é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos. Armadura a amarelo 0% de Ø1//0,15 1,81 cm /m Ø6//0,15 (1,88 cm /m) versão 0 6 EXERCÍCIO 1

10 ESTRUTURAS DE BETÃO Armadura representada a azul A armadura superior representada a azul é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos. Armadura a azul 0% de Ø1//0,10,6 cm /m Ø6//0,15 (.6 cm /m) Armadura representada a magenta A armadura superior representada a magenta é a armadura de distribuição da armadura de continuidade sobre o apoio simples (armadura verde). Armadura a magenta 0% de Ø8//0,0 0,50 cm /m Ø6//0,30 (0,94 cm /m) DESENHO Os desenhos das armaduras encontram-se nas páginas 10 e 11. Largura das bandas superiores 0,3 x l y 0,3 x 6,00 1,80 m Largura das bandas inferiores 0, x l y 0, x 6,00 1,0 m Amarração das armaduras nos apoios A amarração das armaduras nos apoios deverá ser feita de acordo com os esquemas seguintes. Armaduras inferiores a amarrar nos apoios extremos: Ø10 Armaduras superiores a amarrar nos apoios extremos: Ø8 Comprimento de sobreposição mínimo: l 0,min máx (0,45 l bd ; 15Ø; 0 cm) versão 0 7 EXERCÍCIO 1

11 ESTRUTURAS DE BETÃO QUANTIFICAÇÃO DE ACÇÕES NA VIGA V1 (0,30 X 0,50) Carga uniformemente distribuída: p,84 kn/m Peso próprio da viga V1 0,30 x 0,50 x 5 x 1,35 5,065 kn/m Máxima acção da laje sobre a viga V1,84 x 3,75 x 171,30 kn/m V1 V V V V V3 V V1 60 V V V V Viga V1 versão 0 8 EXERCÍCIO 1

12 ESTRUTURAS DE BETÃO VERIFICAÇÃO DO ESFORÇO TRANSVERSO Junto da viga V1 V,máx p ED x 3,75,84 x 3,75 85,65 kn/m V Rd,c 0,1 K(100 ρ l f ck ) 1/3 b w d 0,035 K 3/ f 1/ ck b w d K 1+ 00,0 K 1+ 00,08 K,0 d 170 Asl Ø1//0,10 11,31 ρl 0,0 ρ 6,65x10-3 0,0 bwd l 17x x 100 V Rd,c 0,1 x (100 x 6,65 x 10-3 x 0) 1/3 x 170 x ,035 x 3/ x 0 1/ x 170 x 1000 V Rd,c 96,68 kn/m 75,6 kn/m V,máx 85,65 kn/m V Rd,c 96,68 kn/m Junto da viga V V,máx p ED x,165,84 x,165 49,45 kn/m V Rd,c 0,035 x 3/ x 0 1/ x 140 x ,6 kn/m V,máx 49,45 kn/m V Rd,c 75,6 kn/m Junto da viga V3 V,máx p ED x 3,75,84 x 3,75 85,65 kn/m V Rd,c 0,1 K(100 ρ l f ck ) 1/3 b w d 0,035 K 3/ f ck 1/ b w d K1+ 00,0 K1+ 00,08 K,0 d 170 Asl Ø1//0,15 9,05 ρl 0,0 ρ 5,3x10-3 0,0 bwd l 17x100 17x100 V Rd,c 0,1 x (100 x 5,3 x 10-3 x 0) 1/3 x 170 x ,035 x 3/ x 0 1/ x 170 x 1000 V Rd,c 89,74 kn/m 75,6 kn/m V,máx 85,65 kn/m V Rd,c 89,74 kn/m versão 0 9 EXERCÍCIO 1

13 ESTRUTURAS DE BETÃO versão 0 10 EXERCÍCIO 1

14 ESTRUTURAS DE BETÃO versão 0 11 EXERCÍCIO 1

15 ESTRUTURAS DE BETÃO 0 EXERCÍCIO PROPOSTO O desenho anexo representa a planta estrutural de uma cobertura ajardinada de um edifício. As lajes são maciças armadas em duas direcções com 0,18 m de espessura (d0,14 m) e realizadas com betão C0/5 e aço S400. Sobre a laje e após ter sido realizada a sua impermeabilização, foi colocada terra com altura variável entre 0,30 m e 0,90 m, conforme representado no Corte 1-1. Na quantificação das acções, considere que o valor característico da acção correspondente à impermeabilização é 3,0 kn/m e que o peso volúmico da terra é 19 kn/m 3. Tendo em conta que se pretende fazer uma redistribuição dos momentos negativos de 5%, faça o projecto de betão armado da laje seguindo os pontos abaixo listados. Determine todas as armaduras da laje; Cotando devidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras inferiores da laje; Cotando devidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras superiores da laje; Calcule o esforço transverso resistente da laje (V Rd,c ) junto de cada um dos apoios e faça a respectiva verificação; Quantifique as acções da laje sobre as vigas que lhe dão apoio. PLANTA 1 5,50 5,50 0,90 V1 V1 V V V 6,10 CORTE 1-1 V1 V1 1 0,30 versão 0 1 EXERCÍCIO

16 ESTRUTURAS DE BETÃO 0 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Materiais: Betão C0/5 fck 0MPa fcd 13,3MPa fctm, MPa Aço S400 fyk 400 MPa f 348 MPa yd QUANTIFICAÇÃO DE CARGAS Carga uniformemente distribuída p 1,35 (0,18 x ,30 x 19) 17,8 kn/m Carga triangular (tipo 3 Tabelas Montoya) p 1,35 (0,60 x 19) 15,39 kn/m DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS PELAS TABELAS DO MONTOYA Caso: 5ª linha e ly lx 5,50 6,10 Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje m y +, 0,001 x 17,8 x 5,50 x ,001 x 15,39 x 5,50 x 19 18,38 + 8,845 7,17 knm/m Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje m x +, 0,001 x 17,8 x 5,50 x ,001 x 15,39 x 5,50 x 16 9, ,449 17,15 knm/m Momento que permite calcular a armadura superior sobre os apoios // lado menor da laje m y -, 0,001 x 17,8 x 5,50 x ,001 x 15,39 x 5,50 x 41 39, ,087 58,98 knm/m versão 0 13 EXERCÍCIO

17 ESTRUTURAS DE BETÃO REDISTRIBUIÇÃO DE 5% DOS MOMENTOS NEGATIVOS M M M M M diagrama inicial diagrama final 5,50 m 5,50 m M 0,5 x 58,98 14,745 knm/m Momento negativo após redistribuição: 58,98 14,745 44,35 knm/m Momento positivo após redistribuição: 7, ,745 41,915 knm/m DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS Armadura mínima A mín f, 0,6. ctm b.d 0,6x x0,14,00 cm /m fyk 400 0,0013b.d 0,0013 x 0,14 1,8 cm /m condicionante Armadura máxima A 0,04 b.h 0,04x0,18 7cm/m máx Espaçamentos regulamentares máximos Zona de esforços máximos s Ap h 0,5 m s Ap 0,5 m s Ad 3h 0,40 m s Ad 0,40 m Outras zonas s Ap 3h 0,40 m s Ap 0,40 m s Ad 3,5h 0,45 m s Ad 0,45 m versão 0 14 EXERCÍCIO

18 ESTRUTURAS DE BETÃO Armadura principal inferior // lado menor da laje m y +, 41,915 knm/m μ A/m m y, b.d.fcd ω.b.fcd fyd 41, ,14 13, , , ,14 13,3 9,47cm/m 348 ω 0,17695 Amín Amáx Banda central: Bandas laterais: 9,47 cm /m Ø1//0,10 (11,31 cm /m) Ø1//0,0 (até ao apoio) + Ø1//0,0 (dispensa) Ø1//0,0 (5,65 cm /m) A mín ( cm /m) Armadura principal inferior // lado maior da laje m x +, 17,15 knm/m μ A/m m x, b.d.fcd ω.b.fcd fyd 17,15 1 0,14 13, ,0658 ω 0, , ,14 13,3 Amín 3,64 cm /m 348 Amáx Banda central: Bandas laterais: 3,64 cm /m Ø10//0,0 (3,93 cm /m) A mín cm Ø8//0,5 (,01 cm /m) Armadura principal superior sobre os apoios // lado menor da laje m y -, 44,35 knm/m μ A/m m y, b.d.fcd ω.b.fcd fyd 44,35 1 0,14 13, ,1697 0, ,14 13,3 9,97cm /m 348 ω 0,18764 Amín Amáx Armadura: 9,97 cm /m Ø1//0,10 (11,31 cm /m) Nota A' Tabela de armaduras consultada: Tabela, página 8, coluna 0 A versão 0 15 EXERCÍCIO

19 ESTRUTURAS DE BETÃO Outras armaduras superiores Armadura representada a vermelho A armadura superior representada a vermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes: - armadura de canto 0,50 x (maior armadura inferior) 0,50 x 11,31 5,66 cm /m - A mín (,00 cm /m) - armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos (0% de Ø1//0,10,6 cm /m) Armadura a vermelho condicionante 5,66 cm /m Ø10//0,15 (6,8 cm /m) Armadura representada a verde A armadura superior representada a verde é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes: - armadura de continuidade 15% de Ø10//0,0 0,59 cm /m - A mín (,00 cm /m) Armadura a verde condicionante,00 cm /m Ø8//0,5 (,01 cm /m) Armadura representada a amarelo A armadura superior representada a amarelo é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos. Armadura a amarelo 0% de Ø1//0,10,6 cm /m Ø8//0,0 (,51 cm /m) Armadura representada a azul A armadura superior representada a azul é a armadura de distribuição da armadura de continuidade sobre o apoio simples (armadura verde). Armadura a azul 0% de Ø8//0,5 0,40 cm /m Ø6//0,30 (0,94 cm /m) versão 0 16 EXERCÍCIO

20 ESTRUTURAS DE BETÃO DESENHO Os desenhos encontram-se nas páginas 0 e 1. Largura das bandas inferiores 0, x l Y 0, x 5,50 1,10 m Largura das bandas superiores 0,3 x l Y 0,3 x 5,50 1,65 m Amarração das armaduras nos apoios A amarração das armaduras nos apoios deverá ser feita de acordo com os esquemas seguintes. Comprimento de sobreposição mínimo: l 0,min máx (0,45 l bd ; 15Ø; 0 cm) versão 0 17 EXERCÍCIO

21 ESTRUTURAS DE BETÃO VERIFICAÇÃO DO ESFORÇO TRANSVERSO Carga uniformemente distribuída equivalente Por simplificação adoptar-se-á uma carga uniformemente distribuída equivalente à acção conjunta da carga uniformemente distribuída e da carga triangular A carga uniformemente distribuída equivalente será igual à soma da carga uniformemente distribuída mais 3 / 4 da máxima carga triangular: p,eq 17,8 + 3 x 15,39 9,36 kn/m 4 Junto da viga V1 V,máx p ED,eq x 1,59 9,36 x 1,59 46,68 kn/m V Rd,c 0,1 K(100 ρ l f ck ) 1/3 b w d 0,035 K 3/ f ck 1/ b w d K 1+ 00,0 K 1+ 00, K,0 d 140 Asl Ø8//0,5,01 ρl 0,0 ρ 1, ,0 bwd l V Rd,c 0,1 x (100 x 1,44 x 10-3 x 0) 1/3 x 140 x ,035 x 3/ x 0 1/ x 140 x 1000 V Rd,c 47,80 kn/m 61,98 kn/m V,máx 46,68 kn/m V Rd,c 61,98 kn/m Junto da viga V V,máx p ED,eq x,75 9,36 x,75 80,74 kn/m V Rd,c 0,1 K(100 ρ l f ck ) 1/3 b w d 0,035 K 3/ f ck 1/ b w d K 1+ 00,0 K 1+ 00, K,0 d 140 Asl Ø1//0,10 11,31 ρl 0,0 ρ 8, ,0 bwd l V Rd,c 0,1 x (100 x 8,08 x 10-3 x 0) 1/3 x 140 x ,035 x 3/ x 0 1/ x 140 x 1000 V Rd,c 84,95 kn/m 61,98 kn/m V,máx 80,74 kn/m V Rd,c 84,95 kn/m versão 0 18 EXERCÍCIO

22 ESTRUTURAS DE BETÃO QUANTIFICAÇÃO DE ACÇÕES NAS VIGAS Por simplificação adoptar-se-á a carga uniformemente distribuída equivalente anteriormente calculada: p,eq 9,36 kn/m Máxima acção da laje sobre a viga V1: 9,36 x 1,59 46,68 kn/m Máxima acção da laje sobre a viga V: 9,36 x,75 x 161,48 kn/m 5.50 V V V V V.9 Viga V V V Viga V1 versão 0 19 EXERCÍCIO

23 ESTRUTURAS DE BETÃO versão 0 0 EXERCÍCIO

24 ESTRUTURAS DE BETÃO versão 0 1 EXERCÍCIO

25 ESTRUTURAS DE BETÃO 03 EXERCÍCIO PROPOSTO (EXAME ) A figura anexa representa a planta estrutural de um edifício cujo piso é constituído por um painel de laje maciça (Lm) e um painel de laje aligeirada nervurada (La). Ambos os painéis são armados nas duas direcções. PLANTA V A laje maciça Lm tem 0,m de espessura (d0,18m) e nela estão a actuar as seguintes acções (valores característicos): - peso próprio.... a calcular - revestimentos e paredes divisórias... 4,50 kn/m - sobrecarga... 5,00 kn/m V1 Lm V1 8,00 A laje aligeirada La tem 0,5m de espessura total (d0,1m) e é constituída por blocos com dimensão em planta 0,65m x 0,50m e com 0,0m de altura (ver desenho). Na laje La estão a actuar as seguintes acções (valores característicos): - peso próprio.. 3,75 kn/m - revestimentos.... 1,5 kn/m - sobrecarga... 5,00 kn/m V1 V3 V1 8,00 La Materiais utilizados: betão C0/5 e aço S400. a) Determine os valores de cálculo dos esforços de flexão a actuar nas lajes, utilizando as tabelas do Montoya, e efectue uma redistribuição (a menor possível) para que haja compatibilidade de momentos na zona de ligação entre os painéis Lm e La (identifique claramente as direcções dos momentos); b) Calcule a armadura longitudinal inferior a colocar nas nervuras paralelas ao lado maior da laje La, efectuando as respectivas verificações regulamentares; Y X V 7,0 DISTRIBUIÇÃO EM PLANTA DAS NERVURAS 0,15 0,50 c) Calcule todas as armaduras da laje Lm paralelas ao seu lado maior, efectuando as respectivas verificações regulamentares; Y 0,15 bloco d) Calcule todas as armaduras da laje Lm paralelas ao seu lado menor, efectuando as respectivas verificações regulamentares; e) Cotando devidamente o desenho, represente todas as armaduras inferiores da laje Lm na planta da página seguinte. GEOMETRIA DAS NERVURAS CORTE 0,5 X 0,15 0,15 0,65 0,15 bloco 0,05 0,0 versão 0 EXERCÍCIO 3

26 ESTRUTURAS DE BETÃO PLANTA DE ARMADURAS INFERIORES Esc: 1/50 8,00 7,0 versão 0 3 EXERCÍCIO 3

27 ESTRUTURAS DE BETÃO 03 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Materiais: Betão C0/5 fck 0MPa fcd 13,3MPa fctm, MPa Aço S400 fyk 400 MPa f 348 MPa yd Alínea a) Quantificação de cargas Laje maciça Lm: p 1,35 (0, x 5 + 4,50) + 1,50 x 5,0 1,00 kn/m Laje aligeirada La: p 1,35 (3,75 + 1,5) + 1,50 x 5,0 14,5 kn/m Determinação de momentos iniciais na laje maciça Lm (antes da redistribuição) ly 8,00 Tabela do Montoya - Caso: 6ª linha; 0,9 l 7,0 x Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje maciça m y +, 0,001 x 1,0 x 7,0 x 37 40,8 knm/m Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje maciça m x -, 0,001 x 1,0 x 7,0 x 38 41,37 knm/m Momento que permite calcular a armadura superior (sobre o apoio) // lado maior da laje maciça m x -, 0,001 x 1,0 x 7,0 x ,4 knm/m versão 0 4 EXERCÍCIO 3

28 ESTRUTURAS DE BETÃO Determinação de momentos iniciais na laje aligeirada La (antes da redistribuição) Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje aligeirada m y +, 0,001 x 14,5 x 7,0 x 37 7,33 knm/m Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje aligeirada m x -, 0,001 x 14,5 x 7,0 x 38 8,07 knm/m Momento que permite calcular a armadura superior (sobre o apoio) // lado maior da laje aligeirada m x -, 0,001 x 14,5x 7,0 x 93 68,70 knm/m Compatibilização dos momentos negativos sobre a viga V3 Laje maciça Lm: Momento negativo sobre a V3 101,4 knm/m Laje aligeirada La: Momento negativo sobre a V3 68,70 knm/m M M - - Lm - M La M 16,7 knm/m 101,4 68,70 3,54 knm/m diagrama inicial -101,4 knm/m -68,70 knm/m M Lm La M 41,37 diagrama final 8,07 knm/m (após redistribuição) 57,64 knm/m 8,00 m 8,00 m versão 0 5 EXERCÍCIO 3

29 ESTRUTURAS DE BETÃO Momentos de cálculo da laje maciça Lm após redistribuição Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje maciça m y +, 40,8 knm/m Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje maciça m x +, 41, ,7 57,64 knm/m Momento que permite calcular a armadura superior (sobre o apoio) // lado maior da laje maciça m x -, - 68,70 knm/m Momentos de cálculo da laje aligeirada La após redistribuição A redistribuição só afecta os momentos da laje maciça, pelo que os momentos da laje aligeirada mantêmse os iniciais (ver desenho de diagrama de momentos). Alínea b) Largura da nervura paralela ao lado maior da laje 0,65 + 0,15 0,80 m M +, 8,07 knm/m M +, /nerv 8,07 x 0,80,456 knm/nerv μ M,456 ω 0, ,04786 b.d.f 0,80 0,1 13, (Tab. pág. 8) α 0,07386 cd α 0,07386 x α.d 0,07386 x 0,1 0,0155m 0,05m eixo neutro na lajeta pode ser usada a Tab. pág. 8 (secções rectangulares) A/nerv ω.b.fcd fyd 0, , ,3 3,17cm/nerv 348 Amín Amáx A/nerv Ø16/nerv (4,0 cm/nerv) versão 0 6 EXERCÍCIO 3

30 ESTRUTURAS DE BETÃO Armadura mínima inferior por nervura A mín f 0,6 ctmb.d 0,6x, x0,15x0,1 0,45 cm /nerv fyk 400 0,0013 b.d 0,0013 x0,15 x0,1 0,41 cm /nerv Armadura máxima por nervura A 0,04A 0,04x(0,80x0,05 0,0x0,15) 8cm máx c + /nerv condicionante Alíneas c) e d) DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS Armadura mínima da laje maciça A mín f, 0,6 ctm b.d 0,6x x0,18,574 cm /m fyk 400 0,0013 b.d 0,0013 x 0,18,34 cm /m condicionante Armadura máxima da laje maciça A 0,04 b.h 0,04x0, 88cm/m máx Espaçamentos regulamentares máximos Zona de esforços máximos s Ap h 0,5 m s Ap 0,5 m s Ad 3h 0,40 m s Ad 0,40 m Outras zonas s Ap 3h 0,40 m s Ap 0,40 m s Ad 3,5h 0,45 m s Ad 0,45 m Armadura principal inferior // lado maior da laje maciça m x +, 57,64 knm/m μ M b.d.fcd 57,64 1 0,18 13, ,13376 ω 0,1445 A/m ω.b.fcd fyd 0,1445 0,18 13,3 9,94 cm/m 348 Amín Amáx Banda central: Bandas laterais: 9,94 cm /m Ø1//0,10 (11,31 cm /m) Ø1//0,0 (até ao apoio) + Ø1//0,0 (dispensa) Ø1//0,0 (5,65 cm /m) A mín (,574 cm /m) versão 0 7 EXERCÍCIO 3

31 ESTRUTURAS DE BETÃO Armadura principal superior // lado maior da laje maciça m x -, - 68,70 knm/m μ M b.d.fcd 68,70 1 0,18 13, ,1594 ω 0,1758 ω.b.f A/m cd fyd 0,1758 0,18 13,3 1,06cm/m 348 Armadura: 1,06 cm /m Ø16//0,15 (13,41 cm /m) Amín Amáx Armadura principal inferior // lado menor da laje maciça + m y, 40,8 knm/m μ M 40,8 0,0935 ω 0,0985 b.d.f 1 0,18 13,3 103 cd ω.b.f A/m cd fyd 0,0985 0,18 13,3 348 Amín 6,78 cm /m Amáx Banda central: Bandas laterais: 6,78 cm /m Ø10//0,10 (7,85 cm /m) Ø10//0,0 (3,93 cm /m) A mín (,574 cm /m) Nota: Tabela de armaduras consultada: Tabela, página 8, coluna A' 0 A Armaduras de canto inferiores As armaduras inferiores de canto têm de apresentar uma área igual à maior armadura inferior a meio vão. (armadura correspondente a Ø1//0,1011,31cm /m) Na direcção paralela ao lado maior, existe nas bandas laterais Ø1//0,0. Na direcção paralela ao lado menor, existe nas bandas laterais Ø10//0,0. Armadura representada a vermelho Ø1//0,0 Ø1//0,0 + Ø1//0,0 (existente) Ø1//0,10 Armadura representada a verde Ø16//0,0 Ø16//0,0 + Ø10//0,0 (existente) 13,98 cm /m 13,98 cm /m > 11,31 cm /m versão 0 8 EXERCÍCIO 3

32 ESTRUTURAS DE BETÃO Outras armaduras superiores Armadura representada a vermelho A armadura superior representada a vermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes: - armadura de canto maior armadura inferior 11,31 cm /m - A mín (,574 cm /m) Armadura a vermelho condicionante 11,31 cm /m Ø1//0,10 Armadura representada a verde A armadura superior representada a verde tem que respeitar as seguintes condicionantes: - armadura de canto 0,5 x maior armadura inferior 5,66 cm /m - armadura de continuidade 15% de Ø10//0,10 1,18 cm /m - A mín (,574 cm /m) - armadura de distribuição 0% de Ø16//0,15,68 cm /m Armadura a verde condicionante 5,66 cm /m Ø10//0,15 (6,8 cm /m) Armadura representada a azul escuro A armadura superior representada a azul escuro é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos. Armadura a azul escuro 0% de Ø16//0,15,68 cm /m Ø8//0,175 (,87 cm /m) Armadura representada a amarelo A armadura superior representada a amarelo é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes: - armadura de continuidade 15% de Ø10//0,10 1,18 cm /m - A mín (,574 cm /m) Armadura a amarelo condicionante,574 cm /m Ø8//0,175 (,87 cm /m) versão 0 9 EXERCÍCIO 3

33 ESTRUTURAS DE BETÃO Armadura representada a azul claro A armadura superior representada a azul claro é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes: - armadura de continuidade 15% de Ø1//0,10 1,70 cm /m - A mín (,574 cm /m) Armadura a azul claro condicionante,574 cm /m Ø8//0,175 (,87 cm /m) Armadura representada a magenta A armadura superior representada a magenta é a armadura de distribuição da armadura de continuidade. Armadura a magenta 0% de Ø8//0,175 0,57 cm /m Ø6//0,5 (1,13 cm /m) Alínea e) DESENHO O desenho das armaduras inferiores encontra-se na página 31. Largura das bandas superiores 0,3 x l y 0,3 x 7,0,16 m,0 m Largura das bandas inferiores 0, x l y 0, x 7,0 1,44 m 1,40 m Armaduras de canto inferiores 0,3 x l y 0,3 x 7,0,16 m,0 m Amarração das armaduras nos apoios A amarração das armaduras nos apoios deverá ser feita de acordo com os esquemas seguintes. Comprimento de sobreposição mínimo: l 0,min máx (0,45 l bd ; 15Ø; 0 cm) versão 0 30 EXERCÍCIO 3

34 ESTRUTURAS DE BETÃO,0 PLANTA DE ARMADURAS INFERIORES Esc: 1/50 7,0 1,40 1,40,0 1,40,0 8,00 1,40 versão 0 31 EXERCÍCIO 3

35 ESTRUTURAS DE BETÃO No desenho está representada uma estrutura de betão armado que dá apoio a um reservatório de água. A estrutura de betão armado é constituída por um pilar circular com 0,30m de diâmetro, onde apoia uma laje maciça com 0,5m de espessura (d0,m) e com dimensões em planta 3,40m x 3,40m. A laje apresenta uma armadura inferior constituída por uma malha quadrada de # 10//0,15 e uma armadura superior constituída por uma malha quadrada de # 16//0, EXERCÍCIO PROPOSTO Outros dados: - O peso do reservatório é desprezável. - Materiais: Betão C5/30 e aço S500. a) Considerando que a laje não tem armadura de punçoamento, determine a máxima altura de água H que o reservatório pode conter, compatível com a resistência ao punçoamento; b) Tendo somente em conta a verificação em relação à máxima resistência ao punçoamento na vizinhança do pilar (v v Rd,max ), determine a máxima altura de água H que pode ser guardada no reservatório; c) Considere agora que na laje foi colocada a armadura de punçoamento representada na figura abaixo, constituída por 16 ramos de 8. Verifique se nestas condições o reservatório pode ser cheio com mais 1,0 m de altura de água relativamente à altura obtida na alínea a). ARMADURAS DE PUNÇOAMENTO 0,30 m 0,10 m 0,15 m versão 0 3 EXERCÍCIO 4

36 ESTRUTURAS DE BETÃO 04 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Materiais : Betão C5/30 f ck 5MPa f 16,7MPa cd Aço S500 f yk 500 MPa f 435MPa yd Alínea a) Laje sem armadura de punçoamento u 1 π (0,15 + x 0,) 3,707 m Rd, c l 1/3 ck) v 0,1k(100ρ f 0,035 k 3/ 1/ ck f k ,9535 d 0 ρl ρ ρ ly lz 0,0 Asy ρ ly bdy A ρ lz bd sz z ρ l φ16//0,15 13,40 ρ ρ 6,09 x ,0 ly lz bd 100x -3 1/3 3/ 1/ Rd, c 0,1 1,9535(100 6, ) 0,035 1, v vrd, c 0,5810 MPa 581,00 kpa 0,47781 MPa 477,81 kpa v ED v Rd,c v β V u d 1 v 1,15 xv 3,707x0, 581,00 V 41,0 kn β (pilar interior) 1,15 Peso volúmico da água 10 kn/m 3 V 1,35 x 3,40 x 3,40 x 0,5 x 5 + 1,50 x 3,40 x 3,40 x H x 10 41,0 kn V 97, ,40 H 41,0 kn H 1,81 m Alínea b) v ED v Rd,máx vrd, max 0,5νfcd ν 0,6 (1 f ck 50 ) v 0,5νf 0,5 0,54 16, kpa ν 0,6 (1-5 Rd, max cd ) 50 0,54 versão 0 33 EXERCÍCIO 4

37 ESTRUTURAS DE BETÃO v ED v Rd,Max v β V u d 0 1,15x V 0,945x 0, v Rd,max 4509 kpa V 81,99kN u 0 πr πx0,15 0,945 m V 97, ,40 H 81,99 kn H 4,13 kn/m Alínea c) H 1,81 + 1,81 m V 97, ,40 H 97, ,40 x,81 584,794 kn d 0, m u 1 3,707 m β V 1,15 x 584,794 v 84,6 kpa β(pilar interior) 1,15 u d 3,707x0, 1 v Rd, cs 0,75 v 1,5 d Rd,c + sr 1 Asw fywd,ef senα u1d v Rd,c 581,00 kpa d 0, m u 1 3,707 m s r 0,15 m f , MPa f 435 MPa ywd, ef ywd A sw 8 Ø 8 4,0 cm α 90º sen α 1 0, v 0,75 x581,00 1,5 x4,0x10-4 x305x103 1 Rd, cs + 766,50 kpa 0,15 3,707x0, v ED 84,6 kpa v Rd,c 766,50 kpa O reservatório não pode ser cheio com uma altura de água H,81 m versão 0 34 EXERCÍCIO 4

38 ESTRUTURAS DE BETÃO 05 EXERCÍCIO PROPOSTO No desenho está representado um excerto de uma planta de um piso de um edifício em que os pilares estão dispostos segundo eixos que distam entre si 6,0 m numa direcção e 5,5 m na outra. A laje que constitui o piso é fungiforme de betão armado com 0,4 m de espessura (d0,1m) e está realizada com betão C5/30 e aço S500. Na zona dos pilares, a laje apresenta uma armadura inferior constituída por uma malha quadrada de # 16//0,15 e uma armadura superior constituída por uma malha quadrada de #( 0//0,30+ 16//0,30) (varões alternados). A laje possui uma armadura de punçoamento constituída por 38 ramos de 8, conforme representado no desenho. Para além do peso próprio, a carga permanente correspondente aos revestimentos e paredes divisórias que actuam na laje é 3 kn/m (valor característico). a) Determine qual o valor característico máximo da sobrecarga (kn/m ) que poderá actuar na laje, compatível com a verificação do punçoamento pelo EC; b) Verifique se quando actua a sobrecarga calculada na alínea anterior não é ultrapassado o valor de cálculo da resistência máxima ao punçoamento da laje; c) Verifique se a armadura de punçoamento representada cumpre a quantidade mínima regulamentar; d) Considerando que na laje estão a actuar as cargas permanentes e a sobrecarga calculada na alínea a), verifique se a armadura de punçoamento representada cumpre todas as disposições regulamentares relativas à colocação de armaduras de punçoamento. PLANTA ARMADURA DE PUNÇOAMENTO 5,5 m 0,5 0,10 m 0,15 m 5,5 m 0,15 m 0,50 m 6 m 6 m versão 0 35 EXERCÍCIO 5

39 ESTRUTURAS DE BETÃO 05 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Materiais: Betão C5/30 f f ck cd 5MPa 16,7MPa Aço S500 f f yk yd 500 MPa 435MPa Alínea a) v Rd, cs 0,75 v 1,5 d Rd,c + sr 1 Asw fywd,ef senα u1d d 0,1 m u 1 x 0,5 + x 0,50 + π ( x 0,1) 4,1389 m s r 0,15 m f ywd,ef ,5 d ,5 x 10 30,5 MPa f ywd A sw,menor 10 Ø 8 5,03 cm α 90º (armadura de punçoamento vertical) sen α MPa Rd, c l 1/3 ck) v 0,1k(100ρ f 0,035 k 3/ 1/ ck f k ,9759 d 10 ρl ρ ρ ly lz 0,0 Asy ρ ly bdy A ρ lz bd sz z φ0//0,30 + φ16//0,30 ρ ρ ρ l ly lz b d 17, x1 8,178 x ,0-3 1/3 3/ 1/ Rd, c 0,1 1,9759(100 8, ) 0,035 1, v vrd, c 0,64835 MPa 648,35 kpa 0,48606 MPa 486,06 kpa v Rd, cs 0,75 v 1,5 d Rd,c + sr 1 Asw fywd,ef senα u1d 0,1 v 0,75 x648,35 1,5 x5,03x10-4 x30,5x103 1 Rd, cs + 853,89 kpa 0,15 4,1389 x 0,1 versão 0 36 EXERCÍCIO 5

40 ESTRUTURAS DE BETÃO Carga transmitida pela laje ao pilar V 5,5 x 6 x [1,5 x q + 1,35 x (0,4 x 5 + 3)] 49,5 q + 400,95 kn (q - sobrecarga) Verificação ao punçoamento v ED v Rd,cs β V 1,15xV v ud 4,1389 x 0,1 853,89 kpa β (pilar interior) 1,15 V 645,37 kn V 49,5 q + 400,95 645,37 q 4,94 kn/m Alínea b) f v ck ) 0,6(1-5 Rd, max 0,5νfcd ν 0,6 (1 ) 0, v 0,5 0,54 16, Rd, max 4509 kpa β V 1,15 x645,37 v v 4509 kpa u x0,5 x0,50 1,5 m u d 1,5 x0,1 Rd,max v 356,1 kpa vrd, max 4509 kpa Alínea c) Asw,mínx1,5 sr.st 0,08. fck 0,08.sr.s f t ck Asw,mín. (armadura de punçoamento vertical) fyk 1,5 fyk s r 0,15m πx0,40 maior s s x1 t t, máx 0,08 0,15 0,314 A sw, mín 1,5 0,314 m Asw, mín 0,51x10-4 m Ø8 sw A 0,5 cm > 0,51 cm versão 0 37 EXERCÍCIO 5

41 ESTRUTURAS DE BETÃO Alínea d) β V 1,15 x645,37 u out vrd,cd 648,35 x0,1 5,451 m u out 0,5 x + 0,50 x + π r 5,451 r 0,688 m 0,10m Primeiro estribo: distância à face do pilar 0,10 m 0,10m > < 0,3d 0,5d 0,063 m 0,105 m Último estribo: distância à face do pilar 0,40 m > 0,3138 m Espaçamento radial: s r 0,15 m 0,75 d 0,1575 m Espaçamento transversal: s t, máx 0,314 m 1,5 d 0,315 m versão 0 38 EXERCÍCIO 5

42 ESTRUTURAS DE BETÃO 06 EXERCÍCIO PROPOSTO No desenho está representado um excerto de uma planta de um piso de um edifício em que os pilares, de secção circular com 0,30 m de diâmetro, estão dispostos segundo uma malha ortogonal de eixos. A laje que constitui o piso é fungiforme, maciça de betão armado, com 0,7 m de espessura (d0,3m) e está realizada com betão C5/30 e aço S500. Na zona dos pilares, a laje apresenta uma armadura inferior constituída por uma malha quadrada de # 0//0,15 e uma armadura superior constituída por uma malha quadrada de # 16//0,15 Os valores característicos das acções que actuam na laje, para além do seu peso próprio, são os seguintes: - revestimentos ,00 kn/m - paredes divisórias ,5 kn/m - sobrecarga ,00 kn/ m PLANTA 5 m 5 m L L a) Considerando que a laje não possui armadura de punçoamento, determine qual o maior valor do vão L compatível com a verificação do estado limite último de rotura por punçoamento; b) Determine o maior valor do vão L que a laje pode apresentar compatível com a verificação da máxima resistência ao punçoamento (v v Rd,max ); c) Se o vão L adoptado for o correspondente ao valor médio dos vãos encontrados nas alíneas anteriores, determine a armadura de punçoamento a colocar em cada perímetro (Asw/sr). versão 0 39 EXERCÍCIO 6

43 ESTRUTURAS DE BETÃO 06 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Materiais: Betão C5/30 fck 5MPa fcd 16,7MPa Aço S500 fyk 500 MPa f 435MPa yd Alínea a) Laje sem armadura de punçoamento u 1 π (0,15 + x 0,3) 3,8374 m v 1/3 Rd, c 0,1k(100ρl fck) 0,035 k 3/ 1/ fck k ,935 d 30 ρl ρ ρ ly lz 0,0 Asy ρ ly bdy A ρ sz lz bdz φ16//0,15 ρ ρ ρ l ly lz b d 13, x3 5,88 x ,0-3 1/3 3/ 1/ Rd, c 0,1 1,935(100 5, ) 0,035 1,935 5 v v Rd,c 0,56640 MPa 566,40 kpa 0,47013 MPa 470,13 kpa v ED v Rd,c v β V u1d v 1,15xV 3,8374 x 0,3 566,40 V 434,17 kn β (pilar interior) 1,15 Carga a actuar na laje: p (0,7 x 5 + 1,00 +,5) x 1, x 1,5 18 kn/m V p x 5 x L 18 x 5 x L 434,17 kn L 4,8 m Alínea b) v ED v Rd,Max vrd, max 0,5νf cd ν 0,6 (1 f ck 50 ) vrd, max 0,5νf cd 0,5 x 0,54 x 16,7 x kpa ν 0,6 (1 5 ) 0,54 50 versão 0 40 EXERCÍCIO 6

44 ESTRUTURAS DE BETÃO v ED v Rd,Max β V v u0 d 1,15 xv 0,945 x0,3 vrd,max 4509 kpa V 849,95 kn u 0 πr πx0,15 0,945 m V p x 5 x L 18 x 5 x L 849,95 kn L 9,44 m Alínea c) v ED v Rd,cs L méd (4,8 + 9,44) / 7,13 m V p x 5 x L méd 18 x 5 x 7,13 641,70 kn β V v u1d 1,15 x641,70 3,8374 x0,3 837,14 kpa v Rd, cs 0,75 v 1,5 d Rd,c + sr 1 Asw fywd,ef senα u1d v Rd,c 566,40 kpa d 0,3 m u 1 3,8374 m f ywd,ef ,5 d ,5 x ,5 MPa f ywd α 90º sen α 1 A sw v 0,75 x566,40 1,5 x0,3 x x307,5x103 Rd, cs + s r 1 3, MPa x0,3 v ED v Rd,cs A 837,14 0,75 x566,40 + 1,5 x0,3 x sw x307,5 x103 sr Asw 3,43 x10-3 m sr Asw 34,3 cm sr /m /m 1 3,8374 x0,3 versão 0 41 EXERCÍCIO 6

45 ESTRUTURAS DE BETÃO 07 EXERCÍCIO PROPOSTO Considere a estrutura de betão armado representada na figura, com dois pilares iguais de dimensões 0,30mx0,50m. A estrutura é de nós móveis em ambas as direcções e nela estão a actuar as forças F1, F e F3 cujos valores de cálculo são os seguintes: F1, 1400 kn F, 60 kn F3, 30 kn Considere a seguinte informação adicional: - Na direcção do pórtico (dir. x), os pilares encontram-se sujeitos à acção dos momentos flectores que estão representados na figura ao lado. - As fundações são de grandes dimensões, conferindo aos pilares encastramento perfeito; - O peso próprio do pórtico é desprezável; - Os materiais a utilizar serão o betão C5/30 e o aço S400. a) Determine a esbelteza do pilar em cada uma das direcções. b) Determine as excentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do pilar. c) Obtenha os esforços de dimensionamento a considerar na verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura, localizando as respectivas secções críticas. d) Calcule a armadura corrente do pilar e represente-a numa secção transversal. Justifique convenientemente todas as opções tomadas. versão 0 4 EXERCÍCIO 7

46 ESTRUTURAS DE BETÃO 07 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Materiais: Betão C5/30 f f ck cd 5MPa 16,7MPa Aço S400 f f yk yd 400 MPa 348 MPa Alínea a) Direcção x nós móveis Pilar b 0,50m h 0,30m Fundação: encastramento perfeito α 1 0 α 0,50 x0,30 1x4 0,50 x0,40 1x ,638 η 1,0 + 0,15 (α + α ) 1 + 0,15 x0,638 1,0949 η menor de 1 η,0 + 0,3αmin,0 + 0,3 x0,0 l 0 η l 1,0949 x 4 4,38 m λ l 0 l 4,38 0 x 1 50,57 i h 0,30 1 condicionante Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis) λ 35 3,5h M N λ 50,57 > 35 M 5 0,017 N 1490 < 3,5h 3,5x0,30 1,05 calcular as excentricidades adicionais: e x e ax + e x Direcção y nós móveis Pilar b 0,30m h 0,50m l 0 l x 4 8 m l λ 0 l 0 8 x 1 55,43 > 35 calcular as excentricidades adicionais i h 0,50 1 Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis) λ 35 M 3,5h N λ 55,43 > 35 M 60 0,040 < 3,5h 3,5x0,50 1,75 N 1490 calcular as excentricidades adicionais: e y e ay + e y M 30 x x 0,50 60 knm (ver alínea c) versão 0 43 EXERCÍCIO 7

47 ESTRUTURAS DE BETÃO Alínea b) Direcção x - excentricidades adicionais: e x e ax + e x Excentricidade acidental: l0 eax 300 cm 4,38 eax 0,0146 m e 300 ax 0,0 m Excentricidade de ª ordem: 1 l0 0,4f Ac e 1 5 x10-3 η η cd x 1 r 10 r h N η 0,4fcd Ac N 1 η 0,4x16,7x103 x0,30x0, , x10 r h η 1 r 5 x10 0, x0,6748 l 4,38 e x10-3 x x 0,6748 x e 0,015 r 10 0,30 10 x m e x e ax + e x 0,0 + 0,015 e x 0,0415 m Direcção y - excentricidades adicionais: e y e ay + e y Excentricidade acidental: l0 eay 300 cm e 8 ay e 300 ay 0,0067 m Excentricidade de ª ordem: 1 l0 0,4f Ac e 1 5 x10-3 cd Y η η 1 r 10 r h N 0,4f η N cd Ac 1 η 0, r 5 x10-3 η 1 5 x10 h r 0,50 x0,6748 l e x10-3 x 0,6748 x 8 y e 0,0430 r 10 0,50 10 y m e y e ay + e y 0, ,0430 e y 0,0697 m versão 0 44 EXERCÍCIO 7

48 ESTRUTURAS DE BETÃO Alínea c) Esforços iniciais (antes do cálculo da encurvadura) M x, Direcção Y M y, Direcção x M x, 30 x x 0,50 60 knm Estrutura de nós móveis nas duas direcções secções críticas nas extremidades dos pilares Esforços de dimensionamento M enc,x N x e y 1490 x 0, ,85 knm M enc,y N x e x 1490 x 0, ,84 knm Extremidade superior N M M,x 1490kN 60 + M 15 + M,y enc,x enc,y ,85 163,85kNm ,84 76,84kNm Extremidade inferior N 1490kN M,x 60 + M M,y 5 + M enc,x enc,y ,85 163,85kNm ,84 86,84kNm versão 0 45 EXERCÍCIO 7

49 ESTRUTURAS DE BETÃO Alínea d) Esforços condicionantes (ext. inferior): N 1490 kn M,x 163,85kNm M,y 86,84 knm Ábaco 5 Flexão desviada; Armadura igual em todas as faces; C1-C50; S500 ν N bhfcd ,30 0,50 16, ,5948 A M,x 163,85 μx 0,1308 bh f 0,30 0,50 16,7 103 cd M,y 86,84 μy 0,1156 hb f 0,50 0,30 16,7 103 cd μx > μy ν 0,6 s,tot ω.b.h. f f yd μ1 μx 0,13; cd μ μy 0,1 0,4 0,30 0,50 16,7 8,79cm 348 ω 0,4 A A s,mín s,máx 4,8cm 60cm Armadura mínima A s,mín 0,10 N 0,10x1490 4,8 cm fyd 348x103 0,00 Ac 0,00x0,30x0,50 3,00 cm condicionante Armadura máxima As, máx 0,04 Ac 0,04x0,30x0,50 60 cm Armadura longitudinal escolhida A s,tot 8,79 cm A s 4Ø5 + 4Ø0 (3,0 cm ) Os varões de Ø5 deverão ser colocados nos cantos da secção transversal do pilar. Diâmetro das cintas Diâmetro das cintas Øc 6mm 1 4 Øl,máx 0,5 x5 6,5mm condiciona nte Øc 6,5 mm Øc Ø8 versão 0 46 EXERCÍCIO 7

50 ESTRUTURAS DE BETÃO Cintas nas secções correntes s máx 15 Ø l,mín 15 x0,05 0,375m a menor dimensão do pilar 0,30m condicionante ct s Ø8//0, mm 0,30m condicionante Cintas nas secções localizadas numa distância de 0,50 m abaixo da viga superior e acima da fundação s máx 9 Ø l,mín 9x0,05 0,5m 0,6 x menordim. pilar 0,6x0,30m 0,18m condiciona nte ct s Ø8//0, mm 0,18m condiciona nte Desenho da secção transversal do pilar As 4Ø5 + 4Ø0 (os Ø5 estão colocados nos cantos) ct s Ø8//0,30 - na secção corrente ct s Ø8//0,175 - em secções localizadas numa distância de 0,50 m abaixo da viga superior e acima da fundação Outra solução A s 4Ø0+8Ø16 (8,65 cm ) A s,tot 8,79 cm (varões Ø0 nos cantos) ct s Ø6//0,4 - na secção corrente ct s Ø6//0,14 - em secções localizadas numa distância de 0,50 m abaixo da viga superior e acima da fundação O espaçamento entre as armaduras longitudinais é inferior a 30 cm. Não são necessárias mais cintas porque todos os varões estão cintados ou a menos de 15 cm de um varão que está cintado. versão 0 47 EXERCÍCIO 7

51 ESTRUTURAS DE BETÃO 08 EXERCÍCIO PROPOSTO A figura representa a planta estrutural dos pisos inferiores de um edifício de betão armado com vários andares. Estão também representados o pórtico A e o pórtico B assinalados nas plantas. Planta estrutural dos Pisos Inferiores V(0.0X0.35) V(0.0X0.60) A estrutura é de nós fixos numa direcção e nós móveis na outra. Na direcção de nós fixos o comprimento de encurvadura dos pilares é igual a 90% do seu comprimento efectivo (l 0 0,9 l). V(0.5X0.35) V(0.0X0.40) P V(0.5X0.60) 4 m Pretende-se calcular o tramo do pilar P entre a Fundação e o Piso 1 que se encontra sujeito à acção dos momentos flectores referidos nos esquemas dos pórticos e a um esforço axial de cálculo (N ) de 1350 kn. Outros dados: - Materiais: betão C5/30 e aço S Admita que as fundações conferem aos pilares um encastramento parcial. - O peso próprio do pilar é desprezável. V(0.0X0.40) V(0.0X0.40) V(0.0X0.35) V(0.0X0.60) 3 m 6 m V(0.0X0.40) 4 m Piso M± 10 knm Piso 1 3,5 m 5 m M± 5 knm Dimensões de pilares e paredes Pa1 0,0m x 4,5m P1 0,0m x 0,50m P 0,40m x 0,5m M± 15 knm 3 m 6 m Fundação M+ 40 knm 4 m 4 m - Pórtico A Pórtico B a) Sem realizar cálculos, justifique que a direcção em que a estrutura é de nós fixos é a do Pórtico B. b) Determine a esbelteza do pilar P entre a Fundação e o Piso 1 em cada uma das direcções. c) Determine as excentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do tramo do pilar P em estudo. d) Obtenha os esforços de dimensionamento a considerar na verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura, localizando as respectivas secções críticas. e) Calcule a armadura do pilar e represente-a numa secção transversal. Justifique convenientemente todas as opções tomadas. versão 0 48 EXERCÍCIO 8

52 ESTRUTURAS DE BETÃO 08 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Materiais: Betão C5/30 fck 5MPa fcd 16,7MPa Aço S500 fyk 500 MPa f 435MPa yd Alínea a) (Pórtico A) - Estrutura Dir. x nós móveis Dir. y (Portico B) - nósfixos Todas as paredes e pilares (excepto o pilar P) apresentam a sua maior inércia para deslocamentos na direcção do Pórtico B. Logo a direcção de nós fixos é a direcção do Pórtico B, ou seja, a direcção y. Alínea b) Direcção x Pórtico A - Nós móveis - Pilar P b 0,5m h 0,40m Nó inferior (encastramento parcial): α 1 Nó superior: α 0,5 x0,40 x( ) 1 5 3,5 0,5 x0,353 0,5 x0, x3 1 x ,6181 η menor de η η 1,0 + 0,15 (α 1 + α ) 1 + 0,15 x 1,6181 1,47,0 + 0,3αmin,0 + 0,3x0,6181,1854 condiciona nte l 0 η l 1,47 x 5 6,1 m λ l 0 l 6,1 0 x 1 53, 78 i h 0,40 1 Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis) λ 35 M 3,5h (λ< 70) N λ 53,78 > 35 M 15 0,011 < 3,5h 3,5x0,40 1,4 N 1350 calcular as excentricidades adicionais: e x e ax + e x versão 0 49 EXERCÍCIO 8

53 ESTRUTURAS DE BETÃO Direcção y Pórtico B - Nós fixos - l 0 0,9 l 0,9 x 5 4,5 m λ l 0 l 4,5 0 x 1 6, 35 i h 0,5 1 PilarP b 0,40m h 0,5m Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós fixos) Msd,b λ 50-15x Msd,a M 3,5h (λ< 70) N Msd,b λ 6,35 > 50-15x 50-15x 5 59,375 Msd,a -40 M 40 0,030 < 3,5h 3,5x0,5 0,875 N 1350 calcular as excentricidades adicionais: e y e ay + e y Alínea c) Direcção x - excentricidades adicionais: e x e ax + e x Excentricidade acidental: l0 eax 300 cm 6,1 eax e 300 ax 0,007 m l 0,4f Ac Excentricidade de ª ordem: e x10-3 η η cd x 1 r 10 r h N 0,4f Ac η cd 1 N 0,4x 16,7x103x0,5x0,40 η 0, r 5 x10-3 η 1 h r 5 x10 0, x0,4948 l 6,1 e x10-3 x x0,4948 x e 0,039 r 10 0,40 10 x m e x e ax + e x 0, ,039 e x 0,0446 m Direcção y - excentricidades adicionais: e y e ay + e y Excentricidade acidental: l0 eay 300 cm 4,5 e ay 0,015 m e ay 0,0 m 300 l 0,4f Ac Excentricidade de ª ordem: e x10-3 cd Y η η 1 r 10 r h N versão 0 50 EXERCÍCIO 8

54 ESTRUTURAS DE BETÃO 0,4f η N cd Ac 1 η 0, x10 r h η 1 r 5 x10 0, x0,4948 l 4,5 e x10-3 y x0,4948 x e 0,0004 r 10 0,5 10 y m e y e ay + e y 0,0 + 0,0004 e y 0,040 m Alínea d) Secções críticas Direcção x Nós móveis secções críticas nas extremidades do pilar Direcção y Nós fixos secção crítica é a secção intermédia Momentos iniciais na secção intermédia Msd,x 0,6x40-0,4x5 14kNm Mx Msd,x 0,4x40 16kNm Msd, x 16 knm Msd,y 0,6x15+ 0,4x10 13kNm My Msd, y 13 knm Msd,y 0,4x15 6kNm Esforços de dimensionamento M enc,x N x e y 1350 x 0, ,00 knm M enc,y N x e x 1350 x 0, ,1 knm Extremidade superior N M M 1350kN, x,y 5kNm 10+ M enc,y ,1 70,1kNm Secção intermédia N M M 1350kN, x,y 16+ M enc, x 13kNm ,00 70kNm versão 0 51 EXERCÍCIO 8

55 ESTRUTURAS DE BETÃO Extremidade inferior N M M 1350kN, x,y 40kNm 15+ M enc,y ,1 75,1kNm Os esforços na extremidade inferior são mais gravosos que os da extremidade superior. Alínea e) Ábaco 5 Flexão desviada; Armadura igual em todas as faces; C1-C50; S500 Secção intermédia Esforços na secção intermédia: N M M,x,y 1350 kn 70 knm 13 knm ν N bhfcd ,5 0,40 16, ,808 M,x μ 70 x 0,168 bh f 0,40 0,5 16,7 103 cd M,y μ 13 y 0,019 hb f 0,5 0,40 16,7 103 cd μx > μy ν 0,8 μ1 μx 0,17; μ μy 0,0 ω 0,45 versão 0 5 EXERCÍCIO 8

56 ESTRUTURAS DE BETÃO Secção inferior Esforços na secção inferior: N 1350kN M,x 40kNm M,y 75,1kNm ν N bhfcd ,5 0,40 16, ,808 M,x μ 40 x 0,096 bh f 0,40 0,5 16,7 103 cd M,y 75,1 μy 0,113 hb f 0,5 0,40 16,7 103 cd μy > μx ν 0,8 μ1 μy 0,11; μ μy 0,10 ω 0,35 Cálculo da armadura longitudinal Secção Secção intermédia inferior ω 0,45 ω 0,35 situação condiciona nte: ω 0,45 ω.b.h. f A cd s,tot fyd 0,45 0,5 0,40 16, ,8 cm A s,mín 3,10 cm A s,máx 40 cm s, tot 17,8 cm A A s 4Ø0 + 4Ø16 (0,61 cm ) Armadura mínima As, mín 0,10 N 0,10 x1350 3,10 cm fyd 435 x10 3 0,00 Ac 0,00x0,5x0,40,00 cm condiciona nte Armadura máxima As, máx 0,04 Ac 0,04x0,5x0,40 40 cm versão 0 53 EXERCÍCIO 8

57 ESTRUTURAS DE BETÃO Diâmetro das cintas 6mm condiciona nte Diâmetro das cintas Ø c 1 Øc Ø6 Øl,máx 0,5x0 5mm 4 Cintas nas secções correntes s máx 15 Øl,mín 15 x0,016 0,4 m condicionante a menor dimensãodo pilar 0,5m ct s Ø6//0,4 300 mm 0,30 m Cintas nas secções localizadas numa distância de 0,40 m abaixo da viga superior e acima da fundação 9 Øl,mín 9 x 0,016 0,14 m condicionante smáx 0,6 x menor dim. pilar 0,6 x0,5m 0,15m ct s Ø6//0, mm 0,18 m Desenho da secção transversal do pilar As 4Ø0 + 4Ø16 (varões Ø0 nos cantos) ct s Ø6//0,4 - na secção corrente ct s Ø6//0,14 - em secções localizadas numa distância de 0,40 m abaixo da viga superior e acima da fundação O espaçamento entre as armaduras longitudinais é inferior a 30 cm. Todos os varões estão cintados ou a menos de 15 cm de um varão que está cintado. versão 0 54 EXERCÍCIO 8

58 ESTRUTURAS DE BETÃO 09 EXERCÍCIO PROPOSTO Considere o pilar pertencente a um pórtico isolado de betão armado de dimensões 0,45m x 0,60m e com 3,70m de altura, onde estão a actuar simultaneamente as cargas que seguidamente se discriminam. Acção permanente: Força F1 00 kn (valor característico) Força F 300 kn (valor característico) Acção do vento: Carga uniforme pw 10 kn/m (valor característico) Tenha em conta a seguinte informação adicional: - Considere que na direcção x o comprimento de encurvadura do pilar é 0% superior ao seu comprimento efectivo (l 0 1,0 l); - A fundação do pilar garante encastramento perfeito; - O peso próprio da estrutura é desprezável; - Os materiais a utilizar serão o betão C5/30 e o aço S500. a) Esboce os gráficos de momentos iniciais (antes do estudo da encurvadura) que estão a actuar no pilar em cada uma das direcções; b) Determine a esbelteza do pilar em cada uma das direcções; c) Determine as excentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do pilar; d) Obtenha os esforços de dimensionamento a considerar na verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura, localizando as respectivas secções críticas; e) Calcule a armadura corrente do pilar e represente-a numa secção transversal. Justifique convenientemente todas as opções tomadas. versão 0 55 EXERCÍCIO 9

59 ESTRUTURAS DE BETÃO 09 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Materiais: Betão C5/30 fck 5MPa fcd 16,7MPa Aço S500 fyk 500 MPa f 435MPa yd Alínea a) N ( ) x 1, kn Topo: Mx,inicial 300 x (0,5 + 0,30) x 1,35,75 knm Base: Mx,inicial, x 3,70 x 1,85 x 1,50 35,45 knm My,inicial 0 ( não existem momentos iniciais) Alínea b) b 0,60m Direcção x nós móveis Pilar h 0,45m Como l 0 > l Estrutura de nós móveis l 0 1, l 1, x 3,70 4,44 m λ l 0 l 4,44 0 x 1 34,18 i h 0,45 1 versão 0 56 EXERCÍCIO 9

60 ESTRUTURAS DE BETÃO Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis) (basta verificar uma condição para que seja dispensada a verificação do E.L.U. Encurvadura) λ 35 M 3,5h N λ 34,18 < 35 M 3,5h N dispensa a verificação do E.L.U. Encurvadura b 0,45m Direcção y nós móveis Pilar h 0,60m Pórtico isolado Estrutura de nós móveis l 0 l x 3,7 7,40 m λ l 0 l 7,40 0 x 1 4,7 i h 0,60 1 Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis) λ 35 M 3,5h N λ 4,7 > 35 M 35,45 0,0964 N 3375 < 3,5h 3,5x0,60,10 calcular as excentricidades adicionais: e y e ay + e y Alínea c) Direcção y - excentricidades adicionais: e y e ay + e y Excentricidade acidental: l0 eay 300 cm e ay 7, e ay 0,0467 m Excentricidade de ª ordem: 1 l0 0,4f Ac e 1 5 x10-3 cd Y η η 1 r 10 r h N 0,4f Ac η cd 1 N η 0,4 x16,7x103x0,45 x0, , r 5 x10-3 η 1 5 x10 h r 0,60 x0,5344 ey 1 r l ,60 x10-3 x0,5344 7,40 x 10 e y 0,0439 m e y e ay + e y 0, ,0439 e y 0,049 m versão 0 57 EXERCÍCIO 9