ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E GASES EM DUTOS

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1 ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E GASES EM DUTOS Curso de Extensão para a Companhia de Gás do Estado do Rio Grande do Sul - SULGÁS Prof. Sidney Stuckenbruck, Ph.D Porto Alegre de Abril de 2012

2 ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E GASES EM DUTOS Curso de Extensão para a Companhia de Gás do Estado do Rio Grande do Sul - SULGÁS Prof. Sidney Stuckenbruck, Ph.D olympus@terenet.com.br Porto Alegre de Abril de 2012

3 INTRODUÇÃO AO ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS E GASES EM DUTOS Sidney Stuckenbruck 1 OBJETIVOS DESTA APRESENTAÇÃO! Introduzir alguns conceitos básicos de mecânica fluidos, termodinâmica e transferência de calor aplicados ao escoamento de líquidos e gases em dutos.! Introduzir princípios físicos fundamentais do escoamento viscoso incompressível e compressível em dutos.! Breve análise de sistemas envolvendo o escoamento em dutos.! Aperfeiçoar capacitação para operação e projeto de instalações industriais. 1 PUC-Rio e Olympus Software Científico e Engenharia, olympus@terenet.com.br, Cel: (21)

4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS A ciência da mecânica dos fluidos envolve a compreensão dos seguintes tópicos:! Propriedades de fluidos! Aplicações das leis básicas da mecânica! Aplicações das leis da termodinâmica! Análises de experimentos Dimensões e Unidades Dimensão é a medida pela qual uma variável física é expressa quantitativamente. Unidade é a forma particular de atribuir um número à dimensão. Portanto, comprimento é uma dimensão associada com variáveis tais como diâmetro, comprimento e espessura, enquanto metro e milímetro são unidades numéricas para expressar comprimento. Em mecânica dos fluidos, utilizam-se somente quatro dimensões primárias, das quais todas as outras podem ser derivadas. Essas dimensões e suas unidades estão indicadas na Tabela 1 para o Sistema Internacional (Sistème International d Unités), SI, e Britânico (British Gravitational Units), BG. Todas as outras variáveis podem ser expressas em termos de {M}, {L}, {T} e { }. Por exemplo, a dimensão de força é obtida a partir da segunda lei de Newton, -2 Logo, {F}= {MLT }. Portanto, definimos a unidade de força (newton) como, (1) (2) Tabela 1: Dimensões primárias e unidades nos sistemas SI e BG Dimensão primária Unidade SI Unidade BG Fator de conversão massa {M} kilograma (kg) slug 1 slug= 14,5939 kg comprimento {L} metro {m} pé {ft} 1 ft= 0,3048 m tempo {T} segundo {s} segundo {s} 1 s= 1 s temperatura { } Kelvin {K} Rankine {ºR} 1K = 1,8 ºR

5 Fluido Fluido é uma substância que se deforma continuamente quando sujeito a uma tensão cisalhante, não importando quão pequena seja. Uma força cisalhante é a componente da força, atuando tangencialmente a uma superfície. Na Fig. 1 uma substância é colocada entre duas longas placas paralelas e próximas uma da outra. A placa inferior é fixa enquanto uma força F é aplicada na placa superior. Quando a força causa o deslocamento da placa superior conclui-se que a substância entre as placas é um fluido. A experiência mostra que o fluido em contato imediato com as placas mantém a velocidade deslas. Experimentos indicam que, mantidas outras quantidades constantes, a tensão cisalhante é diretamente proporcional ao gradiente de velocidade transversal, ou seja, à taxa de deformação angular do fluido, Figura 1: Distribuição de velocidade entre placas paralelas (3) A constante de proporcionalidade é denominada viscosidade absoluta do fluido, e a Eq. (3), a lei de Newton para a viscosidade. Viscosidade Em muitos problemas de escoamento a razão entre a viscosidade absoluta e a massa específica / é encontrada, sendo definida como viscosidade cinemática, (4)

6 A viscosidade de fluidos Newtonianos é uma propriedade termodinâmica, variando com a pressão e temperatura. A Tabela 2 relaciona a viscosidade e a densidade de alguns fluidos, podendo sua dimensão ser obtida da equação de Newton (3). A Fig. 2 mostra a viscosidade de alguns fluidos com a temperatura. No Sistema Internacional tem-se, (5) Ou seja, a unidade para a viscosidade dinâmica em SI é Pascal segundo, Pa-s. Na prática da engenharia é ainda comum utilizar o antigo sistema de unidades cgs (centímetro-grama-segundo) para a viscosidade, definida em poise (1 poise = 1 g/cm-s). Por se tratar de um número relativamente grande, é usual utilizar a unidade derivada centipoise, cp (1 cp = 0,01 poise). De forma similar, a unidade para a viscosidade cinemática é denominada stoke, (1 stoke = 1 cm /s = 10 m /s). Aqui também é freqüente a utilização da unidade derivada centistoke, cst (1 cst= 0,01 stoke). Tabela 2 Viscosidade e densidade de alguns fluidos (p= p atm,; T= 20ºC) Fluido 2 3 kg/(m-s) cp m /s cst kg/m -6-4 Hidrogênio 8, ,0089 1, , Ar 1, ,0180 1, ,1 1, Metano 1, ,0103 1, ,4 0, Etano 0, ,0093 0, ,8 1, Propano 0, ,0076 0, ,8 2, Gasolina 2, ,29 4, , Querosene 1, ,82 2, , Água 1,0 10 1,0 1, ,0 998, Etanol (Álcool Etílico) 1,2 10 1,2 1, Etileno Glicol 2, , Mercúrio 1,5 10 1,5 1, , Óleo SAE 30 0, , Glicerina 1, , * 1 cp = 10 kg/(m-s) = 10 Pa-s = 10 N-s/m ; 1 cst = 10 m /s

7 Figura 2: Viscosidade dinâmica em função da temperatura para alguns fluidos.

8 Velocidade e Aceleração A solução de problemas em mecânica dos fluidos envolve a determinação de variáveis e propriedades do fluido em função da posição e do tempo. Ao contrário da mecânica dos sólidos, raramente existe interesse nas trajetórias individuais das partículas. Determinar o campo de velocidade V(x,y,z,t) constitui um problema central da mecânica dos fluidos. Em geral, a velocidade é uma função vetorial, com três componentes u, v, w nas direções i, j, k do sistema de coordenadas, cada uma definida por um campo escalar, função de x,y,z,t; i.e., (6) Por outro lado, a aceleração é igualmente uma variável fundamental, uma vez que está associada à força por meio da segunda lei de Newton. A aceleração é obtida da derivada total da velocidade, Eq. (6), (7) Mas, o deslocamento local de uma partícula está relacionado com as componentes da velocidade, (8) Combinando essas duas equações obtém-se, (9) O primeiro termo no lado direito é denominado aceleração local, que é nulo num regime permanente. Os três últimos são chamados de aceleração convectiva, que aparece quando a partícula desloca-se por uma região com velocidade variável, como num bocal convergente. Pode-se escrever a Eq. (9) numa forma compacta utilizando algumas propriedades da análise vetorial. A aceleração convectiva pode ser escrita como o produto escalar da velocidade V com o operador gradiente,

9 (10) ou, (11) Observe que esta equação contém a expressão geral do operador para a derivada temporal total, (12) Este operador pode ser aplicado a qualquer propriedade do fluido, seja um escalar ou um vetor. Por exemplo, para a pressão tem-se, (13) Vazão Volumétrica e de Massa A vazão volumétrica, Q, de um fluido passando por uma superfície (real ou imaginária) no campo de escoamento, Fig. 3, é calculada pela expressão, (14) onde V é o vetor velocidade e n o vetor unitário, normal à superfície S. A vazão de massa é obtida multiplicando o fluxo volumétrico pela massa específica,, i.e. (15)

10 Figura 2b: Variação de temperatura por um balão em ascensão

11 Figura 3: Velocidade através de uma superfície arbitrária. Energia do Sistema A energia de um sistema é composta de todas as formas comumente entendidas de energia, tais como cinética, potencial e elétrica. Na maioria dos problemas de mecânica dos fluidos, admite-se que energias devidas aos efeitos elétricos, magnéticos e de tensão superficial, por exemplo, são desprezíveis. Desta forma, a energia total por unidade de massa atuando num sistema fluido é usualmente composta de três partes: energia interna (molecular), energia cinética e energia potencial, assim representada, (16) A energia interna û é função da pressão e temperatura para uma substância pura simples, enquanto as energias cinética e potencial são propriedades cinemáticas.

12 Relações de Estado Gases Para temperaturas moderadas e baixas pressões, muitos gases obedecem a lei dos gases perfeitos, (17) onde p é a pressão absoluta, T a temperatura absoluta, a massa específica e R = c - * c v a constante do gás. Cada gás tem sua própria constante, igual à constante universal R, dividida pela massa molecular do gás M g (g/mol ou kg/kmol) g p (18) * 2 2- onde R = 8314,5 m /(s K) [8314,5 kj/kmol-k] no sistema SI. Para o ar, por exemplo, 2 2 M = 28,97 kg/kmol, então R = 287 m /(s -K). Assim, de (17), a massa específica do ar ar nas condições padrão (p= p atm e T= 20º C) é ar (19) Para gases perfeitos, a energia interna é função somente da temperatura. Portanto, também o é a entalpia, assim definida, (20) Logo, os calores específicos são também funções exclusivas da temperatura, (21) Um importante parâmetro no estudo de escoamento compressível é a razão entre os dois calores específicos do gás, também denominado expoente isentrópico,

13 (22) Gases a pressões moderadas para alta não se comportam como ideais e são denominados gases reais. Nesses casos, a equação de estado é escrita incluindo-se o fator de compressibilidade Z, que representa o desvio da idealidade do gás. Logo, (23) Z varia com a pressão e temperatura e pode ser medido e tabulado para cada gás, ou deduzido teoricamente. Líquidos Líquidos são praticamente incompressíveis e apresentam um único, aproximadamente constante, calor específico. Portanto, uma relação de estado idealizada para líquidos é (24) e Nas condições padrão (p= p atm e T= 20º C), os valores para água: = 998,2 kg/m 3 c p= 4180 J/kg-K. A massa específica de líquidos decresce ligeiramente com a temperatura, crescendo moderadamente com a pressão. Densidade Relativa Outra variável freqüentemente utilizada em engenharia é a densidade relativa,, que é a razão da massa específica do líquido para a massa específica da água (no caso de líquidos) nas condições padrão. Gases utilizam o ar como referência para cálculo da densidade relativa. Na indústria de petróleo, é comum expressar a densidade relativa do óleo, o, em termos do grau API (American Petroleum Institute) pela fórmula, (25)

14 Por exemplo, um óleo API 32 possui uma densidade o=141,5/(131,5+32)= 0,865 3 (portanto, massa específica o= 0, ,2 = 863,4 kg/m. FUNDAMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS Distribuição de Pressão Hidrostática Se o fluido encontra-se estacionário, ou com velocidade constante referida a um referencial, então a condição de equilíbrio de forças reduz-se à distribuição hidrostática, (26) A Fig. 4 mostra um sistema de coordenadas para representar a distribuição de pressão num meio líquido estacionário. Neste caso, utiliza-se a coordenada-z apontando para cima da superfície terrestre, portanto, contra a ação da gravidade, e origem na interface gás-líquido. As coordenadas x e y encontram-se num plano paralelo à interface. Pode-se escrever para o vetor g, (27) onde g é o valor da gravidade local. Desta form a obtém-se as seguintes equações para a pressão, (28) As duas primeiras indicam que p é independente de x e y (plano paralelo à superfície livre). Portanto, a distribuição de pressão é dada pela integral da terceira equação, ou (29)

15 Figura 4: Coordenada para distribuição de pressão num fluido. Esta é a solução de um problema hidrostático. Gases e líquidos são, em geral, tratados diferentemente devido ao comportamento diferenciado da massa específica com a pressão. Pode-se concluir da condição hidrostática que a pressão num fluido contínuo e uniformemente distribuído varia somente com a distância vertical, sendo independente da forma do reservatório. A pressão é a mesma em todos os pontos localizados num plano horizontal no fluido, aumentando com a profundidade. Exemplo 1 A lâmina d água num ponto da Bacia de Campos é de 1850m. Admitindo massa 3 específica média de 1032 kg/m para a água na região, estimar a pressão no fundo do mar em Pascal e psi. 2 Solução: Para g= 9,7876 m/s (cf. Observatório Nacional, da Eq. (29), Sistema e Volume de Controle Sistema é aqui definido como uma quantidade fixa de matéria. Em outras palavras, um sistema representa uma certa quantidade de substância composta das mesmas moléculas, não importando como estas se movimentam no espaço. As leis da mecânica clássica são escritas para sistemas. Dentre aquelas

16 necessárias para resolver problemas comuns, envolvendo transferência de energia através de fluidos, destacam-se as leis de conservação de massa, de quantidade de movimento linear e de energia. Para um grande número de problemas de escoamento, especialmente em dutos, é conveniente escrever as equações fundamentais de conservação para uma certa região nas vizinhanças do objeto ou equipamento em estudo. Este ponto de vista do analista (ou projetista) sugere a necessidade de uma análise para um volume de controle. A transformação de referências é possível através de uma fórmula de conversão de sistema para volume de controle. A fórmula difere ligeiramente, dependendo se o volume de controle é fixo, deformável ou se encontra em movimento. A Fig. 5 ilustra essas três situações. O volume de controle fixo mostrado na Fig. 5a envolve uma região estacionária de um bocal. Destaque-se que a superfície de controle é um conceito abstrato que não intercepta o escoamento de forma alguma. No caso particular, o volume de controle expõe as tensões nos parafusos do flange que contribui para as forças atuando sobre o fluido (o sistema). A Fig. 5.b ilustra um volume de controle em movimento. Aqui o para-quedas é o objeto de interesse, não o ar, de forma que a superfície de controle acompanha o paraquedas na mesma velocidade deste. Se a velocidade for constante, o movimento relativo tem o padrão de regime permanente, o que simplifica o estudo. Por último, a Fig. 5c mostra um volume de controle deformável. Movimentos relativos nos contornos tornam-se relevantes e a taxa de variação do volume tem que ser considerada na análise. Figura 5: Volumes de controle: a) fixo - análise de tensões num bocal; b) em movimento - análise de forças de arraste; c) deformável - análise de variação de pressão dentro de um tanque.

17 Relações Integrais para Volume de Controle Conservação de Massa Para um volume fixo, (30) onde é a massa específica, o volume, V a velocidade do fluido, e os subscritos vc e sc nas integrais referem-se ao volume e superfície de controle, respectivamente. Se o volume tem um número finito de entradas e saídas, e o regime for permanente, (31) Esta equação garante que, em regime permanente, o fluxo de massa entrando (in) no volume de controle é igual ao fluxo de massa saindo (out). Finalmente, se o fluido for incompressível ( = constante), os fluxos volumétricos (vazões) de entrada e saída têm que ser iguais, (32) Conservação de Quantidade de Movimento Para um volume fixo, (33) O termo referente à integral de superfície nesta equação é denominado fluxo de quantidade de movimento. De novo, para regime permanente e um número finito de entrada e saídas, a equação reduz-se a (34)

18 É importante enfatizar que a expressão (34) refere-se à uma relação vetorial. A Eq. (33) estabelece que o somatório das forças atuando sobre um volume de controle fixo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento dentro do volume de controle, mais a soma vetorial dos fluxos de quantidade de movimento saindo, menos a soma vetorial dos fluxos de quantidade de movimento entrando. Conservação de Energia Aplicada a um volume de controle fixo, a primeira lei da termodinâmica, ou lei de conservação de energia, assume a forma, (35) Um valor positivo de Q refere-se ao calor absorvido pelo sistema (fluido), enquanto um valor positivo de W refere-se ao trabalho realizado pelo sistema. E define o valor da energia interna total e e representa a energia por unidade de massa, conforme apresentado em (16). Para regime permanente ( ) a equação pode ser simplificada para, (36) onde forma análoga, é a transferência de calor para o fluido por unidade de massa. De = dw /dm representa o trabalho realizado pelo fluido através de s uma máquina (bomba, turbina ou compressor), por unidade de massa, e é a entalpia por unidade de massa. Aplicada para o escoamento entre duas seções arbitrárias de um duto, a equação pode ser escrita na forma unidimensional, (37) onde V 1e V 2representam valores médios para a velocidade nas seções 1 e 2 e w f a energia dispendida pelo sistema devido às perdas por atrito viscoso. Essas são irreversíveis (transformadas em calor), podendo ocorrer ao longo do duto e, ou, em pontos localizados,

19 como válvulas, curvas, expansões, etc. Para massa específica constante ( 1= 2= ), a equação simplifica-se para, (38) Weisbach Para perdas ao longo de dutos, é usual utilizar-se a clássica equação de Darcy- para w f, i.e., (39) onde f é o coeficiente de atrito de Darcy (função do número de Reynolds e da rugosidade relativa), L a distância entre as duas seções, e D o diâmetro interno do duto. Deve ser lembrado que w s foi definido acima como, (40) onde a representa a energia total transferida por unidade de tempo (potência). Para o sistema SI, a unidade de 2 2 é J/s= watt e de w é m /s = J/kg= watt-s/kg. s A Equação de Bernoulli Uma equação muito útil na solução de problemas de escoamento pode ser obtida para fluido não-viscoso, sem perdas e sem trabalho atuando sobre ou pelo sistema. Neste caso, para regime permanente, a integral da equação de quantidade de movimento ao longo de uma linha de corrente produz a consagrada equação de Bernoulli, (41) A equação estipula que a soma das energias por unidade de massa devido à pressão, à energia cinética e ao potencial gravitacional, mantém-se constante ao longo da linha de corrente. Portanto, para dois pontos quaisquer ao longo da linha de corrente de um fluido

20 incompressível, (42) Ou seja, a equação de Bernoulli é mais restritiva do que a equação da energia, não devendo ser aplicada entre pontos onde perdas de energia por atrito possam ser significativas, nem quando qualquer forma de transferência de energia ocorre, como por turbina, bomba ou compressor. Linha Piezométrica e Linha de Energia Uma interpretação gráfica para a equação de energia pode ser útil na análise dos diversos termos que a compõem. Para tanto divide-se a Eq. (38) por g. Todos os termos passam a representar alturas, ou energia por unidade de peso (e não de massa) [J/kg-m/s 2 2 = N-m/kg-m/s = m]. A equação assume então a forma, (43) onde h s= W s /g e h f= W f /g representam, respectivamente, a altura correspondente ao trabalho realizado pelo fluido, e a perda de altura devido ao atrito viscoso entre 1 e 2. A linha de energia (LE) representa a altura da energia total, ou da constante de 2 Bernoulli, h o= z + p/ g + V /2g. Para escoamento não-viscoso, sem trabalho e transferência de calor, a LE mantém uma altura constante. A linha piezométrica (LP), também denominado gradiente hidráulico, representa a altura correspondente à elevação local mais a altura de pressão z + p/ g; isto é, a linha de energia menos a altura de 2 velocidade V /2g (energia cinética). A linha piezométrica é altura que o fluido subiria num piezômetro conectado ao escoamento. A Fig. 6 ilustra a LE e a LP para um escoamento sem atrito entre dois pontos 1 e 2 num duto. Os tubos piezométricos medem a altura de pressão estática z + p/ g; ou seja, a LP. Os tubos de pitot medem as alturas de pressão correspondentes às velocidades de

21 Figura 6: Linhas de energia e piezométrica para escoamento não-viscoso num duto. 2 estagnação, h o= z + p/ g + V /2g, que corresponde à LE. Neste exemplo, a LE é constante e a LP decresce devido o aumento na velocidade. No caso real a LE tende a cair gradativamente devido às perdas por atrito, caindo abruptamente em cada uma das perdas localizadas (válvulas, obstruções, etc.), ou devido o trabalho extraído, como por uma turbina. A LE só subirá se ocorrer adição de trabalho ao sistema, como no caso de uma bomba ou compressor. Em geral a LP segue o comportamento da LE com respeito às perdas e adições de trabalho, subindo ou descendo se a velocidade decrescer ou aumentar, respectivamente.

22 Exemplo 2 Uma mangueira de bombeiro de 75 mm de diâmetro, com um bocal de 30 mm, 3 descarrega 1,5 m /min para a atmosfera. Admitindo escoamento sem atrito, estimar a força atuando sobre os parafusos para manter o flange fixo na mangueira. Solução: Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (ambos na mesma cota), 3 3 As velocidades são encontradas a partir da vazão e respectivas áreas: Q= 1,5 m /min= 0,025 m /s, então, V 1= 5,66 m/s e V 2= 35,5 m/s. Uma vez que p 2 = p atm= 0 (manométrica) então, Do balanço de quantidade de movimento sobre o volume de controle mostrado na figura, Eq. (34), vem, Para e A = D /4= 0,00442 m, a força atuando sobre os parafusos, F B, tem o valor de F x com o sinal invertido (uma reação a F x), logo, Observe que a resultante das forças atuando sobre o fluido (o sistema), como resultado da distribuição de pressão no interior do bocal, representado por F x, tem sinal negativo. Portanto, a força atuando sobre o bocal, F B, é positiva; i.e., tende a afastá-lo da mangueira.

23 ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS Problemas envolvendo o escoamento de fluido em dutos requerem o cálculo de vazões, perda de pressão e conversão de energia. Na solução são utilizados os princípios definidos no parágrafo anterior relativos à conservação de massa, balanço de forças e quantidade de movimento e de conservação de energia. A resistência ao escoamento viscoso ocorre não somente nas longas seções retas, mas também em elementos construtivos como curvas, conexões e válvulas. Força de Resistência e Dissipação de Energia Embora a equação de energia (37) seja fundamental para a análise de escoamento, ela não contém qualquer informação sobre as forças de resistência que causam a dissipação de energia no fluido. Considerações de equilíbrio de forças no interior do duto levam à expressão de Darcy-Weisbach, (39), na qual o coeficiente de Darcy, f, pode ser expresso na forma, (44) Aqui, o é a tensão cisalhante na parede do duto, e V a massa específica e a velocidade média do fluido, e D a rugosidade absoluta e o diâmetro interno do duto. Re é o número de Reynolds, assim definido, (45) onde e representam, respectivamente, as viscosidades absoluta e cinemática do fluido. Portanto, o coeficiente de Darcy depende de dois parâmetros: um geométrico, /D, e outro dinâmico, Reynolds. Regimes de Escoamento O escoamento viscoso pode ser classificado como laminar ou turbulento. No regime laminar o fluido escoa sem se misturar de forma significativa com as partículas vizinhas. Já no escoamento turbulento, o movimento do fluido varia de forma acentuada,

24 fazendo com que variáveis como a velocidade e a pressão apresentem alterações aleatórias no espaço e no tempo. Experimentos mostram que a definição do regime de escoamento depende do número de Reynolds. Se este for relativamente pequeno o regime é laminar; se for grande, o regime é turbulento. Os dois estados são caracterizados de forma mais apropriada definindo um número de Reynolds crítico, Re, de forma que o escoamento é laminar se Re < Re, e turbulento se Re > Re. Para escoamento em dutos, c c c Re c Escoamento Laminar (Hagen-Poiseuille) Considere o escoamento laminar num duto reto com seção transversal circular conforme mostrado na Fig. 7. Para esta situação existe uma solução analítica para a equação de quantidade de movimento, conhecida como solução de Hagen-Poiseuille. O perfil de velocidade é um parabolóide de revolução centrado no eixo do duto definido pela Eq. (46). Figura 7: Escoamento laminar num duto circular. O termo -dp/dx representa o gradiente de pressão ao longo do duto, considerado um valor conhecido. (46) Integrando na seção transversal, obtém-se para a velocidade média V e a vazão volumétrica Q, (47)

25 como, Levando a expressão acima para dp/dx em (44), o coeficiente de Darcy é definido (48) Esta equação mostra um resultado interessante: no escoamento laminar (Re < 2300), o fator de atrito não depende da rugosidade da parede. Escoamento Turbulento No escoamento turbulento, o fator de atrito é obtido de relações para o perfil de velocidade cobrindo subregiões específicas da seção transversal do duto. Dados experimentais, relacionando o fator de atrito com o número de Reynolds, são obtidos para uma ampla faixa da rugosidade relativa, conforme mostrado na Fig. 8. O gráfico, denominado diagrama de Moody, mostra claramente que abaixo do número de Reynolds crítico ( 2300), o escoamento é laminar. O diagrama mostra ainda que, para escoamento em duto liso ( /D 0), o fator de atrito depende exclusivamente do número de Reynolds, enquanto, para duto rugoso, f depende predominantemente da rugosidade relativa. Numa zona de transição, entre duto liso e totalmente rugoso, o fator de atrito depende tanto do número de Reynolds quanto da rugosidade relativa. Deve ser observado do diagrama que, para números de Reynolds muito elevados, o fator de atrito torna-se praticamente constante (as curvas são praticamente horizontais), pouco dependente de Reynolds. Quando isto ocorre, o escoamento é dito totalmente rugoso, ou totalmente turbulento. Fator de Atrito em Dutos Lisos e Rugosos Dutos Lisos 3 7 Para dutos lisos, e 4 10 < Re < 10, a equação clássica é de Prandtl, (49)

26 Uma expressão mais recente, considerada mais precisa do que a de Prandtl, é de 5 7 Zagarola e Smits, válida para a faixa, 10 < Re < 3,5 10, (50) Estas equações são implícitas, requerendo algum processo iterativo de resolução. A literatura apresenta grande quantidade de alternativas em que f pode ser determinado 3 5 explicitamente, como a equação de Blasius, válida para 4 10 < Re < 10, (51) 3 7 ou de Colebrook, para 4 10 < Re < 10, (52) Dutos Rugosos Para escoamento totalmente rugoso a expressão consagrada é de von Kámán e Nikuradse, (53) Regime de Transição - Colebrook-White A equação que correlaciona toda a região de transição entre o escoamento hidraulicamente liso até totalmente rugoso foi estabelecida por Colebrook e White, (54)

27 Esta é a fórmula usualmente utilizada para cálculo do coeficiente de atrito viscoso em escoamento turbulento. Moody utilizou-a para construir o diagrama mostrado na Fig. 8. Embora aplicável para todo o campo de rugosidade relativa e de número de Reynolds, a equação é particularmente precisa para a região de transição; ou seja, para Re < Re, onde Re é o número de Reynolds de transição, Eq. (55). Para valores de Reynolds superiores a Re o escoamento é totalmente rugoso; o fator de atrito independe do número de Reynolds. (55) Figura 8: Diagrama de Moody para dutos com paredes lisas e rugosas. Valores da Rugosidade Absoluta - Oleodutos e Gasodutos A equação de Darcy-Weisbach permite determinar de forma elegante a queda de pressão em função da densidade, da velocidade média, do diâmetro, da distância entre os pontos de interesse e do coeficiente de atrito f. Esse, por outro lado, depende do número de Reynolds e da rugosidade relativa, sendo fortemente dependente desta nos escoamentos

28 com altos números de Reynolds. Portanto, a estimativa de f torna-se tarefa importante no projeto de dutos. De um modo geral, a experiência e o acesso à uma boa literatura são fundamentais para estimar o fator de atrito com precisão. Todavia, deve-se ter em perspectiva outros fatores, como o aumento da rugosidade com o envelhecimento da instalação, ou a sua redução, através da aplicação de coberturas protetoras no interior do duto. No caso específico de oleodutos e gasodutos novos, Mohitpour sugere que se pode admitir como referência para a rugosidade absoluta,, valores entre 15 e 30 m (15 e m). Caso uma cobertura (epóxi/poliamida) seja aplicada, um valor típico para fica entre 5 e 8 m. Segundo Golshan e Narsing, em Mohitpour, esses valores podem crescer à taxa de 0,7 a 1,3 m por ano devido à erosão, corrosão e outros problemas. Os autores destacam que a taxa de deterioração de dutos com cobertura é bem menor, ficando entre 0,2 e 0,4 m/ano. Tabela 3: Rugosidades para dutos novos. Duto Rugosidade abs. ( m) Oleodutos 20 a 30 Gasodutos 15 a 20 Pintura 5-8 A Tabela 3 resume algumas condições sugeridas para a rugosidade absoluta médias para dutos novos. Observe que para um número de Reynolds de em um oleoduto -4 de 12, a rugosidade relativa com base no valor sugerido pela tabela é O diagrama de Moody, Fig. 8, indica que, para esta rugosidade, o escoamento tem comportamento de duto liso, com f 0,024. De forma análoga, para um gasoduto de 20 e Reynolds da ordem 6-5 de obtém-se uma rugosidade relativa de De novo, o diagrama indica um comportamento próximo de duto liso, com f 0,012. O ponto a ser realçado é que os valores da Tabela 2.4 sugerem que, na média, as rugosidades relativas operacionais devem estar próximas de valores que conduzem à condição de escoamento hidraulicamente liso. Rugosidades muito menores do que as sugeridas tendem a encarecer desnecessariamente o sistema, enquanto valores muito superiores levarão o escoamento para a condição de hidraulicamente rugoso, tornando o custo operacional (bombeamento) muito elevado. Note-se ainda que para manter a rugosidade relativa dentro dessas faixas, dutos com diâmetros menores requerem rugosidades absolutas menores (mais lisos) do que dutos maiores.

29 Exemplo 4 Óleo cru é transportado num duto NPS 4, diâmetro de 102,5 mm e rugosidade de 40 m. Para uma vazão de bbl/dia e viscosidade cinemática igual a 22 cst, calcular o fator de atrito. Solução: Velocidade do óleo: V= Q/A= ,159/ ,008251= 1,61 m/s. Portanto, o -6 número de Reynolds é Re= 1,61 0,1025/22 10 = Da equação de Colebrook-White obtém- se após três iterações (iniciando com f= 0,03), f= 0, Note que a equação de Blasius (51) produz f= 0,03399 (próximo de 0,03394!). Perdas Localizadas Perdas localizadas são devido à resistência hidrodinâmica, em geral associadas à forma e à dimensão do duto. A passagem do fluido por uma variação de geometria causa variação na velocidade e a formação de vórtices que, por sua vez, provocam perdas de energia. Na maioria dos casos, perdas localizadas ocorrem na entrada e saída de duto, nas expansões e contrações, nas curvas, joelhos, tês e juntas e nas válvulas. Para escoamento turbulento a experiência mostra que as perdas são aproximadamente proporcionais ao quadrado da velocidade. Denominando a perda de carga por p d, pode-se escrever, (57) onde e V são, respectivamente, a massa específica e velocidade do fluido e coeficiente de perda de carga. K d o Um duto pode ter várias fontes de perdas localizadas. Se todas elas estiverem 2 correlacionadas com V /2g, e se este tiver um diâmetro constante, a perda total pode ser determinada a partir da soma das perdas individuais, i.e., (58) onde p f é a queda de pressão devido ao atrito viscoso, Eq. (39). Um sumário de perdas localizadas representativas de alguns componentes é mostrado na Tabela 4.

30 Tabela 4: Coeficientes de perda localizada em componentes Componente K Válvula globo (tot. aberta) 10 Válvula de retenção - balanço (tot. aberta) 2,5 Válvula gaveta (tot. aberta) 0,2 Tê padrão 1,8 Joelho padrão 0,9 Joelho médio 0,7 Joelho longo 0,6 Expansão Súbita e Contração Súbita A expansão, ou contração, súbita está normalmente associada à mudança no diâmetro do duto, conforme esquematizado na Fig. 9. A variação na área induz a formação de vórtices e, como conseqüência, a dissipação de energia sob a forma de calor. O coeficiente de perda de carga, K d, para o escoamento turbulento numa expansão brusca pode ser determinado teoricamente, produzindo a seguinte expressão, (59) Para uma contração súbita, o coeficiente pode ser estimado pelas expressões empíricas, (60) onde, para as duas situações, A 1 e A 2 são as áreas a montante e jusante, conforme indicado na Fig. 9.

31 Figura 9: Expansão (a) e contração (b) súbitas no escoamento num duto. Curvas Uma curva brusca, ou joelho, produz, em geral, perdas de carga importantes, uma vez que no seu interior ocorrem descolamentos e vórtices. Por outro lado, uma curva gradual, arredondada, como mostrado na Fig. 10, reduz consideravelmente a importância de zonas de turbulência e, assim, a perda de carga. A redução na perda será tanto maior quanto maior for o raio de curvatura relativo R/D e menor a rugosidade relativa /D. Para um raio bastante elevado o turbilhamento desaparece completamente. A perda é sempre superior àquela devida exclusivamente ao atrito viscoso, uma vez que incorpora efeitos associados à eventual separação na parede e à rotação de escoamentos secundários. O coeficiente de perda K d, mostrado nas Fig. 10, refere-se a essa perda adicional. A perda por atrito devido ao comprimento axial da curva deve ser computado separadamente; i.e., o comprimento da curva deve ser adicionado ao comprimento do duto para efeito de cálculo da perda de energia total.

32 Figura 10: Coeficiente de perda de carga para curva de 90º. Entradas e Saídas A Fig 11 mostra coeficientes de perdas para três geometrias de entrada de dutos, onde pode ser destacado que bordas agudas na entrada causam zonas de separação e perdas consideráveis. Um pequeno arredondamento pode reduzir significativamente as perdas, enquanto uma entrada bem arredondada produz perda praticamente desprezível. Na saída, por outro lado, o escoamento simplesmente sai do duto e entra no reservatório de grandes dimensões, perdendo toda sua pressão devido à energia cinética. Portanto, K d= 1,0 para todas as saídas, não importando quão arredondadas sejam essas. Figura 11: Coeficientes de perda de carga para entradas.

33 ESCOAMENTO DE LÍQUIDOS Problemas envolvendo o escoamento de líquidos (considerados aproximadamente incompressíveis) incluem seis variáveis: p f, Q, D, L, e. Em geral, o comprimento, a viscosidade cinemática e a rugosidade (L,, ) são conhecidos. Desta forma, na prática corrente de engenharia, pode-se identificar três tipos distintos de problemas envolvendo as três outras incógnitas; i.e., a queda de pressão p f, a vazão Q, e o diâmetro D. Em cada um desses casos as equações de Darcy-Weisbach, de continuidade e de Colebrook (ou outra mais adequada), são utilizadas para encontrar a quantidade desconhecida. a) Cálculo da Queda de Pressão A solução deste caso é bastante direta. Com as variáveis conhecidas estima-se o número de Reynolds, Re= VD/. O fator de atrito, f, pode ser encontrado diretamente de uma das equações anteriores, como Colebrook, ou o gráfico de Moody. A substituição de f na equação de Darcy-Weisbach fornece o valor da queda de pressão devido ao atrito viscoso, (61) onde, para dutos circulares, o coeficiente de resistência, K f, é definido como, (62) b) Cálculo da Vazão Neste caso, tanto V quanto f são desconhecidos. Uma vez que /D é conhecido, um valor aproximado de f pode ser obtido a partir da equação de Nikuradse, por exemplo, admitindo que o escoamento seja totalmente turbulento. Com f a equação de Darcy- Weisbach produz um valor aproximado para V, para o qual o número de Reynolds é calculado. Com este valor de Reynolds, um valor mais preciso pode ser obtido para f e, em seguida, para V, ou para a vazão. O procedimento iterativo pode ser interrompido quando f repetir pelo menos três algarismos significativos. A partir das equações de energia (38) e de Darcy-Weisbach (39),

34 (63) c) Cálculo do Diâmetro Com D desconhecido, três variáveis são também desconhecidas na equação de Darcy-Weisbach (f,v,d), duas na equação de continuidade (V,D) e três na equação para o número de Reynolds (V,D,Re). Também é desconhecida a rugosidade relativa. Da Eq. (39), e da expressão para o número de Reynolds tem-se, respectivamente, (64) onde C 1 e C 2 são constantes conhecidas, facilmente identificadas nessas expressões. A solução é obtida pelo procedimento iterativo: a) Estime um valor para f b) Resolva para D c) Resolva para Re d) Determine a rugosidade relativa e) Com Re e /D determine novo valor para f f) Vá para (b) até f convergir para, pelo menos, três algarismos significativos. Normalmente a convergência é obtida em duas ou três iterações. Uma vez que um duto padrão é geralmente escolhido, o tamanho imediatamente superior ao calculado deve ser a opção para o diâmetro. Sistema com Dutos Múltiplos Série e Paralelo Compreendendo a metodologia de solução de escoamento permanente para um duto solitário é possível resolver grande parte das situações envolvendo sistemas de dutos, seja o fluido compressível ou incompressível; o procedimento básico é o mesmo nos dois casos. Queda de Pressão para Dutos em Série Para dutos em série, com diferentes diâmetros e comprimentos, Fig. 12, o escoamento é determinado conforme mostrado a seguir.

35 Figura 12: Sistema de dutos com diâmetros e comprimentos variáveis em série. Utilizando a forma compacta para a equação geral do escoamento, (65) onde os expoentes n e m refletem o comportamento da queda de pressão com a vazão, e K i (i= 1,2,3,...) representam os coeficientes de resistência de cada segmento, conforme mostrado nas Eqs. (61) e (62). No caso de escoamento incompressível (líquidos em geral) n= 1, enquanto m fica no intervalo 1< m < 1,75, limites entre escoamento laminar e totalmente turbulento, respectivamente; cf. Eq. (47) para escoamento laminar e Eq. (61) para escoamento turbulento. Como será visto posteriormente, para gases o escoamento é normalmente turbulento e os expoentes são: n= 2 e m 2. Somando as equações em (65) obtém-se (66), Ou seja, a resistência do sistema é a soma das resistências de cada segmento.

36 Queda de Pressão para Dutos em Paralelo Considere-se, agora, dois segmentos em paralelo conforme mostrado na Fig. 13. As equações para a queda de pressão e vazão são, (67) Resolvendo para Q 1 e Q 2 em (67a) e levando o resultado em (67b), a relação para o escoamento entre os pontos de entrada e saída do loop é dada por, (68) A fórmula se aplica para um número qualquer de dutos em paralelo, bastando, para tanto, que o somatório na segunda equação acima seja igual ao número desses. Figura 13: Sistema de dutos em paralelo. Escoamento Através de Orifícios O escoamento através de orifícios ocorre em inúmeras situações práticas de engenharia. Algumas aplicações tecnológicas incluem o escoamento na entrada e saída de tanques, injetores, válvulas de controle na operação de sistemas hidráulicos, robôs industriais e sistemas de medição de vazão em dutos. Em certos casos, como no vazamento por uma fissura na parede de um duto, embora a geometria do problema seja

37 distinta de um orifício, utiliza-se freqüentemente a metodologia de cálculo de orifício na determinação da vazão (vazamento) em função do diferencial de pressão atuando no sistema. Placa de Orifício Considere o escoamento por uma placa de orifício com diâmetro D o instalada num duto de diâmetro D, Fig. 14. A vazão volumétrica está relacionada com os outros parâmetros pela equação, (69) Figura 14: Placa de orifício instalada em um duto. A variável C d, denominada coeficiente de descarga, é função do parâmetro geométrico =D o /D, e do número de Reynolds, Re = V1D/. Valores típicos para o coeficiente estão na faixa: 0,6 < C d < 1,0. Observe que as linhas de corrente se contraem a jusante do orifício, formando uma área de diâmetro D vc, inferior ao diâmetro do orifício, denominada vena contracta. Padrões definidos por diversas entidades internacionais, como ISO e ASME, sugerem posicionar as tomadas de pressão a distâncias fixas da placa, normalmente um diâmetro a montante e meio diâmetro a jusante.

38 Bocal Existem dois tipos de bocais para medir vazão em dutos, um com raio de curvatura interna longo e outro com raio curto, este mostrado na Fig. 15. O bocal, com uma entrada curva suave e polida elimina a vena contracta, produzindo um coeficiente de descarga próximo de 1,0, embora a perda de energia não recuperável a jusante seja relativamente alta, uma vez que não há difusor para garantir uma expansão gradual do fluido. O cálculo da vazão no bocal utiliza a mesma equação para orifício, (69). Bocais são normalmente construídos com razão de diâmetros na faixa: 0,2 < < 0,8. Figura 15: Bocal instalado em um duto. Venturi Um medidor de vazão Venturi é mostrado na Fig. 16. Consiste de uma entrada cônica suave formando um ângulo aproximado de 20º, uma seção cilíndrica curta e um difusor cônico com ângulo entre 5º e 7º para evitar separação do fluido na entrada do cone e minimizar perdas locais. Em algumas situações especiais pode-se chegar a ângulos de até 15º, embora possa ocorrer separação, provocando perdas adicionais não desejáveis para este tipo de equipamento. Para uma operação satisfatória, o medidor deve ser instalado numa seção retilínea e uniforme, livre de conexões, desalinhamentos e outras fontes de turbulência, e tendo pelo menos 50 diâmetros de seção reta a montante. Aletas para alinhamento e redução de rotação do fluxo podem ser instaladas a montante.

39 Figura 16: Venturi instalado em um duto As pressões na base e na garganta do medidor são obtidas por anéis piezométricos. Para medição de gases é necessário medir a pressão e temperatura nos dois pontos; para líquidos bastam normalmente as pressões. Para escoamento de líquidos a vazão pode ser obtida pelas mesmas equações utilizada para orifícios e bocais. No caso de uma instalação não horizontal, considerando cotas z 1 e z 2 para os pontos na linha de centro do medidor no plano das respectivas tomadas de pressão, obtém-se (70) onde =D o/d, A o a área da seção da garganta e C d o coeficiente de descarga (0,90 < C d < 0,99). Venturis modernos são esperados operar numa faixa de número de Reynolds 5 6 relativamente estreita, 10 < Re < Exemplo 5 Um duto transporta óleo cru, = 866 kg/m, entre duas localidades distantes 120 km. A linha original está representada na figura abaixo pelos segmentos A e B. A operadora decide aumentar a vazão em 25%, acrescentando um trecho paralelo, C, na parte final. Mantendo-se as pressões de entrada e saída, pontos 1 e 3, pede-se estimar o comprimento do segmento C. Dados: i- diâmetros internos, D A = D B = 10" (247 mm); D C= 14" (325 mm); ii- p 1= 116 bar; p 3= 4,6 bar; iii- coeficiente de atrito médio nos dutos, f= 0,027; iv- perdas localizadas nos pontos 2 e 3, e respectivas curvas, K d= 0,9 (somente para a linha C).

40 Solução: Para o sistema original, Eq. (62), (1) Das Eqs. (62) e (66), as resistências dos segmentos A, B e C são definidas pelas expressões, (2) enquanto a equação característica do sistema torna-se, (3) A resistência total K, é calculada pela soma das resistências K com a equivalente do B C. T grupo paralelo K e K O fator representa a fração de aumento esperado na vazão: = 0,25 no caso presente. Portanto, igualando as quedas de pressão nas Eqs. (1) e (3), A (4) * com K o e K T definidos em (1) e (3). Note que a expressão para K T em (3) contém a incógnita-x, conforme se pode observar das equações para K, K e K em (2). A B C Para os dados especificados, a solução da Eq. (4) é x= 48,66 km. A vazão na linha original é então obtida diretamente de (1); i.e., Q= m /d, enquanto com a derivação Q = m /d. 3 3 nov Considere agora a expressão geral para o comprimento-x no caso em que os diâmetros e os coeficientes de atrito sejam todos iguais, e as perdas locais ignoradas. Resolvendo a Eq. (4) encontra-se a relação,

41 (5) Para os dados do problema (hipótese de diâmetros iguais, etc.) e = 0,25, encontra-se x/l= 0,48. Portanto, x= 0, = 57,6 km. Como esperado, pouco mais extenso do que com uma derivação de 14" (original era de 10"). Finalmente, para dobrar a vazão ( = 1 = 4), encontra-se x= L. Evidentemente, uma segunda linha, idêntica à primeira! ESCOAMENTO DE GASES Analisemos o escoamento permanente de gás seco em duto com área constante e atrito viscoso. No escoamento compressível, a massa específica tende a variar significativamente e, assim, da equação de estado (17), conclui-se que a pressão e a temperatura também variam de forma substancial. Portanto, a componente térmica da equação de energia não pode ser ignorada; a solução do problema envolve as quatro equações de conservação de: massa, quantidade de movimento, energia e estado. Aplicações industriais nesta área incluem problemas termohidráulicos de válvulas, orifícios, bocais, dutos curtos e dutos longos. Dada a grande complexidade dos escoamentos nessas situações, freqüentemente são introduzidas nas soluções uma ou mais das seguintes hipóteses simplificadoras: idealidade de gás, ausência de atrito viscoso, ausência de troca de calor entre o fluido e o exterior, ausência de variação da temperatura e irreversibilidade do processo. Admitamos inicialmente que o gás tenha comportamento ideal, hipótese bastante utilizada em dinâmica de fluidos compressíveis. As relações básicas para gases ideais incluem as seguintes equações, (71) onde g representa a densidade relativa (ao ar, sob condições padrão).

42 Consideremos inicialmente alguns conceitos associados ao escoamento compressível como:! Processo termodinâmico! Velocidade do som e número de Mach! Escoamento em Venturis, bocais e orifícios! Condição cítica em bocais e dutos (Choking) Processo Termodinâmico O conceito de processo é utilizado para designar a mudança de um estado termodinâmico de uma situação inicial para outra final. O conhecimento de um processo envolve não somente os estados limites como a interação do sistema com o seu ambiente, como, por exemplo, a transferência de energia, de calor e de massa. Problemas envolvendo escoamento de dutos tratam com freqüência de alguns processos particulares, como: isotérmico, adiabático, isentrópico, reversível e irreversível. O processo isotérmico é aquele em que a temperatura do sistema se mantém uniforme e constante com o tempo. O adiabático designa aquele em que não ocorre troca de calor entre o sistema e o exterior, enquanto o isentrópico refere-se ao processo adiabático reversível, ou seja, com entropia constante. O processo isentrópico é freqüentemente utilizado como um modelo, ou limite, para processos adiabáticos reais. Se a entropia é constante em cada passo do processo, pode-se obter relações isentrópicas a partir da equação de variação de entropia para uma substância pura, ou seja, (72) Para um escoamento isentrópico, s= 2 s, 1 desta equação obtém-se a expressão clássica, (73)

43 Velocidade do Som Número de Mach A velocidade do som é um parâmetro importante na teoria do escoamento compressível. Ela é a velocidade para a qual um pequeno distúrbio na pressão viaja por uma substância. A velocidade do som é uma medida do efeito da compressibilidade do fluido quando comparado com a velocidade do escoamento. A partir das equações de conservação pode-se relacionar a velocidade de propagação, c, com as mudanças nas propriedades da substância e obter, (74) onde o subscrito s refere-se à condição isentrópica; admitida porque as variações de pressão e temperatura são pequenas e, conseqüentemente, o processo é praticamente adiabático e reversível. Velocidade do Som para Gases Ideais Levando as Eqs. (71) e (73) em (74), a expressão para a velocidade do som para um gás ideal torna-se, (75) que mostra que, em geral, gases com baixa densidade têm velocidades de som maiores e 1/2 vice-versa. Por exemplo: ar, na temperatura normal, c 20 T. Ou seja, a 20ºC (T= 293,2 ºK), car 342 m/s; enquanto hidrogênio ( = 1,4 e M g= 2), ch m/s. Número de Mach Outro parâmetro importante que aparece nas equações de movimento de fluidos, quando a compressibilidade é um fator relevante, é o número de Mach, definido como a razão da velocidade do fluido para a velocidade do som, (76) A velocidade do som deve ser calculada na pressão e temperatura local, podendo, evidentemente, variar de ponto a ponto no campo do escoamento.

44 Escoamento Isentrópico em Venturis, Bocais e Orifícios Medidores de Vazão Venturis, bocais e placas de orifício são utilizados para medir a vazão de massa de escoamento compressível em dutos. Como no caso de escoamento de líquido, a vazão de massa pode ser determinada a partir da leitura da diferença de pressões nas seções de entrada e de área mínima, pela aplicação das equações de conservação de massa e de energia. Venturis e bocais praticamente não apresentam vena contracta, o que permite aplicar a equação de energia entre a entrada e a seção convergente com resultados razoavelmente precisos, quando comparados com dados experimentais. Placas de orifício, ao contrário, não mostram comportamento tão bons e requerem relações empíricas, conforme mostrado a seguir. Venturis e Bocais Para escoamento subsônico (Ma < 1) e adiabático, aplicando a equação de energia (36) entre os pontos 1 e 2 na Fig. 16, utilizando a equação de continuidade 1AV= 1 1 AV e a relação isentrópica (73), a vazão de massa em Venturis e bocais pode ser escrita na forma, (77) onde o fator de expansão, Y, é definido como, (78) Nessas expressões, são utilizados os seguintes parâmetros: A o= área da garganta, D 1= diâmetro do duto, D o= diâmetro da garganta, = D o/d 1, r= p 2/p 1, k= c p/c v, 1= massa específica do gás na seção-1. C d é o coeficiente de descarga do Venturi (ou bocal), cujo valor numérico é aproximadamente o mesmo utilizado para líquidos.

45 Placas de Orifício A expressão para a vazão de massa é a mesma indicada em (77), mas uma relação empírica é utilizada para definir o fator de expansão, (79) Exemplo 6 Gás natural com densidade 0,68 e expoente isentrópico 1,42 escoa por um duto de 75 mm de diâmetro. A este, está conectado um Venturi com diâmetro de entrada de 75 mm e garganta de 30 mm. A temperatura de entrada é de 18ºC e as pressões (manométricas) na entrada e na garganta são de 0,760 bar e 0,330 bar, respectivamente. A pressão barométrica local é de 1,020 bar e o coeficiente de descarga igual a 0,98. Calcular a vazão de massa admitindo: (i) escoamento compressível isentrópico; (ii) escoamento incompressível. Solução: A relação das pressões entre os pontos 2 e 1, e a massa específica em 1, Fig. 16, são, Com = D 2/D 1= 30/75= 0,40, e a razão de pressões indicada acima, obtém-se de (78) o fator de expansão, Y= 0,863. A vazão de massa para a hipótese de escoamento compressível é obtida diretamente de (77), enquanto para a hipótese incompressível basta fazer Y= 1,0. Ou seja,