Distância e Geometria

Transcrição

1 Distância e Geometria

2 Função Distância Dado um espaço X, podemos definir uma função real d - conhecida como distância - tal que, para os pontos a, b, c X, valem as seguintes propriedades: d a, b 0 e d a, b = 0 a = b d a, b = d b, a d a, b d a, c + d(c, b)

3 O Impacto Distância O conceito de distância tem efeitos de longo alcance em uma geometria. Tudo desde ângulos até cónicas, área e volume são de alguma forma dependentes do significado de distância. Tendo alterado a fórmula de distância para a geometria euclidiana e visto alguns dos efeitos básicos, deve-se esperar que o efeito cascata para continuar profundamente em outros conceitos. O restante desta palestra olha para os diferentes aspectos de uma geometria com outra distância, para entender sua natureza e muitas vezes contrastá-los com a geometria euclidiana.

4 Exemplos de função distância: Distância Euclidiana X = R 2 A = x A, y A e B = x B, y B d(a, B) = (x A x B ) 2 +(y A y B ) 2

5 Círculo com esta distância: Um círculo de centro C e raio r é o lugar geométrico dos pontos P cuja distância a C é igual a r Equação do Círculo de centro C e raio r d P, C = r se e somente se (x a) 2 +(y b) 2 = r 2

6 Exemplo 2: Distância do taxista A Geometria do taxista ou do pedestre, considerada por Hermann Minkowski no século XIX, é uma forma de geometria em que a distância entre dois pontos é a soma das diferenças absolutas de suas coordenadas. A distância do taxista é também conhecida como distância L 1, ou distância de Manhattan, com variações correspondentes no nome da geometria. O último nome faz alusão ao formato quadriculado da maior parte das ruas na ilha de Manhattan. Tal configuração faz com que a menor distância a ser percorrida por um carro que vai de um ponto a outro na cidade tenha como valor aquele número fornecido pela métrica L 1.

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9 Um pouco de história A métrica (fórmula de distância) que ficou conhecido como geometria do táxi foi proposto pela primeira vez como um meio de criar uma geometria não-euclidiana por Herman Minkowski ( ) no início do século 20. (Minkowski era um professor no início de Albert Einstein.) A métrica era de uma família inteira de métricas Minkowski Proposta para criar facilmente geometrias nãoeuclidianas.

10 Em 1952, Karl Menger criou uma exposição geometria no Museu de Ciência e Indústria de Chicago. Para os visitantes da exposição, Menger criou um livreto You Will Like Geometry. Foi neste livreto que o termo "geometria do táxi" foi usado pela primeira vez. Ela permaneceu associado a esta geometria desde então. Até 1975, o trabalho de desenvolver uma geometria completa baseada na métrica táxi ainda não tinha sido feito. Neste momento Eugene Krause, comentou: "Parece que chegou o momento de fazêlo." Livro Krause, publicado em 1975, geometria do táxi: Uma Aventura na geometria não euclidiana, ainda é a introdução padrão a esta geometria.

11 A pesquisa moderna na geometria do táxi começou a aparecer esporadicamente no início de Até cerca de 1997 que a pesquisa contínua, sério começaria em geometria do táxi. Esta pesquisa começou com o trabalho, independente e simultâneo em ângulos de táxi e trigonometria por Kevin Thompson na Oregon State University e também Kaya Rüstem na Turquia. Pesquisa de Thompson foi realizado na escola de pós-graduação em 1996 com Tevian Dray e publicado em 2000 com a pesquisa de Kaya a ser publicado em De 1997 a 2010, Rüstem Kaya foi o pesquisador mais produtivo nesta geometria.

12 A distância do taxista entre dois pontos em um espaço euclidiano com sistema de coordenadas cartesianas fixado é a soma dos comprimentos das projeções do segmento de reta que liga os pontos sobre os eixos coordenados. Por exemplo, no plano, a taxidistancia entre o ponto P 1 com coordenadas (x 1, y 1 ) e o ponto P 2 em (x 2, y 2 ) é L 1 ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ))= x 1 - x 2 + y 1 - y 2. A distância do taxista depende da rotação do sistema de coordenadas, mas não depende de sua reflexão em torno de um eixo ou suas translações.

13 Equação do círculo de centro (0,0) e raio r é dado por: x + y = r 1º. Quadrante: x + y = r 2º. Quadrante: x + y = r 3º. Quadrante: x y = r 4º. Quadrante: x y = r

14 Axiomas de Euclides Geometria euclidiana é um sistema axiomático, ou seja, todos os recursos da geometria podem ser derivadas de um pequeno conjunto de pressupostos. Ao explorar geometrias não-euclidianas, é útil para determinar qual dos axiomas euclidianos, ou propriedades derivadas desses axiomas, não é mais verdade. Desde a época de Euclides, outros sistemas aximoatic têm sido propostas que são equivalentes a de Euclides, mas são mais explícitos e fazer menos suposições não declaradas. Os axiomas de David Hilbert ( ) são um exemplo.

15 Geometria do taxista apenas falha um dos axiomas ou postulados da geometria euclidiana, mas o faz em grande estilo. Na geometria euclidiana, se dois lados eo ângulo subentendido por estes lados de dois triângulos são congruentes, então os triângulos são congruentes. Esta é a chamada propriedade lal (lado-ângulo-lado) para triângulos. (Propriedades de congruência Outros são ala e lll). Este axioma não se verifica na geometria do taxista, e um exemplo pode provar este fato. A geometria do taxista não só não a propriedade lal, mas mesmo uma propriedade alala não garante a congruência de triângulos.

16 Axiomas de Incidência Axioma I 1 : Para todo ponto P e para todo ponto Q distinto de P, existe uma única reta l que passa por P e Q. Axioma I 2 : Toda reta possui pelo menos dois pontos distinto. Axioma I 3 : Existe pelo menos 3 pontos não colineares.

17 Axiomas de Ordem Axioma O 1 : Se A B C, então A, B e C são pontos distintos sobre uma mesma reta e C B A. Axioma O 2 : Dados quaisquer dois pontos B e D, existem pontos A, C, E BD tais que A B D, B C D e B D E Axioma O 3 : Se A, B e C são pontos distintos sobre uma reta, então um e apenas um está entre os outros dois.

18 Axioma O 4 : (separação do plano) Para toda reta l e para toda trinca de pontos A, B e C não pertencentes a l, 1. Se A, B estão do mesmo lado de l e B, C estão do mesmo lado de l, então A, C estão do mesmo lado de l A B C 2. Se A, B estão de lados opostos de l e B, C estão de lados oposto de l, então A, C estão do mesmo lado de l. l A C l B

19 Axioma de Congruência Axioma C 1 : Se A e B são pontos distintos dados e seja A um outro ponto qualquer. Então para todo raio de origem em A, existe um único ponto B neste raio tal que AB A B. Axioma C 2 : Se AB CD e AB EF, então CD EF. Além disto, todo segmento é congruente a si mesmo. Axioma C 3 : Se A B C, A B C, AB A B, BC B C, então AC A C. Axioma C 4 : Dado um ângulo BAC não raso e dado um raio A B de origem A, existe um único raio A C em cada lado de A B, tal que B A C BAC.

20 Axioma C 5 : Se A B e A C então C B. Além disto, todo ângulo é congruente a si mesmo. Axioma C 6 : (lal) Se dois lados e o ângulo submetido por eles em um triângulo são correspondentemente congruentes a dois lados e o ângulo submetido por eles em um segundo triângulo, então os triângulos são congruentes.

21 Axioma das paralelas Axioma P 1 : Dados uma reta e um ponto fora dela, existe uma única paralela a reta dada passando pelo ponto dado.

22 Modelo da Geometria do Taxista Plano: plano cartesiano R 2 Retas: subconjuntos dados pela equação ax + by + c = 0, com a, b, c R 2 e a 2 + b 2 0.

23 O caso lal não é verdadeiro nesta geometria

24 Distância de Ponto a reta Na geometria euclidiana, a distância entre um ponto A e uma reta l é dada por: 1) a construção da linha perpendicular à linha original que passa pelo ponto, 2) identificar o B ponto de intersecção das duas retas, 3) medição a distância entre o ponto inicial a e o ponto B do ponto de intersecção das duas retas.

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26 Uma outra abordagem mais visual é inflar um círculo euclidiano com centro no ponto dado até que o círculo apenas toque (é tangente a) a reta (Figura 2). Neste caso, a distância à reta é o raio do círculo tangencial. É esta abordagem que vamos usarpara explorar conceitualmente a distância entre um ponto e uma reta na geometria do taxista.

27 Um círculo na geometria do taxista é inflado sobre o ponto até que o círculo apenas toca a reta. Note-se que a distância entre o ponto e a reta é a distância vertical direta a partir do ponto até a reta. Mas, talvez, isto é devido ao fato que a reta é tal que sua inclinação tem um valor absoluto menor do que 1.

28 E se a linha foi relativamente íngreme? Esta situação é mostrada na figura abaixo, onde a inclinação da linha tem um valor absoluto maior que 1. A distância a partir do ponto a que a linha está agora a distância horizontal directa a partir do ponto da linha. Assim, a posição da linha tem um impacto sobre a forma como a distância a um ponto é computada.

29 Para completar a nossa análise, considere uma reta de inclinação 1 (ou -1) como na figura. Neste caso, há um número infinito de caminhos que podem ser seguidos para calcular a distância a partir do ponto a reta, pois o círculo inflado realmente se sobrepõe à reta e não apenas a toca em um ponto.

30 Da mesma maneira que a posição de um segmento de reta euclidiana afeta o seu comprimento na geometria do taxista, a posição de uma reta afeta o modo pelo qual a distância é medida a partir de um ponto. A posição de objetos que afetam suas propriedades é um tema comum na geometria do táxi. Para resumir os casos para calcular a distância entre um ponto e uma reta, Se a reta é rasa (declive com valor absoluto menor do que um), medir a distância do ponto à reta é feita ao longo de uma reta vertical. Se a linha é íngreme (declive com valor absoluto maior que 1), medir a distância do ponto à reta é medida ao longo de uma linha horizontal. Se a linha é diagonal (inclinação tem com valor absoluto igual a 1), medir a distância do ponto à reta ao longo de cada reta horizontal ou vertical.

31 Conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos

32 Na geometria euclidiana, o conjunto de pontos equidistantes de dois pontos é a mediatriz do segmento de reta que liga os pontos. Vamos usar a mesma estratégia de expansão círculo empregado na discussão sobre a distância de um ponto a uma linha para ver isto:

33 Quando esta abordagem é empregada na geometria do taxista, quatro casos distintos aparecem com base em como os círculos desta geometria, ao se expandir, se cruzam. O primeiro caso mostrado na figura a seguir pode facilmente fazer você pensar que a vida não mudou muito a partir da geometria euclidiana. Quando a reta que liga os pontos é horizontal ou vertical, expandindo círculos da geometria do taxista com centro nos pontos dados, vemos que eles inicialmente se encontram em um único ponto - o ponto médio do segmento de reta que liga os pontos. Como os círculos continuam a se expandir, os círculos se encontram em exatamente dois pontos. Isto produz a mesma mediatriz do segmento, como no caso da Geometria Euclideana.

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35 Se a linha que liga os pontos não é horizontal ou vertical, as coisas começam a mudar. Os círculos em expansão sobre os pontos inicialmente se encontram num segmento de reta que passa pelo ponto médio do segmento de reta que liga os pontos. Como os círculos continuam a se expandir, eles se encontram em exatamente dois pontos. Os círculos em expansão criam dois raios com origem nos pontos no segmento mediatriz do segmento ligando os pontos.

36 Note-se que neste caso, na verdade, se divide em dois casos. Os raios formados pelas interseções dos círculos irão ter uma orientação diferente, dependendo da inclinação do segmento de reta que liga os pontos originais. A figura abaixo mostra um segmento de reta, com uma inclinação de magnitude maior do que 1, enquanto a figura anterior ilustra um segmento de reta com uma inclinação menor do que 1.

37 Reata apenas o caso em que a inclinação da reta que liga os pontos é um. Neste caso, os circulos também inicialmente se encontram em um segmento de reta. Mas, como a expansão continua, os círculos se encontram em segmentos de reta em vez de pontos. Isto cria um conjunto equidistante consistindo de duas regiões de pontos ligados por uma linha diagonal.

38 Elipse na Geometria do Taxista

39 Hipérbole na Geometria do Taxista

40 Parábola na Geometria do Taxista

41 Por exemplo, dado o triângulo cujos vértices são A, B, e C (em que A, B, e C não se encontram sobre uma reta) * As mediatrizes dos lados do triângulo são concorrentes * As bissetrizes de perímetro para o triângulo com os vértices do triângulo são concorrentes * As bissetrizes de vértices do triângulo são concorrentes * As altitudes do triângulo são concorrentes. Será que estes teoremas permanecem válidos na Geometria do Taxista?

42 Referencia Básica