O ALGEPLAN COMO UM RECURSO DIDÁTICO PARA ENSINAR E APRENDER EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE COEFICIENTES INTEIROS

Transcrição

1 O ALGEPLAN COMO UM RECURSO DIDÁTICO PARA ENSINAR E APRENDER EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE COEFICIENTES INTEIROS *Daniel Licinio Franke 1 Elen Mancy Carnelosso 2 Jiane Niemeyer 3 Juliana Gabriele Kiefer 4 Maisa Iora 5 Rita de Cássia Pistóia Mariani 6 Inês Farias Ferreira 7 Eixo Temático: A docência na escola e na formação de professores Resumo: O Subprojeto Matemática do Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID) da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) é constituído por vinte e um bolsistas de iniciação à docência (BID), quatro professores supervisores que atuam na disciplina de Matemática nos anos finais do ensino fundamental e/ou no ensino médio e duas coordenadoras de área. No presente artigo serão relatadas as experiências vivenciadas por este Subprojeto ao compor e desenvolver atividades didáticas com o recurso Algeplan no oitavo e nono ano do ensino fundamental e no primeiro e terceiro ano do ensino médio, organizadas a partir dos princípios da investigação Matemática. Esse recurso didático pode ser empregado para ensinar conteúdos algébricos da Matemática escolar utilizando-se de conceitos de geometria, pois relaciona a área das figuras planas a expressões algébricas com grau menor ou igual a dois. Para tanto, o recurso é constituído por quadrados e retângulos com lados de medidas x, y ou 1. Além disso, as peças são compostas de duas cores, a azul representando os termos positivos e a verde os termos negativos das expressões. Por meio da composição de atividades didáticas que exploraram as operações de adição, subtração e multiplicação de polinômios foi possível fatorar e determinar as raízes de equações do 2º grau sem mobilizar a fórmula de Bháskara, tanto em turmas do ensino fundamental quanto do ensino médio. Sendo que a dinamização dessas atividades 1 UFSM, L. Matemática, Bolsista PIBID-CAPES, daniel_t09@yahoo.com.br 2 UFSM, L. Matemática, Bolsista PIBID-CAPES, elenmancycarnelosso@yahoo.com.br 3 UFSM, L. Matemática, Bolsista PIBID-CAPES, ji_niemeyer@hotmail.com 4 UFSM, L. Matemática, Bolsista PIBID-CAPES, juliana_kiefer@hotmail.com 5 UFSM, L. Matemática, Bolsista PIBID-CAPES, maisaioraa@gmail.com 6 Doutora, Coordenadora de área PIBID-CAPES, UFSM, rcpmariani@yahoo.com.br 7 Doutora, Coordenadora de área PIBID-CAPES, UFSM, inesfferreira10@gmail.com

2 ocorreu após o reconhecimento das particularidades e necessidades dos alunos em cada nível escolar nas quatro escolas públicas de Santa Maria/RS que são parceiras nesse projeto. Durante a dinamização das atividades, os educandos trabalharam em duplas, sendo orientados pelos BID, bem como pelo professor supervisor. Por meio da análise dessas ações conclui-se que os alunos assumiram um papel mais ativo, demonstrando interesse em aprender, pois estabeleceram, refutaram ou corroboraram conjecturas, além de requerem outras questões para serem realizadas com o Algeplan. Sob o ponto de vista dos BID as intervenções em sala de aula com material didático possibilitaram realizar um trabalho associando a teoria com a prática, o que trouxe uma experiência na formação dos mesmos. Desse modo o desenvolvimento das atividades contribuiu para a formação como futuros docentes, aprimorando capacidades vinculadas ao conhecimento didático e pedagógico do conteúdo matemático, uma vez que trouxe um olhar ao ensino e a aprendizagem de conceitos algébricos por meio de campo geométrico. Constatou-se, também que a partir da utilização de atividades dinâmicas em sala de aula com o Algeplan foi possível aos alunos resgatarem habilidades matemáticas, trabalharem conceitos e formarem inferências, de um modo significativo e com maior interação entre os alunos e os BID. Palavras-chave: PIBID. Recurso Didático. Algeplan. Polinômios. Introdução O subprojeto PIBID-Matemática/UFSM tem como uma de suas ações promover a apropriação e a reflexão do trabalho docente planejando, desenvolvendo e analisando atividades didáticas que utilizam recursos manipuláveis e digitais tais como: Algeplan, Frac-Soma 235, Geoplano, Tangram, e Geogebra. Deste modo, o presente trabalho tem como objetivo relatar as experiências vivenciadas por este Subprojeto ao compor e desenvolver atividades didáticas com o recurso Algeplan no oitavo e nono ano do ensino fundamental e no primeiro e terceiro ano do ensino médio, organizadas pelos princípios da investigação matemática. Segundo Ponte (2003) as atividades investigativas permitem que os alunos experimentem e façam matemática na sala de aula, acomodando suas concepções e atitudes com relação à matemática ao raciocinar, questionar, estabelecer conjecturas e descobrir relações entre seus diferentes campos, inclusive o algébrico e o geométrico. Além disso, segundo o Referencial Curricular do Rio Grande do Sul (RIO GRANDE DO SUL, 2009) o pensamento algébrico pode, sempre que possível, ser desenvolvido com apoio ao pensamento geométrico, ou seja, a visualização de expressões algébricas por meio do cálculo de áreas de retângulos é um recurso que facilita a aprendizagem de noções algébricas. O Algeplan e as investigações matemáticas na composição das atividades O Algeplan é um material didático constituído por peças em formato de quadrados e retângulos com lados de medidas 1, y e x, de modo que 1 < y < x. Por meio da associação entre as dimensões dos lados dos quadrados e dos retângulos com suas respectivas áreas as peças podem ser denominadas por: x², y², 1, xy, x e y (Figura 1).

3 Figura 1 As peças do Algeplan Além da variação das áreas as peças também podem ser construídas em duas cores distintas, as quais nesse trabalho são representadas pelo interior na cor branca ou preta correspondendo, respectivamente a termos postivos e negativos 8. Por meio da exploração das áreas das peças do Algeplan e da associação as duas cores é possível trabalhar com expressões algébricas envolvendo coeficientes inteiros, com até dois termos literais e grau 2. A partir da identificação das potencialidades do Algeplan e do fato de Ponte (2005) apontar que as atividades manipulativas permitem que o aluno tenha atenção não só nos objetos manipuláveis, mas também nas relações entre eles de uma maneira geral e abstrata optamos por constituir atividades didáticas para desenvolver o pensamento algébrico, entender os padrões e/ou relações, verificar estruturas matemáticas, representar e utilizar símbolos. Desse modo, constituímos atividades investigativas a partir da análise e reestruturação das já propostas por Fanti (2006), Poleto (2010) e Pasquetti (2008). Vale ressaltar que as atividades envolveram adição e subtração de termos de expressões algébricas, bem como com a multiplicação na forma expandida e na forma fatorada de polinômios. Além disso em algumas turmas, principalmente, no ensino médio, foram incorporaram questões que exploraram os conceitos de raízes da equação do segundo grau sem utilizar a fórmula de Báskara. A fim de expor algumas dessas questões as organizamos em quatro blocos. E, com intuito de esclarecer algumas dúvidas optamos por indicar a modelagem de alguns itens, como segue: 1) Reconhecimento das peças do Algeplan O aluno reconhece as peças primeiramente as formas quadrada e retangular. Identifica a distinção entre as medidas dos lados dos seis quadriláteros. Reconhece a necessidade de identificar as três medidas e por fim, associa as peças à área correspondente. No decorrer é orientado a modelar expressões apenas com termos positivos e quando questionado para modelar termos negativos, são inseridas as peças que representam os termos negativos. 2) Adição e subtração com as peças do Algeplan 2-a) Tome um quadrado de lado x; dois retângulos de lados x e 1; e quatro quadrados de lado 1. Calcule a soma das áreas e escreva em formato algébrico. 8 Ressaltamos que as cores branca e preta foram adotadas neste trabalho para não gerar confusão as peças em impressões em tons de cinza. Além disso, destacamos que os Algeplans confeccionadas em EVA e utilizadas pelo subprojeto de Matemática-PIBID/UFSM nas escolas possuíam as cores azul para representar os termos positivos da expressão e verde para os termos negativos.

4 2-b) Tome um quadrado de lado y e dois retângulos de lados x e y; Escreva a expressão algébrica relativa a área formada por essas peças; Se adicionarmos quatro peças de área y², e duas peças de perímetro 2x + 2, qual é a área total? 2-c) Efetue a adição de ( 2x + 3) + (x 2 + 2x 4). Solução: Vamos escolher as peças que representarão cada uma das expressões dadas (Figura 2), observando que as peças de cores diferentes representam quantidades opostas e se anulam aos pares. Figura 2 Calculando ( 2x + 3) + (x² + 2x 4) Portanto o resultado será x² 1 (Figura 3): Figura 3 Resultado de ( 2x + 3) + (x² + 2x 4) 3) Expansão e fatoração de polinômios com o Algeplan 3-a) Identifique as peças x² e 3x. É possível formar um retângulo com essas peças? Quais são as dimensões dos lados desse retângulo? Qual é a área total do retângulo formado? 3-b) Selecione as peças que representem y²; 2y; 1. É possível formar um retângulo com essas peças? Quais são as dimensões dos lados desse retângulo? Qual é a área total do retângulo formado? 3-c) Identifique as peças x²; 1. Você consegue formar um retângulo com essas peças? O que devemos fazer para formar um retângulo sem que haja alteração na expressão algébrica? Diante dessa estratégia, qual a medida dos lados desse retângulo? Qual a área desse retângulo? Solução: Primeiramente escolheu-se as peças que formam esse polinômio (Figura 4). Figura 4 Peças representando a expressão x² 1 Percebe-se que não se consegue formar um retângulo com essas peças e é necessário justapor as peças do polígonos a fim de completar o completar o retângulo (Figura 5).

5 Figura 5 Processo para a fatoração de x 2 1 Nota-se que os dois espaços em branco têm tamanho x e 1. Por esse motivo se utilizará as peças que tenham área x. Entretanto, elas devem ser possíveis de cancelamento, para que o resultado não seja alterado. Logo se usará uma valendo x (branco) e outra x (preta) tomando o cuidado de manter as peças alinhadas de modo que as peças de mesma cor devem ficar agrupadas em relação à linha ou coluna (Figura 6). Figura 6 Completando espaços para a fatoração da expressão x 2 1 = (x + 1) (x 1) Na sequência dava-se as medidas de comprimento dos lados do retângulo e solicitava-se compor e expressar a área, bem como mostrar as identidades. 3-d) Construa um retângulo de lados com medida 2x e x. Que expressão algébrica pode ser expressa a partir da análise das dimensões do comprimento e de área do retângulo formado? 3-e) Monte um retângulo de base 3y e altura 2. Qual a expressão algébrica relaciona as dimensões de comprimento e área do retângulo formado? 3-f) Organize um retângulo de base 2x e altura y + 1. Que expressão algébrica modela as relações entre as dimensões de comprimento e de área do retângulo formado? 3-g) Obtenha um retângulo de lados com medida 2y e y + x. Então qual a área desse retângulo? Solução: Toma-se as peças que correspondem aos lados conforme o esquema abaixo (Figura 7): Figura 7 Na sequência, constitui-se o retângulo (Figura 8):

6 Figura 8 Resultado do produto (y + x) 2y Por fim, soma-se as peças iguais, resultando na expressão 2y² + 2xy. 4) Raízes de função do 2 grau com o Algeplan 4-a) Sabendo que as raízes de uma equação do segundo grau são r = 2 e r = 1, represente um retângulo correspondente com as peças do Algeplan. 4-b) Se as raízes da equação do segundo grau forem 3 e 0, represente um retângulo correspondente com as peças do Algeplan. 4-c) Sejam 1 e 1 raízes da equação do 2º e represente um retângulo com as peças. Solução: Considerando que ax 2 + bx + c = a(x r ) (x r ), na qual r e r são as raízes da equação ax 2 + bx + c = 0 podemos representar com as peças do Algeplan a solução dessa questão na (Figura 6). Algumas considerações sobre as intervenções didáticas Os Parâmetros Curriculares Nacionais dos anos finais do ensino fundamental de Matemática - PCN (BRASIL 1998) sugerem que as noções algébricas sejam exploradas por meio de jogos, generalizações e representações matemáticas (como gráficos, modelos), e não por procedimentos puramente mecânicos, para lidar com as expressões literais. Nessa perspectiva as atividades desenvolvidas atingiram os objetivos, pois observamos que houve apropriação e desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos por meio de um ambiente que contou com a participação ativa dos mesmos. Além do modo como as questões foram propostas e desenvolvidas outro fator que pode ter contribuído para o desenvolvimento dos conceitos algébricos dos estudantes pode estar relacionado com o apelo visual do recurso tendo em vista que identificamos alunos com dificuldade de manipular algebricamente monômios semelhantes ou até mesmo de aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição e que compreenderam esses conceitos ao manipular o Algeplan e fazer os registros nas folhas. Também vale destacar que ao longo do desenvolvimento das atividades didáticas foram retomados conceitos da Matemática Escolar trabalhados nos anos finais do ensino fundamental e no ensino médio, tais como: classificação de expressões algébricas em monômios, binômios, trinômios, polinômios, produtos notáveis, diferença de dois quadrados, trinômio quadrado perfeito, raízes de equações de grau 1 e 2, fórmula de Báskara, completamento de quadrados. Sob o ponto de vista da formação dos bolsistas de iniciação à docência constatamos que a cada intervenção, observamos um aprimoramento nas relações didáticas e no tempo de sala de aula. Além de reconhecerem que a Matemática pode ser ensinada de maneira diferenciada, além da prática expositiva. Além disso, que a para produção de atividades diferenciadas e atrativas demandam estudo, análise crítica e muito empenho.

7 Desse modo, vale destacar que os bolsistas de iniciação a docência aprimoraram habilidades e competências vinculadas não só ao conhecimento dos conteúdos matemáticos, mas também de conteúdos didáticos. Referências BRASIL, CAPES. Diretoria de Educação Básica Presencial, Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência. Portaria CAPES nº 96, de 18 de julho de Brasília: MEC Disponível em: < AprovaRegulamentoPI.pdf>. Acesso em: 28 mai BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Fundamental. Brasília: MEC Disponivel em: < >. Acesso em: 20 abr FANTI, Ermínio de Lurdes Campello et al. Ensinando Fatoração e Funções Quadráticas Com Apoio de Material Concreto e Informática. UNESP, Disponível em: < Acesso em: 23 abr FIORENTINI, D.M., M. A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da Matemática. Disponível em: < Acesso em: 22 abr PASQUETTI, C. Proposta de Aprendizagem de Polinômios através de Materiais Concretos. Trabalho de conclusão de curso de Matemática, Departamento de Ciências Exatas e da Terra, Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e da Missões - URI, Erechim, Disponível em: < >. Acesso em: 12 de abr POLETO, C.; Algeplan, Álgebra e Geometria: Entendendo Práticas Matemáticas como Jogo de Linguagem. Disponível em : < >. Acesso em: 10 abr PONTE, J. P. Números e Álgebra no currículo escolar Disponível em: < Acesso em: 23 jul PONTE, J. P. Investigar, ensinar e aprender. Actas do ProfMat, Lisboa, 2003, p Disponível em:< (Profmat).pdf. Acesso em: 20 nov RIO GRANDE DO SUL. Secretaria de Educação do Rio Grande do Sul. Lições do Rio Grande: Matemática e suas tecnologias. Rio Grande do Sul: SEDUC, Disponível

8 em: < Acesso em: 23 abr