Manual de Docência para a Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Transcrição

1 Universidade Fernando Pessoa Faculdade de Ciência e Tecnologia Manual de Docência para a Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica Número de horas do programa: 56 horas Número de horas semanal: 4 horas Número de horas por aula: 2 aulas de 2 h cada Programa da Disciplina: 1. Matrizes e Sistemas de equações lineares Matrizes Adição de matrizes e multiplicação por um escalar Multiplicação de matrizes Matrizes e sistemas de equações lineares Matrizes escalonadas Equivalência por linhas e operações elementares com linhas Matrizes quadradas Matrizes inversíveis Método de Gauss-Jordan para resolução de sistemas de equações lineares Método de eliminação de Gauss Método de substituição. Objectivos: Adquirir a definição geral de matriz, e de tipos particulares de matrizes, e saber fazer operações elementares sobre matrizes, como sejam a soma e a multiplicação, e as operações elementares com linhas. Saber calcular a inversa de uma matriz. Saber resolver um sistema de equações lineares com recurso a matrizes e às operações elementares com linhas. Saber aplicar os métodos de Gauss-Jordan, de eliminação de Gauss, e de substituição, para a resolução de sistemas de equações lineares.

2 Bibliografia principal: Universidade Fernando Pessoa, Capítulo 1. Chapter 1. Capítulos 1 e 5. Bibliografia complementar: McGraw-Hill, Capítulos 1 e 4. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Capítulos 1 e Espaços Vectoriais Definição de corpo Definição de espaço vectorial Propriedades elementares dos espaços vectoriais Produto cartesiano. O espaço vectorial R n Subespaços vectoriais Combinação linear de vectores. Geradores de um espaço vectorial Dependência e independência lineares Base e dimensão Construção de uma base. Objectivos: Adquirir as definições de corpo, de espaço vectorial, de sub-espaço vectorial e de produto cartesiano entre vectores. Conhecer e aplicar as propriedades dos espaços vectoriais. Obter os conceitos de combinação linear de vectores e de geradores de um espaço vectorial. Saber verificar se um dado vector é combinação linear de outros, ou se um determinado conjunto de vectores geram um dado espaço vectorial. Adquirir as definições de base e da sua dimensão. Saber verificar se um dado conjunto de vectores constitui uma base de um dado espaço vectorial, poder saber a sua definição do espaço vectorial, e saber construir uma base de um determinado espaço vectorial. Bibliografia principal: Universidade Fernando Pessoa, Capítulo 2. Chapters 3,5 and 6.

3 Capítulos 2 e 3. Bibliografia complementar: McGraw-Hill, Capítulo 5. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Capítulos 2 e Transformações Lineares Transformações ou aplicações Transformação linear Propriedades das transformações lineares Matriz associada a uma transformação linear Matrizes semelhantes Imagem e núcleo de uma transformação linear Mudança de base. Objectivos: Relembrar os conceitos de aplicação, domínio e contradomínio. Saber averiguar a injectividade e sobrejectividade de uma aplicação. Adquirir a definição de transformação linear e assimilar as suas principais propriedades. Saber calcular a matriz associada a uma transformação linear. Adquirir o conceito de matrizes semelhantes e conhecer o processo de verificação da semelhança de matrizes. Aprender a calcular a imagem e o núcleo de uma transformação linear. Conhecer o processo de cálculo da matriz de mudança de uma base para outra. Bibliografia principal: Universidade Fernando Pessoa, Capítulo 3. Chapters 8. Capítulos 4. Bibliografia complementar: McGraw-Hill, Capítulo 6. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Capítulos 9 e 10.

4 4. Determinantes Determinante de 2ª ordem Determinante de 3ª ordem. Regra de Sarrus Regra de Cramer Generalização do conceito de determinante. Permutação Teorema de Laplace Matriz adjunta Matriz inversa Propriedades fundamentais dos determinantes Valores próprios e vectores próprios Diagonalização de uma matriz quadrada. Objectivos: Saber calcular um determinante de 2ª ordem. Aprender a regra de Sarrus para o cálculo de um determinante de 3ª ordem. Adquirir o conceito de sistema de Cramer. Saber aplicar a regra de Cramer na resolução de sistemas de Cramer. Obter os conceitos de menor e cofactor ou complemento algébrico de um determinante e de uma matriz. Aprender a calcular o determinante de uma matriz aplicando o teorema de Laplace. Saber calcular a matriz adjunta de uma matriz e a inversa de uma matriz através da matriz adjunta. Assimilar as propriedades fundamentais dos determinantes. Saber calcular os valores próprios e vectores próprios de uma transformação linear. Adquirir o conceito de polinómio característico e equação característica. Aprender a diagonalizar uma matriz quadrada. Bibliografia principal: Universidade Fernando Pessoa, Capítulo 4. Chapters 2. Capítulos 1 e 6. Bibliografia complementar: McGraw-Hill, Capítulo 3. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Capítulos 7 e 8.

5 5. Espaços Euclidianos Produto escalar em espaços vectoriais Espaço vectorial euclidiano Módulo de um vector e suas propriedades Ângulo de dois vectores Vectores ortogonais e conjunto ortogonal de vectores Conjunto ortonormal e base ortonormal Componentes dos vectores e produto escalar Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt Forma quadrática em E n Forma quadrática no plano Redução da forma quadrática no plano à forma canónica. Objectivos: Adquirir as definições de produto escalar entre vectores e espaço vectorial euclideano. Introduzir/sedimentar a noção de módulo de um vector e do cálculo do ângulo entre dois vectores. Definir conjunto ortogonal e ortonormal de vectores e possibilitar a obtenção de um conjunto ortogonal através da dedução do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Introdução às formas quadráticas. Salientar a importância das formas canónicas das formas quadráticas e possibilitar a sua obtenção. Bibliografia principal: Universidade Fernando Pessoa, Capítulo 5. Chapters 3, 4, 5 and 6. Capítulos 7.1 e 7.2. Bibliografia complementar: McGraw-Hill, Capítulos 5 e 7. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Capítulos 2.5, 2.6, 2.8, 4.12, 6.1 a Geometria Analítica no Plano Sistema de coordenadas no plano Identificação de E 2 com o plano euclidiano.

6 6.3. Equações paramétricas e cartesiana da recta Ângulo de duas rectas Paralelismo entre duas rectas Ortogonalidade entre duas rectas Cónicas Equação reduzida de uma cónica Classificação das cónicas. Objectivos: Neste capítulo introduzem-se os conceitos de geometria analítica no plano: sistema de coordenadas, e determinação de coordenadas de pontos e vectores. A partir da equação vectorial da recta pretende-se que o aluno consiga deduzir as suas equações paramétricas, cartesiana, simétrica e reduzida. Determinação de ângulos entre rectas e de distâncias entre dois pontos e entre um ponto e uma recta. Pretende-se ainda que o aluno seja capaz de identificar as cónicas através da sua equação geral, assim como determinar a sua equação reduzida e classificar a cónica. Para isso serão utilizados os conceitos adquiridos nos capítulos anteriores relativos a diagonalização de matrizes e mudanças de base. Bibliografia principal: Universidade Fernando Pessoa, Capítulo 6. Chapters 3. Capítulo Geometria Analítica no Espaço Sistema de coordenadas no espaço Identificação de E 3 com o espaço euclidiano Equações paramétricas e cartesianas da recta Equações paramétricas e cartesiana do plano Paralelismo entre dois planos Perpendicularidade entre dois planos Paralelismo entre recta e plano Perpendicularidade entre recta e plano. Objectivos:

7 Neste capítulo estender-se-ão os conceitos adquiridos no capítulo anterior ao espaço tridimensional. Pretende-se que o aluno seja capaz de obter as equações paramétricas e cartesiana de um plano a partir da sua equação vectorial, assim como determinar a sua equação geral; identificar o ângulo entre recta e plano e entre dois planos; determinar a equação da recta que resulta da intersepção de dois planos. Pretende-se ainda identificar quádricas através da sua equação geral, assim como determinar a sua equação reduzida e classificá-la, fazendo uso da metodologia apresentada no capítulo anterior, agora estendida a três dimensões. Bibliografia principal: Universidade Fernando Pessoa, Capítulo 7. Chapters 3. Capítulo 9.7.

8 Universidade Fernando Pessoa Faculdade de Ciência e Tecnologia Teaching Manual for Linear Algebra and Analytical Geometry Course duration: 56 hours Week schedule: 4 hours Hours per class: 2 classes of 2 h each Course programme contents: 1. Matrices and systems of linear equations Matrices Addition of matrices and multiplication by a scalar Multiplication of matrices Matrices and systems of linear equations Scalonated matrices Equivalence by rows and elementary operations with rows Squared matrices Invertible matrices Method of Gauss-Jordan for the resolution of systems of linear equations Method of Gauss for elimination Substitution method. Objectives: To acquire the general definition of a matrix, and of particular kinds of matrices, and to be able to perform elementary operations on matrices, like sum and multiplication, and the elementary operations with rows. To know how to calculate the inverse of a matrix. To know how to solve a system of linear equations with matrices and by means of elementary operations with rows. To know how to apply the methods of Gauss-Jordan, of the elimination of Gauss, and the substitution method, for the resolution of systems of linear equations.

9 Main bibliography: Universidade Fernando Pessoa, Chapter 1. Chapter 1. Chapters 1 and 5. Complementary bibliography: McGraw-Hill, Chapters 1 and 4. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Chapters 1 and Vector spaces Definition of corpus Definition of vector space Elementary properties of vector spaces Cartesian product. The vector space R n Vector subspaces Linear combinations of vectors. Generators of a vector space Linear dependence and independence Basis and dimension Construction of a basis. Objectives: To acquire the definitions of corpus, of vector space, of vector subspace and of Cartesian product between vectors. To know how to apply the properties of vector spaces. To obtain the concepts of linear combination of vectors and of generators of a vector space. To know how to verify if a given vector is a linear combination of other vectors, or if a given group of vectors generate a given vector space. To acquire the definitions of basis and its dimension. To know how to verify if a given group of vectors constitutes a basis of a given vector space, to be able to know the definition of the vector space, and to know how to construct a basis for a given vector space. Main bibliography: Universidade Fernando Pessoa, Chapter 2. Chapters 3,5 and 6.

10 Chapters 2 and 3. Complementary bibliography: McGraw-Hill, Chapter 5. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Chapters 2 and Linear transformations Transformations or functions Linear transformation Properties of the linear transformations Matrix correspondent to a linear transformation Similar matrices Image and kernel of a linear transformation Change of basis. Objectives: To remember the concepts of function, domain and codomain. To verify the injection and surjection of an application. To acquire the definition of linear transformation and be acquainted with its main properties. To compute the matrix correspondent to the linear transformation. To acquire the concept of similar matrices and be familiar with the process of verification of the similarity of matrices. To calculate the image and kernel of a linear transformation. To know the process of calculating the matrix of changing from one basis to the other. Main bibliography: Universidade Fernando Pessoa, Chapter 3. Chapters 8. Chapter 4. Complementary bibliography: McGraw-Hill, Chapter 6. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Chapters 9 and 10.

11 2. Determinants Second order determinant Third order determinant. Sarrus rule Cramer s rule Generalisation of the concept of determinant. Permutation Laplace s theorem Adjugate matrix Inverse matrix Main properties of the determinants Eigenvalues and eingenvectors Diagonalization of a square matrix. Objectives: To know how to calculate a second order determinant. To apply Sarrus rule for the calculation of a third order determinant. To acquire the concept of Cramer s system. To apply the Cramer s rule in the resolution of Cramer s systems. To acquire the concepts of minor and cofactor of a determinant and a matrix. To calculate the determinant of a matrix by Laplace s theorem. To know how to compute the adjugate and the inverse of a matrix using the adjugate matrix. To assimilate the main properties of a determinant. To calculate the eingenvalues and eingenvectors of a linear transformation. To acquire the concept of characteristic polynomial and characteristic equation. To transform a square matrix to its diagonal form. Main bibliography: Universidade Fernando Pessoa, Chapter 4. Chapters 2. Chapters 1 and 6. Complementary bibliography: McGraw-Hill, Chapter 3. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Chapters 7 and 8.

12 3. Euclidean Spaces 3.1. Inner product in vector spaces Euclidean vector spaces Norm of a vector and its properties Angle between vectors Orthogonal vectors and orthogonal set of vectors Orthonormal set of vectors and orthonormal base Vector components and inner product Gram-Schmidt orthogonalization process Quadratic form in E n Quadratic form in the plane Reduction of the quadratic form in the plane to its canonical form. Objectives: Define inner product between two vectors and euclidean vector space. Introduce/revise the notion of norm of a vector and the calculation of the angle between two vectors. Define orthogonal and orthonormal set of vectors and obtain an orthogonal set of vectors through the deduction of the equations of Gram-Schmidt orthogonalization process. Introduction to the quadratic forms. Focus the importance of the canonical forms of the quadratic forms and obtain them. Main bibliography: Universidade Fernando Pessoa, Chapter 5. Chapters 3, 4, 5 and 6. Chapters 7.1 e 7.2. Complementary bibliography: McGraw-Hill, Chapters 5 e 7. Lipschutz, S. Álgebra Linear, McGraw Hill, Chapters 2.5, 2.6, 2.8, 4.12, 6.1 a Analytical Geometry in the two dimensional plane Coordinate system in the plane Identification of E 2 with the euclidean plane Parametric and cartesian equations of a straight line.

13 4.4. Angle between two straight lines Parallelism condition between two straight lines Orthogonality between two straight lines Conic sections Reduced equation of a conic section Classification of conic sections. Objectives: In this chapter the basic concepts of analytical geometry in the two dimensional plane will be introduced: coordinate system, determination of point and vector s coordinates. It is aimed that the student is able to deduct the parametric, Cartesian, symmetric and reduced equations of a straight line from its vectorial equation. Determination of angles between straight lines and distances between two points and between a point and s straight line. It is also aimed that the student is able to identify a conic section from its general equation, as well as determine its reduced equation and classification. For this purpose he will have to use the concepts acquired in the latter chapters, namely matrix diagonalization and change of basis. Main bibliography: Universidade Fernando Pessoa, Chapter 6. Chapters 3. Chapter Analytical Geometry in the three dimensional space 5.1. Coordinate system in the three dimensional space Identification of E 3 with the euclidean space Parametric and cartesian equations of a straight line Parametric and cartesian equations of a plane Parallelism condition between two planes Orthogonality condition between two planes Parallelism condition between a plane and a straight line Orthogonality condition between a plane and a straight line. Objectives: In this chapter the concepts acquired in the previous section will be extended to the three dimensional space. It is aimed that the student is able to obtain the parametric

14 and Cartesian equations of a plane from its vectorial equation, as well as determine its general equation. Identification of the angle between a straight line and a plane and between two planes. Determination of the equation of the straight line resulting form the interception of two planes. Identification of a quadric section from its general equation and determination of its reduced equation and classification, using the methodology presented in the previous chapter, now extended to three dimensions. Main bibliography: Universidade Fernando Pessoa, Chapter 7. Chapters 3. Chapter 9.7.