Vetores. Bibliografia da Aula: Tipler, Vol 1, 6 a Ed. Cap.1 Seção 1.7 Halliday, Vol 1. 8 a Ed. Cap 3. Prof. Ettore Baldini-Neto

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1 Vetores Bibliografia da Aula: Tipler, Vol 1, 6 a Ed. Cap.1 Seção 1.7 Halliday, Vol 1. 8 a Ed. Cap 3 Prof. Ettore Baldini-Neto

2 Programa da Aula Propriedades Gerais dos Vetores Definições, Notação, Representações, Operações Geométricas com Vetores Notação em termos de vetores unitários, componentes, operações algébricas com vetores. Grandezas físicas vetoriais

3 Propriedades Gerais dos Vetores Na natureza, a grosso modo, existem grandezas físicas que podem ser: Grandezas Escalares São aquelas que são caracterizadas somente por um valor numérico. Exemplos: Energia, Trabalho, Temperatura, Corrente Elétrica, etc. Grandezas Vetoriais São aquelas que para serem caracterizadas necessitam de, além de um valor numérico, de uma orientação (direção e sentido). Exemplos: Posição, Deslocamento, Velocidade, Aceleração, Forças, etc.

4 Exemplo O velocímetro de um automóvel mostra sua velocidade escalar que é representada somente por um número, por exemplo: v=100km/h. No entanto, o automóvel está se movendo em uma direção que normalmente varia com o tempo. Ele se move em trechos com retas e também com curvas para a direita ou esquerda; ele sobe e desce ladeiras etc. Então, sua velocidade é, na realidade, um vetor. Este vetor, além de assumir valores numéricos que são as intensidades (módulos) das diferentes velocidades ao longo de um percurso, também tem orientações que variam ao longo do tempo. Exemplo: Em um determinado trecho do percurso, um automóvel se move com v=100km/h em uma linha reta para a direita.

5 Algumas definições importantes Neste curso, normalmente um corpo extenso como um carro é descrito como sendo uma partícula que não tem dimensões internas ou seja, que se comporta como um ponto material. Obviamente esta é uma aproximação que, para ilustração dos problemas de mecânica, serve muito bem.

6 Representação de um vetor Voltando ao exemplo anterior, podemos representar geometricamente o vetor velocidade, assim como qualquer outro, como: ~v Note que a seta aponta para a direita, e que o comprimento desta seta, ou intensidade (módulo) do vetor vale 100 unidades, que neste caso, são expressas em km/h. Outro exemplo de grandeza vetorial, é o vetor deslocamento. Se uma pessoa desloca-se de um ponto A até um ponto B, este vetor deslocamento pode ser representado por um vetor, como mostram as figuras abaixo:

7 Representação de um vetor O vetor deslocamento expressa uma variação do vetor posição de uma partícula. Então, normalmente estes vetores são expressos em três dimensões respectivamente como ~r e Note que o vetor deslocamento somente depende das posições final(2) e inicial (1) de uma dada partícula A letra grega (Delta) neste curso sempre significa variação. Resumindo: Um vetor qualquer é sempre representado por uma seta orientada cujo comprimento fornece seu módulo, e sua orientação fornece sua direção e seu sentido. Os símbolos para se descrever uma grandeza física vetorial são normalmente: ~A (letra maiúscula ou minúscula com uma seta em cima) ou A (letra em negrito). ~r ~r = ~r 2 ~r 1

8 Soma geométrica com vetores Figs (a) e (b); Halliday, Resnick e Walker, vol 1. 8a Edição ~s = ~a + ~ b Regra: Desenhamos o primeiro vetor respeitando sua orientação e seu comprimento e a seguir, colocamos o início do segundo vetor (também respeitando sua orientação e comprimento) no final do primeiro.! O vetor soma liga o início do primeiro vetor com o final do segundo vetor.

9 Alguns exemplos de somas geométricas com vetores ~A ~A + ~ B ~A + ~ B = ~ B + ~ A ~B ~B + ~ A Quando existem mais de dois vetores podemos agrupá-los em qualquer ordem para efetuar a soma. ( ~ A + ~ B)+ ~ C

10 ( ~ B + ~ C)+ ~ A ( ~ A + ~ B)+ ~ C =( ~ B + ~ C)+ ~ A Subtração (geométrica) de vetores: Subtrair um vetor de outro é a mesma coisa que somar o primeiro ao oposto do segundo. ~A ~ B = ~ A +( ~ B) ~A ~ B Exercício: Mostre que ~B ~ A = ( ~ A ~ B)

11 Exemplo 1.8 (Tipler) : Você caminha 3.00km para leste e depois 4km para o norte a partir de um ponto de partida (origem). Determine o vetor deslocamento através da adição vetorial. Calcule a direção deste vetor deslocamento, ou seja, seu ângulo em relação ao eixo positivo dos x.

12 Regra do Paralelogramo Podemos efetuar a soma de dois vetores através da regra do paralelogramo descrita a seguir. ~A ~A ~C = ~ A + ~ B ~B ~B Pode-se mostrar, utilizando a definição de produto escalar entre dois vetores, que: C = p A 2 + B 2 +2.A.B. cos

13 Multiplicação de um vetor por um escalar (número) ~A ~B =3 ~ A Multiplicar um vetor por um número real c faz com que o comprimento deste vetor, aumente (se c > 0), diminua (se 0 < c < 1). Ainda existe a possibilidade de o vetor sofrer uma inclinação (quando c estiver relacionado a uma matriz de funções trigonométricas, por exemplo), de inverter o sentido aumentando seu comprimento (c < 0) ou inverter seu sentido e diminuir seu comprimento ( -1 < c < 0).

14 Componentes de um vetor Figs (a) e (b): Halliday, Resnick e Walker 8 a Ed. vol 1 a x é a componente do vetor a junto ao eixo x a y é a componente do vetor a junto ao eixo y.

15 Componentes de um vetor Para encontrarmos as componentes de vetor sobre um eixo (x ou y, por exemplo), devemos traçar retas perpendiculares a partir das extremidades do vetor até que elas cruzem com os eixos (x ou y). Estas componentes nada mais são do que projeções do vetor sobre os respectivos eixos. Note que: Em um sistema de referência ortogonal (com os eixos perpendiculares entre si) os vetor a e suas componentes a x e a y formam um triângulo retângulo e podemos facilmente expressar uns em função dos outros.

16 cos( ) = a x ~a a x = ~a cos sen( ) = a y ~a a y = ~a sen Exercício: Determine o ângulo theta e o módulo do vetor a a partir das equações anteriores. tan( ) = a y a x Pitágoras: a 2 = a 2 x + a 2 y! a = = arctan( a y a x ) q a 2 x + a 2 y

17 Figs (a)-(f): Halliday, Resnick e Walker, 8a Ed. Vol 1.

18 Exemplo (Halliday): Um pequeno avião decola de um aeroporto em um dia nublado e é avistado mais tarde a 215km de distância em um curso que faz um ângulo de 22 o a leste do norte. A que distância a leste e ao norte do aeroporto está o avião no momento em que é avistado? Halliday, Resnick e Walker, 8a Ed. Vol 1.

19 Exemplo (Halliday): Durante duas décadas, equipes de espeleólogos procuraram uma ligação entre o sistema de cavernas de Flint Ridge e a Mammoth Cave em Kentucky. Quando a ligação foi finalmente descoberta, o sistema combinado foi declarado a caverna mais longa do mundo (mais de 200km de extensão).a equipe que encontrou a ligação teve que rastejar, escalar e se contorcer em inúmeras passagens, deslocando-se 2.6km para oeste, 3.9km para o sul e 25m para cima. Qual foi o deslocamento do início ao fim? Figs (a)-(b): Halliday, Resnick e Walker, 8a Ed. Vol 1.

20 Notação de um vetor em termos dos vetores unitários Vetores unitários: Um vetor unitário é adimensional e têm módulo igual a 1. No sistema de referência cartesiano, os vetores unitários são usualmente representados pela tríade (î, ˆ, ˆk) y ~A = A x î + A yˆ + A zˆk ^ j ^i z ^ k x ~ A = A = q A 2 x + A 2 y + A 2 z (a) y ^

21 y ~A = A x î + A yˆ sin θ A y A q θ A = A 2 x + A 2 y A x x A x = A cos θ RE 1-13 The rectangular nents of a vector. u is the angle between ction Lembrando of the vector and ainda the x que n. The angle is positive if it is ed counterclockwise from the x n, as shown. A x = Acos( ) A y = Asen( ) Adição e Subtração Algébrica de Vetores ~A = A x î + A yˆ ~B = B x î + B yˆ Adição Subtração ~A + ~ B =(A x + B x )î +(A y + B y )ˆ ~A ~ B =(A x B x )î +(A y B y )ˆ

22 Multiplicação de um vetor por um escalar. ~A = A x î + A yˆ ~B = c ~ A = c.a x î + c.a yˆ Note que c é um número real! Produto Escalar de dois Vetores ~A = A x î + A yˆ ~B = B x î + B yˆ ~A ~B = A x B x + A y B y Cuidado, o produto escalar de dois vetores não é um vetor mas sim um número!

23 ~A ~A ~B = ABcos( ) ~A ~B = A x B x + A y B y ~B ABcos( ) =A x B x + A y B y cos( ) = A xb x + A y B y AB Ax B x + A y B y = arccos AB

24 Exercício de fixação 1: Dados os 3 vetores seguintes: ~A = 2î 5ˆ ~B =3î +2ˆ C ~ =(1/2)î +(3/2)ˆ a) Desenhe estes vetores no plano (x,y) e calcule seus respectivos ângulos b) Calcule o módulo de cada um deles. c) Calcule A+B, A+C, B+C, A-B, B-C, A-C, desenhando o vetor resultante no plano (x,y) e também calculando seus módulos e ângulos. d) Calcule 3A-2C+B; desenhe o vetor resultante no plano xy, calculando seu módulo e ângulo. e) Calcule os produtos escalares: A.B, B.C e C.A e os respectivos ângulos entre cada par de vetores. Exercício de fixação 2: Mostre que o módulo de um vetor que é definido como a soma de outros dois vetores, A e B, é dado por C = p A 2 + B 2 +2.A.B. cos

25 imensions Vetores Posição e Deslocamento. and Three Dimensions ITY, Vetor posição cceleration were used to locity, and acceleration were used to traight Now line. we Now use the we use concept the concept otion in two and three dimensions. and three dimensions. ECTORS S rawn from the origin of a coordinate the position vector r for a particle are the x article in the x, y plane at the pointfigure and y (Cartesian) 3-1 coordinates The x and of the y components particle. of S he origin of a coordinate s the position vector r for a particle are the x and y (Cartesian) coordinates of the particle. Vetor deslocamento e x, y plane at the point 3-1 EFINITION POSITION VECTOR S 3-1 ector r are the Cartesian coordinates POSITION VECTOR ry of the particle. At time t 1, the pare t 2, the particle has moved to P 2, he in position Cartesian is the coordinates displacement vec- rticle. At time t 1, the pararticle has moved to P 2, 3-2 TION DISPLACEMENT VECTOR y y Particle y Particle (x, y) FIGURE 3-1 O r 1 P 1 at t 1 P 1 at t 1 r = xî + yĵ r = xî + yĵ xî xî r 1 r 2 yĵ The x and y components of r r (x, y) yĵ x x P 2 at t 2 x P 2 at t 2 ~r = xî + yˆ ~r = ~r 2 ~r 1 ~r = xî + yˆ

26 Grandezas Físicas Vetoriais As grandezas físicas que são vetores e que estudaremos neste semestre são: 3D 2D Posição: ~r = xî + yˆ + zˆk ~r = xî + yˆ Deslocamento: ~r = xî + yˆ + zˆk ~r = xî + yˆ Velocidade: ~v = v x î + v yˆ + v zˆk ~v = v x î + v yˆ Aceleração: ~a = a x î + a yˆ + a zˆk ~a = a x î + a yˆ

27 Resumo da Aula Um vetor é uma entidade matemática e portanto abstrata utilizada para representar grandezas físicas que são completamente descritas através do conhecimento de sua intensidade (módulo) e de sua orientação (direção e sentido). Operações geométricas de soma, subtração e produto de um vetor por um escalar; regra do paralelogramo. Definição algébrica em termos dos vetores unitários e operações algébricas de soma, subtração, produto de um vetor por um escalar e produto Escalar de dois vetores. Decomposição de vetores no plano. Para a próxima aula: Estudar a cinemática de uma partícula em uma dimensão: Halliday, Resnick, Walker, 8 a Ed. Vol 1. Cap.2; Tipler e Mosca, 6 a. Ed; vol 1, Cap. 2.

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