Disciplina de Seminário de Estruturas

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2 Licenciatura em Engenharia Civil Disciplina de Seminário de Estruturas Flexão Composta Desviada em Secções Genéricas de Betão Armado Segundo o EC2. Desenvolvimento de uma Aplicação de Cálculo Automático Bruno Trindade dos Santos Hélder David Miranda Hélder Sepúlveda da Costa Sob a orientação do Professor Álvaro Azevedo Porto, Janeiro de 2007

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4 AGRADECIMENTOS Agradecemos ao Professor Álvaro Azevedo, não só pela sua disponibilidade e dedicação mas também por todo o entusiasmo e rigor científico que nos soube incutir em todas as fases do projecto.

5 ÍNDICE INTRODUÇÃO. Objectivos.2 Modelo utilizado 2 2 ENQUADRAMENTO DO ESTUDO 3 2. Estado limite último de resistência Análise comparativa entre o REBAP e o Eurocódigo 2 (EC2) Betão à compressão Aço para betão armado 7 3 DESCRIÇÃO DO MODELO 9 3. Definição da secção Características dos materiais Betão Aço para armaduras passivas e de pré-esforço Equações de equilíbrio 3.4 Domínios de deformação 3.5 Força do betão Força das armaduras ordinárias Força das armaduras de pré-esforço Resolução do sistema 23 4 PROGRAMA Funcionamento da interface gráfica 26

6 4.2 Recurso a secções predefinidas no programa Secção rectangular Secção em T Secção circular Modelação de uma secção genérica Ficheiro de dados Cálculo 38 5 EXEMPLOS DE CÁLCULO 4 5. Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo CONCLUSÕES 48 REFERÊNCIAS 49 ANEXO A 5 A. Ficheiro de dados em branco 5 A.2 Ficheiro de dados do exemplo 4 53 A.3 Ficheiro de dados do exemplo 5 54 A.4 Ficheiro de dados do exemplo 6 56

7 Capítulo Introdução CAPÍTULO INTRODUÇÃO Este trabalho insere-se no âmbito da disciplina de Seminário de Estruturas, do 5º ano da Licenciatura em Engenharia Civil, da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.. - Objectivos O presente trabalho pretende estudar o problema da flexão composta desviada em secções de betão armado à rotura de acordo com as novas disposições do EC2 []. Pretende-se ainda o desenvolvimento de ferramentas que facilitem o tratamento deste tema, estudando a possibilidade de reaproveitar tabelas e ábacos existentes [2] adaptados ao REBAP [3], e sobretudo o desenvolvimento de uma aplicação de cálculo automático que permite resolver problemas quer de verificação da capacidade resistente, quer de dimensionamento em secções de geometria quaisquer com eventual recurso a aço pré-esforçado. Todos os módulos do programa (incluindo a interface gráfica) estão escritos em linguagem C (ANCI-C) [4], recorrendo-se para tal ao ambiente de desenvolvimento integrado Microsoft Visual C [5] e à biblioteca de funções utilitárias CUTIL [6]. É importante ainda referir que foram aproveitadas algumas ideias de um programa pré-existente adaptado às disposições do REBAP [7]. No entanto toda a aplicação foi reescrita de raiz e apoiada em algumas ideias inovadoras. de 62

8 Capítulo Introdução.2 - Modelo utilizado O cálculo orgânico de secções de betão armado e pré-esforçado pode ser abordado de uma forma genérica como a formulação de um sistema de equações correspondente ao equilíbrio estático da peça. N = 0 M M x = 0 = 0 () No âmbito do presente trabalho são sempre consideradas como incógnitas a inclinação do eixo neutro e o tipo de rotura que ocorre na secção, definidas com recurso a duas variáveis, β e D respectivamente. É necessário escolher uma terceira incógnita, que pode ser a área total de aço a dimensionar ou um dos esforços resistentes, dado que o sistema possui três equações. Uma vez que as equações que constituem o sistema () não são lineares, utiliza-se um método iterativo para a sua resolução numérica por intermédio de aproximações sucessivas (Método de Newton-Raphson) [8]. No âmbito do software desenvolvido apenas é necessário criar uma subrotina que fornece os três desequilíbrios ( N, M x, M ) e juntá-la ao programa genérico de resolução de um qualquer sistema de equações não lineares. Os referidos desequilíbrios são calculados a partir das resultantes das tensões nos dois materiais e respectivos pontos de aplicação para cada conjunto de valores das incógnitas. Assim, fornecendo ao programa as características dos materiais utilizados bem como os contornos da secção e posicionamento das armaduras, obtêm-se os esforços resistentes ou a área total de aço necessária. 2 de 62

9 Capítulo 2 Enquadramento do estudo CAPÍTULO 2 ENQUADRAMENTO DO ESTUDO Neste trabalho é apenas abordada a verificação do estado limite último de resistência. Contudo, numa situação real de projecto, para se garantir a segurança e a qualidade da estrutura é necessário verificar os estados limites de encurvadura, fendilhação e deformação Estado limite último de resistência A verificação de segurança em relação ao estado limite último de resistência deve, em geral, ser feita em relação aos esforços e consiste em satisfazer a condição (2), sendo S d o valor de cálculo do esforço actuante e R d o valor de cálculo do esforço resistente [2]. Sd R d (2) Os valores de cálculo dos esforços actuantes são determinados por intermédio de um conjunto de combinações de acções, admitindo elasticidade perfeita dos materiais, afectadas de um coeficiente de segurança (γ g para acções permanentes e γ q para acções variáveis). Estes coeficientes de segurança estão regulamentados e indicados na Tabela [9]. 3 de 62

10 Capítulo 2 Enquadramento do estudo E. L. U. Acções permanentes γ g Acções variáveis γ q Pré-esforço γ p Efeito favorável Efeito desfavorável Tabela : Coeficientes parciais de segurança em ELU Para o cálculo do esforço actuante devem ser consideradas as combinações de acções cuja actuação simultânea seja verosímil e que produzam na estrutura os efeitos mais desfavoráveis. Em geral tem-se S d = m n γ S + γ S + Ψ0 j SQjk (3) gi Gik q Qk i= j= 2 sendo S Gik valor característico do esforço resultante de uma acção permanente. S Qk valor característico do esforço resultante da acção variável considerada como acção base da combinação. S Qjk valor característico do esforço resultante de uma acção variável distinta da acção base. γ gi coeficiente de segurança relativo às acções permanentes. γ qi coeficiente de segurança relativo às acções variáveis. ψ 0j coeficiente ψ correspondentes à acção variável de ordem j. Os valores de cálculo dos esforços resistentes devem ser determinados por meio de uma teoria do comportamento a partir das propriedades dos materiais que constituem a estrutura, convenientemente quantificadas para atender à segurança requerida. Estes valores são calculados a partir do valor característico da resistência dos materiais reduzidos de um factor γ m, cujos valores estão indicados na Tabela 2 [2]. 4 de 62

11 Capítulo 2 Enquadramento do estudo Situações de projecto Betão γ c Aço para armaduras passivas γ s Aço de pré-esforço γ s Persistente Tabela 2: Coeficientes parciais de segurança relativos aos materiais para ELU 2.2 Análise comparativa entre o REBAP e o Eurocódigo 2 (EC2) Betão á compressão Segundo o REBAP [3] as relações tensões-extensões de cálculo do betão à compressão a considerar na determinação dos valores de cálculo dos esforços resistentes para a verificação do Estado Limite Último (ELU) de resistência devem em geral ser as indicadas na Figura. Figura : Relação tensões-extensões de cálculo segundo o REBAP Até uma extensão máxima de o valor da tensão máxima de cálculo do betão à compressão é dado pela expressão indicada na Figura. Para extensões superiores e até ao valor máximo de , a tensão máxima deve ser limitada a 0.85f cd, para ter em 5 de 62

12 Capítulo 2 Enquadramento do estudo conta a possível diminuição da tensão de rotura do betão quando sujeito prolongadamente a tensões elevadas. No Eurocódigo 2 [] as relações de tensões-extensões de cálculo admitidas são as indicadas na Figura 2. Figura 2: Relação tensões-extensões de cálculo segundo o Eurocódigo 2 As tensões são definidas pela expressão indicada na Figura 2, que é válida até uma extensão máxima ε c2, tomando a partir dessa extensão, e até à extensão última ε cu2, o valor de f cd. f cd α f ck = cc (4) γ c Assim, pode-se constatar que no EC2 [], contrariamente ao estipulado pelo REBAP [3], o valor das extensões máximas permitidas variam de acordo com a classe de betão a utilizar. No EC2 o coeficiente que tem em conta os efeitos a longo prazo e as consequências desfavoráveis resultantes do modo como a carga é aplicada (α cc ) e que afecta a tensão máxima de cálculo do betão varia agora entre 0.8 e. Os valores atrás referidos estão indicados na Tabela 3. 6 de 62

13 Capítulo 2 Enquadramento do estudo Classes de Resistência do Betão f ck (MPa) f ck,cubo (MPa) ε c2 ( ) ε cu2 ( ) n Tabela 3: Características de resistência e deformação do betão Aço para betão armado Segundo o REBAP [3] as relações tensões-extensões de cálculo dos diversos tipos de aço estão limitadas, independentemente das classes de aço e betão a ser utilizado, aos valores de (extensão última do betão) à compressão e a no caso de se encontrar traccionado, tal como se mostra na Figura 3. Figura 3: Diagrama bilinear do aço de acordo com o REBAP 7 de 62

14 Capítulo 2 Enquadramento do estudo No EC2 [] as relações tensões-extensões de cálculo dos diversos tipos de aço já têm em conta que as diferentes classes de aço possuem distintas características à rotura. Essa regulamentação permite que os valores das extensões últimas sejam estipulados pelos fabricantes das armaduras quando estas estão à tracção. Figura 4: Diagrama bilinear do aço de acordo com o EC2 8 de 62

15 Capítulo 3 Descrição do modelo CAPÍTULO 3 DESCRIÇÃO DO MODELO 3. - Definição da secção O modelo desenvolvido aplica-se a uma secção qualquer, a qual deve estar definida pelos vértices constituintes dos polígonos que a delimitam e pela respectiva posição das armaduras. Estas coordenadas podem ser apresentadas segundo um qualquer referencial cartesiano, tendo em atenção que os esforços são aplicados na origem do mesmo. São considerados como positivos os esforços axiais de tracção e os momentos que possuam o respectivo vector na direcção dos eixos, segundo a regra do saca-rolhas. São consideradas positivas as extensões de alongamento Características dos materiais Betão No modelo utilizado considera-se que o betão apenas resiste à compressão e as suas características de resistência e de deformação são as indicadas na Tabela 3. As relações tensões-extensões de cálculo são representadas por um gráfico parábola-rectângulo (Figura 5) definido pelas expressões (5) e (6), sendo n ε = c σ c f cd (5) ε c2 9 de 62

16 Capítulo 3 Descrição do modelo para ε ε 2 e 0 c c σ c = f cd (6) para ε ε ε 2, com c2 c cu f cd α f ck = cc (7) γ c Figura 5: Relação tensões-extensões Aço para armaduras passivas e de pré-esforço As características do aço são as indicadas pelos fabricantes e é considerado, para efeito de cálculo, o diagrama simplificado bilinear indicado na Figura 6. 0 de 62

17 Capítulo 3 Descrição do modelo Figura 6: Diagrama bilinear Equações de equilíbrio Para satisfazer a condição de dimensionamento em ELU é necessário resolver a equação (), que corresponde ao seguinte sistema de equações não lineares, N = M x M F = = c + F F ci ci z z F s cxi ci F F F p sj sj z z sxj sj + + F F pk pk z z pxk pk (8) sendo incógnitas o domínio (D), a inclinação do eixo neutro (β) e um esforço resistente (N, M x, M ) ou a área total de aço (A s ) Domínios de deformação Para a definição do domínio de deformação optou-se pela utilização de uma variável real D. Esta toma valores entre um e quatro, representando cada valor inteiro a transição entre diferentes tipos de rotura [7]. de 62

18 Capítulo 3 Descrição do modelo Figura 7: Secção genérica com diagrama de extensões Figura 8: Diagrama dos domínios de deformação O domínio é aquele onde a rotura ocorre por tracção simples da secção, quando esta atinge a extensão última do aço. O domínio 2 ocorre quando as extensões da secção atingem os valores últimos tanto na zona comprimida como na traccionada. O domínio 2 de 62

19 Capítulo 3 Descrição do modelo 3 marca o ponto em que a secção passa a estar toda sujeita a compressão. Finalmente, o domínio 4 corresponde à rotura por compressão simples estando limitada neste caso à extensão última de compressão do betão. Na Tabela 4 são apresentados os valores das extensões para cada valor inteiro de D, D ε c,sup ε c.inf ε ud ε ud 2 ε cu2 K 3 ε cu2 0 4 ε c2 ε c2 Tabela 4: Domínios de deformação em que K ( ε cu 2 + ε ud ) = h + ε cu 2 (9) d Para outro qualquer valor do domínio as correspondentes extensões, ε c,inf e ε c.sup, podem ser obtidas por interpolação linear, entre cada um dos domínios definidos na Tabela 4. Apresenta-se em seguida o modo de cálculo das extensões em função do valor da variável D. Extensão na fibra superior D : 2 ε c, sup = εud ( εud + εcu2)( D ) (0) D : 2 3 ε c,sup = εcu2 () D : 3 4 ε c, sup = εcu2 ( εcu2 ε c2)( D 3) (2) 3 de 62

20 Capítulo 3 Descrição do modelo Extensão na fibra inferior D : 2 ε c, inf = εud + ( K εud )( D ) (3) D : 2 3 ε c, inf = K K( D 2) (4) D : 3 4 ε c, inf = εcu2( D 3) (5) Força do betão (F C ) A força e os momentos correspondentes ao funcionamento mecânico da parte não fendilhada do betão resultam da actuação de um campo de tensões. As suas resultantes são assim calculadas como integrais de superfície na região não fendilhada. No caso dos campos de extensões e de tensões dependerem de apenas uma das variáveis do plano (seja ) e o domínio ser triangular (Figuras 9 e 0) com um lado paralelo ao eixo da segunda variável (seja x), os integrais podem ser calculados com recurso a expressões analíticas exactas. Figura 9: Exemplo de um campo de extensões definido apenas em função da variável. 4 de 62

21 Capítulo 3 Descrição do modelo Figura 0: Exemplo de um domínio triangular de integração com um lado paralelo ao eixo horizontal Essas expressões analíticas têm por base a dedução que se segue. Para facilitar o tratamento matemático, define-se o campo de tensões com recurso às variáveis M, D e n de acordo com a expressão (6). σ ( ) f cd = ε ( ) ε c2 = n n [ (M + D) ] = (6) para para σ σ = f f cd cd m M = ε c2 b D = ε c2 M = 0 D = 0 (7) (8) Tendo em conta que o momento M é dado pela expressão (9) e o domínio de integração A é definido pelas expressões da Figura 0, deduz-se a expressão (2). 5 de 62

22 Capítulo 3 Descrição do modelo 6 de 62 = = = 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( S S A dxd x da x M σ σ (9) ( ) = = ) ( ) ( ) ( 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 S S d S S d x σ σ (20) [ ] = = = = ) ( ) ( ) ( ) ( b b C m b m b B m m A com d D M C B A f M n cd (2) Da mesma forma, mas tendo agora em conta o momento M x dado pela expressão (22) e a definição do domínio de integração A de acordo com as expressões das rectas que o limitam (ver Figura 0), pode deduzir-se a expressão genérica (24). = = = 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( S S A x dxd da M σ σ (22) [ ] ( ) = = ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( S S d S S d x σ σ (23) [ ] = = = = 0 ) ( ) ( ) ( C b b B m m A com d D M C B A f M n cd x (24) Aplicando ainda o mesmo procedimento mas para o esforço axial F x dado pela expressão (25) e a definição do domínio de integração A de acordo com as expressões das rectas que o limitam (ver Figura 0), pode deduzir-se a expressão genérica (26).

23 Capítulo 3 Descrição do modelo F x = A σ ( ) σ ( ) da = σ ( ) dxd = fcd ( S( ) S0( ) ) d (25) f 0 S ( ) S0 ( ) 0 cd F x = fcd 0 2 n ( A + B + C)[ ( M + D) ] com A = 0 B = m m C = b b0 0 d (26) Como se pode constatar, os integrais apresentados possuem todos a mesma expressão geral e o seu valor é obtido por intermédio de uma expressão exacta em domínios triangulares, desde que um dos lados do triângulo seja paralelo ao eixo horizontal. A expressão exacta que permite obter o resultado de um integral deste tipo é deduzida recorrendo a software matemático para cálculo simbólico [0]. No entanto dado tratar-se de uma expressão extensa (embora fácil de avaliar em termos computacionais) não é apresentada (pode ser consultada nas listagens do programa). No caso de triângulos que não possuam um lado paralelo ao eixo horizontal procede-se à sua divisão em dois por intermédio de uma linha horizontal. Conclui-se então que os supracitados integrais são calculados de forma exacta num qualquer domínio triangular onde a função integrada esteja definida. Figura : Divisão de um triângulo genérico em dois com um lado horizontal 7 de 62

24 Capítulo 3 Descrição do modelo Assim, conseguindo definir os integrais sobre o domínio limitado pela poligonal P por intermédio de uma soma de integrais em domínios triangulares (27), tem-se o problema resolvido de uma forma exacta. Propõe-se a seguinte forma de cálculo do integral em que S(A,B,C) é a região definida pelo triângulo de vértices ABC (ver Figura ). F ) ds = i= P n ( I(, i, i + ) (27) 2 Na expressão (27) o valor do integral I da região triangular definida pelos pontos (,i,i+) é dado pela expressão (28) que é afectada por um factor K definido na expressão (29). I ( A, B, C ) = K ( A, B, C ) S( A, B, C ) F ( ) ds (28) K( K A, B, C ) ( A, B, C ) = =, se, se (( AB) ( BC)) (0,0,) < 0 (( AB) ( BC)) (0,0,) 0 (29) Fundamentalmente o parâmetro K visa reflectir o sentido de rotação dos vectores de A para B e de B para C. Na Figura 2 exemplifica-se os valores a atribuir a K em cada caso. Figura 2: No triângulo da esquerda o valor de K é +, enquanto que no triângulo da direita é -. Este procedimento é justificado recorrendo-se ao Teorema de Green no plano c N M ( M + N ) ( dx, d) = ds (30) x s 8 de 62

25 Capítulo 3 Descrição do modelo sendo C uma curva de Jordan orientada no sentido directo (sobre a qual é calculado o integral de linha do primeiro membro da igualdade), e S a região interior dessa mesma curva. A função que se pretende integrar depende apenas de (expressão (3)) e se na expressão (30) se fizer M(x,)=0 e N(x,)=xF() obtém-se a expressão (32) onde a curva C está orientada no sentido directo. 2 n ( ) ( A + B + C) [ ( M + D ] F = ) (3) c xf ( ) ( dx, d) = F( ) ds s (32) Evidentemente a expressão (32) também é aplicável a uma poligonal fechada dado que também se trata de uma curva de Jordan e o mesmo pode ser dito relativamente a um qualquer triângulo em que o integral esteja definido. De acordo com o que foi atrás exposto, pode dizer-se que a expressão (28) é equivalente à seguinte ( A, B, C ) = c I x F( ) ( dx, d) (33) Note-se que a curva C definida pelo triângulo de vértices consecutivos ABC não se encontra necessariamente orientada no sentido directo, mas sim no sentido A->B->C (por isso faz-se intervir o factor K na expressão (28)). Defina-se também (,2,..., i) = c I x F ( ) ( dx, d) (34) sendo a curva C definida pelo triângulo de vértices consecutivos,2,..i. Considerando I definido de acordo com (33) e (34), recorrendo às propriedades dos integrais de linha, é fácil demonstrar que 9 de 62

26 Capítulo 3 Descrição do modelo I + = (35) I I (,2,3) (,3,4 ) (,2,3,4) dado que para o trecho de um a três a soma dos valores dos integrais de linha se anula. Analogamente I + I + = I i (,2,3,, i ) (, i, i ) (,2,3, K, i, + ) K (36) Assim por indução matemática verifica-se que n i= 2 I = I (37) (,2,..., n) (, i, i+ ) Se na expressão (37) se substituir o primeiro membro pelo segundo membro da expressão (32) que é equivalente ao segundo membro da expressão (34), obtém-se a expressão (27) tal como se queria demonstrar. Para se obter o valor de um dos integrais atrás indicados, sendo o domínio de integração uma poligonal fechada, basta avaliar a expressão (27) recorrendo ao seguinte algoritmo. - Atribuir à variável S o valor zero. 2- Guardar o número de pontos da poligonal na variável N. 3- Executar os passos 4 a 7 com A a variar entre 2 e N-. 4- Calcular o produto externo entre os vectores de para A e de A para A+ e em seguida extrair a sua terceira componente. Nota: os dois vectores que são multiplicados têm a terceira componente nula e o resultado do produto tem as duas primeiras componentes nulas. 5- Se o valor obtido em 4 for nulo ignorar os pontos seguintes e retornar a Avaliar o valor do integral cujo domínio é o triângulo definido pelos pontos, A e A+. 20 de 62

27 Capítulo 3 Descrição do modelo 7- Se o valor obtido em 4 for positivo somar a S o valor obtido em 6, caso contrário este deve ser subtraído. Com base no que foi atrás referido, concebeu-se o seguinte algoritmo destinado ao cálculo das forças e momentos resistentes correspondentes ao betão. - Definição das coordenadas dos pontos da secção num novo sistema de eixos de modo que o novo eixo O x fique paralelo ao eixo neutro. Desta forma tanto o campo de extensões como o de tensões apenas depende da coordenada. 2- Divisão da secção em três partes: fendilhada, comprimida com tensão variável e comprimida com tensão constante. 2.- Utilização de um módulo do programa para dividir a secção em duas partes por uma linha horizontal que coincide com o eixo neutro: parte fendilhada e parte não fendilhada. A parte fendilhada é ignorada Utilização do mesmo módulo referido em 2. mas agora para dividir a parte não fendilhada em duas outras, uma em que a tensão varia com e outra em que esta é constante. 3- Para a parte da secção obtida em 2.2 em que a tensão não é constante, avaliar o valor da expressão (27) para todos os polígonos que a compõem, tendo o cuidado de para cada polígono multiplicar os esforços por - se o esforço axial obtido for positivo (tracção). O valor de cada esforço que se pretende calcular é igual ao valor do integral correspondente ao polígono envolvente deduzido dos valores dos integrais correspondentes aos polígonos interiores, que representam vazios. 4- Repetir o procedimento 3 mas agora para a parte da secção obtida em 2.2 em que a tensão é constante. 5- Somar os resultados do ponto 3 com os resultados do ponto 4. 2 de 62

28 Capítulo 3 Descrição do modelo 6- Fazer uma conversão dos vectores momento obtidos em 5 do referencial gerado em para o referencial original Força das armaduras ordinárias (F S ) A força aplicada nas armaduras ordinárias pode ser quantificada com base na respectiva extensão []. Atendendo ao facto de a armadura se encontrar plastificada ou em regime elástico, tem-se F s Es ε s A = f sd As s, se, se ε s ε > s f sd E f s sd E s (38) Força das armaduras de pré-esforço (F P ) A força correspondente ao pré-esforço é composta por duas parcelas, uma devida à tensão aplicada inicialmente e outra causada pela variação de extensão (acréscimo de tensão do pré-esforço efectivo). Tendo em atenção que o pré-esforço aplicado está na sua totalidade no lado da resistência e que se trata de um dimensionamento ou verificação de uma estrutura hiperestática, no momento actuante (Msd) deve ser adicionada a parcela correspondente ao momento hiperestático de pré-esforço. Figura 3: Forças internas de uma secção 22 de 62

29 Capítulo 3 Descrição do modelo Resolução do sistema Para a resolução do sistema de equações não lineares recorre-se a um processo numérico iterativo baseado no método de Newton-Raphson. Tendo em vista um aumento da robustez do algoritmo foi implementada uma técnica de line-search [8]. O método de Newton-Raphson destina-se, na sua forma unidimensional, ao cálculo iterativo da raiz de uma qualquer equação, que de forma genérica pode ser traduzida por g ( x) = 0 (39) Considerando os dois primeiros termos do desenvolvimento em série de Talor da função g(x), tem-se g( x) r + g( x) r + g ( x) r x r (40) Adoptando um valor inicial x 0 e conhecida a derivada da função, pode-se chegar a um valor mais próximo da raiz usando as seguintes expressões x = x + x r + r r (4) g( x) g ( x) r r x = r (42) Este processo é repetido até se obter a convergência para uma solução. Generalizando o método de Newton-Raphson de forma a resolver um sistema de equações não lineares de n equações a n incógnitas, tem-se g g n ( x, K, x ( x, K, x n n ) = 0 M M ) = 0 (43) e desenvolvendo cada equação em série de Talor resulta 23 de 62

30 Capítulo 3 Descrição do modelo 24 de 62 = = ),, ( ),, ( 0 ),, ( ),, ( r n r n n r r n r n n r n n r n r n r r r n r n x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g K K K M M M K K K (44) Estas equações podem ser escritas na forma vectorial, resultando 0 = + + r j r j i r i r i x x g g g (45) Assim, a partir de uma solução aproximada, x r, pode calcular-se uma solução mais próxima da exacta, x r+, aplicando a seguinte expressão. r r r x x x ~ ~ ~ + = + (46) O sistema de equações lineares que resulta da aplicação do método de Newton-Raphson é, neste contexto, sempre constituído por três equações. Por esse motivo, e por simplicidade, é utilizada a regra de Cramer [] para se obter a correspondente solução. Convém ainda referir que é utilizada uma técnica de line-search para facilitar a convergência do processo iterativo [8]. Os acréscimos a cada solução corrente são pré-multiplicados por um factor de line-search, determinado no intervalo ]0,], de forma a obter uma solução mais próxima da solução exacta do que fazendo apenas uma correcção directa segundo (45).

31 Capítulo 4 Programa CAPÍTULO 4 PROGRAMA O programa de computador desenvolvido, designado CSAnalsis, calcula um esforço resistente (N, M x ou M ) ou a área total de armadura (ordinária e de pré-esforço) em Estado Limite Último numa secção de geometria qualquer. Para tal é necessário que o utilizador introduza as características da secção e dos respectivos materiais e escolha qual o tipo de problema que pretende resolver. Como se descreve nas Figuras 4 e 5 existem duas hipóteses de cálculo possíveis. Características da secção Materiais utilizados Esforços actuantes Posição e percentagem de cada armadura Área total de armaduras Figura 4: Situação correspondente ao dimensionamento Características da secção Materiais utilizados Esforços actuantes conhecidos Posição e área de cada armadura Esforço resistente (N, M x, M ) Figura 5: Situação correspondente à verificação de segurança 25 de 62

32 Capítulo 4 Programa 4. - Funcionamento da interface gráfica De forma a facilitar a utilização do programa CSAnalsis por um maior número de pessoas foi desenvolvida uma interface gráfica. Apesar de nesta versão ainda não ser possível modelar uma secção qualquer directamente na interface, requerendo o introdução dos dados do modelo em formato TXT [A.], já é possível a introdução de algumas secções correntes. Consideraram-se como secções mais utilizadas as rectangulares, em T e circulares. As secções correntes predefinidas pelo programa apenas contemplam betão armado sem armaduras pré-esforçadas. Assim, se for necessária a utilização de aço de pré-esforço é indispensável a introdução dos dados a partir de um ficheiro TXT. Ao executar a aplicação é apresentada uma janela bastante simples com um conjunto de três comandos ( File, Calculate, HELP ). Figura 6: Interface gráfica O primeiro abre um menu que se destina à selecção do tipo de secção a estudar podendo trabalhar com uma das secções correntes disponíveis ou abrir um ficheiro TXT onde a secção se encontra caracterizada. 26 de 62

33 Capítulo 4 Programa A opção Calculate abre uma janela onde se colocam os valores dos esforços conhecidos e a área total de aço. É também aí que se selecciona a incógnita a ser calculada, ao deixar a respectiva caixa vazia. Por último o comando HELP dá acesso a uma caixa de diálogo com as informações gerais do programa. A forma de interacção com estes menus e a forma de preenchimento do ficheiro TXT é descrita em seguida Recurso a secções predefinidas no programa Secção rectangular Para se calcular uma secção rectangular recorrendo aos formulários fornecidos pelo programa deve-se aceder ao menu file e executar o comando Standard Rectangle. Figura 7: Comando Standard Rectangle 27 de 62

34 Capítulo 4 Programa Ao seleccionar este comando é aberta uma caixa onde se colocam os dados sobre a secção em estudo. Figura 8: Geração de uma secção rectangular Na caixa de diálogo apresentada na Figura 8 escolhem-se os parâmetros que definem o betão e o aço, sendo estes os valores característicos das resistências últimas, o módulo de elasticidade do aço e o valor do factor de redução α cc [] Por último é necessário inserir os dados relativos à geometria da secção. Aqui devem-se colocar a altura da secção, a largura da secção, o valor do recobrimento e, caso sejam conhecidas, as áreas de aço. Depois de fornecidos os dados necessários e de pressionado o comando OK é apresentada, na janela principal da aplicação, uma representação gráfica da secção. Por 28 de 62

35 Capítulo 4 Programa se tratar de uma secção corrente os varões que são apresentados não representam a realidade, ficando a cargo do utilizador a definição do número de varões a ser utilizado no projecto de execução da estrutura. Figura 9: Secção rectangular genérica Secção em T O procedimento para o cálculo de uma secção em T é análogo ao da secção rectangular, sendo agora necessário seleccionar o comando Standard T Section, e fornecer os parâmetros necessários para uma correcta caracterização da referida secção. Na Figura 20 é apresentado o comando a seleccionar e na Figura 2 a caixa de diálogo a preencher pelo utilizador. 29 de 62

36 Capítulo 4 Programa Figura 20: Standard T section Em comparação com o caso da secção rectangular, esta caixa apenas difere no tipo de dados referentes à geometria. Figura 2: Geração de uma secção em T 30 de 62

37 Capítulo 4 Programa Depois de preenchida a caixa de diálogo, é apresentada a referida secção genérica em T, tendo mais uma vez em atenção que a posição das armaduras pode não ser a real. Figura 22: Secção em T genérica Secção circular Apresenta-se nas Figuras 23, 24 e 25 o caso da secção circular. 3 de 62

38 Capítulo 4 Programa Figura 23: Standard circular section Figura 24: Geração de uma secção circular Figura 25: Secção circular genérica 32 de 62

39 Capítulo 4 Programa Modelação de uma secção genérica Como já foi referido anteriormente este software destina-se ao estudo de uma secção qualquer de betão armado e pré-esforçado. Uma vez que as secções correntes ainda são bastante limitadas, é muitas vezes necessário recorrer à introdução dos dados via ficheiro TXT. Este permite a modelação de secções com qualquer geometria, incluindo secções ocas, bem como qualquer distribuição de armaduras, ordinárias ou de pré-esforço. Para tal recorre-se ao comando File/Open. Figura 26: Selecção do ficheiro de texto 4.3. Ficheiro de dados Neste ponto é explicada, de uma forma detalhada, a estrutura do ficheiro de texto (ver Anexo A.). Apesar de inicialmente aparentar uma grande complexidade é na realidade 33 de 62

40 Capítulo 4 Programa bastante simples de completar. Para facilitar este primeiro contacto apresenta-se em seguida uma descrição das variáveis a serem fornecidas pelo projectista (indicadas por um rectângulo vermelho). Figura 27: Documento TXT, Parte Valor do recobrimento em centímetros. 2 Número de tipos de aço; Número de polígonos constituintes da secção; Número total de vértices na secção; Número de varões de aço. 34 de 62

41 Capítulo 4 Programa Figura 28: Documento TXT, Parte 2 3 Valor escolhido pelo projectista como factor de redução (α cc ). 4 Neste ponto define-se se o betão a ser utilizado se encontra numa classe de resistência inferior à classe C50/60. Nesse caso deve-se colocar o valor, caso contrário o valor 0. 5 Valor característico de resistência à compressão do betão e respectiva classe. Este valor só é necessário se no ponto 4 estiver o valor lógico. 6 Parâmetros relativos à classe de betão, tendo em atenção que nesta fase o valor f cd deve ser colocado sem prévia multiplicação pelo factor de redução α cc. Este valor só é necessário se no ponto 4 estiver o valor lógico de 62

42 Capítulo 4 Programa Figura 29: Documento TXT, Parte 3 Nos pontos seguintes deve ser colocado um número de linhas em correspondência com o número de tipos de varões utilizados. 7 Módulo de Young de cada tipo de aço utilizado. 8 Resistência à tracção de cada tipo de aço. No caso de ser um varão de pré-esforço deve ser colocado o valor de f pud. 9 Valor da tensão após perdas no pré-esforço. O valor a colocar nos tipos de aço referentes a armaduras ordinárias é de 62

43 Capítulo 4 Programa Figura 30: Documento TXT, Parte 4 0 Número de vértices constituintes do polígono. Coordenadas de cada vértice no referencial escolhido. Caso a secção contenha mais do que um polígono devem ser colocados os pontos anteriores (0 e ) tantas vezes quanto o número de polígonos. 2 Coordenadas da posição de cada varão de aço. 3 Área (quando conhecida) ou percentagem de área de aço de cada varão. É de notar que o somatório das percentagens deve ser igual a um. Em dimensionamento e no caso de já estar definida previamente a área de algum varão deve-se substituir o valor 0 por, para que na posição do referido varão não seja adicionada mais área. 37 de 62

44 Capítulo 4 Programa Figura 3: Documento TXT, Parte 5 4 Indicação do tipo de aço correspondente a cada varão. 5 Acções conhecidas. Caso não se conheçam deve-se colocar Cálculo Depois de devidamente caracterizada a secção, por intermédio dos processos atrás descritos, é agora possível proceder ao cálculo da incógnita escolhida usando o comando Calculate. É apresentada uma caixa de diálogo que deve ser preenchida com os dados conhecidos, deixando-se em branco a caixa de edição correspondente à incógnita. 38 de 62

45 Capítulo 4 Programa Figura 32: Caixa Calculate Na parte inferior da caixa da Figura 32 são acrescentados, após o cálculo, os seguintes resultados (ver Figura 33): número da solução, ângulo de inclinação do eixo neutro, valor do domínio com o qual se pode calcular as extensões presentes na secção e valor da incógnita pretendida. Em dimensionamento, e no caso de o projectista ter fixado no documento TXT a área de aço de algum varão, o valor da área calculado pela aplicação apenas se refere aos restantes varões. 39 de 62

46 Capítulo 4 Programa Figura 33: Apresentação de resultados 40 de 62

47 Capítulo 5 Exemplos de Cálculo CAPÍTULO 5 EXEMPLOS DE CÁLCULO 5. Exemplo Secção rectangular Dados Materiais Betão C20/25 Aço A400 (80% na face inferior e 20% na superior) Esforços actuantes Msd,x =250 KN/m 4 de 62

48 Capítulo 5 Exemplos de Cálculo Resultados 5.2 Exemplo 2 Viga em T Dados Materiais Betão C20/25 Aço A400 (80% na face inferior e 20% na superior) Esforços actuantes Nsd = -500 KN Msd,x =356 KN/m 42 de 62

49 Capítulo 5 Exemplos de Cálculo Resultados 5.3 Exemplo 3 Secção circular Dados Materiais Betão C25/30 Aço A500 Armaduras passivas - 8ф2 (9.05cm 2 ) Esforços actuantes N=-000KN 43 de 62

50 Capítulo 5 Exemplos de Cálculo Resultados 5.4 Exemplo 4 Viga em L invertido com pré-esforço Dados Materiais Betão C25/30 Aço de pré-esforço f σ p pud = 423MPa = 067MPa Esforços actuantes Msd,x =000 KN/m O ficheiro TXT a utilizar para a caracterização da secção encontra-se no Anexo A de 62

51 Capítulo 5 Exemplos de Cálculo Resultados 5.5 Exemplo 5 Viga oca com pré-esforço Dados Materiais Betão C25/30 Aço A400 Aço de pré-esforço f σ p pud = 423MPa = 067MPa Esforços actuantes M sd, = 50 KN.m N sd = -50 KN O ficheiro TXT a utilizar para a caracterização da secção encontra-se no Anexo A de 62

52 Capítulo 5 Exemplos de Cálculo Resultados 5.6 Exemplo 6 Viga em caixão Dados Materiais Betão C25/30 Aço A de 62

53 Capítulo 5 Exemplos de Cálculo Aço de pré-esforço f pud = 452.2MPa σ p = 00MPa Armadura de pré-esforço 6 x.6cm 2 Armaduras passivas inf. sup. 27φ6 50φ0 Esforços actuantes M sd, = 50 MN.m 2 N sd = 0 KN O ficheiro TXT a utilizar para a caracterização da secção encontra-se no Anexo A.4. Resultados 47 de 62

54 Capítulo 6 Conclusões CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES Do que foi referido na análise comparativa entre o REBAP [3] e EC2 [], tendo mais uma vez em atenção que apenas é efectuado o estudo ao Estado Limite Último de resistência com aços sem endurecimento, pode concluir-se que para classes de betão inferiores ou iguais a C50/60 e se adoptado o parâmetro de redução da capacidade resistente do betão fendilhado (α cc ) igual a 0.85 as legislações são equivalentes, podendo assim utilizar-se quaisquer tabelas ou ábacos existentes para aplicação do REBAP. O mesmo se pode dizer no caso de se utilizar α cc diferente de 0.85 basta para tal que as expressões que envolvam o parâmetro f cd, sejam avaliadas utilizando: f cd α cc /0.85 em vez de apenas f cd. O programa criado apresenta tempos de cálculo extremamente baixos (com um processador de.7ghz para executar a rotina principal de cálculo um milhão de vezes foram necessários apenas 80 segundos). Além do mais o código desenvolvido pode facilmente ser aproveitado para o desenvolvimento de outras aplicações mais complexas e também adaptado para outras plataformas e sistemas operativos, incluindo máquinas de calcular (TI-90 e Voage200). Esta portabilidade deve-se ao facto de o código ter sido escrito numa linguagem bastante divulgada (ANSI-C). 48 de 62

55 Referências REFERÊNCIAS [] Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão. Parte.: Regras gerais e regras para edifícios. [2] D Arga e Lima, J; Monteiro, Vítor; Mun, Mar Betão Armado Esforços Normais e de Flexão, LNEC, 985. [3] R.E.B.A.P. Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado, 983. [4] Guerreiro, Pedro Elementos de programação com C, 2ª Edição, 200 [5] Microsoft Visual C Microsoft Corporation. [6] Azevedo, A. F. M., Cutil: biblioteca de apoio ao desenvolvimento de software em linguagem C, Versão 3.0, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Julho de 996. URL: [7] Ferreira, A. E. V.; Azevedo, A. F. M. Cálculo da Capacidade Resistente e Dimensionamento de Armaduras de Secções Quaisquer de Betão Armado e Pré-esforçado Sujeitas a Flexão Composta Desviada, Porto Portugal, 988 URL: [8] Azevedo, A. F. M. - Optimização de Estruturas com Comportamento Linear e Não Linear, Dissertação para Doutoramento em Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 994. [9] RSA Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes, 983. [0] MAPLE 7.00 Waterloo Maple Inc. 49 de 62

56 Referências [] Apostol, Tom M Calculus, Volume 2, Reverte, 999. [2] Schildt, Herbert Windows 98 Programming from the Ground Up, 998. [3] Miles, Brook The Forgers Win32 Tutorial. [4] Azevedo, A. F. M. Método de Elementos Finitos, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, º Edição, URL: 50 de 62

57 Anexo A Ficheiro de dados ANEXO A FICHEIRO DE DADOS A. Ficheiro de dados ######################################################################## # Section Untitle.TXT # # File for the program # # # # # # # # Version: 2. # # Date: 2007/0/03 # # Author: # # H.David Miranda # # Helder Costa # # # ######################################################################## Name Dimensions ; #Cover of reinforcement a= _cm ### Number of inputs _ ; # Number of steel tpes _ ; # Number of polgons of the section _ ; # Total number of vertices _ ; # Total number of points with rebar ### alpha,cc reduction factor. (see EC2 3..6) ### For a given countr this value should be in [0.8; ] range. ### The recommended value is. _ ; # alpha,cc # ### Input a non EC2 standard concrete? (Yes=, No=0) _ ; #-----If no, indicate onl the fck value of the class ### Concrete characteristic compressive strength value # fck ( MPa ) in modulus ; # C / ## else, indicate the parameters of the non standard concrete-- ## fcd ( MPa ) in modulus not affected b alpha,cc reduction factor. ## ; # fdc ## ; # epsilon,c2 ## ; # epsilon,cu2 ## ; # n 5 de 62

58 Anexo A Ficheiro de dados ## ### Young's modulus for each rebar #Rebar's number E ( MPa ) ; 2 ;. ; n ; ### fsd for each rebar #Rebar's number fsd ( MPa ) ; # A 2 ; # A. ; # A n ; # A ### Prestressed steel stress after losses #Rebar's number SigmaP ( MPa ) _ ; 2 _ ;. _ ; n _ ; ### Coordinates of vertices for each polgon #number of vertices of the polgon _ ; # vertice X Y ( m ) ; 2 ;. ; n ; ### Coordinates of rebar points # Point number X Y ( m ) ; 2 ;. ; n ; ### Area of each rebar #Point number Area(m2 or "weigth") FixArea (=Yes 0=No) 0 ; 2 0 ;. 0 ; n 0 ; ### Association of rebar points with materials #Point number number of steel material tpe _ ; 2 _ ;. _ ; n _ ; ### Section design actions END_OF_FILE ; ; # Nsd ( MN ) ; # Msdx ( MN.m ) ; # Msd ( MN.m ) 52 de 62

59 Anexo A Ficheiro de dados A.2 Ficheiro de dados do exemplo 4 ######################################################################## # Exemplo4.TXT # # File for the program # # # # # # # # Version: 2. # # Date: 2007/0/03 # # Author: # # H.David Miranda # # Helder Costa # # # ######################################################################## Viga em L invertido ; #Cover of reinforcement a= 5cm ### Number of inputs ; # Number of steel tpes ; # Number of polgons of the section 6 ; # Total number of vertices 3 ; # Total number of points with rebar ### alpha,cc reduction factor. (see EC2 3..6) ### For a given countr this value should be in [0.8; ] range. ### The recommended value is ; # alpha,cc # ### Input a non EC2 standard concrete? (Yes=, No=0) 0 ; #-----If no, indicate onl the fck value of the class ### Concrete characteristic compressive strength value # fck ( MPa ) in modulus 25 ; # C25/30 ## else, indicate the parameters of the non standard concrete-- ## fcd ( MPa ) in modulus not affected b alpha,cc reduction factor. ## 6.7 ; # fdc ## 2.0e-3 ; # epsilon,c2 ## 3.5e-3 ; # epsilon,cu2 ## 2.0 ; # n ## ### Young's modulus for each rebar #Steel's number E ( MPa ) ; ### fsd for each rebar #Steal's number fsd ( MPa ) ; # Ap de 62

60 Anexo A Ficheiro de dados ### Prestressed steel stress after losses #Rebar's number SigmaP ( MPa ) 067 ; ### Coordinates of vertices for each polgon #number of vertices of the polgon 6 ; # vertice X Y ( m ) ; ; ; ; ; ; ### Coordinates of rebar points # Point number X Y ( m ) ; ; ; ### Area of each rebar #Point number Area(m2 or "weigth") FixArea (=Yes 0=No).33 0 ; ; ; ### Association of rebar points with materials #Point number number of steel material tpe ; 2 ; 3 ; ### Section design actions END_OF_FILE ; 0.0 ; # Nsd ( MN ) -.0 ; # Msdx ( MN.m ) 0.0 ; # Msd ( MN.m ) A.3 Ficheiro de dados do exemplo 5 ######################################################################## # Exemplo 5.TXT # # File for the program # # # # # # # # Version: 2. # # Date: 2007/0/03 # # Author: # # H.David Miranda # # Helder Costa # # # ######################################################################## 54 de 62

61 Anexo A Ficheiro de dados Viga Oca ; #Cover of reinforcement a= 5cm ### Number of inputs 2 ; # Number of steel tpes 2 ; # Number of polgons of the section 8 ; # Total number of vertices 4 ; # Total number of points with rebar ### alpha,cc reduction factor. (see EC2 3..6) ### For a given countr this value should be in [0.8; ] range. ### The recommended value is ; # alpha,cc # ### Input a non EC2 standard concrete? (Yes=, No=0) 0 ; #-----If no, indicate onl the fck value of the class ### Concrete characteristic compressive strength value # fck ( MPa ) in modulus 25 ; # C25/30 ## else, indicate the parameters of the non standard concrete-- ## fcd ( MPa ) in modulus not affected b alpha,cc reduction factor. ## 6.7 ; # fdc ## 2.0e-3 ; # epsilon,c2 ## 3.5e-3 ; # epsilon,cu2 ## 2.0 ; # n ## ### Young's modulus for each rebar #Steel's number E ( MPa ) ; ; ### fsd for each rebar #Rebar's number fsd ( MPa ) ; # A ; # Ap860 ### Prestressed steel stress after losses #Rebar's number SigmaP ( MPa ) 0 ; ; ### Coordinates of vertices for each polgon #number of vertices of the polgon 4 ; #ivert coord : X Y ( m ) ; ; ; ; 4 ; #ivert coord : X Y ( m ) ; ; 55 de 62

62 Anexo A Ficheiro de dados ; ; ### Coordinates of rebar points # Point number X Y ( m ) ; ; ; ; ### Area of each rebar #Point number Area(m2 or "weigth") FixArea (=Yes 0=No) 0e-4 0 ; 2 0e-4 0 ; 3 0e-4 0 ; 4 0e-4 0 ; ### Association of rebar points with materials #Point number number of steel material tpe 2 ; 2 2 ; 3 ; 4 ; ### Section design actions END_OF_FILE ; ; # Nsd ( MN ) 0.0 ; # Msdx ( MN.m ) 0.05 ; # Msd ( MN.m ) A.4 Ficheiro de dados do exemplo 6 ######################################################################## # Exemplo 5.TXT # # File for the program # # # # # # # # Version: 2. # # Date: 2007/0/03 # # Author: # # H.David Miranda # # Helder Costa # # # ######################################################################## Viga em caixao ; #Cover of reinforcement a= 5cm ### Number of inputs 2 ; # Number of steel tpes 2 ; # Number of polgons of the section 6 ; # Total number of vertices 93 ; # Total number of points with rebar ### alpha,cc reduction factor. (see EC2 3..6) ### For a given countr this value should be in [0.8; ] range. ### The recommended value is..85 ; # alpha,cc 56 de 62

63 Anexo A Ficheiro de dados # ### Input a non EC2 standard concrete? (Yes=, No=0) 0 ; #-----If no, indicate onl the fck value of the class ### Concrete characteristic compressive strength value # fck ( MPa ) in modulus 25 ; # C25/30 ## else, indicate the parameters of the non standard concrete-- ## fcd ( MPa ) in modulus not affected b alpha,cc reduction factor. ## 6.7 ; # fdc ## 2e-3 ; # epsilon,c2 ## 3.5e-3 ; # epsilon,cu2 ## 2 ; # n ## ### Young's modulus for each rebar #Rebar's number E ( MPa ) ; ; ### fsd for each rebar #Rebar's number fsd ( MPa ) 348 ; # A ; # Ap860 ### Prestressed steel stress after losses #Rebar's number SigmaP ( MPa ) 0 ; 2 00 ; ### Coordinates of vertices for each polgon #number of vertices of the polgon 8 ; # vertice X Y ( m ) ; ; ; ; ; ; ; ; 8 ; # vertice X Y ( m ) ; ; ; ; ; ; ; ; ### Coordinates of rebar points # Point number X Y ( m ) 57 de 62

64 Anexo A Ficheiro de dados ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3..2 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 58 de 62

65 Anexo A Ficheiro de dados ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ### Area of each rebar #Point number Area(m2 or "weigth") FixArea (=Yes 0=No) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 59 de 62

66 Anexo A Ficheiro de dados ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ### Association of rebar points with materials #Point number number of steel material tpe ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0 ; ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 20 ; 2 ; 22 ; 23 ; 24 ; 60 de 62

67 Anexo A Ficheiro de dados 25 ; 26 ; 27 ; 28 ; 29 ; 30 ; 3 ; 32 ; 33 ; 34 ; 35 ; 36 ; 37 ; 38 ; 39 ; 40 ; 4 ; 42 ; 43 ; 44 ; 45 ; 46 ; 47 ; 48 ; 49 ; 50 ; 5 ; 52 ; 53 ; 54 ; 55 ; 56 ; 57 ; 58 ; 59 ; 60 ; 6 ; 62 ; 63 ; 64 ; 65 ; 66 ; 67 ; 68 ; 69 ; 70 ; 7 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 2 ; 79 2 ; 80 2 ; 8 2 ; 82 2 ; 83 2 ; 84 2 ; 85 2 ; 86 2 ; 87 2 ; 88 2 ; 89 2 ; 90 2 ; 9 2 ; 92 2 ; 93 2 ; ### Section design actions 6 de 62

68 Anexo A Ficheiro de dados END_OF_FILE ; 0 ; # Nsd ( MN ) 0 ; # Msdx ( MN.m ) 0 ; # Msd ( MN.m ) 62 de 62