ESTUDO DO CONTATO ENTRE PEÇA E PISTA EM UM TRANSPORTADOR VIBRATÓRIO

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1 ESTUDO DO CONTATO ENTRE PEÇA E PISTA EM UM TRANSPORTADOR VIBRATÓRIO Francisco Paulo Léore Neto(*) fleore@ecanica.ufu.br João Carlos Mendes Carvalho(*) jcendes@ecanica.ufu.br Roberto de Souza Martins (*) rsouza@ecanica.ufu.br (*) Faculdade de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Uberlândia Resuo: Transortadores vibratórios são disositivos que tê ala alicação na autoação de linha de ontage industriais. Neste trabalho é aresentado a odelage do coortaento dinâico de u transortador de ista rígida horizontal ontada sobre ua susensão elástica, subetido a ovientos harônicos nas direções horizontal e vertical. O contato entre a ista e a eça é reresentado or coeficientes de rigidez e de aorteciento, ela força de atrito e or u coeficiente de restituição. A resosta do odelo não linear é obtida ela integração nuérica das equações diferenciais do oviento. Os resultados nuéricos são validados co exerientos realizados co u rotótio de transortador, eritindo o ajuste dos arâetros do odelo. Palavras Chave: transortador vibratório, contato elástico, alientadores 1. INTRODUÇÃO Os transortadores vibratórios utiliza o oviento oscilatório da ista ara o transorte de eças, sendo o contato o aior resonsável ela transissão do oviento do transortador ao aterial. Sua eficiência é edida ela velocidade de transorte do aterial sobre sua ista, deendendo, rincialente, do coeficiente de atrito e das condições do contato entre a ista e a eça; da inclinação da ista e da alitude, freqüência e fora da função excitadora. Os rieiros trabalhos sobre transortadores vibratórios data do final do século XIX. Diversas esquisas tê sido desenvolvidas co o objetivo de identificar e quantificar os arâetros que ais influencia na velocidade de transorte. Povydaylo (1959 e 196), Both (1964) e Gaberson (1972) aresentara contribuições significativas ara o desenvolviento deste tio de equiaento. Grande arte das esquisas fora concentradas nas décadas de 6 e 7, sendo que aós esta fase, oucos trabalhos aresentados ostrara novidades. A dificuldade da odelage teórica dos transortadores vibratórios reside na colexidade das características do transorte. Diversos autores faze silificações e seus odelos, coo or exelo: descrever searadaente o coortaento da eça no seu retorno à ista aós a fase de salto; silificar as equações das deforações das olas; não considerar a relação entre os odos de vibração do transortador e o oviento da eça e não considerar a transição entre os valores do coeficiente de atrito estático e dinâico.

2 Estas dificuldades faze co que os transortadores vibratórios coerciais, segundo inforações dos fabricantes, tenha seu rojeto e construção quase sere baseados e rocedientos eíricos. Carvalho (1991) identificou vários robleas relativos à validade dos odelos ateáticos silificados utilizados or outros autores. Dentre eles, o que ais se destaca é a inexistência de relação entre a fora de excitação da ista e a sua resosta dinâica. Nas verificações exerientais realizadas co transortadores vibratórios industriais acionados or sistea eletroagnético (Martins et al, 1998), co excitação senoidal, ficou evidente a diferença existente entre o odelo ateático, noralente utilizado ara descrever o oviento da ista, e o oviento real observado. Martins et al (21) aresentara resultados de u estudo ais detalhado do coortaento tanto da ista quanto da eça sendo transortada. Neste estudo, u odelo de eleentos finitos reresenta a estrutura do transortador, sendo usado ara calcular o coortaento dinâico da ista e ua banda de freqüências. A artir dos ovientos obtidos ara a ista, e usando u odelo ateático algébrico fora calculados os ovientos da eça. Este odelo resultou coatível co as edidas exerientais realizadas co u rotótio de transortador. Os autores aresenta ua análise do coortaento da eça quando de seu retorno à ista, aós a fase de salto. Foi verificado que ara o odelo algébrico, a consideração do choque, se a ocorrência de reique, é alicável até deterinadas velocidades de iacto. Acia desta velocidade, a ocorrência do reique ode afetar significativaente a velocidade de transorte. Neste trabalho roõe-se u odelo dinâico, constituído or u sistea de equações diferenciais de segunda orde, ara reresentar a ação da ista sobre a eça, considerando o efeito da rigidez e do aorteciento do contato, o atrito, e u coeficiente de restituição resonsável ela dissiação de arte da energia cinética durante o choque. Inicialente os resultados obtidos co a siulação nuérica são coarados co resultados exerientais obtidos co u rotótio de transortador vibratório, ara freqüências de excitação harônica da ista iguais a 25 e 35 Hz. Co estes dados são ajustados os arâetros do contato eça - ista. Siulações são realizadas co o odelo reviaente ajustado ara avaliar a influência dos seguintes arâetros de oeração do transortador: freqüência do acionaento, alitudes da excitação e do valor do coeficiente de atrito entre a eça e a ista. 2. MODELO DINÂMICO DO SISTEMA O transortador vibratório é constituído or ua ista horizontal de aluínio ontada sobre lâinas aralelas de aço, confore ostrado na fig.(1a). O acionaento da ista é realizado or u sistea biela - anivela que iõe ovientos nas direções horizontal e vertical. E virtude da configuração da susensão, e da grande rigidez de flexão da ista, os ovientos horizontais e verticais edidos ao longo de seu coriento tê sere a esa alitude e fases nulas, indicando que a ista sofre aenas translações nas direções X e Y. Este fato foi constatado or Martins,(2) que realizou edidas exerientais no rotótio do transortador vibratório e coarou-os co os resultados da análise odal de u odelo de eleentos finitos desta estrutura. O contato entre a eça e a ista é considerado elástico, sendo reresentado or olas e aortecedores viscosos lineares verticais e horizontais, resectivaente, co coeficientes Kn, Ks, e Cn, Cs. O atrito entre a eça e ista obedece o odelo de Coulob, não sendo considerada a diferença entre seus valores estático e cineático. Poré, na fase de choque, adota-se u coeficiente de restituição α (, 1], ara reresentar ua ossível dissiação de energia cinética. Na fig.(1b) é aresentado o odelo físico roosto, onde M é a assa da eça, y(t) e x(t) são os ovientos harônicos iostos à ista e y(t) e x(t) reresenta os ovientos da eça, exressos no referencial inercial (X,Y). Coo a assa da eça é significativaente enor que a da estrutura da ista, sua influência no oviento da ista será desrezível.

3 Assi, a ista age sobre a eça aenas via deslocaentos e velocidades iostos no contato. Co base nestas hióteses o odelo físico do sistea resulta co aenas dois graus de liberdade. Figura 1. Modelo do sistea: (a) transortador vibratório, (b) odelo físico roosto. O odelo ateático do sistea, aresentado ela Eq.(1), é válido quando existe contato entre a ista e a eça. Quando ocorre o salto da eça, seu oviento é descrito ela Eq. (2), que reresenta aenas translações. M y M x y x = y = x + b Cn + b Cs o o + αv + αv Na Eq. (1) tê-se: ( y ) + Kn ( y ) = ( x x ) + Ks ( x x ) = afa yo xo 2 ( t to ).5g ( t to ) ( t t ) o g (1) (2) F F a n = a i F = b Cn + 1 se a = 1 se y = Y sen n = força de atrito ( y ) + Kn ( y ) ( x x ) < e ( x x ) > b = se ( y ) ( y ) ( 2π f t) e x = X sen( 2π f t) = ovientos da ista = força noral de contato 1 se > < (3) O arâetro b definido na Eq.(3) reresenta a condição de não adesão do contato na direção vertical, de odo que quando a eça e a ista se afasta o aortecedor não atua. Na Eq.(2), t o indica o instante de teo iediataente anterior a u salto, y o, v yo, x o e v xo são os deslocaentos e velocidades da eça calculados e t o. As alitudes dos deslocaentos iostos elo acionaento são Y e X, resectivaente nas direções X e Y. A solução do odelo ateático é ileentada nuericaente utilizando u integrador Runge Kutta de quarta orde. As roriedades físicas que afeta o coortaento do sistea são: a rigidez e o aorteciento do contato, o coeficiente de atrito, o coeficiente de restituição durante o choque e o valor das alitudes iostas à ista elo acionaento. Ua estiativa do valor da rigidez de contato ode ser obtida considerando a associação e série de duas olas lineares que reresenta rigidez dos coros na região do contato. Sendo E e E os ódulos de elasticidade, lc o coriento característico do contato (no caso dos exerientos lc é igual ao diâetro da eça) e o fator Fac ara atenuar o valor da rigidez, ode-se estiar Kn ela Eq.(4).

4 Kn = E E E + E lc π Fac 4 (4) O aorteciento é considerado roorcional à rigidez, co u fator β, resultando C = β K, válido ara as direções noral e tangencial. 3. AJUSTE DO MODELO A PARTIR DOS RESULTADOS EXPERIMENTAIS Martins,(2) executou vários exerientos co u rotótio de transortador vibratório, co a configuração ostrada na Fig.(1a). Fora ensaiadas eças de aço, latão e borracha, co diferentes assas e geoetria. A ista de aluínio te grande rigidez à flexão e é suortada or lâinas aralelas flexíveis de aço. Neste trabalho serão utilizados, ara ajuste dos arâetros do odelo ateático, aenas os resultados exerientais obtidos co ua eça cilíndrica de latão, que é colocada co sua base sobre a ista de aluínio. Fora escolhidos os resultados obtidos co freqüências de excitação de 25 Hz e de 35 Hz, ois estes aresenta características distintas. Para 25 Hz os ovientos redoinantes da eça ocorre na direção horizontal X, enquanto ara 35 Hz a eça aresenta saltos na direção vertical, indicando a ocorrência de choques de aior intensidade. A Tab.(1) aresenta as condições de realização dos exerientos nas freqüências de 25 e 35 Hz. Os ovientos das extreidades da ista nas direções X e Y fora edidos co acelerôetros iezoelétricos. Na região central da ista, os ovientos da eça e da ista fora adquiridos or ua filadora CCD de 5 quadros or segundo. Aós a aquisição, as iagens são rocessadas digitalente ara a deterinação dos vetores y (t), x (t), y (t) e x (t). A escala ara edição dos ovientos a artir das iagens é definida or arcas de referência localizadas na ista. A fig.(2) aresenta o esquea da ontage exeriental. Freqüência da excitação [Hz] Tabela 1. Parâetros usados nos exerientos co a eça de latão. Alitudes da Pista Y [] X [] Massa da Peça M [Kg] Massa da Pista [Kg] Atrito Coulob Freqüência Natural da Pista [Hz] Figura 2. Esquea da ontage exeriental.

5 As figuras seguintes aresenta os resultados exerientais dos ovientos da eça sobre a ista obtidos ara a freqüência de excitação de 35 Hz, situação e o oviento da eça aresenta fases de salto e de escorregaento e relação à ista..3 35Hz: MOV. VERTICAL Y: g, Y: o=ex, odelo Y, Y [] Vy [/s] Figura 3. Coaração dos ovientos verticais na freqüência de 35 Hz Hz: MOV. HORIZONTAL o=ex, odelo X [] Vx [/s] Figura 4. Coaração do oviento horizontal na freqüência de 35 Hz. A coaração dos resultados aresentados nas figuras Fig.(3) e Fig.(4, indica erfeito ajuste quanto à fora dos sinais exerientais e siulados. As diferenças e alitude são rovenientes dos erros de edição dos deslocaentos da eça, decorrentes do étodo ótico utilizado. Deve-se observar que o intervalo de teo de aquisição das iagens é de 2 s, enquanto as siulações fora realizadas co.5 s, eritindo aior resolução ara os resultados nuéricos.

6 As velocidades exerientais fora obtidas a artir dos valores dos deslocaentos edidos, or derivação nuérica. Por esta razão os gráficos de v x na Fig.(4) aresenta aior discreância. Os valores dos arâetros do contado fora ajustados a artir das resostas exerientais, considerando coo função objetivo a diferença dos deslocaentos x - x ex 2. Os valores de Kn, Cn, Ks, Cs, α e β são aresentados aós a coaração dos resultados ara a freqüência de 25 Hz, ostrados nas Fig.(5) e Fig.(6), ua vez que eles fora antidos fixos, indeendente da freqüência iosta..3 25Hz: MOV. VERTICAL Y: g, Y: o=ex, odelo Y, Y [] Vy [/s] Figura 5. Coaração dos ovientos verticais na freqüência de 25 hz Hz: MOV. HORIZONTAL o=ex, odelo 2 X [] Vx [/s] Figura 6. Coaração dos ovientos horizontais na freqüência de 25 Hz.

7 Na freqüência de 25 Hz raticaente não ocorre a fase de salto no oviento da eça, redoinando o efeito do atito coo ecaniso de transorte horizontal. Para os dados exerientais obtidos ara as freqüências de excitação de 25 Hz e 35 Hz os valores ajustados ara os arâetros de contato são os esos e estão aresentados na Tab.(2). Tabela 2. Valores ajustados ara os arâetros de contato. Kn [N/] Cn [Ns/] β [s] Ks [n/] Cs [Ns/] α Kn INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS DE CONTATO E DA EXCITAÇÃO Para analisar o coortaento do transortador sob diferentes condições de oeração, fora realizadas siulações co o odelo roosto, utilizando os arâetros de contato da Tab. (2). As figuras seguintes aresenta o coortaento do deslocaento horizontal da eça e da velocidade absoluta de transorte. ara diferentes freqüências e alitudes da excitação e ara diferentes valores do coeficiente de atrito entre a eça e a ista. 4 Influência da Frequência no deslocaento da eça X [] Vx [ /s] Frequência de oeração [Hz] Figura 7. Influência da freqüência da excitação sobre os ovientos horizontais da eça. Os resultados da fig.(7) fora obtidos ara valores constantes do coeficiente de atrito (i=.26), e das alitudes da ista, Y=.254 e X=.34, co valores da frequência da excitação na banda de 1 a 8 Hz. A velocidade de transorte é equena nas freqüências ais baixas, atingindo valor áxio ara 55 Hz. Na banda analisada ode-se observar u coortaento oscilante de v x (f). Para f > 25 Hz, a eça salta constanteente sobre a ista e coo o onto de lançaento ocorre quase sere na região ositiva do ico de y (t), o onto de aterrissage, aós a fase de salto, irá controlar a velocidade de transorte. Caso este onto esteja localizado na descendente de y (t), v x tende a diinuir. Se a aterrissage ocorrer na região ascendente de y (t), o coortaento da eça se inverte. Isto exlica os ínios de v x (f) localizados e 37 Hz e e 65 Hz. Nas curvas x (t) ode-se verificar que ara freqüências inferiores a 25 Hz as velocidades v x (t) aresenta valores ositivos e negativos, devido ao caráter oscilante de x (t). Estes resultados

8 não ode ser generalizados ara outros valores dos arâetros de contato e ne ara outras alitudes de excitação da ista, dada a forte não linearidade do sistea. A Fig.(8) aresenta a influência da alitude da ista, X, sobre o transorte da eça, ara ua freqüência de excitação fixada e 35 Hz, sendo a relação X/Y= antida constante. Nesta freqüência, a áxia velocidade de transorte ocorre ara Y=.7 e X=.879. Observa-se que existe u único áxio ara v x e função da alitude Influência da Alitude da ista nos ovientos da eça.7 X [] Vx [ /s] Alitude Horizontal da Pista [] Figura 8. Influência da alitude da ista na freqüência de 35 Hz. O efeito do coeficiente de atrito sobre o transorte da eça é aresentado na Fig.(9). Para estas siulações a freqüência foi antida e 35 Hz, as alitudes fixadas e Y=.267 e X=.336. Co o auento de i a velocidade de transorte estabiliza-se e torno de 53 /s. 55 Velocidades édias de transorte 5 45 Vx [ /s] Coeficiente de Atrito Figura 9. Influência do atrito entre eça e ista na freqüência de 35 hz

9 5. CONCLUSÕES O odelo roosto ara reresentar o coortaento dinâico do contato entre a eça e a ista de u transortador vibratório ebora seja silificado eritiu reresentar adequadaente o oviento da eça nas freqüências de 25 hz e 35 Hz. E freqüências ais baixas e ais elevadas que estas, e virtude de ainda não estare disoníveis resultados exerientais não é ossível garantir a validade do odelo. Entretanto, as siulações aresentadas ostra coerência co o coortaento físico eserado ara o oviento da eça, no que diz reseito à fases de escorregaento e de salto. Este fato ode ser verificado nas figuras Fig (1) e Fig.(11). Mov. Vertical f=35 Hz Y, Y [] Vy [/s] Fn [N] t[sec] Figura 1. Correlação entre Movientos verticais e a força noral de contato. Mov. Horizontal f=35 Hz Vx [/s] Vx Vx [/s] Fa [N] Figura 11. Correlação entre Movientos horizontais e a força de atrito no contato.

10 Nos instantes de choque da eça co a ista que ocorre aós as fases de salto, a força noral de contato que atua sobre a eça auenta raidaente. A velocidade vertical sofre u súbito acréscio, coo aresentado na Fig.(1). Nas fases de escorregaento, a força noral é reduzida, até se anular durante a róxia fase de salto. O coortaento da eça na direção do transorte ode ser observada na Fig.(11). A força de atrito auenta raidaente durante o choque da eça co a ista e te valor negativo, indicando que está no sentido contrário ao do oviento de transorte. Na fase de escorregaento sua intensidade é reduzida, assuindo valores ositivos e negativos, coo conseqüência da velocidade da eça relativa à ista. Quando esta velocidade relativa é ositiva a força de atrito atua a favor do transorte da eça. Este odelo ode ser alicado ao rojeto de transortadores vibratórios. Fornecendo a assa da eça, ua estiativa da rigidez de contato, do coeficiente de atrito é ossível deterinar as condições de acionaento que roduza a áxia velocidade de transorte. O odelo roosto erite o estudo de outras foras de onda ara a excitação da ista. Futuras etaas deste trabalho inclue u odelo da eça co sua geoetria real, incluindo u grau de liberdade de rotação. Para tratar este roblea está sendo desenvolvido u odelo lano de eleentos finitos que incorora a ista, sua susensão e a eça co assa e inércia de rotação. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradece ao CNPq e à FAPEMIG elo suorte financeiro. 7. REFERÊNCIAS Booth, J. H.; Mccallion, H, 1964, On Predicting the Mean Conveying Velocity of a Vibrating Conveyor, Proc. Inst. Mech. Engineers, 178(2), Carvalho, J. C. M.; Dahan, M.,1991, Transorteurs vibrants excités ar des écanises lans à quantre barres, Proc. COMEFIN 3, Brasov, Roênia,.: Gaberson, H. A., 1972 (a), Particle Motion on Oscillating Conveyors - The Equations of Motion and the Rules for Predicting Motion For Transitions - Part I, II, Trans. ASME, J. of Eng. for Industry, Martins, R. S, Carvalho, J. C. M., Rade, D. A., 1998, Estudo Teórico e Exeriental de Transortadores Vibratórios Lineares co Excitação Eletroagnética, V Congresso de Engenharia Mecânica Norte Nordeste, 27 a 3 de Outubro, Fortaleza, vol. 1, Martins, R. S, Carvalho, J. C. M., Rade, D. A., 21, Análise Teórica e Exeriental do Coortaento de Materiais e Transortadores Vibratórios, XVI Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica COBEM21, 26 a 3 de Novebro, Uberlândia, Brasil, Povidaylo, V. A., 1959, Design Calculations and Construction of Vibratory Hoers, Machines and Tooling, 3(2), Povidaylo, V. A., 196, Otiun Vibratory Feeder Oerating Conditions, Machines and Tooling, 31(5), STUDY OF THE CONTACT BETWEEN A PIECE AND THE TRACK OF A VIBRATORY CONVEYOR. Francisco Paulo Léore Neto(*) fleore@ecanica.ufu.br João Carlos Mendes Carvalho(*) jcendes@ecanica.ufu.br

11 Roberto de Souza Martins (*) Teorary Professor (*) College of Mechanical Engineering Federal university of Uberlandia Abstract: Vibratory conveyors are widely alied on autoated industrial roduction lines. This aer resent a odel to reresent the dynaic behavior of a iece transorted by a conveyor vibratory device that has a horizontal rigid track ounted on a flexible susension. The track is driven by a four bar echanis, which rovides horizontal and vertical haronic otion. The contact between the iece and the track is odeled by four araeters: two linear srings and two viscous daers, a Coulob friction coefficient, and a shock restitution coefficient. The dynaic resonse is obtained by nueric integration of the differential nonlinear equations of the syste. Nuerical results are coared to those obtained by exerients conducted on a conveyor rototye. The exeriental results were used to identify the nuerical values of the contact araeters used on the nuerical siulations. Keywords: vibratory conveyor, elastic contact, feeders