TICOS. PROGRESSÕES Leia e descubra que eu não vim do além

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1 ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOS TICOS PROGRESSÕES Leia e descubra que eu não vim do além 1

2 As seqüências numéricas estão estreitamente associadas aos processos de contagem e ao desenvolvimento dos sistemas de numeração. Por essa razão, encontramos registros de problemas envolvendo diversos tipos de seqüências nos principais documentos das civilizações antigas. Os babilônios (aproximadamente 2000 a.c) possuíam tábuas de cálculo onde era comum encontrar seqüências de quadrados e cubos de números inteiros. Nesse mesmo período, os egípcios utilizavam seqüências numéricas para fazer a decomposição de frações em somas de outras frações, como indicam os registros encontrados no papiro de Ahmés (entre 2000 e 1700 a.c.) 2

3 Na civilização grega, encontramos diversos exemplos de seqüências numéricas notáveis. Entre elas destacam-se aquelas estudadas pela escola Pitagórica (século VI a.c) que envolviam os números denominados figurados e o crivo de Eratóstenes, processo pelo qual se obtém a seqüência dos números primos. Também entre os chineses, hindus e árabes, encontramos diversos exemplos de estudos de seqüências numéricas. No século XIII, na Europa, o italiano Leonardo de Pisa ( ), também conhecido como Fibonacci, publicou a obra Liber Abacci, na qual apresenta seqüências numéricas que também se tornaram notáveis. 3

4 Até hoje em dia, diversos matemáticos desenvolvem estudos sobre seqüências numéricas, aplicando-as aos mais diversos campos de atividade. Na natureza encontramos uma grande variedade de padrões geométricos e numéricos. Há muitos séculos o homem contempla e estuda a beleza desses padrões. Os padrões geométrico são diretamente observáveis na flora, na fauna e em diversos fenômenos naturais. As espirais encontradas nas conchas de moluscos e na flor do girassol, os favos hexagonais de um de uma colméia, o padrão hexagonal dos flocos de neve e as diversas simetrias poligonais que se observam nas carapaças de certos habitantes dos mares são exemplos de padrões geométricos. 4

5 Os padrões numéricos, por sua vez, nem sempre são observação direta, pois dependem, em geral, de uma interpretação da natureza e de uma posterior associação de valores numéricos ao fenômeno estudado. Um bom exemplo de padrão numérico é a seqüência de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,... Fibonacci em seu livro Liber Abacci (1202), propôs um problema que consiste em determinar de que forma varia o número de casais de coelhos que se originam de um casal inicial, supondo que este gere um casal a cada mês. Cada casal gerado dá origem a um novo casal, após dois meses de seu nascimento, e, assim, sucessivamente.. 5

6 A solução do problema proposto por Fibonacci deu origem à seqüência numérica que se tornou célebre: 1,1,2,3,5,8,13,... A lei de formação desta seqüência por ser escrita por: a1 = 1, a2 = 1 a = a + a n+ 1 n n 1 (n Ν * e n 2 6

7 Além do problema dos coelhos, a seqüência de Fibonacci pode ser associada a outros fenômenos naturais. A genealogia do zangão (macho da abelha), a disposição das folhas nos ramos das plantas para obtenção do máximo de iluminação para cada folha e o crescimento dos galhos de certas espécies botânicas são exemplos desses fenômenos: o caule inicial dá origem a 2 outros; estes desdobram-se em 3, dos quais surgem 5, que originam 8, e assim por diante. 7

8 Em relação às progressões temos registros que o termo foi utilizado pela primeira vez, em 1249, para designar determinados tipos de seqüências, por J. Holiwood conhecido por Sacrobosco -, em sua obra Tractatus de Arte Numerandi, publicado somente em Apesar de o nome ter sido introduzido apenas no encontrando-se registros no papiro de Ahmés (século século XIII, progressões elementares já eram conhecidas dos babilônios e dos egípcios, XVII a.c.). 8

9 Os pitagóricos (século VII a.c.), estudando o comportamento de cordas vibrantes, descobriram que os sons por elas produzidos tinham freqüências de vibração que formavam seqüências matemáticas. Euclides (século III a.c.) apresentou no livro IX de Os Elementos uma regra que se destinava ao cálculo da soma dos termos de determinadas seqüências, que hoje são denominadas progressões geométricas. Diofanto de Alexandria (século III d.c.) desenvolveu uma fórmula para o cálculo da soma dos termos de progressões que hoje chamamos de progressões aritméticas. 9

10 Em 499 d.c., o matemático hindu Aryabhata publicou um livro intitulado Aryabhatiya no qual trata especificamente de progressões, sem justificar, contudo, as regras que propõe. No século XIII, Fibonacci, em seu livro Liber Abacci, também apresenta estudos sobre as progressões. Estudos mais completos, com fundamentações mais precisas, foram publicados durante o século XVIII pelo matemático francês: Abraham De Moivre e pelos suícos Daniel Bernonilli e Leonhard Euler. 10

11 Não podemos esquecer do notável matemático alemão, Johann Friedrich Carl Gauss ( ) que conforme registros históricos em 1787, em sua pequena escola da aldeia do principado alemão de Braunschweig, seu professor Büttner para desafiar seus alunos propôs-lhes um problema fácil, porém trabalhoso; pediu-lhes que obtivessem a soma dos 100 primeiros números inteiros positivos:

12 Com essa tarefa, esperava ele manter os alunos ocupados por um bom espaço de tempo. No entanto, após três minutos um menino de 10 anos aproximou-se da mesa do mestre e apresentou-lhe o valor correto da soma: Para chegar a esse resultado, o menino não percorreu o trabalhoso caminho que consiste em dispor as parcelas um abaixo da outra e depois somá-las. Ao invés disso, raciocinando sobre o problema, ele percebeu que: somando o primeiro e o último número, obtinha: = 101; somando o segundo e o penúltimo número, obtinha: = 101; somando o terceiro e o antepenúltimo número, obtinha: = 101; e assim por diante. Logo, o problema pede a soma de 50 parcelas iguais a 101, a última das quais é: = 101. Calculando-a, obtemos: =

13 Embora aborrecido com o menino que sabotara seu estratagema, o professor Büttner percebeu seu invulgar talento e estimulou-o a estudar Matemática. Seus grandes feitos não parou por aí, em 1796 foi o primeiro a construir um polígono regular de 17 lados com o auxílio de régua e compasso. Em 1798 doutorou-se em Matemática; em sua tese fazia a demonstração do teorema fundamental da álgebra, segundo o qual toda equação polinomial f(x) = 0 tem pelo menos uma raiz. 13

14 No começo do século XIX optou por dedicar-se à Astronomia e passou a estudar as órbitas dos satélites, o que lhe valeu o cargo de diretor do observatório de Göttingen. Deixou também contribuições nos campos da Geodésia e do Eletromagnetismo. Em 1885, ano do falecimento de Gauss, o rei Jorge V de Hannover fez cunhar, em sua homenagem, uma moeda com os dizeres: Mathematicorum princeps ( príncipe dos matemáticos ). O brilhante raciocínio que Gauss empregou para obter a soma , pode ser generalizado para qualquer seqüência de um determinado tipo. Essas seqüências são denominadas progressões aritméticas. 14

15 ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOS TICOS I SUCESSÃO OU SEQÜÊNCIA NUMÉRICA 15

16 Seqüência Definição: Denomina-se seqüência qualquer função f cujo domínio é N *. (0,2,4,6,8,10,...) a n = 2n (1,3,5,7,9,11) a n =2n+1 Existe uma lei de formação dos termos de uma seqüência 16

17 Duas formas diferentes de definir uma seqüência -Pelo termo geral Nesse caso, a seqüência é definida por uma fórmula que dá o valor de cada termo a n em função de sua posição n na seqüência Exemplo: a n = (2n -1)/4 17

18 Duas formas diferentes de definir uma seqüência -Por recorrência Nesse caso, a seqüência é definida atribuindo determinado valor a um de seus termos (geralmente o primeiro) e indicando uma fórmula que permite calcular cada termo, conhecendo o valor do termo anterior da seqüência. Exemplo: a 1 = 5 e a n + 1 =a +2, n 1 n 18

19 ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOS TICOS I PROGRESSÃO ARITMÉTICA 19

20 Representação matemática de uma progressão aritmética (P.A.) a n+1 = a n + r, n N * Razão de uma progressão aritmética é a quantidade que acrescenta-se a cada termo para obter o seguinte ou a diferença entre qualquer termo, a partir do segundo, e o anterior. a2 a1 = a3 a2 =... = an +1 an = r 20

21 Progressão Aritmética tica Definição: Progressão Aritmética ( PA ) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado de razão da progressão ( r ). Termo Geral: an = a1 + ( n 1). r an : n - ésimo termo. a1 : primeiro termo. onde : n : número de termos. r : razão 21

22 Soma de Termos: S n = ( a + a 2 1 n). n Três termos em P.A.: x r, x, x + r 22

23 ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOS TICOS I Progressão Geométrica 23

24 Progressão Geométrica Definição: é uma sequência de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da progressão. Termo Geral: a n = a 1. q n 1 a a onde : n q n 1 : : termo geral primeiro termo : número de termos : razão 24

25 Progressão Geométrica Classificação de uma P.G. Crescente: Decrescente: Quando a 1 >0 e q>1 Quando a 1 >0 e 0<q<1 Quando a 1 <0 e 0<q< 1 Quando a 1 <0 e q > 1 Alternante: Constante: Quando q<1 Quando q=0 25

26 Progressão Geométrica 1 2 Soma de Termos de uma P.G. finita: o caso :q = 1 Sn = n. a1 n o a ( 1) caso :q 1 1 q Sn = S n ( a = q 1 n. q a q 1 ` Obs. Quando a P.G. é infinita e 1 < q < 1 e q 0, a soma dos termos fica: a1 S = 1 q 1 ou ) 26

27 Aplicações 1.Um pintor consegue pintar uma área de 5 m 2 no primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2 m 2 a mais do que pintou no dia anterior. a) Quantos metros quadrados ele pintará no nono dia? b) Em que dia ele terá conseguido pintar 31 m 2? R: 21 m 2 e 14 º dia 27

28 Aplicações 2. Numa folha de papel cartão, estão desenhados n quadrados. No primeiro, colocam-se 3 grãos de arroz; no segundo, 7 grãos; no terceiro, 11 grãos e assim sucessivamente até o quadrado de ordem n. a) Qual o número de grãos do décimo segundo quadrado? b) Qual o número de grãos do enésimo quadrado? R: 47 grãos ; 4n

29 Aplicações 3. Duas pequenas fábricas de calçados A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares mensais, a partir de que mês a produção da fábrica B superará a produção da fábrica A. 29

30 Resolução Fabrica A: a 1 = 3000; r = 70 e a Fabrica B: a 1 = 1100; r =290 Para a fábrica f B superar a produção de A, devemos ter: a n B que n Como + a ( n n n A 2120 equivale 1). 290 N *, então ao n mês , 6 n de = 9 +, ( n setembro. 1)

31 Aplicações 4. O fichário da clinica médica de um hospital possui clientes cadastrados em fichas numeradas de 1 a Um médico pesquisador, desejoso de saber a incidência de hipertensão arterial entre as pessoas que procuravam a clínica, fez um levantamento, analisando as fichas que tinham os números múltiplos de 15. Qual o número de fichas não analisadas? R:

32 Aplicações Interpolação Aritmética tica 5. Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determinar em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones. R: 8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58,63,68,73,78 e 83 32

33 Aplicações Interpolação Aritmética tica 6. Uma harpa deverá ser construída tendo 13 cordas eqüidistantes. Os comprimentos da maior e da menor são, respectivamente, 1,8 m e 0,6 m. Sabendo-se que os comprimentos das cordas estão em P.A., determine-os. R: 1,8 m; 1,7 m; 1,6 m;...; 0,7 m; 0,6 m 33

34 Aplicações Soma dos termos de uma P.A. 7. O dono de uma fábrica pretende iniciar a produção com 2000 unidades mensais e, a cada mês, produzir 175 unidades a mais. Mantidas essas condições, em um ano quantas unidades a fábrica terá produzida no total? R:

35 Aplicações Soma dos termos de uma P.A. 8. Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até terminar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas? R: 8 dias 35

36 Aplicações Soma dos termos de uma P.A. 9. Um ônibus de excursão percorre no primeiro dia de viagem uma distância x; no segundo dia, o dobro do que percorreu no primeiro; no terceiro dia, o triplo do primeiro dia e assim por diante. Ao final de 10 dias, percorreu 5500 km. Que distância o ônibus percorreu no primeiro dia? R: 100 km 36

37 Aplicações 10. Um agricultor precisa regar 30 árvores que se encontram em linha reta, situando-se 3 m uma da outra. A fonte d água encontra-se alinhada com as árvores, situando-se 10 m antes da primeira. Ao encher seu regador na fonte, o agricultor só consegue regar 3 árvores de cada vez, considerando que o agricultor começou e terminou na fonte, determine o tipo de progressão que será constituída a partir da seqüência das distâncias percorridas a cada viagem, a distância percorrida na última viagem e o total percorrido, em metros, para regar todas as árvores. R: P.A. ; 194 m e 1130 m 37

38 Aplicações 11. Um painel luminoso circular contém 60 lâmpadas em sua moldura. Às 20 horas, quando o painel é ligado, são acesas as lâmpadas de números 1,5,9,13,... A partir daí, para dar a impressão de movimento, a cada segundo apagam-se as lâmpadas acesas e acendem-se as lâmpadas seguintes a elas. Seja S a soma dos números correspondentes às lâmpadas que são acessas às 22h 33 min 13 s. Calcule o valor de S/5. R: 90 38

39 Resolução Às 22h 33 min 13 s, passaram-se 9193 s desde que o painel foi ligado. Conclui-se do enunciado que o painel apresenta quatro configurações distintas no decorrer do tempo: 39

40 Resolução Tempo (s) N O das lâmpadas acesas 0,4,8,...,9184,9188,9192 1,5,9,...,53,57 1,5,9,...,9185,9189,9193 2,6,10,...,54,58 2,6,10,...,9186,9190,9194 3,7,11,...,55,59 3,7,11,...,9187,9191,9195 4,8,12,...,56,60 40

41 Resolução Logo, os números n das lâmpadas acesas em t= 9193 s forma uma P.A. com a 1 = 2 ; a n = 58 e r = 4 58 = 2 n = 15 + ( n 1). 4 ( 2 58) S 450 S15 = = 450 = =