MATEMÁTICA FINANCEIRA SUMÁRIO

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2 SUMÁRIO 1 Introdução Razão de duas grandezas Proporções Elementos Propriedade Fundamental 4 Grandezas Proporcionais Grandezas Diretamente Proporcionais 4.2 Grandezas Inversamente Proporcionais 4.3 Grandezas Proporcionais a várias outras 4.4 Divisão Proporcional 5 Percentagem Taxas 5.2 Elementos do Cálculo Percentual 5.3 Taxa Unitária 6 Operações sobre Mercadorias Vendas com Lucro 6.2 Vendas com Prejuízo 6.3 Abatimentos Sucessivos 7 Juro Simples Desconto Simples Desconto Comercial 8.2 Taxa de Juro Efetiva 8.3 Equivalência de Capitais 8.4 Desconto Racional 9 Juro Composto Taxas Taxas Proporcionais 10.2 Taxas Equivalentes 10.3 Taxa Nominal 10.4 Taxa Efetiva 10.5 Taxa Real e Taxa Aparente 11 Desconto Composto Equivalência de Capitais Diferidos 12 Seqüências de Capitais Seqüência Uniforme 12.2 Montante de uma Seqüência Uniforme 13 Amortização de Empréstimo Sistema de Amortização Constante (SAC) 13.2 Sistema Francês (ou Sistema Price) Cálculo do Saldo Devedor no Sistema Francês Respostas dos Exercícios Propostos Apêndice Calculadora HP-12C Bibliografia

3 PREFÁCIO Antes de elaborarmos este material, tínhamos uma grande preocupação com o ensino da matemática nos cursos que não são chamados da área das Ciências Exatas e da Natureza, devido à linguagem rigorosa, complexa e de cálculos muitos longos dessa ciência. Porém, a matemática é uma ferramenta poderosa no campo administrativo (contabilidade, empreendedorismo, economia, etc.), pois de um modo geral as decisões em uma organização são tomadas encima de números. Daí a necessidade de escrever os conceitos de forma simples e clara, sempre seguidos de exemplos ilustrativos, de posse que o leitor tenha a plena condição de entender e visualizar a aplicação da matemática nessas diversas áreas do conhecimento. Tivemos a predisposição de fazer uma pesquisa de campo, para podermos então afirmar quais dos assuntos abordados são mais usuais no mercado financeiro. Para que o leitor saiba, que o aprendizado desse material vai além dos ensinos acadêmicos. Ele, o leitor, vivenciará na prática, com mais ou menos intensidade, dependendo da sua área de atuação, todos os conceitos da Matemática Financeira aqui expostos. Todos os cálculos propostos pode ser resolvidos via calculadora científica, porém existe no mercado uma calculadora com funções financeiras que pode agilizar o processo de cálculo para o leitor, que é a HP-12C. Caso o leitor possua uma planilha eletrônica do tipo Microsoft Excel em matemática financeira, também será de grande utilidade nas resoluções dos problemas. É importante lembrar, que muitos resultados parciais, durante o processo de cálculos, apresentarão um grande número de dígitos na parte decimal do número, isso nos obrigará a constantes arredondamentos, conseqüentemente levará para o resultado final uma margem de erro desprezível para o processo. (Sugerimos que sejam consideradas 5 casas decimais) Por fim, estamos aguardando sugestões e críticas que possam qualificar e engrandecer, para as próximas edições, esse material. E não esqueça que, apesar do primeiro capítulo ser Razão e Proporção, de colocar acima de tudo a emoção para no processo de aprendizado, pois assim como um alimento pode proporcionar prazer ao ser humano, o conhecimento ao ser alimentado gera um prazer útil e duradouro. Pode acreditar! Obrigado! Belém, 17 de julho de O Autor. 4

4 MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.INTRODUÇÃO A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem geral; o aluno terá oportunidade de verificar, ao longo do curso, que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e avaliação das formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamentos de empréstimos. Você terá uma visão geral do que é feito no nível bancário e comercial, com isso você irá se familiarizar com as terminologias dessa maravilhosa Disciplina. Aproveite, e boa sorte! 2. RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. 3m/ 3 Exemplo: A razão de 3 m e 7 m é: = 7m/ 7 Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo:5 Um automóvel percorre 120 km em 2 horas. A razão entre a distância 120km percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: = 60km / h 2h EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01 Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 27km e 3 l de gasolina b) 40g e 5 cm 3 5

5 c) 24kg e 80kg d) 20cm e 4dm e) 20d e 2me 15d 3.PROPORÇÕES Dados, em uma mesma ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d) Exemplo: = 4 e = 4, logo os números 12, 3, 24 e 6 nessa ordem formam uma proporção, que pode ser expressa mediante a uma igualdade de razões: = ELEMENTOS a c =, dizemos que a está para b, assim como c está para d. b d a e c são os antecedentes b e d são os conseqüentes a e d são os extremos b e c são os meios PROPRIEDADE FUNDAMENTAL Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios ad = cb Exemplo: 3 12 =, temos 3 x 20 = 5 x EXERCÍCIOS PROPOSTOS 02 -Calcule x nas proporções: a) = 20 x b) 7 6 x =

6 NOTA: Série de razões iguais: = =, observamos que a razão são todas iguais a 2. Nesse caso chamamos de PROPORCÃO MÚLTIPLA. Podemos dizer que o valor dessas razões é igual a uma constante k, daí temos que: a b c m = k, = k,..., = k, podemos fazer então: a = bk, c = dk,..., m = nk. d n Somando membro a membro dessas equações, temos: a + c m = bk + dk nk a + c m = k (b + d n) a + c m = k b + d n Como: a b c m = =... = = k, podemos escrever então: d n a + c m b + d n = a b = c d =... = m n Em toda série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente. x y z Exemplo: Calcule x, y e z, sabendo que = = e x + y + z = Usando a propriedade das proporções múltiplas temos: x + y + z x y z = ou ou Como x + y + z = 420, podemos escrever : 420 x y z = ou ou Daí temos: x = 108, y = 132 e z = 180 7

7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 03) Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que os conseqüentes são 2 e 8. 04) Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que a razão entre eles é 2/3. 05) A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? 06) A importância de R$ 588,00 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda com o 5 para 7, e que a parte da segunda está para a terceira como 7 para 9, determine as três partes. 07) (CN) Calcule, aplicando a propriedade de uma série de razões iguais, os números x y z x, y e z, sabendo que x + 6y + z = 120 e = = NOTA: Dados os números a e b temos que: a + b a) a Média Aritmética entre a e b é dado por: MA =, é o quociente 2 entre a soma desses números pelo total deles. b) a Média Geométrica ou Proporcional entre a e b é dado por: MG = a. b, é raiz quadrada (ou n-ésima) do produto desses números. a. p1 + b. p2 c) a Média Ponderada entre a e b é dado por: MP =, é a soma p1 + p2 dos produtos desses números pelos pesos correspondentes, dividida pela soma desses pesos (p1 e p2) 1 d) a Média Harmônica entre a e b é dado por: MH =, nesse caso 1 1 a + b 2 2ab podemos escrever ainda MH =, é o inverso da média aritmética dos inversos a + b desses números. Resolva: (CN) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica dos números 6 e GRANDEZAS PROPORCIONAIS De um modo geral estamos sempre diante de problemas com grandezas que estão relacionadas entre si, de tal forma que quando uma varia, a outra também varia. Por exemplo, temos o tempo gasto para confeccionar um determinado tipo de produtos DEPENDE dos números de operários que estão trabalhando nesse processo. 8

8 Iremos estabelecer uma lei de variação dos valores de uma grandeza em relação à outra. Refiro-me às GRANDEZAS DIRETA OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. 4.1 GRADEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Uma barra de ouro de 50 cm 3 de volume pesa 140g; nas mesmas condições, uma barra de 100 cm 3 pesará 280g e uma de 150 cm 3, 420g. Podemos, então, escrever a seguinte tabela: Volume (cm 3 ) Massa (g) Observe que a grandeza massa DEPENDE da grandeza volume, onde aumentando uma, a outra também aumenta. O mais importante, é notarmos que: = = = 560 = 2,8 200 Admitindo que x represente a grandeza volume e de y a massa, podemos dizer que: y = 2,8 ou ainda, y = 2,8x x Estabelecemos as seqüências (50, 100, 150, 200) e (140, 280, 420, 560), em seguida podemos afirmar que elas são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, ou seja, as grandezas x e y são grandezas DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. O número 2,8 em questão é denominado RAZÃO ou COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDADE. Duas grandezas variáveis são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo: y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero. Como a função é linear (gráfico representado por uma reta passando pela origem dos eixos cartesianos), y = kx, temos a seguir a representação gráfica do exemplo exposto anteriormente: y x 9

9 4.1.1 Característica da Grandeza Diretamente Proporcional: Se (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) são pares de valores correspondentes de duas grandezas y 2 y1 proporcionais, podemos representar por: = x y 2 2 Podemos ajustar essa relação, para melhor descrevê-la: x 1 = x 2 y y 1 2 Dadas duas grandezas DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 1º) A proporcionalidade entre duas grandezas, quando não resultante de uma dedução lógica ou de uma definição, só existe dentro de certos limites. Assim, na compra por atacado, por exemplo, o preço por unidade é menor do que nas compras a varejo. 2º) Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas grandezas não é suficiente verificar se o aumento de uma delas acarreta o aumento da outra. È necessário que, ao multiplicarmos uma delas por um número real k diferente de zero, a grandeza correspondente também fique multiplicada por k. Por exemplo, a aresta de um cubo e seu volume não são grandezas proporcionais, pois, multiplicando-se a aresta por 2, o volume fica multiplicado por Números Diretamente Proporcionais: As seqüências de números reais não-nulos (a 1, a 2,..., a n ) e (b 1, b 2,..., b n ) são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS se, e somente se: a b 1 1 a2 a = =... = b b 2 n = n k, k é uma constante Ou ainda, o que é mais comum para efeito de cálculo: a 1 = kb 1 ; a 2 = kb 2,..., a n = kb n 10

10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 08) Verifique se os números das seqüências são proporcionais: a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5) b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105) 09) Qual é a razão de proporcionalidade entre as seqüências de números diretamente proporcionais (5, 8, 11) e (40, 64, 88)? 10) Determine os valores de x e y nas seqüências de números proporcionais (6, x, 21) e (2, 5, y). 11) Quais os menores números inteiros proporcionais aos números 2/3, 3/4 e 1/6? (Sugestão: multiplique pelo m.m.c dos denominadores) 12) Dados os números 1/5, 3/6 e 7/10, determine os três menores números inteiros proporcionais a esses números. 4.2 GRADEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Veja o quadro ao lado: Percebemos que a grandeza velocidade quando aumenta, o tempo diminui. Porém, agora temos: 12x100 = 200x6 = 300x4 = 400x3 = Ou ainda: = = = = Velocidade (km/h) Tempo (h) Chamando de x a grandeza velocidade e de y a grandeza tempo, temos: y = x 1 Podemos dizer que as seqüências na tabela são grandezas INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, ou ainda, que as grandezas x e y são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS e 1200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. Duas grandezas variáveis são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS se os valores correspondentes x e y são expressos por uma função do tipo: y = k. x 1, onde k é um número real constante, diferente de zero. 11

11 A função que representa a proporcionalidade inversa é a recíproca, y = k/x, que é um ramo de uma hipérbole: y y = ( x > 0) x Característica da Grandeza Inversamente Proporcional: Se (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) são pares de valores correspondentes de duas grandezas proporcionais, podemos representar por: x 1.y 1 = x 2.y 2 Podemos ajustar essa relação, para melhor descrevê-la: x 1 = x 2 y y 2 1 Dadas duas grandezas INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, a razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre dos dois valores correspondentes da outra Números Inversamente Proporcionais: As seqüências de números reais não-nulos (a 1, a 2,..., a n ) e (b 1, b 2,..., b n ) são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS se, e somente se: a 1.b 1 = a 2. b 2 =... = a n.b n = k, k é uma constante Ou ainda, podemos usar a relação: a1 1 b 1 = a2 1 b 2 =... = a 1 b n = n k ' 12

12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13) Verifique se as seqüências são inversamente proporcionais: a) (2, 3, 6, 10) e (45, 30, 15, 9) b) (2, 5, 8) e (40, 30, 20) 14) Determine os valores de x e y nas seqüências de números inversamente proporcionais (2, 3, y) e (15, x, 5). 4.3 GRADEZAS PROPORCIONAIS A VÁRIAS OUTRAS Uma grandeza pode ser proporcional a duas ou mais grandezas, isoladamente. Por exemplo, o número de dias para construir um muro depende não apenas do número de operários, mas também do número de horas de trabalho diário dos operários, das dimensões do muro, etc. Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é diretamente ou inversamente proporcional a cada uma delas quando as demais não variam. Em particular, uma grandeza x é proporcional a duas outras y e z quando, fixando uma destas últimas, a grandeza x varia proporcionalmente à outra. Veja essa propriedade: Seja X uma grandeza proporcional às grandezas A e B e, ao mesmo tempo, inversamente proporcional `as grandezas C e D. Se x, a, b, c e d são valores correspondentes dessas grandezas, pela definição existe uma constante k, diferente de zero, tal que: 1 1 x = k.a.b.. c d Ou ainda: ab x = k. cd 4.4DIVISÃO PROPORCIONAL Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados é decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS(ou divisão proporcional) Durante uma gincana em uma escola, ficou definido que o prêmio arrecadado de R$ 180,00, seria divido com as equipes vencedoras: 1º, 2º e 13

13 3º lugares. De tal modo que a divisão seria proporcionais aos números 5, 3 e 2, na ordem apresentada de classificação. Chamaremos de x, y e z, respectivamente, a cada uma dessas parcelas, teremos então: x y z = =, Como x, y e z são as parcelas que dividimos o número , temos ainda: x + y + z = 180 Da primeira equação, temos: x + y + z x = = 5 y 3 z = 2 é igual a 18. x + y + z 180 k = = = 18, temos então que a constante de proporcionalidade Então, vem: x = k.5 = 18.5 = 90 y = k.3 = 18.3 = 54 z = k.2 = 18.2 = 36 TOTAL = 180 Logo, temos que as partes dividas foram: R$90,00, R$54,00 e R$36,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 15) Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5. 16) Divida o número 2990 em partes proporcionais a 5, 7 e ) Divida 184 em partes diretamente proporcionais a 1/2, 2/3 e 3/4. 18) Dois operários contratam um serviço por R$ 1800,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço de cada um? DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Digamos que um pai, deixou herança de R$20.000,00 para ser dividida com seus três filhos, um com 5 anos, outro com 3 anos e o mais novo com 2 anos de idade. Esse valor será dividido em partes inversamente proporcionais às idades dos seus filhos, respectivamente. Chamando de x, y e z as parcelas que caberão a cada filho, teremos: 14

14 x 1 5 y z = =, fazendo o m.m.c (5, 3, 2) = 30, temos então: = 1 6; 3.30 = 1 10 ; 2.30 = 15 Reescrevendo a proporção, temos: x 6 = y 10 = z 15 k = x + y + z = = 645,16 31 Então: x = k..6 = 645,16. 6 = 3.870,96 y = k. 10 = 645, = 6.451,61 z = k. 15 = 645, = 9.677,42 TOTAL = ,00 (fazendo arredondamento) Logo: o mais velho, recebeu R$ 3.870,93, o do meio R$ 6.451,61 e o caçula recebeu R$ 9.677,42. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19) Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. 20) Um pai deixou R$ ,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA Agora esse processo consiste em dividir em partes direta ou inversamente proporcionais a certos números a, b, c e, simultaneamente, em partes direta ou inversamente proporcionais a outros números m, n, p. Sejam os valores x, y, z valores das partes pedidas. Como x, y, z são proporcionais a a, b, c e também a m, n, p, são grandezas compostas; portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos am, bn, cp. Veja como ficaria operacionalmente: 15

15 t x am y bn sendo: x y z = = am bn cp x + y + z = t z cp Exemplo: Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e a 3, 5, 7. Resolvendo, temos: x + y + z = 392, x am = 2.3 = 6 y bn = 3.5 = 15 z cp = 4.7 = 28 am + bn + cp = 49 x + y + z 392 k = = = 8 am + bn + cp 49 Logo, as partes são: 48, 120 e 224 x = am. k = 6. 8 = 48 y = bn. k = = 120 z = cp. k = = 224 Total = 392 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21) Divida o número em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e a 6, 7, 8. 22) Divida 175 em partes diretamente proporcionais a 5/4, 3, 4 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 3/4, 6, 2. 23) Divida em três partes que sejam, a um tempo, inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e diretamente proporcional a 4, 6 e 9. 24) Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e a 4, 6 e 9. 25) Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o dobro da primeira e a terceira o quádruplo da segunda. 26) Dionísio e Tadeu organizaram uma empresa comercial com um capital social de R$ ,00, devendo cada um deles entrar com R$ ,00. No ato da organização, 1º março, Dionísio integralizou sua quota e Tadeu contribuiu apenas com R$ 7.000,00, responsabilizando-se por integralizar sua quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi procedido o Balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 7.400,00. Qual a parte a ser creditada a cada sócio? 27) Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00 e obtiveram um lucro líquido de R$ ,00. Qual será a parte de cada um? 16

16 28) Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de R$ ,00 e R$ ,00 respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro, R$ ,00 a mais que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas. 5. PERCENTAGEM 5.1 TAXAS Suponhamos que num torneio de futebol, o artilheiro do time A tenha marcado 18 gols, e o artilheiro do time B marcado 24 gols. A razão entre o número de gols o jogador do time A e o número de gols do time B é: 18 = 3 = 0,75 = Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100, neste caso 75, ela é chamada razão centesimal. 100 Podemos ainda, substituir 1 pelo símbolo %, que lemos: por cento. 100 Então: 75 = 75% 100 Esse número 75% é denominado taxa percentual. 5.2 Elementos do Cálculo Percentual Vimos que 18 = Neste exemplo, chamamos o 18 de PERCENTAGEM, o 24 de PRINCIPAL e 75 de TAXA, temos então: PERCENTAGEM PRINCIPAL Daí pode definir que: = TAXA 100 TAXA: é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. PECENTAGEM: é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. 17

17 PRINCIPAL: é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem. OBS: Para efeito de cálculo de Percentagem, designaremos por: P o principal p a percentagem r a taxa De forma geral temos: p = P r 100 Exemplo 1: Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de $360,00? Temos que: P = 360 r = 3 p 3 Então, temos: = p = 10, Logo, a comissão é de $10,80 Exemplo 2: Em uma faculdade 26% dos alunos são mulheres. Quantos alunos possui a faculdade, se elas são em número de 182? Temos que: p = 182 r = Então, temos: = P = 700 P 100 Logo, a faculdade possui 700 alunos. Exemplo 3: Um bem de consumo foi adquirido por $5.000,00 e vendido com um lucro de $400,00. Qual a percentagem de lucro? Temos que: P = 5000 p = r Então, temos: = r = Logo, o lucro foi de 8% 18

18 5.3 Taxa Unitária De um modo mais prático, recomenda-se o uso da taxa unitária e representamos pela letra i 15 i = => i = 0,15 Exemplo 1: A taxa unitária correspondente a 35% é: 35% = 30 = 0, 3, isto é, i = 0,3 100 Exemplo 2: A taxa percentual correspondente a 0,06 é: 0,06 = 6 = 6%, isto é, i = 6% 100 Exemplo 3: Calcule 40% de 18% Temos que: 40% = 0,4 e 18% = 0,18 Então, podemos fazer: 0,4 x 0,18 = 0,072 Logo a resposta é: 7,2 % Os problemas mostrados com a relação p r p =, pode ser escrita agora como = i P 100 P Mostraremos a seguir, outra metodologia para os cálculos desenvolvidos anteriormente. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01)Em uma liquidação, uma camisa que custava R$30,00 foi vendida com 15% de abatimento. De quanto foi o abatimento e qual o valor que o consumidor pagou? Resolução Podemos usar uma regra de três simples para solucionar o problema, veja: Se R$30,00 corresponde ao total do valor da camisa, temos então: % x 15% (desconto) 30 = 100% x 15% x = 30x15 x = X = 4,5 19

19 O abatimento foi de R$4,50, e a camisa foi vendida por R$30,00 R$4,50 que é igual a R$25,50. 02)(D.T.R.) As agências de viagens informaram que os pacotes para final de ano cresceram em vendas 70% em relação ao ano, anterior (1999). Sabendo que em 2000 foram vendidos pacotes de viagens, quantos foram vendidos em 1999? Resolução Houve uma variação mais de 70% em relação ao total do ano anterior, que corrrespondia a 100% das vendas, temos então: % x 100% x = x100 % 170% x = X = ,06 Em 1999 foram vendidos, aproximadamente pacotes de viagens para o final de ano. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 29) Um comprador, por pagar fora do vencimento uma mercadoria cujo preço era R$1.500,00, teve que pagar 14% de multa. Quanto pagou no total? 30) (D.T.R.) O censo do IBGE 2000 revelou que cerca de 20% a população brasileira vive no campo. Sabendo que a população total é de aproximadamente de habitantes, qual a população da área urbana? 31) Da 1 a. Fase de um concurso participam 30 mil candidato, dos quais 70% não foram aprovados para a 2 a. Fase. Dos participantes da 2 a. Fase 65% não conseguiram aprovação. a. Quantos candidatos foram aprovados nesse concurso? b. Qual foi a taxa de reprovados? 32) Uma mistura é formada por 150ml de leite e 50ml de água. a. Qual é a taxa percentual de leite na mistura? E de água? b. Adicionando-se 10ml de água à mistura, qual será a participação percentual de água na mistura? 20

20 c. Retirando-se 10ml de água da mistura original, qual será a participação percentual da água na mistura? 33) (FACI) Um trabalhador de uma indústria madeireira paraense ganha R$6,00 por hora. Do total do seu salário, há um desconto de 20% para imposto de Renda e INSS. Desejando esse trabalhador ter um salário líquido de R$1.200,00 mensais, quantos horas deverá trabalhar por mês? a) 195 b)235 c)215 d)250 34) (CESUPA) O governo reeditou a CPMF; então, desde junho de 1999, de cada quantia retirada do banco, seja através de cheque ou cartão magnético, é descontado 0,38%. Ao fazer um pagamento com cheque no valor de R$1.850,00, o total que é debitado da conta de uma pessoa é: a) R$1.857,03 b) R$1.842,97 c) R$1.779,90 d) R$1.047,00 35) (UNAMA) Devido à crise no Oriente Médio, o aumento do preço do barril do petróleo causou pânico, desestabilizando o mercado financeiro. Em determinado período, porém, o preço do barril sofreu uma queda de US$32 para US$24. O percentual dessa queda foi de: a) 8% b) 15% c) 25% d)33,33% 36) (D.T.R.) Após o censo 2000, o IBGE divulgou que cerca de 52% da população brasileira é constituída de mulheres. Se a população é de de habitantes, podemos dizer que o número de mulheres a mais do que homens é aproximadamente: a) b) c) d) OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS Veremos neste capítulo problemas de percentagem relacionados às OPERAÇÕES DE COMPRA E VENDA DE MERCADORIAS, fazendo cálculos de LUCRO ou PREJUÍZO sobre os preços de custo e de venda de mercadorias. 6.1 Vendas com Lucro A venda de mercadorias pode oferecer um lucro, e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. O preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de administração e funcionamento da empresa. Para as operações seguintes, usaremos a relação: Onde : L => Lucro V => Preço de Venda C => Preço de Custo L = V C 21

21 6.1.1 Sobre o Preço de Custo A taxa de correção incidirá sobre o valor do preço de custo. Exemplo 1: Um comerciante vendeu mercadorias com lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram $500,00. Usando a relação: L = V C Temos: 0,08.C = V C => C + 0,08C = V => V = 1,08C V = 1, => V = 540 Logo, o preço de venda é de $ 540, Sobre o Preço de Venda A taxa de correção incidirá sobre o valor do preço de venda. Exemplo 2: Comprou-se um objeto por $6000,00 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual dever ser este preço? Usando a relação: L = V C Temos: 0,25V = V C => C = V 0,25V => C = 0,75V 6000 V = 0,75 => V = 8000 Logo, o preço de venda deve ser $8000, Vendas com Prejuízo A venda de mercadorias pode oferecer um prejuízo, e este prejuízo pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda Sobre o Preço de Custo Exemplo 1: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto custou $300,00, qual foi o preço de venda? Usando a relação: L = V C Temos: - 0,4.C = V C => C - 0,4C = V => V = 0,6C V = 0, => V = 180 Logo, o preço de venda é de $ 180, Sobre o Preço de Venda A taxa de correção incidirá sobre o valor do preço de venda. 22

22 Exemplo 2: Um bem de consumo que custa $6000,00 foi vendido com um prejuízo de 25% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. Usando a relação: L = V C Temos: - 0,25V = V C => C = V + 0,25V => C = 1,25V 6000 V = 1,25 => V = 4800 Logo, o preço de venda deve ser $4800, Abatimentos Sucessivos Considere o seguinte problema: uma empresa distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura (relação que acompanha a remessa de mercadorias expedidas, ou que se remete mensalmente ao comprador, com a designação de quantidades, marcas, pesos, preços e importâncias), e os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de $ 6.400,00, qual o valor líquido da mesma? Essa operação é simples, pois calcularemos os líquidos parciais correspondentes aos abatimentos oferecidos, com suas respectivas taxas, obtendo-se o total líquido final. Veja a solução: P = 6400; i 1 = 0,1 ; i 2 = 0,04 ; i 3 = 0,05 p 1 = P. i 1 = ,1 = 640 => L 1 = = 5760 p 2 = L 1. i 2 = ,04 = 230,4 => L 2 = ,4 = 5529,6 p 3 = L 2. i 3 = 5529,6. 0,05 = 276,48 => L 3 = 5529,6 276,48 = 5253,12 Logo, o valor líquido da fatura é $ 5.253,12. NOTA1: De um modo geral temos: L k = L k-1. (1 i k ) Ou ainda de modo mais específico: NOTA2: Para AUMENTOS SUCESSIVOS, teremos L = P(1 i 1 ). (1 i 2 ). (1 i 3 )... (1 i n ) L = P(1 + i 1 ). (1 + i 2 ). (1 + i 3 )... (1 + i n ) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 37) Vendendo por $ 600,00 um objeto que custou $ 480,00, qual será a percentagem de lucro? 38) Por quanto deve vender uma mercadoria que me custou $ 400,00 para ganhar 25% sobre o custo? 23

23 39) Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por $ 238,00 um objeto que custou $ 280? 40) De quanto por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou $ 280,00 e foi vendido por $ 250,00? 41) Vendi um objeto por $ 120,00. Se tivesse vendido por mais $ 20,00, meu lucro seria de 50% do preço da nova venda. Qual foi o meu lucro? 42) Certa mercadoria foi vendida por $ 3.232,00, com o prejuízo de 8,7% sobre o preço da compra. Por quanto deveria ser vendida para dar lucro de 12% sobre o preço de custo? 43) Uma fatura de $8.000,00 sofre abatimentos sucessivos, de 10% e 8%. Qual o valor líquido a pagar? 44) Uma fatura de $ ,00, por motivo de atraso em seu pagamento, sofre aumentos sucessivos de 10% e 15%. Qual o valor final dessa fatura? 45) Sobre o preço de compra de uma mercadoria incide uma despesa de 15%. Por quanto devemos vender essa mercadoria, comprada por $ 540,00, para que tenhamos um lucro de 25% sobre o preço de compra, repassando a despesa para o consumidor? 46) Um comerciante comprou uma peça de tecido de 450m, ao custo de $8,40 o metro. Vendeu 340m com 30% de lucro. Depois, vendeu o restante com certo prejuízo. Sabendo que a venda de todo o tecido, nas condições acima, deixou $ 77,32 de lucro líquido, calcule o preço pelo qual foi vendido, em cada caso, o metro do tecido. 7. JURO SIMPLES Antes de começarmos o estudo de Juro Simples, precisamos conhecer alguns conceitos importantes: a) Capital ou Principal ou Valor Presente, representaremos pela letra C. Corresponde a um valor que será submetido a uma correção dentro de um certo período. b) Taxa, será representado pela letra i. A taxa de juro é expresso em porcentagem numa determinada unidade de tempo, que servirá como um fator de correção. c) Montante ou Valor Futuro, representado pela letra M. Corresponde ao valor do Capital adicionado ao Juro calculado no período em questão. d) Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital. O Juro Simples é um Regime de Capitalização, onde apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são capitalizados. Ou seja, Juro Simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. Por definição, o Juro Simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. J = C.i.n ; obs: i e n (período), devem estar na mesma unidade de tempo. NOTA: nos estudos de funções, essa relação representa uma Função de 1º grau, camada Linear, que é uma reta passando pela Origem J(n) = Cin 24

24 Exemplo 1: Coloquei uma importância de R$ ,00, aplicada pelo prazo de 2 anos, à uma taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago e o valor total do resgate, respectivamente? Como J = C.i.n J = ,3. 2 J = O valor resgatado é o Montante: M = C + J M = M = Logo, temos: R$ 7.200,00 e R$ ,00 Exemplo 2: Foi aplicada uma importância de R$ ,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? Temos agora, o período e a taxa em unidade de tempo diferente, então devemos fazer: n = 2 anos = 2 x 12 meses = 24 meses Agora sim, J = C.i.n J = , J = 8.640,00 Resposta: R$ 8.640,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ ,00 pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 48) Calcule o juro simples do capital de R$ ,00 colocando à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. 49) Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ ,00 a ser resgatado por R$ ,00 no final de 2 anos? 50) A que taxa o capital de R$ ,00 rende R$ ,00 em 6 meses? 51) Um capital de R$ ,00 aplicando durante 10 meses, rende juro de R$ ,00. Determine a taxa correspondente. 52) Um capital emprestado a 24% ao ano rende, em 1 ano,2 meses e 15 dias, o juro de R$ ,00. Qual foi esse capital. 53) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 54) Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendose, assim, um ganho anual de R$ ,00. Qual é o valor desse capital? 8. DESCONTO SIMPLES Quando se deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é comum que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Esse título tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, com isso terá direito a um abatimento denominado DESCONTO. Podemos listar alguns títulos de crédito mais comuns em operações financeiras: 25

25 i. DUPLICATA: esse título é emitido por uma pessoa jurídica contra o seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos posteriormente, segundo um contrato; ii. NOTA PROMISÓRIA: é emitida para comprovação da aplicação de um capital com vencimento futuro. Esse título é um dos mais populares, muito usando entre pessoas físicas ou pessoas físicas e instituições financeiras; iii. LETRA DE CÂMBIO: também é um título que comprova uma aplicação de um capital com vencimento predeterminado; esse título é usado exclusivamente por uma instituição financeira, é que chamamos de título ao portador. Antes de estudarmos, as operações matemáticas dos DESCONTOS, devemos conhecer alguns conceitos que aparecerão nas operações com descontos: DIA DE VENCIMENTO: é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da aplicação; VALOR NOMIMAL: é o valor indicado no título (valor de face, valor futuro ou valor de resgate), que será pago no dia do vencimento; VALOR ATUAL: é o líquido pago ou recebido ( valor descontado) antes do vencimento; TEMPO ou PRAZO: é o período compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro. DESCONTO: é a quantia a ser abatida do valor Nominal, isto é, a diferença entre o valor Nominal e o valor Atual. d = N - A I NOTA: Quando o desconto considera como capital o VALOR NOMINAL, é denominado de DESCONTO COMERCIAL (POR FORA); Quando o desconto considera como capital o VALOR ATUAL, é denominado de DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO). 8.1 Desconto Comercial O desconto comercial, bancário ou por fora equivale ao juro simples, produzido pelo VALOR NOMINAL do título no período de tempo correspondente, e à taxa fixada. d = N. i. n II 26

26 Onde: d valor do desconto comercial N valor nominal do título A valor atual comercial ou valor descontado comercial n tempo i taxa de desconto Com base nas relações I e II, temos: N. i. n = N A A = N N. i. n A = N (1 i. n) VALOR ATUAL COMERCIAL: A = N (1 i.n) NOTA: Não se recomenda o desconto comercial para prazos muito longos, pois o desconto pode ultrapassar o valor nominal do título. Exemplo1: Uma empresa deve um título de valor nominal igual a $1.500,00. Esse título tem o vencimento marcado para 17/06/2003. Só que a empresa antecipará o pagamento com desconto comercial em 20/05/2003. Sabendo que a taxa de desconto é de 2% ao mês, determine: a) o valor do desconto; Temos que : d = N. i. n Onde : N = 1500; i = 2% a.m : 30 = 0,02/30 ao dia; n = 11(dias de maio) + 17(dias de junho) = 28 dias 0,02 Então: d = Logo: d = $28,00 b) o valor atual do título na data de sua liquidação; Temos que: A = N d Então: A = Logo: A = $1.472,00 27

27 Exemplo2: Uma duplicata de $6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por $6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. Temos que: A = N(1 i.n) Onde : N = A = i = 0,04 a.m Então: 6072 = 6900(1 0,04. n) 0,88 = 1 0,04.n 0,04n = 0,12 0,12 n = n = 3 0,04 Logo : A antecipação foi de 3 meses EXERCÍCIOS PROPOSTOS 55) Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a. o valor do desconto comercial; b. o valor atual comercial. 56) Uma duplicata, cujo valor nominal é de $2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? 57) Um título, no valor nominal de $8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual o valor comercial descontado? 58) Um título de $4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por $4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate. 8.2 Taxa de Juro Efetiva A taxa de juro efetiva, num período n torna o capital A igual ao montante N, ou seja, é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Na linguagem matemática teríamos: C(1 + i f. n) = M, onde i f é a taxa efetiva e M o montante. Como C = A e M = N, temos: A(1 + i f. n) = N 1 + i f.n = A N if.n = A N - 1 if.n = i f = Logo: i f = d A. n N A A n Como N A = d, temos: i f = d A. n N A A 28

28 Exemplo1: Uma duplicata de $23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por $21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva Temos: N = A = n = 112 dias = 3,733 meses d = N A = = 1932 Então, a taxa de desconto foi: d = N.i.n 1932 = i.3, i = = 0,0225 = 2,5% a. m Em seguida, calculamos a taxa efetiva: i f = d A. n i f = 1932 = x3, ,844 = 0,02456 = 2,45% a. m. Exemplo2: Um título de $6.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de $189,00, calcule a taxa de juro efetiva. Temos: N = 6000 n = 45 d = 1,5 mês d = 189 Então, d = N A A = N d A = A = Logo, a taxa efetiva é: i f = = = 0, = 2,17% a. m. 5811x1, Equivalência de Capitais Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. Resolver problemas dessa natureza consiste em estabelecer uma data e comparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes. Vale ressaltar, que capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes. No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a data em que a dívida foi contraída; isto porque, neste regime, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que o juro é admitido como sendo formado no fim do período de aplicação. Vejamos três exemplos para ilustrar melhor essa teroria: 29

29 Exemplo1: Quero substituir um título de $5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título? Temos que: N =? n = 5 me i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. N = 5000 n = 3 me i = 3,5% a.m. = 0,035 a.m. Se ocorre equivalência, temos então: A = A Então: A = N(1 i. n) A = N(1 0,035 x 5) A = 0,825N A = N (1 i.n) A = 5000(1 0,035 x 3) A = 4475 Logo, temos: 0,825N = 4475 N = 5.424,24 O valor do novo título será de : $5.424,24 Exemplo2: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de $3.000,00 e o outro de $3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentre de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês, qual será o valor do novo título? Nesse caso, temos: N 1 = 3000; n 1 = 2 me N 2 = 3600; n 2 = 6 me i = i 1 = i 2 = 3% a.m. = 0,03 a.m. n = 4 me Para que exista equivalente, temos: A = A 1 + A 2 Então: A 1 = 3000(1 0,03 x 2) A 1 = 2820 A 2 = 3600(1 0,03 x 6) A 2 = 2952 Como: A = N(1 i.n ) A = N(1 0,03 x 6) A = 0,88N Logo: 0,88N = N = 5772/0,88 N = 6559,09 O valor do novo título será de : $6.559,09 Exemplo3: Desejamos substituir dois títulos, um de $5000,00 para 90 dias e outro de $12000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencível, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês. Para que exista equivalência, temos: A 1 + A 2 + A 3 = A 1 + A 2 30

30 Temos que: N 1 = 5000 ; n 1 = 90 d = 3 me N 2 = 12000; n 2 = 60 d = 2 me i = 3% a.m. = 0,03 a.m. n 1 = 30 d = 1 me; n 2 = 60 d = 2 me; n 3 = 90 d = 3 me. Então: A 1 = N(1 0,03 x 1) A 1 = 0,97N A 2 = N(1 0,03 x 2) A 2 = 0,94N A 3 = N(1 0,03 x 3) A 3 = 0,91N A 1 = 5000 (1 0,03 x 3) A 1 = 4550 A 2 = 12000(1 0,03 x 2) A 2 = Logo: 0,97N + 0,94N + 0,91N = ,82N = N = N = 5613,47 2,82 O valor nominal de cada um dos novos títulos será de: $ 5.613,47 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 59) Um título de valor nominal igual a $6300,00 para 90 dias deverá ser substituído por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês. 60) Um industrial deve pagar dois títulos: um de $14.400,00 para 2 meses e outro de $19.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-lo por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal do novo título, sendo a taxa igual a 3,8% ao mês? 61) Substitua três títulos, um de $4.000,00 para 30 dias, outro de $10.000,00 para 60 dias e outro de $16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês? 8.4 Desconto Racional Esse desconto é o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. O desconto Racional ou por dentro, na prática bancária não é utilizado, mas se faz necessário o seu estudo porque o desconto composto está relacionado a esse conceito. Por definição, temos: d r = A r. i. n Onde: d r corresponde ao valor do desconto racional; A r corresponde ao valor atual ou valor descontado racional A r = N - d r I 31

31 Lembremos que: Temos então: d r = (N d r ). i.n d r = N.i.n d r. i. n d r + d r. i. n = N.i.n d r ( 1 + i.n) = N.i.n N. i. n d r = 1+ i. n II Usando as relações I e II, temos: A r = N - N. i. n 1+ i. n A r = N.(1 + i. n) N. i. n 1+ i. n A r = N + N. i. n N. i. n 1+ i. n N A r = 1+ i. n Exemplo1: Um título de $6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) o valor do desconto racional; Temos: N = 6000 ; n = 45 d ; i = 2,1% a.m = 0,07% a.d. = 0,0007 a.d. N. i. n 6000x0,0007x45 Então: d r = d r = d r = 183,22 1+ i. n 1+ 0,0007x45 Logo, o desconto é igual a $183,22 b) o valor atual racional. Como: A r = N - d r Então: A r = ,22 A r = 5816,78 Logo, o valor atual racional é igual a $5816,78 9. JURO COMPOSTO O regime de capitalização a juro composto difere do juro simples na atualização do Capital. Enquanto que no regime de juro simples a correção é sempre feita no Capital Inicial, no JURO COMPOSTO a correção é feita, a partir do segundo período, sobre o MONTANTE relativo ao período anterior. É o que o mercado conhece vulgarmente como juro sobre juro. Digamos que um capital de $1000,00, aplicado a 10% ao ano, a juro composto, veja como ficaria essa capitalização: ANO JURO MOTANTE , x0,1x1 = 100, , x0,1x1 = 110, , x0,1x1 = 121, ,00 32

32 Seguindo a lógica matemática da tabela anterior, e chamando de C o capital inicial, de i a taxa e J o juro de cada período, poderíamos generalizar esse processo: PERÍO JURO MONTANTE DO 1º J 1 = C. i M 1 = C + J 1 M 1 = C + C.i M 1 = C(1 + i) 2º J 2 = M 1.i M 2 = M 1 + J 2 M 2 = M 1 + M 1.i M 2 = M 1 (1 + i) M 2 = C(1 + i).(1 + i) M 2 = C(1 + i) 2 3º J 3 = M 2.i M 3 = C + J 3 M 3 = C(1 + i) 3 Se continuarmos na construção da tabela, chegaríamos a seguinte relação: M n = C(1 + i) n Que calcula o montante em regime de juro composto, onde (1 + i) n acumulação de capital ou fator de capitalização, é o fator de NOTA: Sugerimos nesse capítulo o uso de uma máquina calculadora científica, onde a função x y será de grande uso. Exemplo1: Calcule o montante produzido por $3000,00, aplicado em regime de juro composto a 4% ao mês, durante 2 meses. Temos que: M = C(1 + i) n C = 3000; n = 2 me ; i = 4% a.m. = 0,04 a.m. Então: M = 3000(1 + 0,04) 2 M = 3000(1,04) 2 M = 3000 x 1,0816 M = 3244,80 Logo, o valor do montante é igual a: $3244,80 Exemplo2: Calcule o capital inicial que, no prazo de 2 meses, a 5% ao mês, produziu um montante de $2205,00 no regime de juro composto. Temos que : M = 2205 ; n = 2 me ; i = 5% a.m. = 0,05 a.m. Então: 2205 = C(1 + 0,05) = C(1,05) 2 C = Logo, o valor do capital inicial é igual a: $2.000, C = ,1025 Exemplo3: Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de $3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Temos que: M = 4049; C = 3200; n = 6 me; i =? Então: 4049 = 3200(1 + i) calculadora), teríamos: (1,26531) 1/6 = 1 + i i = 1,040 1 i = 0,040 Logo, a taxa é igual a: 0,04 a.m. ou 4% a.m. 6 = (1 + i) 1,26531 = (1 + i) 6 (usando a 33

33 Exemplo4: Determine em que prazo um empréstimo de $11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de $22.125,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. Temos que: M = 22125; C = 11000; i = 15% a.s. = 0,15 a.s ; n =? Então: = 11000(1 + 0,15) n (1,15) n = (1,15) n = 2,01136 (usando logaritmo, temos) log(1,15) n = log2,01136 n.log1,15 = log2,01136 n = n = 5 log 2,01136 log1,15 Logo, o prazo é igual a: 5 semestres ou 2 anos e 6 meses. Exemplo5: Qual será o montante de $2000,00, a juro composto de 37% ao ano, em 4 anos e 3 meses? Temos que: C = 2000; i = 37% a.a. = 0,37 a.a.; n = 4 a e 3 me = 4 a + a = a = a Então: M = 2000(1 + 0,37) 17/4 M = 2000 x 1,37 4,25 M = 2000 x 5,14160 M = 10283,20 Logo, o montante é igual a: $10.283,20. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 62) Calcule o montante de uma aplicação de $8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. 63) Calcule o montante do capital de $65.000,00, colocado a juros compostos à taxa de % ao mês, no fim de 6 meses. 64) Qual o montante produzido por $16.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 3% ao mês durante 40 meses? 65) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu um montante de $79.475,00,, calcule esse capital. 66) Se uma pessoa investir, hoje, uma quantia de $16.000,00 para receber $18.127,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? 67) O capital de $8.700,00, colocado a juros compostos `a taxa de 2,5% ao mês, elevouse no fim de certo tempo a $11.456,00. Calcule esse tempo. 68) Um capital de $25.000,00, empregado em regime de juro composto, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6 meses. Quanto receberá o investidor? 69) Determine o juro de uma aplicação de $20.000,00, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses. 34

34 70) Calcule o montante de uma aplicação de $8.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses. 71) Qual o montante produzido pelo capital de $6.800,00, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? 72) Calcule o montante de $8.500,00, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. 73) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses rendeu um montante de $19.752,00. 74) Em que prazo uma aplicação de $ ,00 produzirá um montante de $ ,00, à taxa de 3% ao mês? 75) Um capital de $20.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo $3.774,00 de juro. Determine a taxa de aplicação. 76) O capital de $12.000,00, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante 8 meses, elevou-se no final desse prazo a $15.559,00. Calcule a taxa de juro. 10 TAXAS 10.1 Taxas Proporcionais: Duas taxas são ditas proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. Veja como ficariam as taxas proporcionais a uma taxa ao ano i a. ia i s = 2 ia ; i t = 4 ; i b = i a 6 ia ; i m = 12 i ; i d = a 360 Onde: i s : ao semestre; i t : ao trimestre; i b : ao bimestre; i m : ao dia ; i d : ao dia Então, para um período 1/k do ano, a taxa proporcional será i a / k, ou seja: i k = i a k 10.2 Taxas Equivalentes: São taxas que se referindo a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo. Verifique se as taxas proporcionais são equivalentes, calculando o montante, ao aplicarmos um capital de $1.000,00, em regime de juro composto, empregado nas duas condições a seguir: a) durante 1 ano, à taxa de 24% ao ano; b) durante 12 meses, à taxa de 2% ao mês. 35

35 Consideremos a situação anterior, chamemos de C o capital, i a a taxa anual, tempo de 1 ano, tem que produzir um montante igual ao mesmo capital C, durante 12 meses, à taxa mensal i m, equivalente à taxa anual i a. Temos que: M 1 = C(1 + i a ) 1 M 12 = C(1 + i m ) 12 Como: M 1 = M 12 C(1 + i a ) 1 = C(1 + i m ) i a = (1 + i m ) 12 Logo: 1 + i a = (1 + i m ) 12 Exemplo1: Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? Temos que: 1 + i a = (1 + i m ) 12 Então: 1 + i a = (1 + 0,02) 12 i a = 1, i a = 1, i a = 0,26824 Logo a taxa anual equivalente é igual a: 0,2682 a.a. ou 26,82% a.a. Exemplo2: Qual a taxa trimestral equivalente a 20% ao ano? Temos que: 1 + i a = (1 + i t ) 4 Então : 1 + 0,2 = (1 + i t ) 4 1,2 = (1 + i t ) 4 (1,2) 1/4 = 1 + i t i t = 1, i a = 0,04663 Logo, o valor da trimestral equivalente é igual a: 0,04663 a.t. ou 4,66% a.t Taxa Nominal: Quando a taxa de capitalização não coincide com aquele a que se refere, denominamos essa taxa de NOMINAL. Por exemplo: juros de 34% ao ano capitalizado mensalmente; ou juros de 36% ao ano capitalizado semestralmente. De um modo geral, a taxa nominal é uma taxa anual. Exemplo1: Qual o montante de um capital de $4.000,00, no fim de 3 anos, com juros de 26% ao ano capitalizados trimestralmente? Temos que: C = 4000; n = 3 anos; i = 26% a.a. = 0,26 a.a. 0,26 Como: i 4 = = 0,065 a.t. e n = 3 x 4t = 12t 4 Então: M 4 = C(1 + i t ) n M 4 = 4000(1 + 0,065) 12 M 4 = 4000x2,12909 M 4 = 8516,38 Logo o montante será igual a: $8.516, Taxa Efetiva: Quando oferecemos 8% ao ano e capitalizamos semestralmente a 4%, a taxa de 8% é a taxa nominal. A taxa efetiva é a taxa anual equivalente a 4% semestrais. Logo, sendo i f a taxa efetiva, temos: 1 + i f = (1 + 0,04) 2 i f = 1, i f = 0,0816 Logo a taxa efetiva é igual a: 0,0816 a.a. ou 8,16% a.a. 36