Parte IV: Princípio do Desprezo Ordem. Exercícios par aula

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1 Parte IV: Princípio do Desprezo Ordem Exercícios par aula 1) De um grupo de 7 pessoas de quantos modos eu posso convidar: a) 2 pessoas b) 3 pessoas c) 5 pessoas d) 7 pessoas 2)(Unifesp-02) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas? a) 64 b) 126 c) 252 d) 640 e) )(Ufscar-00) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente 20 vereadores, sendo que 12 deles apóiam o prefeito e os outros são contra. O número de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadores situacionistas e 3 oposicionistas é: a) b) c) 551 d) 495 e) 56 4) Um grupo é formado por 7 enfermeiros e 5 médicos. Considerando as pessoas desse grupo: a) Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar? b) Quantas comissões de 5 pessoas são constituídas por 3 enfermeiros e 2 médicos? c) Quantas comissões de 5 integrantes possuem exatamente 1 médico? d) Quantas comissões de 5 integrantes possuem pelo menos um médico? 5) Divida um grupo de 12 pessoas em três grupos, sendo um de cinco pessoas, outro de quatro e um grupo de três pessoas. Quantas são as possibilidades? 6)(FGV) Em uma reunião social havia n pessoas; cada uma saudou as outras com um aperto de mão. Sabendo que houve ao todo 66 apertos de mão, podemos afirmar que: a) n é um número primo. b) n é um número ímpar c) n é um divisor de 100 d) n é um divisor de 125 e) n é um múltiplo de 6. 7) Quantos são os anagramas de: a) CARRO b) ABACATE c) BANANA 8) Considere os anagramas da palavra MISSISSIPI a) Quantos começam com vogal? b) Quantos começam com consoante? c) Quantos apresentam as consoantes juntas em ordem alfabética? d) Quantos apresentam as consoantes juntas em qualquer ordem? 9) A figura apresenta as ruas de uma cidade Um indivíduo deseja sair do ponto A e chegar no ponto B, sempre fazendo um caminho possível e percorrendo a menor distância. a) De quantos modos isso é possível? b) E se ele, obrigatoriamente, tivesse que passar por C? 10)(FGV) Num grupo de dez estudantes, uma equipe de quatro estudantes será selecionada para uma excursão. De quantas maneiras diferentes a equipe poderá ser formada se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos? 11) Em uma reta r são marcados 6 pontos distintos ao passo que em outra reta s // r marcam-se 5 pontos também distintos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices nesses pontos? Série Básica 1)(PUC) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Erasmo querem formar uma sigla com cinco símbolos, com as iniciais dos seus nomes. Cada símbolo dessa sigla será a primeira letra de cada um dos de seus nomes. O número total de siglas é: a) 10 b) 24 c) 30 d) 60 e) 120 2)(Unicamp) As avenidas de uma cidade estão dispostas na direção norte-sul e as ruas na direção leste-oeste. Um trabalhador que reside numa das esquinas dessa cidade trabalha numa firma localizada noutra esquina, duas quadras ao sul e três quadras a leste. Quantos caminhos o trabalhador pode seguir para ir de casa à fabrica, percorrendo sempre a menor distância? 3) Uma urna contém 10 bolas: seis pretas iguais e quatro brancas iguais. Quantas são as maneiras de extrair, uma a uma, as dez bolas da urna? 4) O número de maneiras que se pode escolher uma comissão de três elementos num conjunto de dez pessoas é: a) 120 b) 210 c) 102 d) 220 e) 110 5)(FGV) Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 10 empresas para a compra, entre elas as da empresa R e as da empresa S. a) De quantas maneiras ele poderá escolher 7 empresas, entre as 10? b) Se entre as 7 empresas escolhidas devem figurar obrigatoriamente as empresas R e S, de quantas formas ele poderá escolher as empresas? 6) O número de jogos de um campeonato de futebol disputado por n clubes (n 2), no qual todos se enfrentam uma única vez, é a) (n 2 -n)/2 b) n 2 /2 c) n 2 -n d) n 2 e) 7) Uma liga esportiva elaborou um campeonato de futebol que será disputado em dois turnos. Em cada turno, cada clube jogará exatamente uma partida contra cada um dos outros participantes. Sabendo que o total de partidas será de 306, o número de clubes que participarão do campeonato é igual a: a) 34 b) 18 c) 17 d) 12 e) 9 8)(UEL-01) Uma aposta na MEGA SENA (modalidade de apostas da Caixa Econômica Federal) consiste na escolha de 6 dentre os

2 60 números de 01 a 60. O número máximo possível de apostas diferentes, cada uma delas incluindo os números 12, 22 e 23, é igual a: a) c) b) d) 60! 5.6! e) 57! 51!.6! 17)(FGV) Dadas duas retas paralelas e distintas, tomam-se dez pontos na primeira e seis na segunda. Qual o número de triângulos com vértices nos pontos considerados? 18)(UFMG) Observe a figura. 9) Uma empresa é formada por dez sócios sendo seis homens e quatro mulheres. Quantas comissões de cinco elementos poderão ser formadas com três homens e duas mulheres? 10)(FGV) Quer se criar uma comissão constituída de um presidente e mais três membros. Sabendo-se que as escolhas devem ser feitas dentre um grupo de oito pessoas, quantas comissões diferentes podem ser formadas com essa característica? 11)(Unesp-00) O setor de emergência de um hospital conta, para os plantões noturnos, com 3 pediatras, 4 clínicos gerais e 5 enfermeiros. As equipes de plantão deverão ser constituídas por 1 pediatra, e 1 clínico geral e 2 enfermeiros. Determine: a) quantos pares distintos de enfermeiros podem ser formados; b) quantas equipes de plantão distintas podem ser formadas. 12)(Ufscar-01) Num acampamento estão 14 jovens, sendo 6 paulistas, 4 cariocas e 4 mineiros. Para fazer a limpeza do acampamento, será formada uma equipe com 2 paulistas, 1 carioca e 1 mineiro, escolhidos ao acaso. O número de maneiras possíveis para se formar essa equipe de limpeza é: a) 96 b) 182 c) 212 d) 240 e) )(Vunesp) Um professor vai montar uma prova com quatro questões, sendo duas de álgebra e duas de geometria. Ele já selecionou seis de álgebra e quatro de geometria para fazer a escolha. Quantas provas diferentes ele poderá montar? a) 24 b) 60 c) 90 d) 180 e) )(UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro jogadores repartem entre si essas 28 peças, ficando cada um com 7 peças. De quantas maneiras distintas se pode fazer tal distribuição? a) 28!/[(7!]()] b) 28!/[()(2)] c) 28!/[(7!) 4 ] d) 28!/[(7!)(21!)] Série Complementar 15)(Fuvest-03) Uma ONG decidiu preparar sacolas, contendo 4 itens distintos cada, para distribuir entre a população carente. Esses 4 itens devem ser escolhidos entre 8 tipos de produtos de limpeza e 5 tipos de alimentos não perecíveis. Em cada sacola, deve haver pelo menos um item que seja alimento não perecível e pelo menos um item que seja produto de limpeza. Quantos tipos de sacolas distintas podem ser feitos? a) 360 b) 420 c) 540 d) 600 e) ) Colocando 10 pontos distintos sobre uma circunferência: a) quantos triângulos poderão ser obtidos com vértices naqueles pontos? b) quantos polígonos convexos poderão ser obtidos, com vértices naqueles pontos? Nessa figura, o número de triângulos que se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I, J é a) 20 b) 21 c) 25 *d) 31 e) 35 19)(Mack) De um grupo de cinco pessoas, de quantos modos eu posso convidar uma ou mais para jantar? a) 120 b) 30 c) 31 d) 32 e) 5 20) Utilizando as fórmulas de análise combinatória, demonstre que o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado por: d = n(n-3)/2 Série Desafio 21)(ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO apresentam as vogais em ordem alfabética? a) 2520 b) 5040 c) 1625 d) 840 e) 680 Gabarito da parte IV Exercícios para aula 1) a) 28 b) 35 c) 28 d) 1 2) B 3) A 4) a) 792 b) 350 c) 175 d) 771 5) ) E 7) a) 60 b) 840 c) 60 8) a) 2520 b) 3780 c) 5 d) 150 9) a) 126 b) 45 10) 98 11) 135 1) C 2) 10 3) 210 4) A 5) a) 120 b) 56 6) A 7) B 8) D 9) ) ) a) 10 b) ) D 13) C 14) C 15) E 16) a) 12 b) ) ) D 19) C 20) Demonstração 21) D Exercícios para aula Parte V: Exercícios 1)(Unesp) Dez rapazes, em férias no litoral, estão organizando um torneio de voleibol de praia. Cinco deles são selecionados para escolher os parceiros e capitanear as cinco equipes a serem formadas, cada uma com dois jogadores. a) Nessas condições, quantas possibilidades de formação de equipes eles têm? b) Uma vez formadas as cinco equipes, quantas partidas se realizarão, se cada uma das equipes deverá enfrentar todas as outras uma única vez? 2)(Fuvest) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é formado por uma matriz de 6 pontos, dos quais pelo menos um deles se destaca (mais forte) em relação aos demais. Por exemplo:

3 Quantas configurações podem ser obtidas com o barco totalmente guarnecido? Qual o número máximo de caracteres distintos que pode ser representado nesse sistema de escrita? a) 63 b) 89 c) 26 d) 720 e) 36 3)(Fuvest-04) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) 12 b) 18 c) 36 d) 72 e) 108 4)(ITA) O número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z + w = 5 é: a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56 5)(Unicamp-01) O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se: a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes? b) Quantos números do item (a) possuem seus cinco algarismos em ordem crescente? 6)(Mack-99) Pode-se formar uma comissão de 3 pessoas, escolhidas dentre os p diretores de uma firma, de k maneiras distintas. Entretanto, havendo designações diferentes para as 3 pessoas da comissão, a escolha pode ser feita k+100 maneiras distintas. O valor de k é: a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 7) Ao adicionarmos todos os números inteiros positivos formados a partir das permutações simples dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, obteremos um número M. Determine o algarismo da dezena de M. 8)(AFA) Qual é a quantidade de números naturais de quatro algarismos distintos, formados por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 que contém o algarismo 3 ou o algarismo 4? 9) Em um plano, estão marcados oito pontos distintos, dos quais quatro, e apenas quatro, estão sobre uma mesma reta. O número de retas distintas que se pode traçar com esses pontos do plano é igual a: a) 22 b) 23 c) 25 d) 28 e) 32 10)(Unicamp) De quantas maneiras podem ser escolhidos três números naturais distintos de 1 a 30, de modo que a soma deles seja par? Justifique. 11) De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 x 8? 12)(IME) Seja um barco com 8 lugares, numerados como no diagrama a seguir. Há 8 remadores disponíveis para guarnecêlo, com as seguintes restrições: os remadores A e B só podem sentar-se no lado ímpar, e o remador C, no lado par. Os remadores D, E, F, G, H podem ocupar quaisquer posições Série Básica 1)(UEL-00) O treinador de uma determinada seleção de futebol convocou, para os Jogos Olímpicos em Sydney, na Australia, 2 goleiros, 6 defensores, 8 meio-campistas e 5 atacantes. Considerando que o treinador tenha que respeitar a posição para a qual cada jogador foi convocado, quantas formações diferentes ele poderá escalar em um sistema de jogo com 1 goleiro, 4 defensores, 4 meio-campistas e 2 atacantes? a) b) 97 c) 480 d) 2062 e) )(Unicamp-99) Um tornei de futebol foi disputado por quatro equipes em dois turnos, isto é, cada equipe jogou duas vezes com cada uma das outras. Pelo regulamento do torneio, para cada vitória são atribuídos 3 pontos para o vencedor e nenhum para o perdedor. No caso de empate, um ponto para cada equipe. A classificação final do torneio foi a seguinte: Classificação Equipe Pontos 1 o lugar A 13 2 o lugar B 11 3 o lugar C 5 4 o lugar D 3 a) Quantas partidas foram disputadas em todo o torneio? b) Quantos foram empates? c) Construa uma tabela que mostre o numero de vitórias, de empates e de derrotas de cada uma das quatro equipes. 3)(Unicamp-00) Em um certo jogo são usadas fichas de cores e valores diferentes. Duas fichas brancas equivalem a três fichas amarelas, uma ficha amarela equivale a cinco fichas vermelhas, três fichas vermelhas equivalem a oito fichas pretas e uma ficha preta vale quinze pontos. a) Quantos pontos vale cada ficha? b) Encontre todas as maneiras possíveis para totalizar 560, usando, em cada soma, no máximo cinco fichas de cada cor. 4) Usando as letras da palavra FUVEST. a) Quantos são os possíveis anagramas? b) Quantos deles começam e terminam por vogal? c) Quantos deles têm consoantes e as vogais juntas? 5) De quantas maneiras um casal pode ter 2 meninos e 4 meninas? 6)(UEL) São dados 12 pontos num plano, 3 a 3 não colineares. O número de retas distintas determinadas por esses pontos é a) 66 b) 78 c) 83 d) 95 e) 131 7) Em uma estante serão colocados 10 CDs distintos, um ao lado do outro, sendo 5 deles de rock, 3 de blues e 2 clássicos. Determine quantas maneiras essa fila pode ser formada, se os discos de mesmo gênero musical devem ficar juntas? 8)(ITA-00) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? a) 144 b) 180 c) 240 d) 288 e) 360

4 9)(Mack) Doze professores, sendo quatro de matemática, quatro de geografia e quatro de inglês, participam de uma reunião, com o objetivo de formar uma comissão que tenha nove professores, sendo três de cada disciplina. O número de formas distintas de compor essa comissão é: a) 36 b) 108 c) 12 d) 48 e) 64 10)(Unifesp-03) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? a) 792 b) 494 c) 369 *d) 136 e) ) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez? 12)(PUC) Nove pessoas serão acomodadas em três quartos, com três lugares em cada um. Qual o número de formas que podemos fazer essa distribuição? 13) Formados e colocados em ordem crescente, todos os números de quatro algarismos distintos obtidos com os algarismos 1, 3, 5 e 7 que lugar ocupa o número 5731? a) 10º b) 13º c) 15º d) 17º e) 18º 14)(Unesp-01) Uma grande firma oferecerá aos seus funcionários 10 mini-cursos diferentes, dos quais só 4 serão de informática. Para obter um certificado de participação, o funcionário deverá cursar 4 mini-cursos diferentes, sendo que exatamente 2 deles deverão ser de informática. Determine de quantas maneiras distintas um funcionário terá a liberdade de escolher a) os minicursos que não são de informática b) os 4 minicursos de modo a obter um certificado. 15)(Mack-00) Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é: a) 66 b) 72 c) 90 d) 120 e) 124 Série Complementar 1) Ao escrevermos todos os números inteiros de 1 até 2222, quantas vezes escrevemos o número zero? 2) Um tabuleiro possui n linhas, n colunas e n peças. De quantas maneiras é possível colocar um peça em cada casa, de tal forma que em cada linha e em cada coluna tenha apenas uma peça? 3) Qual é o menor número de retas que se deve traçar em um plano, de forma que tenhamos seis pontos de intersecção? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 4) Em uma urna temos 10 bolas brancas, 8 pretas e 6 vermelhas. Qual é a quantidade mínima de bolas que devemos retirar, ao acaso, de modo que tenhamos certeza de ter retirado: a) duas bolas de uma mesma cor? b) duas bolas vermelhas? 5)(Unesp) A diretoria de uma empresa compõe-se de n dirigentes, contando o presidente. Considere todas as comissões de três membros que poderiam ser formadas com esses n dirigentes. Se o número de comissões que incluem o presidente é igual ao número daquelas que não o incluem, calcule o valor de n. 6) Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letras M, podemos formar 20 permutações. Qual é o número de letras M? 7)(Fuvest-01) Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, por ordem crescente, serão designadas por h1, h2,..., h10 (h1 < h2 <... < h10). O professor vai escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos 10 = 252 grupos que podem ser escolhidos, 5 em quantos, o estudante, cuja altura é h7, ocupará a posição central durante a demonstração? a) 7 b) 10 c) 21 d) 45 e) 60 8)(Fuvest-98) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 palavras (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas palavras forem colocadas em ordem alfabética, como um dicionário, a 250ª palavra começa com a) EV b) FU c) FV d) SE e) SF 9)(Unicamp-05) Com as letras x, y, z e w podemos formar monômios de grau k, isto é, expressões do tipo x p y q z r w s, onde p, q, r e s são inteiros não-negativos, tais que p + q + r + s = k. Quando um ou mais desses expoentes é igual a zero, dizemos que o monômio é formado pelas demais letras. Por exemplo, y 3 z 4 é um monômio de grau 7 formado pelas letras y e z [nesse caso, p = s = 0]. a) Quantos monômios de grau 4 podem ser formados com, no máximo, 4 letras? b) Quantos monômios podem ser formados por exatamente duas das 4 letras? 10)(ITA-02) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c? a) 1692 b) 1572 c) 1520 d) 1512 e) )(Unesp-99) De uma certa doença são conhecidos n sintomas. Se, num paciente, forem detectados k ou mais desses possíveis sintomas, 0 < k n, a doença é diagnosticada. Seja S(n, k) o número de combinações diferentes dos sintomas possíveis para que o diagnóstico possa ser completado de maneira segura. a) Determine S (6, 4). b) Dê uma expressão geral para S(n, k), onde n e k são inteiros positivos, com 0 < k n. 12)(ITA-06) Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é a) b) c) d) e)

5 13) O presidente p de um grêmio estudantil convida 7 membros da diretoria: a,b,c,d,e,f,g para um almoço em uma mesa redonda. O presidente sabe que o membro a suporta b e c somente quando esses dois membros estão juntos; estando os membros separados, a não deve permanecer junto de nenhum deles. Determinar de quantas formas o presidente p pode tomar assento à mesa com seus colaboradores. Série Desafio 1)(UFSCar-02) Em uma competição de queda-de-braço, cada competidor que perde duas vezes é eliminado. Isso significa que um competidor pode perder uma disputa (uma luta ) e ainda assim ser campeão. Em um torneio com 200 jogadores, o número máximo de lutas que serão disputadas, até se chegar ao campeão é: a) 99 b) 199 c) 299 d) 399 e) 499 2) Escrevem-se números de cinco dígitos (inclusive os começados por zero) em cartões. Como, 0, 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo para baixo, e como 6 de cabeça para baixo se transforma em 9, um só cartão pode representar dois números (por exemplo e 86190). Qual o número mínimo de cartões para representar todos os números de cinco dígitos? Gabarito Exercícios para aula 1) a) 120 equipes b) 10 partidas 2) A 3) C 4) E 5) a) b) 126 6) C 7) M = ) 336 9) B 10) ) ) 5760 Série Básica 1) A 2) a) 12 b) 4 c) Equipe Vitórias Empates Derrotas A B C D ) a) B = 300; A = 200; V = 40 e P = 15 b) 1B1A4P e 2A4V 4) a) 6! = 720 b) 48 c) 96 5) 15 6) A 7) ) A 9) E 10) D 11) ) ) E 14) a) 15 b) 90 15) A Série Complementar 1) 642 2) () 2 3) B 4) a) 4 b) 20 5) n = 6 6) 3 7) D 8) D 9) a) 35 b) 18 10) D n n 11) a) S(6; 4) = 22 b) S ( n; k) = 12) A 13) 2880 p= k p Série Desafio 1) B 2) (5 5-75)/ = Apêndices Permutação Circular O quadro abaixo apresenta as disposições dos objetivos A, B, C e D em torno de um círculo. Chama-se permutação circular de n objetos distintos qualquer disposição desses objetos em torno de um círculo. Duas permutações são indistinguíveis se, e somente se, uma pode ser obtida a partir da outra por uma rotação conveniente. (Veja permutações de uma mesma linha). Duas permutações são distinguíveis se, e somente se, uma não pode ser obtida da outra por qualquer rotação. (Veja permutações de uma mesma coluna). O número de permutações circulares de n objetos, denotado por (PCn) é: PC n = ( n 1)! Em outras palavras: fixa um elemento e permutam-se os outros n-1 elementos. 1) De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas? 2) De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher? 3) De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher e que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas? 4) De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam juntas? 1).5! = ) (n-1)!.2 n 3) 2(n-1)! 4) Permutação Caótica Quantos anagramas podem-se ter, usando as letras da palavra COLA, de modo que nenhuma letra ocupe o seu lugar de primitivo?

6 Começaremos respondendo essa pergunta com o número total de permutações, sem se preocupar com a condição (as letras não podem ocupar o seu lugar de origem). Total de permutações: Porém, a letra C, não pode ocupar a primeira posição, e com a letra C na primeira posição temos que permutar as outras cinco letras, portanto 3!. Da mesma maneira, O não pode ocupar a segunda posição: 3! L, não pode ocupar a terceira posição: 3! E, finalmente, A não pode ocupar a última posição: 3! Logo, do total,, temos que descontar 4 vezes o 3!. Daí, temos! Porém, O está na segunda posição em algumas das 3! possibilidades que descontamos quando C está na primeira posição. E, o contrário também é válido, C está primeira posição quando descontamos 3!, quando O está na segunda posição. Logo precisamos descontar esse desconto (associe: Descontar o desconto, seria o negativo do negativo, logo positivo). Tendo C O, temos que a permutação das outras é. Só que isso não acontece apenas com a dupla CO, acontece com CL, com CA, e com todas as duplas. Quantas duplas temos? Resposta: / Portanto, temos que descontar do desconto, somar, o / vezes Se tivéssemos uma palavra com 5 letras o raciocínio só seria ampliado e teríamos: ! !. +.1!.0! 3! 5! Ou melhor, 5! 5! 5! 5! 5! + + 0! 1! 3! 5! 5! Assim, podemos responder qualquer exercício de permutação caótica que consiste em permutação n elementos sem que eles ocupem a posição primitiva, com a fórmula: ! 1! 3! ( 1). 1)(Escola Naval) Determine o número de anagramas da palavra ESCOLA de modo que nenhuma letra ocupe o lugar primitivo? 2)(Olimpíada da Bélgica) Um pequena escola possui 4 alunos. Um professor coleou as provas resolvidas pelos alunos e imediatamente repassou para eles mesmos corrigissem. De quantas maneiras é possível fazer isto sem que um aluno receba a mesma prova que fez? a) 6 b) 9 c) 14 d) 23 e) 24 1) 145 2) B n Assim, temos 4!! +. Seguindo o raciocínio, em algumas vezes que descontamos as duplas, os trios estavam juntos e foram descontados mais de uma vez. Com as letras C O L juntas temos: C O L _ = 1! E, quantos trios têm-se? Resposta:.2/3!.2 3! Daí,! +..1! Por último, temos que descontar o quarteto estando junto COLA.2 3!.2.1 Finalmente, 4!! +..1! +.0!. Respondendo a pergunta inicial: Quantos anagramas podem-se ter, usando as letras da palavra COLA, de modo que nenhuma letra ocupe o seu lugar de primitivo?.2 3!.2.1 Resposta: 4!! +..1! +.0! = 9. Seria interessante, encararmos a resposta acima da seguinte maneira + + 0! 1! 3! = 9