Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais

Transcrição

1 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais Aula 3 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Instrumental

2 Meta Apresentar os conjuntos numéricos racionais, irracionais e reais. Objetivos Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 1. identificar e representar na reta numerada os números racionais; 2. determinar a fração geratriz de uma dízima periódica; 3. reconhecer os números irracionais; 4. relacionar os conjuntos numéricos já estudados com o conjunto dos números reais; 5. reconhecer e representar intervalos numéricos. Pré-requisitos Para melhor compreensão desta aula, você deverá rever os conceitos sobre conjuntos e operações com números inteiros. É importante também ter em mãos uma calculadora básica.

3 Conhecendo mais alguns números 53 Na aula passada, trabalhamos com os conjuntos dos números naturais e inteiros, você se lembra? A quantidade de animais criados na fazenda do Zé e o número de lâmpadas da sua casa são representados por números naturais. Já a temperatura do congelador e o saldo ou débito de uma conta corrente são representados em números inteiros. Será que podemos resolver todos os nossos problemas só com os números naturais e inteiros? Não saberíamos calcular, por exemplo, o preço de 1,5 litro de gasolina ou o preço de 2,5 kg de batata. A temperatura passaria de 38ºC para 39ºC, não teríamos 38,5 C de febre. Talvez não existisse o minuto, que é uma parte da hora. Por isso o homem sentiu a necessidade de desenvolver outros conjuntos numéricos. Raciocinando em conjunto com os racionais Pense em algo do seu cotidiano que é fracionário. Você já imaginou o caos que seria o mundo se o homem não tivesse criado o conceito de frações para representar quantidades que nem o conjunto nem o podiam representar? Como pode ver, a descoberta dos números racionais veio a calhar no nosso cotidiano. Você pode falar, por exemplo: Comi metade de uma maçã ou Comi um quarto de uma pizza. Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais Jay Simmons Fonte: Figura 3.1: Os alimentos também ajudam a entender a matemática.

4 54 Os números inteiros, em conjunto com os fracionários, são chamados de racionais e-tec Brasil Matemática Instrumental RAZÃO Divisão entre dois números inteiros. ( ). O termo racional significa que esses números são razões entre números inteiros. Ou seja, todo número racional pode ser escrito na forma de uma razão entre dois números inteiros. Simbolicamente temos: = {x/x = p, p, q, q 0} q Lê-se: um número racional é qualquer x, tal que x é igual à RAZÃO entre p e q, onde p e q pertencem ao conjunto dos números inteiros, com q diferente de zero. Vamos pensar nas frases a seguir: (i) Todo número natural é racional. (ii) Todo número inteiro é racional. No caso (i), podemos exemplificar com o número 7, que é um número natural, mas também podemos representá-lo pela razão 14 2 ou Assim, é possível escrever todos os números naturais em forma de fração. Portanto, todo número natural é racional. No caso (ii), podemos pensar no número 12, que é um número inteiro e que também é representado pela razão 36 3 ou 72. Com isso, podemos escrever 6 todos os números inteiros em forma fracionária. Com essas informações, você vai perceber que os conjuntos dos naturais e inteiros estão contidos no conjunto dos números racionais.

5 Mas será que os conceitos usados para os números naturais e inteiros também podem ser aplicados no conjunto dos números racionais? Preste atenção na conversa do Eugênio com o professor e veja as novidades. Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais 55

6 56 Então, descobriu alguma novidade? Você saberia representar o conjunto dos e-tec Brasil Matemática Instrumental números racionais não negativos? É importante saber que também podemos usar essa representação para os números inteiros. Os conjuntos dos números inteiros não negativos e não positivos são representados por + e -, respectivamente. Agora, veja os números racionais dispostos na reta: 1, , Observe que entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais. Ou seja, entre 0 e 1 3 existem, por exemplo, 1 6, 1 5 0, , 1 4 e outros. Ainda, considerando o zero como origem, podemos verificar a simetria dos racionais. Por exemplo, o simétrico de 4 5 é 4 5. Mas o número 0, está no lugar errado, você não acha? Cuidado! 0, é uma dízima periódica. O que é dízima periódica? Um número racional diferente Como já vimos anteriormente, os números como 1,5; 3,7; 8,9 e 15,25 são números decimais exatos. Todos podem ser escritos em forma de fração a b. E o número 0, é racional? Será que podemos escrever esse número em forma de fração? Veja outros números interessantes: 0, , , Será que são também números racionais? Antes de tirar qualquer conclusão, pegue uma calculadora e divida 5 por 9, 7 por 9, 8 por 9 e 12 por 99. O que está notando nos resultados? Byron Hardy Fonte: Figura 3.2. Uma ferramenta muito útil!

7 Você viu que: = 0, = 0, = 0, = 0, Os números como 0, e todos os outros citados anteriormente são chamados de dízimas periódicas. O algarismo ou grupo de algarismos que se repete é chamado de período da dízima. Nos casos anteriores temos: 0, O período é 5. 0, O período é 7. 0, O período é 8. 0, O período é 12. Toda dízima periódica pode ser escrita na forma p. Podemos afirmar, então, que q toda dízima periódica é um número racional. A fração que origina uma dízima Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais periódica é denominada fração geratriz da dízima. Assim, 5 9 é a fração geratriz de 0, Também é muito comum representar uma dízima periódica colocando um traço sobre o período do número, ou seja, 0, 4 é equivalente a 0, Determinando a fração geratriz Nada melhor que um exemplo para explicar o processo de determinação da fração geratriz, a partir de uma dízima periódica. Vamos determinar a fração geratriz do número 1, Preste bastante atenção: 1º passo: vamos chamar de x o número 1, º passo: decompor esse número como uma soma de infinitos números decimais da forma: x = 1,2 + 0, , , º passo: manipule a soma infinita como se fosse um número comum, passando a parte que não se repete para o primeiro membro da igualdade, obtendo: x 1,2 = 0, , , º passo: multiplique a soma infinita por 100; o período tem 2 algarismos. Se o período tivesse 3 algarismos, multiplicaríamos por 1000, e assim por diante, obtendo: 100 (x 1,2) = 100 (0, , , ) e, com isso, temos: 100x 120 = 3,1 + 0, , ,

8 58 5º passo: observe que, nos passos 3 e 4, as expressões em destaque são iguais. e-tec Brasil Matemática Instrumental Agora, tome a equação encontrada no 4º passo e subtraia membro a membro da equação encontrada no 3º passo: (100x 120) (x 1,2) = (3,1 + 0, , , ) (0, , , ) Manipulando a equação: 100x 120 x + 1,2 = 3,1 + (0, , , ) (0, , , ) E ainda: 100x x ,2 = 3,1 Para obter: 99x 118,8 = 3,1 6º passo: para evitar os números decimais, multiplicamos toda a equação por dez: 10 (99x 118,8) = 10 (3,1) Com isso, temos: 990x 1188 = 31 Manipulando: 990x = E, ainda, 990x = 1219 Para obter a fração geratriz: x = E, para finalizar, verifique, usando sua calculadora, se essa fração gera mesmo o número 1, Precisa de mais um exemplo? Então, vamos mostrar por que a fração geratriz do número 0, é º passo: seja S a dízima periódica 0, Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever esse número como uma soma de infinitos números decimais da forma: S = 0,3 + 0,03 + 0, , , º passo: multiplicando essa soma infinita por 10 (o período tem 1 algarismo), obtemos: 10S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0, , º passo: observe que as duas últimas expressões, que aparecem em destaque nos passos 1 e 2, são iguais! Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos: 10S S = 3 Daí, 9S = 3 Simplificando, temos: S = = 3

9 Observou que, no segundo exemplo, só usamos 3 passos? Primeiro, porque a dízima é mais simples; o período tem apenas 1 algarismo. E também, no final do processo, não precisamos usar o 6 passo para evitar os números decimais. Agora, depois de tantas informações sobre os números racionais, pratique um pouco nas próximas atividades. A construção do seu conhecimento, em relação ao conteúdo estudado até aqui, é de fundamental importância para o entendimento de tudo o, que ainda vem pela frente. Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Dentre os números a seguir, identifique e represente na reta os números racionais: , ,8 0, ,299 8, Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais Atividade 2 Atende ao Objetivo 2 Você é capaz de determinar a fração geratriz do número 0, ? Tenho certeza que sim! Mãos à obra!

10 60 e-tec Brasil Matemática Instrumental TRIÂNGULO O que não é racional é irracional Avançando um pouco na história da matemática, vamos chegar ao famoso Teorema de Pitágoras. Calma! Ainda não é o momento de estudarmos a fundo esse teorema. Posso adiantar que, lançando mão de tal conhecimento, é possível determinar o comprimento de um dos lados de qualquer TRIÂNGULO RETÂNGULO. RETÂNGULO Polígono de três lados que possui um ângulo igual a 90 (ângulo reto) e os outros dois ângulos são menores que 90 (ângulos agudos). cateto 2 hipotenusa Saiba mais... O Teorema de Pitágoras É provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. ângulo reto 90 graus cateto1 Se a designar o comprimento da hipotenusa (o maior lado) e b e c os comprimentos dos catetos (os outros dois lados), o teorema afirma que: a 2 = b 2 + c 2

11 C b a c A Observe que a hipotenusa é o lado do quadrado maior; o mesmo acontece com os outros dois lados do triângulo ABC. Portanto, a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados. Essa figura ilustra bem o Teorema. B Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais Depois dessa breve explicação, imagine um triângulo retângulo com os catetos medindo 1 metro (m) de comprimento. Usando o Teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado, a hipotenusa, vale 2. E quanto é 2? Não podemos dizer exatamente. O que sabemos é que não é possível representá-lo em forma de fração, pois há infinitas casas depois da vírgula e não é uma dízima periódica. Com isso, houve a necessidade de criar mais um conjunto, o Conjunto dos Números Irracionais. Tal conjunto é formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, não podem ser representados por uma fração. Simbolizamos esse conjunto por.

12 62 e-tec Brasil Matemática Instrumental Como você pode perceber, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa. Por isso, representamos os conjuntos separados. Números como π e raízes não exatas, como 2, 3 e 5, são irracionais. A representação deles é infinita e não periódica. Saiba mais... O π virou número O π é a 16ª letra do alfabeto grego e corresponde ao som fonético p no alfabeto latino. Ele é, também, a inicial da palavra grega periphéreia, que significa circunferência. Por isso, passou a ser usado para designar a divisão (razão) entre o comprimento (C) da circunferência e o seu diâmetro (d), que é o comprimento da reta que atravessa o seu centro.

13 Fonte: Se pegarmos vários objetos circulares (moedas, botões, pratos), medirmos com uma corda o tamanho da sua circunferência e dividirmos pelo diâmetro do objeto, sempre vamos obter um número bastante próximo a 3, Assim, o comprimento da circunferência é obtido pela aplicação da fórmula C = π.d. Aaron Woehler Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais 63 π O matemático Arquimedes (cerca de 280 a.c. a 211 a.c.) foi o primeiro a estabelecer o valor do π. O que ele não conseguiu descobrir é que era um número irracional, ou seja, tem um número indefinido de casas decimais (sabese hoje que passam de duas mil). Quem descobriu isso foi o cientista alemão Johann Heinrich Lambert, em (Adaptado da revista Superinteressante, edição 105, Junho de 1996.)

14 64 Agora, organize os conhecimentos adquiridos até aqui e faça a próxima atividade. e-tec Brasil Matemática Instrumental Atividade 3 Atende ao Objetivo 3 Descubra qual é a regra de formação usada para escrever cada um dos números a seguir e continue escrevendo, no mínimo, mais seis algarismos para cada número: a. 0, b. 0, c. 0, Agora responda indicando uma alternativa correta. Os números que você acabou de completar são: ( ) Naturais ( ) Inteiros ( ) Dízimas periódicas ( ) Nenhuma das alternativas anteriores Conjunto dos números reais Observe a representação dos conjuntos estudados até aqui.

15 Você percebeu que há um novo conjunto envolvendo os racionais e irracionais? É o conjunto dos números reais, simbolizado por. O conjunto dos reais é a união do conjunto dos números racionais ( ) com os irracionais ( ). Podemos representar assim: =. Em outras palavras, o conjunto dos reais é formado por todos os números que estudamos até aqui, ou seja, os naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também podemos representá-lo sem o zero ( *), assim como podemos representar apenas o conjunto dos reais não negativos ( + ) e o conjunto dos reais não positivos ( - ). Saiba mais... A raiz quadrada de um número negativo é real? Consegue descobrir a 16? Cuidado! Existe algum número x que, elevado ao quadrado (x 2 ), seja igual a 16? Vamos pensar um pouco! Elevar um número ao quadrado é o mesmo que multiplicar esse número duas vezes, ou seja, 3 2 =3.3=9; 4 2 =4.4=16. Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais 65 Você pode até pensar em elevar ao quadrado o 4. Vejamos: ( 4) 2 =( 4).( 4). Como é uma multiplicação de números inteiros, temos de usar a regra de sinal. Assim, ( 4) 2 =( 4).( 4)=16, e não 16. Com isso, 16 não pertence ao conjunto dos números reais. Será que o mesmo acontece com a 3 8? Observe que ( 2) 3 =( 2).( 2).( 2)= 8. Com isso, é possível determinar a 3 8, que é igual a 2. Portanto, podemos dizer que uma raiz de índice par de qualquer número negativo não pertence ao conjunto dos números reais. Por exemplo: 4 4 IR e 16 IR ou 2n x IR, onde n, x. Mas como você representaria um subconjunto dos números reais? Lembre-se de que entre dois números inteiros existem infinitos números racionais. Os números inteiros e racionais fazem parte do conjunto dos reais. Com isso, concluímos que entre dois números reais também existem infinitos números reais. E então, tem alguma idéia de como representar um subconjunto dos reais?

16 e-tec Brasil Matemática Instrumental -0,6 0,73 2 O conjunto dos números reais, assim como todos os outros conjuntos estudados até aqui, também pode ser ordenado em uma reta. E, para representar os subconjuntos dos reais, podemos trabalhar com intervalos numéricos. Atividade 4 Atende ao Objetivo 4 Veja o conjunto L = [ 10; 9] representado na régua a seguir: x -10 x Responda os seguintes itens: a. Escreva os elementos deste conjunto em : b. Escreva os elementos deste conjunto em : c. Cite 5 elementos pertencentes ao conjunto dos números reais ( ):

17 67 Multimídia Se você gosta de filmes, aproveite a nossa sugestão e conheça o poder dos números em nossa vida. Pi O filme Pi conta a história de um jovem gênio da matemática e da computação, chamado Max (Sean Gullette), que vive escondido da luz do sol, que lhe causa constantes dores de cabeça, e evita o contato com outras pessoas. Max conseguiu construir um supercomputador que lhe permitiu descobrir o número completo do Pi (π), o que fez ainda com que compreendesse toda a existência da vida na Terra. Se você quiser assistir a este filme, procure-o em uma locadora e alugue o DVD. Você não vai se arrepender! Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais Intervalos numéricos Um exemplo bem simples, que faz parte do seu dia-a-dia, é a previsão do tempo. O repórter informa a previsão do tempo para o dia seguinte: Amanhã, a temperatura mínima será de 19,2 C e a máxima de 29 C. Isso quer dizer que a temperatura pode oscilar entre 19,2 C e 29 C. Assim, um intervalo numérico é o espaço intermediário, contendo todos os números reais, entre os limites numéricos (superior e inferior). No caso da previsão do tempo para o dia 01/10, o limite inferior é 19,2 C e o limite superior é 29 C.

18 68 Você sabe representar um intervalo númerico? Existem alguns detalhes importantes. e-tec Brasil Matemática Instrumental Veja os intervalos representados na reta: a b Em primeiro lugar, quando os limites do intervalo estão cheios (pintados), significa que pertencem ao intervalo. Quando estão vazios (não pintados), não pertencem ao referido intervalo. Saiba mais... Cuidados com os intervalos numéricos Quando um conjunto numérico é representado por um intervalo, no qual o mesmo é um subconjunto dos números reais, significa que existem infinitos números reais entre os limites superior e inferior. Observe a reta: Você já sabe que esse é um intervalo fechado, ou seja, os extremos 2 e 10 fazem parte do conjunto. A figura também mostra o número 5, que está entre o 2 e o 10, por isso pertence ao intervalo. E como se lê 2 < 5 < 10? Podemos ler de duas maneiras: (i) 2 é menor que 5 e 5 é menor que 10; (ii) 5 é maior que 2 e 5 é menor que 10.

19 E como representar intervalos em linguagem matemática? Os exemplos anteriores podem ser representados da seguinte maneira: Exemplo (a) {x / 2 x 1} Vamos chamar este conjunto de A. Leitura do conjunto A: x pertencente ao conjunto dos números reais, tal que x é maior ou igual a 2 e x é menor ou igual a 1. Esse conjunto pode ser imaginado numa régua numerada com números positivos e números negativos. Veja a representação do conjunto A = {x / 2 x 1} em uma régua especial: Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais Relembrando a aula anterior, você saberia representar o conjunto dos números naturais ( ) contido nesse intervalo? É fácil! No conjunto dos números naturais ( ) E = {0, 1}. E o conjunto dos números inteiros, saberia representá-lo? No conjunto dos números inteiros ( ) F = { 2, 1, 0, 1}. Já no conjunto dos números reais ( ) seria impossível situar todos os elementos do conjunto A na régua, mas poderíamos representar alguns elementos desse conjunto, dentre os quais: G = 2, , ,...,..., 4,...,..., 4,..., 2,...,,..., 1 9. O conjunto A também pode ser representado da seguinte forma: [ 2,1], onde os colchetes voltados para os números indicam um intervalo fechado, ou seja, os números 2 e 1 estão incluídos no conjunto.

20 70 Exemplo (b) e-tec Brasil Matemática Instrumental {x /x 2 ou x > 1} Vamos chamar este conjunto de B. Leitura do conjunto B: x pertencente ao conjunto dos números reais, tal que x é menor ou igual a 2 ou x é maior do que 1. Vamos ver a representação do conjunto B = {x /x 2 ou x > 1} na régua: Neste caso, teríamos de imaginar uma régua infinitamente grande, pois quando escrevermos x 2 a reta não vai parar em 10, como está aparecendo na régua; teremos outros números menores, como 11, 12, 1000, 10000, etc. O conjunto B = {x /x 2 ou x > 1} também pode ser representado da seguinte forma: ]-, 2] ]1, + [, onde o colchete voltado para o número significa um intervalo fechado (aqui o número 2 está incluído no conjunto) e os colchetes contrários aos números indicam intervalos abertos. No exemplo, o elemento 1 não faz parte do conjunto. Os símbolos + (mais infinito) e (menos infinito) são usados para indicar que o conjunto não tem fim, tanto a parte positiva quanto a negativa. E claro que estes não fazem parte do conjunto, ou seja, ], 9], [100, + [ ou ], + [. Aqui, mais uma vez, é o momento de testar seus conhecimentos. Faça com muita calma e atenção a atividade proposta.

21 71 Atividade 5 Atende ao Objetivo 5 Representar na régua um intervalo finito que seja simétrico em relação ao ponto zero, onde os limites estão fora do intervalo Depois disso, utilize duas formas matemáticas para representar esse intervalo. Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais Nesta aula, você aprendeu os conjuntos numéricos que completam os naturais e inteiros. É importante saber que o estudo sobre os conjuntos numéricos, que foi bastante explorado, não se esgotou. No entanto, a maior parte das atividades em agropecuária faz uso dos números reais. Resumindo... O conjunto dos números racionais ( ) é constituído por números inteiros e fracionários (pedaços). Por exemplo: 1 pizza, 1 da pizza... 8 Toda dízima periódica é um número racional ( ), porque pode ser representada por uma fração, denominada fração geratriz. Por exemplo: 0, é igual a 1 3. O conjunto dos números irracionais ( ) é formado por todos aqueles que não podem ser representados por frações, ou seja, números não racionais. Por exemplo: 17, 3,

22 72 e-tec Brasil Matemática Instrumental O conjunto dos números reais ( ) é a união dos racionais ( ) e dos irracionais ( ), =. O conjunto dos números reais ( ), assim como todos os outros estudados até aqui, também pode ser representado em uma reta. Como existem infinitos números reais, por exemplo, entre 0 e 1, utilizamos intervalos para representação dos subconjuntos. Informação sobre a próxima aula Na próxima aula, vamos aprender a trabalhar com frações. Respostas das Atividades Atividade 1 Observe que os números 2, e 8, não pertencem ao conjunto dos racionais. Por isso não foram representados da régua , ,299-0,8 Atividade 2 Para determinar a fração geratriz, basta seguir estes passos: 1º passo: seja D a dízima periódica 0, Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever esse número como uma soma de infinitos números decimais da forma: D = 0,7 + 0,07 + 0, , , º passo: multiplicando essa soma infinita por 10 (o período tem 1 algarismo), obteremos: 10D = 7 + 0,7 + 0,07 + 0, ,

23 3º passo: observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em destaque! Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos: 10D D = 7 9D = 7. Portanto, a fração geratriz é D = 7 9. Atividade 3 a. 0, b. 0, c. 0, Percebeu que esses números possuem infinitas casas decimais? Com isso, não podem ser naturais e nem inteiros; também não são dízimas periódicas, pois não possuem períodos, ou seja, não são racionais. Portanto, a resposta é: Nenhuma das alternativas anteriores; todos os números são irracionais. Atividade 4 a. Os elementos deste conjunto em g: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Aula 3 Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais 73 b. Os elementos deste conjunto em : { 10, 9, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. c. Um conjunto com alguns elementos pertencentes ao conjunto dos números 88 reais ( ) tirados da reta: resposta pessoal. Exemplo:, 2, 0, 1, Atividade 5 Esta é outra resposta pessoal. Você poderia escolher, por exemplo, um intervalo em que o limite inferior é igual a 3 e o superior é

24 74 Sendo assim, existem duas formas para representar matematicamente esse intervalo: e-tec Brasil Matemática Instrumental 1. ] 3; 3 [ 2. { x / 3 < x < 3} Referências bibliográficas GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, Roberto. Uma nova abordagem. São Paulo: Ed. FTD, 2000, v.1, p.102. MORI, Iracema e ONAGA, Dulce Satiko. Matemática Idéias e desafios. São Paulo: Ed. Saraiva, 2006, 5ª série. PAIVA, Manuel. Matemática. São Paulo: Ed. Moderna, 1997, v.1. Revista Superinteressante, edição 105, Junho de 1996.