B j. A p, n=1 p n. A p. Diremos que a sucessão converge para o subconjunto A de X quando tivermos:

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1 EERCÍCIOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA V 1999/ Preliminares e revisões 1.1 Funções e operações básicas sobre conjuntos Alguns dos exercícios desta e das secções seguintes, foram retirados de obras que se encontram referenciadas na bibliografia. Para cada exercício é ainda indicado o módulo correspondente. Exercício 1 [10]. Sejam e Y conjuntos, f Y uma aplicação, (A i ) i I uma família [1] de subconjuntos de e (B j ) j J, uma família de subconjuntos de Y. Temos então: ( ) f A i = f(a i ) f 1 B j = f 1 (B j ) i I i I j J j J ( ) f A i f(a i ) i I i I i I f 1 (f(a i )) A i f 1 B j = f 1 (B j ) j J j J j J f(f 1 (B j )) B j i I f( A i ) f() f(a i ) j J f 1 (Y B j ) = f 1 (B j ) Indicação : Quando nas expressões acima não fôr formulada uma igualdade, deverá o leitor mostrar, com um contra-exemplo, que a igualdade não é, em geral, válida. Definição 1 Dados um conjunto e (A n ) n N uma sucessão de partes de, chamaremos limite superior da sucessão, ao conjunto definido por: lim n + A n = + n=1 p n A p, e chamaremos limite inferior da sucessão ao conjunto: lim n + A n = + n=1 p n A p. Diremos que a sucessão converge para o subconjunto A de quando tivermos: e, sob essa condição, poderemos escrever: A = lim n + A n = lim n + A n, lim A n = A. n + Exercício 2 [10]. Com as notações da definição anterior mostre que: [1] lim n + A n lim n + A n (lim n + A n ) c = lim n + A c n 1

2 Exercício 3 [10]. Determine o limite superior e inferior da sucessão nos casos particulares [1] seguintes: A n = A se n = 2p A n = B se n = 2p + 1 onde A e B são dois subconjuntos arbitrários de, conjunto dado. ] A n =,1 + 1 ] ] se n = 2p A n =, 1 1 ] se n = 2p + 1 p p onde = R. Mesmas condições para mas agora com: ] A n =,1 1 ] ] se n = 2p A n =,1 + 1 ] p p se n = 2p + 1 Exercício 4 [10]. Suponha que a sucessão é crescente, isto é que se tem: [1] Mostre que então se tem: n N A n A n+1. lim A n = n 0 A n. n + Enuncie e demonstre um resultado semelhante para as sucessões decrescentes. Exercício 5 Verifique que [a, b] = n=1 ] a 1 n,b + 1 [. n A partir deste resultado, mostre que qualquer σ-álgebra de subconjuntos de R que contenha todos os intervalos abertos também contém todos os intervalos fechados. Exercício 6 Verifique que ]a, b[= n=1 [ a + ε n, b ε ] n sendo ε = b a 2. A partir deste resultado, mostre que qualquer σ-álgebra de subconjuntos de R que contenha todos os intervalos fechados também contém todos os intervalos abertos. [1] [1] Exercício 7 Seja (A n ) uma sucessão de subconjuntos do conjunto. Seja E 0 = e para [2] n N, sejam n E n = A k, F n = A n E n 1. k=1 Mostre que (E n ) é uma sucessão monótona crescente de conjuntos e que (F n ) é uma sucessão disjunta de conjuntos (isto é, F n F m = se n m) tal que E n = n=1 F n = n=1 A n. Exercício 8 Seja (E n ) n N uma sucessão, de subconjuntos de, monótona crescente (isto [2] é, E 1 E 2 E 3...), mostre que lim sup n E n = n=1 n=1 E n = liminf n E n. 2

3 Exercício 9 Considere a sucessão (F n ) n N de subconjuntos do conjunto, monótona de- [2] crescente (isto é, F 1 F 2 F 3...), mostre que lim sup n F n = n=1 F n = liminf n F n. Exercício 10 Seja agora (G n ) n N a sucessão de conjuntos tal que G n = ] 1 n 1,2 n[ 1, verifique que lim sup G n = liminf G n. n n [2] Exercício 11 Seja (A n ) n N uma sucessão de subconjuntos de, mostre que [1] liminf A n limsup A n. n n Dê um exemplo de uma sucessão (A n ) n N tal que lim inf A n =, limsup A n =. n n Dê também um exemplo de uma sucessão (A n ) n N que não seja nem monótona crescente nem monótona decrescente, e tal que lim inf A n = limsup A n. n n Exercício 12 Considere a sucessão (A n ) n N em que A n = liminf n A n e limsup n A n. Exercício 13 Mostre que: ] ] 1 n+1, 1 n, n 1. Determine [1] [1] 1. (liminf n A n ) c = limsup n A c n. 2. limsup n (A n B n ) = (limsup n A n ) (limsup n B n ). 2 Números Normais; Lei Fraca e Lei Forte dos Grandes Números Exercício 14 Prove que o conjunto B das sequências de Bernoulli não é numerável usando [2] o argumento da diagonal de Cantor. Exercício 15 Seja ω I =]0, 1]. [1] 1. Mostre que ωpode ser escrito na forma i=1 a i/2 i, a i = 0, 1. Mostre que esta expansão é única quando nos restringimos a desenvolvimentos binários não degenerados. 2. Mostre que para qualquer inteiro k, ω Ipode ser escrito na forma i=1 a i/k i, a i = 0, 1,..., k 1. Mostre ainda que esta expansão é única quando nos restringimos a desenvolvimentos k-ários não degenerados. Exercício 16 [11] Um número é escolhido ao acaso em [0,1]. Qual a probabilidade de [1] 1. o primeiro algarismo do desenvolvimento decimal não nulo ser 1; 2. o segundo algarismo do desenvolvimento decimal significativo ser 5; 3

4 Exercício 17 Um jogador tem uma fortuna inicial de 1 u.m., calcule a probabilidade de [1] ruina na 1, na 3 e na 5 jogada. Mostre que a probabilidade de eventual ruina é pelo menos de 70 Exercício 18 Mostre que I R γ1 R γ2...r γn dx = 0 ou 1 para qualquer sequência γ 1 γ 2... γ n. Quando é que a resposta é 1? [2] Exercício 19 Sejam R k :]0,1] R, k R as funções de Rademacher. Defina R k, as [1] funções de Rademacher sobre toda a recta real, requerendo que elas sejam periódicas de periodo um, ou seja, fazendo R k (x + 1) = R k (x) para todo o x R. Com esta definição mostre que R k+1 (x) = R k (2x) e, por indução, que R k (x) = R 1 (2 k 1 x). Exercício 20 Mostre que R n (x) = sgn[sin(2π2 n 1 x)] excepto num número finito de pontos.(para qualquer número a, sgn(a) é 1 se a > 0 e -1 se a 0). [2] Exercício 21 Prove que 2t 1 = R k (t)2 k. k=1 [1] Exercício 22 Qualquer número ω ]0, 1] tem um desenvolvimento ternário [1] a k 3 k k=1 com a k = 0, 1,2 (ver exercício 2). Podemos tornar este desenvolvimento único selecionando, sempre que exista ambiguidade, o desenvolvimento não degenerado. Com esta convenção, define-se T k (ω) = a k 1. Desenhe o gráfico de T k para k = 1,2, 3. Consegue encontrar uma fórmula geral? Exercício 23 Obtenha uma fórmula recursiva para os T k semelhante à fórmula encontrada [] para os R k no exercício 17. Exercício 24 Mostre que o conjunto dos números não Normais é denso em [0,1]. [3] Exercício Mostre que existe uma constante positiva c tal que, para todo n N, [2] 1 0 [S n (x)] 6 dx cn Seja A n = {w ]0, 1] : S n (w) > εn}. Mostre que λ(a n ) cε 6 n 3. Exercício 26 Mais geralmente, mostre que existe um número positivo c k tal que, para todo [2] o n N, 1 0 [S n (x)] 2k dx c k n k. 4

5 Exercício 27 Prove que 1 0 ( e e tsn(x) t + e t ) n dx =. 2 [2] Indicação : Prove por indução. Escreva 1 e tsn(x) dx = e ts n 1(x) e R n(x) dx. Divida o intervalo [0, 1] em 2 n 1 intervalos iguais onde em cada um deles R n 1 é constante. Mostre que ( e e tsn(x) t + e t ) dx = e tsn 1(x) dx 2 se J é um desses sub-intervalos. J Exercício 28 Do exercício anterior, obtenha a fórmula [2] 1 0 S n (x) 2k dx = J ( ) d 2k ( e t + e t dt 2 Exercício 29 Seja f uma função monótona não negativa definida no intervalo unitário. [2] Prove a desigualdade de Chebyshev λ({ω I;f(ω) > α}) < 1 α com o integral da direita sendo o integral de Riemann. 1 0 ) n f(x)dx. t=0 3 Conjuntos, Espaços e Funções Mensuráveis 3.1 Resultados complementares sobre σ-álgebras. Exemplos Os exercícios seguintes devem ser vistos à luz do teorema sobre a existência de uma σ-álgebra gerada por uma família de partes de um conjunto. Veja [14], teorema 1.10 na pág.12. Exercício 30 Consideremos o conjunto A = {a, b, c, d}. Indique, justificando, quais dos [1] seguintes subconjuntos de P(A) são σ-álgebras. 1. {{a},{b},{c},{d}, {a,b},{a,c},{a, d}, {b,c}, {b, d},{c, d}, {a, b,c},{a,b,d},{a, c,d}, {b,c,d}, {a,b,c, d}, }. 2. {{a},{c},{b,c,d},{a, b,d}, {a,c},{a,b,c, d}, }. 3. {{a},{b},{c},{d}, {a,b},{a,c},{a, d}, {b,c}, {b, d},{c, d}, {a, b,c},{a,b,d},{a, c,d}, {b,c,d}, {a,b,c, d}}. 4. {{b},{b,c},{a,c, d}, {a, d}, {c}, {a, b,c,d}, }. 5. {{a, b},{c, d},{a, b,c,d}, }. Exercício 31 Determine as σ-álgebras geradas por [1] 1. os conjuntos do exercício anterior que não são σ-álgebras. 5

6 2. {{i N : i é impar}}, em N. 3. {{a, b},{c, d},{a, b,c,d}, }, em A = {a,b,c, d}. 4. {{a},{b},{c}}, em A = {a,b,c,d}. Exercício 32 Consideremos em A = {a, b, c, d} as seguintes σ-álgebras [1] F 1 = {{a},{c},{b,c,d},{a, b,d}, {a, c},{b,d}{a, b,c,d}, } F 2 = {{b},{b,c},{a,c, d}, {a, d}, {a,b,d},{c},{a,b,c, d}, }. Justifique se F = F 1 F 2 é uma σ-álgebra. Em caso afirmativo determine F. Exercício 33 Seja um conjunto e F uma σ-álgebra em. Prove que na definição de [1] σ-álgebra a condição {A n } n N F N, n N A N F é equivalente a {A n } n N F N, n N A N F. Exercício 34 Seja (H i ) i I uma qualquer família de σ-álgebras em Ω. Mostre que [2] H = i I (H i ) i I é também uma σ-álgebra em Ω. Exercício 35 [2]. Seja um conjunto e E = {A} a família de partes de reduzida ao [1] subconjunto A de. Mostre que a σ-álgebra gerada por E é exactamente: σ(e) = {, A,A c, }. Indicação : A σ-álgebra gerada é minimal no sentido da inclusão. Exercício 36 [2]. Seja um conjunto não numerável. Mostre que a σ-álgebra gerada pela [2] família dos conjuntos singulares em, é a σ-álgebra dos conjuntos que, ou são numeráveis ou têm como complementar um conjunto numerável, i.e.: σ(({x}) x ) = {A : card(a) ℵ card(a c ) ℵ}. Indicação : Relembre que o conjunto união de uma família numerável de conjuntos numeráveis é ainda um conjunto numerável. Exercício 37 [2]. Seja um conjunto e E = (A n ) n N uma partição numerável do [2] conjunto. Determine a forma geral de um elemento de σ(e), a σ-álgebra gerada por E. Indicação : Relembre que a intersecção de dois quaisquer elementos distintos de uma partição é o vazio, que a união de todos os elementos é o conjunto inteiro e que estas propriedades caracterizam as partições. 6

7 Exercício 38 Seja um conjunto, ( n ) n N uma sucessão de partes de duas a duas [3] disjuntas. Seja para cada n N uma σ-álgebra sobre n, a que chamaremos C n. Mostre que se se tiver: Y = n N n D = {D Y : n N A n C n D = n N A n }, então (Y,D) é um espaço mensurável. Indicação : Para a verificação do segundo axioma deverá determinar a forma geral do complementar em Y de um subconjunto de Y. Exercício 39 Seja Z o conjunto dos inteiros relativos. Mostre que a família [3] é uma σ-álgebra sobre Z. C = {A Z : n 1, (2n) A (2n + 1) A}, Indicação : Procure determinar a forma geral de um elemento de C. Exercício 40 Seja um conjunto e seja C uma σ-álgebra de partes de. Seja um [1] subconjunto de. Mostre que: é uma σ-álgebra sobre. C = C = {A : A C}, Definição 2 Á σ-álgebra C chamamos σ-álgebra traço de C sobre. Exercício 41 Com as mesmas notações do exercício anterior mostre que, se para E se [2] tem, C = σ(e) i.e. C é a σ-álgebra gerada por E, então se chamarmos a : E = {A : A E}, o traço da família E sobre, ( que não é necessáriamente uma σ-álgebra, visto que E não o é) temos que: C = σ(e ). Indicação : Relembre a propriedade de minimalidade da σ-álgebra gerada por uma família de partes de um conjunto. Exercício 42 [10]. Sejam e Y dois conjuntos, f Y e C uma σ-álgebra sobre Y. [1] Mostre que a imagem recíproca de C por f (i.e. {f 1 (C) : C C}) é uma σ-álgebra sobre. Deduzir o primeiro resultado do exercício anterior. Indicação : Verifique os axiomas usando os resultados dos exercícios da secção (1). Exercício 43 Com as mesmas notações do exercício anterior, e supondo que D é uma [1] σ-álgebra sobre, mostre que {B Y : f 1 (B) D} é uma σ-álgebra sobre. Deduzir que a elevação de uma σ-álgebra sobre a (onde, é um subconjunto de ) é uma σ-álgebra sobre. Indicação : Para a segunda parte, aplique o resultado da primeira, à injecção canónica. 7

8 Exercício 44 Seja um conjunto e A uma σ-álgebra sobre. Seja também [3] um subconjunto de. Considere A o traço de A em. Mostre que são equivalentes as seguintes propriedades: A e A = {A A : A }. Indicação : Verifique que o conjunto explicitado na segunda proposição é de facto uma σ-álgebra. Exercício 45 Sejam e Y dois conjuntos e f Y uma aplicação. Seja E uma família [2] de partes de Y. Mostre que se tem então: f 1 (σ(e)) = σ(f 1 (E)). Indicação : A demonstração um pouco elaborada deste facto extremamente útil pode encontrar-se em [5]. Os exercícios seguinte são fundamentais, na medida em que caracterizam a σ-álgebra de Borel em R, através de quatro das suas classes geradoras fundamentais. Os resultados a seguir formulados, serão de uma utilização constante. Exercício 46 Mostre que são iguais entre si as σ-álgebra sobre R geradas pelas quatro [2] classes fundamentais de subconjuntos de R. E 1 = {]a,b[ : a, b R a < b} E 2 = {]a,+ [ : a R} E 3 = {]a,b[ : a, b Q a < b} E 4 = {]a,+ [ : a Q} Indicação : Utilize a minimalidade da σ-álgebra gerada por uma família de partes. Poderá mostrar, que um elemento arbitrário de uma classe, se pode exprimir como união ou intersecção numerável, de elementos de outra classe. Exercício 47 Mostre que a σ-álgebra de Borel sobre R é exactamente a σ-álgebra gerada [3] pela classe E 3. (é também a σ-álgebra gerada por uma qualquer das outras três classes). Indicação : Relembre que qualquer aberto de R é união numerável de intervalos abertos com extremidades racionais. O exercício seguinte descreve a estrutura da mais pequena σ-álgebra sobre o espaço de partida gerada por uma família de aplicações tomando valores num espaço mensurável. Caso o espaço de partida seja um espaço métrico, o espaço de chegada seja um espaço de Borel e as aplicações sejam contìnuas, então a σ-álgebra associada é simplesmente a σ-álgebra de Borel no espaço de partida. Exercício 48 Seja um conjunto, (Y,θ) um espaço mensurável e F = (f i ) i I uma [3] família de aplicações de em Y. Considere a família de partes de definida por: U = i I fi 1 (θ) = {A : i I B θ A = fi 1 (B)}. 1. Mostre que U não é em geral uma σ-álgebra. 2. Considere: A = A(F, θ) = σ(u). Mostre que qualquer aplicação f i é mensurável de (,A) em (Y,θ). 8

9 3. Sendo T uma σ-álgebra sobre para a qual toda e qualquer função f i seja mensurável de (,T ) em (Y,θ), mostre que se tem então A T. 4. No caso particular em que se tem Y = R e θ a σ-álgebra boreliana respectiva (para a topologia usual, é claro), se tivermos ainda E P() e a família F = (1 E ) E E, então ter-se-à necessariamente: A(F, θ) = σ(e). 5. Suponha que (, τ 1 ) e (Y,τ 2 ) são dois espaços topológicos, e que B 1 e B 2 são as respectivas σ-álgebras Borelianas. Mostre que se F é a família de todas as aplicações contínuas de (,τ 1 ) em (Y, τ 2 ), então temos: A(F,B 2 ) B Suponha, para terminar, que τ 1 é uma topologia definida a partir de uma métrica. Mostre que então é certo que: A(F,B 2 ) = B 1. Indicação : Este é um problema de revisão que apareceu no primeiro teste de Ana. Mat. V em Dezembro de Definição 3 Chamaremos recta acabada ao conjunto R que se obtem juntando a R, o conjunto dos números reais ou recta real, dois objectos distintos, (que não sejam números reais), + e (respectivamente mais infinito e menos infinito), de tal forma que: 1. A relação de ordem total usual sobre R, <, se possa estender a uma relação de ordem total < sobre R, de modo a que se verifiquem as propriedades: x R <x< + x,y R x y x y. 2. As operações definidas na estrutura de corpo usual de R, admitem extensões naturais para as quais valem as seguintes regras de cálculo: x R (± ) + (± ) = x + (± ) = (± ) + x = ± (± )(± ) = + (± )( ) = x R x(± ) = (± )x = ±, 0, ± se x > 0,x = 0,x < 0, resp. 3. Consideramos definida sobre R uma topologia τ u que faz de (R, τ u ) um espaço topológico compacto no qual (R, τ u ) se injecta com uma imagem densa. ( Ver curso de topologia ou considerar esta afirmação como um exercício). Atenção : Dado que não definiremos (± ) + ( ) não estará nunca em questão uma estrutura algébrica sobre a recta acabada que prolongue a de grupo aditivo comutativo que habitualmente conhecemos sobre a recta real. Exercício 49 [10]. Considere a família de partes de R definida por: [3] A = {B, B {+ }, B { }, B {,+ } : B B}, onde B é a σ-álgebra de Borel sobre a recta real. 1. Mostre que A é uma σ-álgebra sobre R. 9

10 2. Suponha que E é uma família de partes tal que σ(e) = B. Considere A 1, a σ-álgebra sobre R, gerada por E {{+ }}. Mostre que se tivermos R A 1 então temos certamente que : A 1 = A. Indicação : Para a alínea 1) use um exercício anterior. O exercício que vai seguir-se descreve precisamente a estrutura da σ-álgebra de Borel, associada à topologia usual, sobre a recta acabada. Exercício 50 [10]. Com as mesmas notações do exercício anterior, mostre que: [3] 1. A σ-álgebra A sobre R, é gerada pela classe: {]a, + [: a R} {{+ }}. 2. A σ-álgebra A sobre R, é também gerada pela classe: {]a,+ ] : a R}. 3. A σ-álgebra A sobre R, é gerada pela classe: {]a,b[: a, b R a < b} {{+ }}. 4. A σ-álgebra A sobre R, é gerada pela classe: 5. B(R) = {B A : B R}. 6. B(R) é a σ-álgebra traço de A em R. B(R) {{+ }} {{ }}. 7. A σ-álgebra A é a elevação de B a R, isto é: A = {B R : B R B(R)}. Indicação : Utilize os resultados obtidos nos exercícios anteriores. O exercício seguinte descreve-nos precisamente a topologia usual da recta acabada e a relação desta com a topologia usual da recta real. Exercício 51 [10]. Considere a família de partes de R definida por: [3] τ(r) = {ω, ω [, x[, ω ]y, + ], ω [,x[ ]y, + ] : ω τ u x,y R}, em que τ u é a topologia usual da recta real. Seja B(R) a σ-álgebra gerada pela família τ(r). 1. Mostre que A = B(R). Onde A é a σ-álgebra definida no exercício anterior. 2. Mostre que a topologia usual sobre a recta real é o traço na recta real da topologia τ(r), topologia esta que é exactamente a topologia usual sobre a recta acabada que mencionámos na definição. Exercício 52 Seja S um conjunto e D uma família de subconjuntos de S. Diz-se que D é [2] um d-sistema sobre S se: 10

11 1. S D; 2. Se A,B D e A B então B\A D; 3. Se A n D e A n A, então A D. Mostre que uma família Σ de subconjuntos de S é uma σ-álgebra se e só se Σ for um π-sistema e um d-sistema. Exercício 53 Supondo que C é uma família de subconjuntos de S, defina-se d(c) como [2] sendo a intersecção de todos os d-sistemas que contêm C. Isto é, d(c) é o mais pequeno d-sistema que contém C. Suponha que I é um π-sistema. 1. Seja D 1 := {B d(i) : B C d(i), C I}. Verifique que D 1 = d(i). 2. Defina-se o conjunto D 2 := {A d(i) : B A d(i), B d(i)}. Prove que D 2 = d(i). 3. Mostre que d(i) = σ(i). E observe que qualquer d-sistema que contenha um π-sistema, contém a σ-álgebra gerada por esse π-sistema. 3.2 Funções Mensuráveis Exercício 54 Considere a função f : R R definida por [1] 1, x 1 f(x) = x, 1 x 1 3, x 1 1. Estude f quanto à continuidade. 2. Considerendo em R os borelianos, indique, justificando, se f é mensurável. Exercício 55 Considere a função f : R R definida por [1] 1, x 1 1 f(x) = n+1, 1 n+1 x < n 1, n 1 0, x 0 1. Justifique se f é contínua em R. Indique os pontos onde f não é contínua. 2. Prove que f é mensurável. Exercício 56 Seja (, P()) o espaço mensurável discreto. Indique, justificando, quais as [1] funções f : R são mensuráveis. Exercício 57 Consideremos em N a σ-álgebra {{i N : i é par}, {i N : i é impar}}. [1] Justifique se as funções f : N R definidas por 1. f(n) = 1 n, 2. f(n) = { n 2, n par 3, n impar 11

12 são mensuráveis. Exercício 58 Considere a sequência de funções f n (x) = x n, x [0, 1[. Justifique se [1] (f n ) n N é uma sequência de funções mensuráveis. Prove, de duas formas distintas, que a função f : [0, 1[ R definida por f(x) = n 0 f n(x) é mensurável. Exercício 59 Seja (, F) um espaço mensurável e f, g : R duas funções mensuráveis. [1] Mostre que, para todo a R, {x : f(x) = a} é um conjunto mensurável. conclua que {x : f(x) = g(x)} é um conjunto mensurável. Será {x : f(x) g(x)} também um conjunto mensurável? Justifique. Exercício 60 Dado um conjunto e subconjuntos A 1, A 2,..., seja [2] e A + = limsup A n = A = liminf A n = k=1 n k k=1 n k A n A n. Sejam f +, f e f n as funções indicatrizes dos conjuntos A +, A e A n, respectivamente. Prove que f + = limsup f n e f = liminf f n. Exercício Seja um conjunto, F uma σ-álgebra de subconjuntos de. Uma [2] aplicação f = (f 1,...,f n ) de em R n diz-se mensurável se cada uma das funções coordenadas, f i, é mensurável. Mostre que f é mensurável se, e só se f 1 (B) F para todo o Boreliano B R n. 2. Seja g uma função real definida em R n. Então g diz-se Borel-mensurável se, para todo o real a, o conjunto {x R n ;g(x) > a} é um conjunto de Borel. Prove que, se f : R n é mensurável e g : R n R é Borel-mensurável, então g f : R é mensurável. Exercício Seja f n : R, n = 1,2,..., uma sequência de funções mensuráveis. [2] Mostre que o conjunto { x : (f n (x)) n N converge } é mensurável. { 2. Da alínea anterior deduza que o conjunto ω ]0, 1] : } R n (ω) n=1 n é convergente é um subconjunto mensurável de ]0,1]. Exercício 63 Seja f : R R uma função monótona crescente. Mostre que f é mensurável. [3] Exercício 64 Seja (,F,µ) um espaço de medida com a seguinte propriedade: [3] B F,A (A B µ(b) = 0) µ(a) = 0. Duas funções f e g dizem-se iguais quase por toda a parte se f = g, excepto num conjunto com medida zero. Considere duas funções f e g definidas em. Mostre que se f = g quase por toda a parte e f é mensurável, então g também é mensurável. Exercício 65 Uma função f : R R diz-se semi-contínua superiormente em x se: [2] ε > 0 δ > 0 : x y < δ f(y) < f(x) + ε Seja f semi-contínua superiormente em todos os pontos de R 12

13 1. Mostre que, para todo o a R, o conjunto {x R : f(x) < a} é aberto. 2. Conclua que f é mensurável de R em R. Exercício 66 Seja (, F, µ) um espaço de medida com µ() <. Uma sequência de [3] funções mensuráveis f n : R n = 1,2,..., diz-se que converge em medida para zero se para todo o ε > 0 lim n µ{x ; f n(x) > ε} = Prove que, se f n converge pontualmente para zero excepto num conjunto de medida nula, então f n converge em medida para zero. 2. Mostre que o reciproco da alinea anterior não é válido. Indicação : Para a alínea 2) considere, = [0,1], F os Borelianos de [0,1], e µ a medida de Lebesgue. Sejam A 1 = [0, 1 2 ], A 2 = [ 1 2, 1], A 3 = [0, 1 4 ], A 4 = [ 1 4, 2 4 ], A 5 = [ 2 4, 3 4 ], A 6 = [ 3 4,1] A 7 = [0, 1 8 ], A 8 = [ 1 8, 2 8 ], e assim sucessivamente. Seja f n a função indicatriz de A n.) Exercício 67 [10]. Seja um espaço mensurável, (,A), um subconjunto de e a [3] σ-álgebra traço de A sobre, a que chamaremos A. Mostre que a injecção canónica j definida em e tomando valores em é mensurável de (,A) em (, A ). Mostre que a σ-álgebra A é a mais pequena σ-álgebra sobre para a qual a injecção canónica j é mensurável. Exercício 68 Seja (, A) um espaço mensurável e Y um conjunto, uma aplicação f [2] Y, uma família de partes de Y a que chamaremos F e finalmente a σ-álgebra gerada por F a que chamaremos D. Mostre que f é mensurável de (, A) em (Y,D) se e só se tivermos f 1 (F) A. Indicação : É uma consequência imediata das definições. Exercício 69 Sejam dois espaços topológicos (, τ) e (,τ ) que consideraremos mu- [3] nidos das respectivas σ-álgebras borelianas B e B. Mostre que se uma aplicação f Y é contínua de (, τ) em (, τ ) então a aplicação é mensurável de (, B) e (,B ). Que é que pode dizer sobre a proposição recíproca? Indicação : Relembre as definições de continuidade (global) e de mensurabilidade. Exercício 70 Considere o espaço = [0, 1[ munido da topologia usual, B a σ-álgebra de [2] Borel respectiva, e A a σ-álgebra formada pelos subconjuntos de que ou são numeráveis ou têm o complementar numerável. Mostre que a aplicação identidade de é contínua de (, τ u ) nele próprio mas que não é mensurável de (,A) em (, B). Indicação : A σ-álgebra A foi estudada num exercício anterior. família dos conjuntos singulares. É a σ-álgebra gerada pela Exercício 71 Dê condições necessárias e suficientes para que uma aplicação de um espaço [2] mensurável (, A) em R ( respec. R) munido(s) da σ-álgebra Boreliana usual, seja mensurável. Indicação : Consulte o livro ([14]) na página

14 Exercício 72 Enuncie e demonstre o resultado relativo à mensurabilidade da aplicação [2] composta. Indicação : Veja o livro ([14]) na página 10. Exercício 73 Sejam dois espaços mensuráveis (, A) e (Y, C), uma aplicação f Y, [3] mensurável do primeiro espaço no segundo, um subconjunto de e A a σ-álgebra traço da σ-álgebra A no subconjunto. Mostre que f /, a restrição da aplicação em questão, ao conjunto, é mensurável de (, A ) em (Y,C). Indicação : Utilize o resultado sobre a composição de funções mensuráveis aplicado à função f e à injecção canónica. Exercício 74 Sejam dois espaços mensuráveis (,A) e (Y,C), um subconjunto Y de [3] Y, a σ-álgebra traço de C no subconjunto Y, que denotaremos por C e duas aplicações g (Y ) e uma outra f Y tais que: x f(x) = g(x). Mostre que f é mensurável de (,A) em (Y, C) se e só se g fôr mensurável de (,A) em (Y,C ). Formule o resultado particular correspondente à recta real e à recta acabada. Indicação : Simples consequência das definições. Exercício 75 Sejam dois espaços mensuráveis (, A) e (Y, C). Seja ( n ) n N uma [3] sucessão de elementos da σ-álgebra A tal que se tenha = n N n. Considere uma aplicação f de em Y e para cada n em N a σ-álgebra A n, obtida pelo traço de A em n. Mostre que f é mensurável de (, A) em (Y,C) se e só se para cada n em N a restrição de f a n, a que chamaremos f /n, fôr mensurável de ( n,a n ) no espaço (Y,C) Indicação : Consequência de resultados anteriores. Exercício 76 Seja f uma aplicação mensurável de (, A) em R ( este éltimo espaço [2] munido da σ-álgebra de Borel). Seja A > 0, mostre que a aplicação f A (a que chamaremos a TRUNCATURA de f ao NêVEL A) definida de em R por: f A (x) = f(x) se f(x) A f A (x) = A se f(x) > A f A (x) = A se f(x) < A é mensurável de (, A) em R. Indicação : Exprima a aplicação truncada em função da aplicação dada usando uma partição do domínio e as funções indicatrizes associadas a essa partição. Exercício 77 Sejam (, A) um espaço mensurável e duas aplicações f e g, mensuráveis [3] de (, A) em R. Mostre que os conjuntos seguintes são mensuráveis. {x : f(x) < g(x)}; {x : f(x) g(x)}; {x : f(x) = g(x)}. Indicação : Use o critério fundamental de mensurabilidade para as funções tomando valores reais. 14

15 Exercício 78 Mostre que a aplicação definida de R nele próprio, que ao ponto x associa [3] o ponto αx ( em que α R), é mensuravel, quando ambos o domínio e o espaço imagem, estão munidos com a σ-álgebra de Borel. Indicação : Há que distinguir os casos em que o factor da acção multiplicativa generalizada é finito, dos casos em que não é. Exercício 79 Sejam um espaço mensurável (, A) e duas aplicações mensuráveis f e g, [3] do espaço dado na recta acabada. Mostre que são mensuráveis as seguintes aplicações: αf (α R) f + g sempre que tenha sentido f g sup(f, g) e inf(f, g) f f + e f (resp. as partes positiva e negativa de f) Indicação : Consulte o livro ([14]) para uma proposição semelhante só que formulada para a recta real. Exercício 80 Mostre que uma aplicação arbitrária tomando valores na recta real (ou na [1] recta acabada) é mensurável se e só se as suas partes positiva e negativa o forem. Mostre ainda que é possível ter f mensurável, sem que a aplicação f seja mensurável. Indicação : Consulte a referência [5] para uma ideia sobre esta observação. Exercício 81 Seja (f n ) n N uma sucessão de aplicações mensuráveis tomando valores em [1] R. Mostre que então as aplicações definidas a seguir são também mensuráveis: supf n ; n N lim supf n ; n N inf n N f n liminf n N f n Mostre finalmente que se a sucessão converge simplesmente ou pontualmente para uma dada função, então essa função é mensurável. Exercício 82 Mostre (usando o critério de mensurabilidade para as funções tomando val- [1] ores reais) que uma função indicatriz de um conjunto é mensurável sse o conjunto que é indicado é mensurável. Indicação : Baseie-se na demonstração dada na aula. Exercício 83 Mostre que o transladado de um boreliano da recta real é ainda um boreliano [2] da recta real. O que é que pode dizer relativamente aos transladados dos borelianos da recta acabada? Indicação : Descreva o transladado, como imagem recíproca por uma aplicação mensurável, de um conjunto mensurável. Exercício 84 Mostre que toda a função mensurável LIMITADA tomando valores reais, é [2] limite uniforme de uma sucessão de funções simples. Indicação : Estude atentamente a demonstração dada na aula para o resultado correspondente no livro [14] (teorema 1.17). 15

16 Exercício 85 Considere o espaço de probabilidade (Ω, F, P) e defina-se a aplicação de [1] Ω em R constantemente igual a a. Mostre que é uma variável aleatória. Exercício 86 Sejam (Ω, F, P) um espaço de probabilidade e Y uma aplicação de Ω em R [1] mensurável e que nunca se anula. Mostre que 1/Y é uma variável aleatória relativamente ao mesmo espaço. Exercício 87 Dê um exemplo de uma função f definida de um conjunto S em R que não [1] seja mensurável mas tal que f e f 2 o sejam. Exercício 88 [11] Determine a distribuição da variável aleatória que apenas toma os [1] valores 0 e 1, supondo que toma o valor 1 com probabilidade p [0, 1] (diz-se que segue uma distribuição de Bernoulli de parâmetro p). Exercício 89 [11] Sejam 1,..., n variáveis aleatórias independentes todas seguindo dis- [1] tribuição de Bernoulli de parâmetro p. Determinar a distribuição de Y = n (diz-se que segue uma distribuição binomial de parâmetros (n,p)). Exercício 90 Seja F a função de distribuição da variável aleatória. Mostre que: [2] 1. lim x + F (x) = 1; 2. lim x F (x) = 0; 3. F é contínua à direita. Exercício 91 Seja uma variável aleatória mensurável no espaço de probabilidade (Ω, F, P).[2] Mostre que σ() = σ( 1 (π(r))) tendo em conta que π(r) = {],x] : x R} 4 Medidas Positivas 4.1 Exemplos e Propriedades Fundamentais Exercício 92 Seja (,2 ) o espaço mensurável maximal sobre o conjunto infinito. [1] Seja a aplicação µ definida em 2 (e tomando valores em R), por: µ(a) = card(a) se o subconjunto A de fôr um conjunto finito e µ(a) = + se se produzir a hipótese contrária. Mostre que µ é uma medida sobre (, 2 ) a que chamaremos medida de contagem. Indicação : Distinga o caso em que a união da família de partes duas a duas disjuntas é finita, do caso em que não é. Exercício 93 Seja um conjunto infinito e seja R a seguinte familia de subconjuntos de [1] : A R se e só se A é finito ou A c é finito. Seja µ a seguinte função em R: µ(a) = 0 se A é finito, e µ(a) = 1 se A c é finito. Será R Anel? E será µ medida? Exercício Seja um conjunto infinito e R a familia de todos os subconjuntos [1] numeráveis de. Será R um σ-anel? 16

17 2. Seja µ uma medida em R. Mostre que existe uma função f : [0, [ tal que µ(a) = x A f(x) para todo A R. Exercício 95 Seja a recta real e R = R Leb. (Ou seja, uniões finitas de intervalos.) [2] Dado A R seja µ(a) = 1 se, para algum ε positivo, A contêm o intervalo ]0, ε[. Caso contrário µ(a) = 0. Mostre que µ é uma função aditiva mas não é σ-aditiva. Exercício 96 Considere a aplicação f definida na σ-álgebra do espaço mensurável sobre [1] os inteiros não negativos (N,2 N ) e tal que se o subconjunto A fôr finito se tenha : f(a) = n A 1 (n + 1) 2, e se o subconjunto A fôr infinito se tenha f(a) = +. Diga se a aplicação assim definida é uma medida. Caso a resposta seja negativa sugira uma modificação da definição de modo a que a aplicação seja mesmo uma medida. Indicação : Relembre os resultados conhecidos sobre as séries de Riemann. Exercício 97 Seja A a σ-álgebra sobre, conjunto não numerável, gerada pelos sub- [2] conjuntos singulares. Seja µ a função de conjuntos definida em A pela correspondência µ(a) = 0 quando A é um conjunto numerável e por µ(a) = 1, quando se produzir a eventualidade contrária em A isto é quando fôr o complementar de A numerável. Mostre que o trio (,A,µ) é um espaço mensurável. Indicação : Distinga o caso em que a união da família numerável de conjuntos dois a dois disjuntos é numerável, do caso em que não é. Exercício 98 Considere o espaço de Borel (R, B(R)). Admita que existe uma e uma só [1] medida λ sobre B(R) verificando as condições seguintes: λ([0, 1]) = 1 e x R B B(R) λ(x + B) = λ(b). Chamaremos a esta medida a medida de Borel da recta real. Mostre então o seguinte: 1. n 1 λ([0, 1 n [) 1 n 2. Qualquer subconjunto numerável de R é boreliano e tem medida nula. 3. Para qualquer intervalo (a, b) da recta real (aberto, fechado ou semi-aberto) tem-se que: λ((a,b)) = b a. 4. λ(q) = 0, λ(r) = +, λ(r Q) = λ é uma medida σ-finita. Indicação : É suficiente aplicar as definições e as propriedades fundamentais desta medida tal como se encontram formuladas no enunciado. Recomendamos vivamente ao leitor a leitura das primeiras quatro páginas de [16] onde está redigida a construção da medida de Borel no plano segundo Kolmogoroff. Uma construção geral das medidas de Borel (Lebesgue) será estudada no fim do segundo capítulo do livro [14]. 17

18 Exercício 99 Seja F uma função contínua e monótona crescente definida na recta real. Se [2] A é um intervalo de extremidades a e b, seja µ F (A) = F(b) F(A). Mais geralmente, se A é uma união disjunta de intervalos A = N i=1 seja µ F (A) = N i=1 µ F (A i ). Mostre que µ F é uma medida no anel R Leb ; ou seja, prove que é σ-aditiva. Observação 1 Se tomarmos para F a primitiva da função ( 1/ 2π ) e x2 /2, µ F é designada por medida Gaussiana. Exercício Seja A um subconjunto numerável de R. Diz-se que a densidade de [2] A está bem definida se o limite A i µ L {A [ T, T]} D(A) = lim T 2T existe. Se o limite existe, esta expressão é chamada de densidade de A. Consegue dar um exemplo de um conjunto A mensurável cuja densidade não esteja definida? 2. Mostre que, se A 1 e A 2 têm densidades bem definidas e são disjuntos, então A 1 A 2 tem densidade bem definida e D(A 1 A 2 ) = D(A 1 ) + D(A 2 ). 3. Mostre que existem conjuntos A e A i, i = 1,2,... com densidades bem definidas tais que A = i=1 A i (com os A i disjuntos) mas D(A) D(A i ). Exercício 101 Seja um conjunto, R um σ-anel de subconjuntos de, e µ 1 e µ 2 medidas [2] em R. Seja L a familia dos conjuntos A R para os quais µ 1 (A) = µ 2 (A). Assuma-se que R e que µ 1 () = µ 2 () <. Mostre que L tem as seguintes propriedades: 1. L. 2. Se A, B L e B A, então A \ B L. 3. Se A i L i = 1,2,... e A = i=1 A i (união disjunta) então A L. Observação 2 A familia L com as propriedades listadas é chamada de λ-sistema. Exercício 102 Seja C o conjunto de todos os números pertencentes ao intervalo [0, 1], que [2] podem ser escritos na forma ω = a k 3 k com a k = 0, 2. Mostre que C não é numerável. (C é o conjunto de Cantor). k=1 18

19 Indicação : Use o processo da diagonal de Cantor. Exercício 103 O objectivo deste exercício é mostrar que o Conjunto Triádico de CAN- [3] TOR é um boreliano não numerável, cuja medida de Borel é nula. Considere em [0,1] o conjunto C definido pela intersecção da família (C n ) n N em que se tem para os dois primeiros elementos da família: C 1 = [ 0, 1 3 ] [ 2 3, 1 ] C 2 = [ 0, 1 ] [ 2 9 9, 1 ] [ 2 3 3, 7 ] [ ] 8 9 9, 1 1. Descreva o elemento genérico da família (C n ) n N, e represente gráficamente as primeiras três etapas da construção do conjunto de Cantor. 2. Mostre que C é um fechado para a topologia usual (e consequentemente, é um boreliano). 3. Mostre que a medida de Borel ( λ) do conjunto C é nula.. 4. Mostre rápidamente que: { C = x [0, 1] : (x n ) n N {0,2} N x = n=+ n=0 x n 3 n+1 }, concluindo em seguida que C é equipotente a R. Indicação : Para mostrar (3) use o facto de C ser a intersecção de conjuntos cuja medida de Borel pode controlar. Para mostrar (iv) atente na representação gráfica das primeiras etapas de construcão de C. Exercício 104 Dada uma qualquer familia C de subconjuntos de um conjunto, mostre [] que existe um σ-anel R σ minimal contendo C. Exercício 105 Seja c R n. Dado um qualquer subconjunto A de R n, seja A + c = [1] {ωr n; w c A}. Prove que, se A é mensurável, então A + c é mensurável e µ L (A + c) = µ L (A) ( ). Indicação : Primeiro, prove a igualdade para multi-intervalos. De seguida, mostre que na equação (**) as medidas exteriores são iguais. Exercício 106 Seja f : R R a aplicação linear x ax + b, com a e b constantes e [1] a > 0. Mostre que, se A é mensurável então f(a) é mensurável e µ L (f(a)) = aµ L (A). Exercício 107 Seja f : R m R n uma aplicação contínua. Mostre que, se A é um [1] subconjunto Boreliano de R n, então f 1 (A) é um subconjunto Boreliano de R m. Defina-se µ f (A) = µ L (f 1 (A)). Mostre que µ f é uma medida sobre os subconjuntos de Borel de R n. 19

20 Exercício 108 Seja um conjunto, F uma σ-álgebra de subconjuntos de, e µ uma [1] medida de de probabilidade em F. Seja A 1, A 2, A 3,... uma sequência de subconjuntos de pertencentes a F. 1. Mostre que, se A 1 A 2 A 3..., então ( ) µ A i = lim µ(a i ). i 2. Mostre que, se A 1 A 2 A 3..., então ( ) µ A i = lim µ(a i ). i i=1 i=1 Exercício 109 Seja um conjunto, F uma σ-álgebra de subconjuntos de, e µ uma medi- [2] da de de probabilidade em F. Mostre que, se A 1,A 2,A 3,... é uma sequência de subconjuntos de pertencentes a F, então µ(liminf A n ) liminf µ(a n ) limsupµ(a n ) µ(limsupa n ). Exercício 110 Seja um conjunto, F uma σ-álgebra de subconjuntos de, e µ uma me- [3] dida de de probabilidade em F. Suponha-se que A 1, A 2,...,A n são conjuntos independentes e pertencentes a F. 1. Mostre que A c 1,A 2,..., A n são independentes. 2. Seja A um dos seguintes conjuntos A 1 A 2, A c 1 Ac 2, A 1 A c 2, ac 1 A 2. Mostre que A, A 3, A 4,...,A n são independentes. 3. Seja F k a mais pequena sub-algebra de F contendo A 1,..., A k. Mostre que se A F k então A,A k+1,..., A n são independentes. 4. Seja F k a mais pequena sub-algebra de F contendo A 1,..., A k e F n k a mais pequena sub-algebra de F contendo A k+1,..., A n. Mostre que se A F k e A F n k então A e A são independentes. Exercício Seja A i o subconjunto do intervalo ]0, 1] correspondente ao acontec- [2] imento cara na i-ésima prova numa sequência de Bernoulli.Mostre que os A i são independentes. 2. Seja B i o subconjunto do intervalo ]0,1] correspondente ao acontecimento cara,coroa,cara na i, i+1,i+2 ésimas provas numa sequência de Bernoulli.Mostre que B 1,B 4, B 7,B 10,... são independentes. Exercício 112 Para o passeio aleatório com pausas, prove que com probabilidade 1 há [3] infinitas pausas. (Use o lema de Borel-Cantelli). Exercício 113 Mostre que, se µ 1,...,µ n são medidas sobre um espaço mensurável (Ω,F) [1] e a 1,...,a n são números reais não negativos, então a função λ definida para E F por é uma medida sobre (Ω,F). λ(e) = n a j µ j (E), j=1 20

21 Exercício 114 Seja (µ n ) uma sucessão de medidas sobre um espaço mensurável (Ω,F) com [1] µ n (Ω) = 1. Mostre que, se λ for definida por λ(e) = n=1 então λ é uma medida sobre (Ω, F) e λ(ω) = n µ n(e), E F, Exercício 115 Pretende-se demonstrar o resultado seguinte. Sejam S um conjunto, I um [2] π-sistema sobre S e Σ := σ(i). Supondo que µ 1 e µ 2 são medidas sobre (S,Σ) tais que µ 1 (S) = µ 2 (S) < e µ 1 = µ 2 em I, então µ 1 = µ 2 emσ. Indicação: Mostre que o conjunto D := {F Σ : µ 1 (F) = µ 2 (F)} é um d-sistema. Exercício 116 Seja (Ω,F,P) um espaço de probabilidade e considerem-se I 1, I 2, I 3 três [3] π-sistemas sobre Ω tais que, para k = 1, 2, 3 I k F e Ω I k Prove que se P[I 1 I 2 I 3 ] = P[I 1 ] P[I 2 ] P[I 3 ] I k I k (k = 1, 2,3), então σ(i 1 ), σ(i 2 ), σ(i 3 ) são independentes. Porque se exigiu que Ω pertencesse a I k? Exercício 117 Seja (, A, µ) um espaço de medida. Seja D(µ) a família das partes [3] µ-desprezáveis. Considere a família de partes de definida por: à = {A D : A A, D D(µ)}. 1. Mostre que à é uma σ-álgebra sobre, contendo a σ-álgebra A. 2. Seja à = A D um elemento qualquer de à (para o qual, obviamente se tem A A e ainda D D(µ). Defina-se então µ(ã) = µ(a) como uma aplicação de conjuntos sobre Ã. Mostre que então µ é uma medida sobre a σ-álgebra Ã. 3. Mostre que a medida µ coincide com a medida µ quando restringida à σ-álgebra A. 4. Mostre que (, Ã, µ) é um espaço de medida completo. Indicação : Ver o livro [14] na página 28. Ao espaço de medida (, Ã, µ) assim construído a partir do espaço de medida (, A,µ) chamaremos o completado de (,A,µ). Ao espaço de medida completado de um espaço de Borel de um espaço euclidiano munido com a topologia usual chamaremos espaço de Lebesgue. Exercício 118 Considere o espaço de Borel (, B(R), λ) e o seu completado o espaço de [3] Lebesgue (, B(R), λ). Mostre então que a σ-álgebra do espaço de medida completado, (a σ-álgebra de Lebesgue), é equipotente à família de todos os subconjuntos da recta real 2 R. Admitindo que B(R) é equipotente a R conclua que o espaço de Borel da recta real não é completo. 21

22 Indicação : Construa uma bijecção adequada usando a representação genérica de um elemento da σ-álgebra completada. Exercício 119 Considere o espaço de Lebesgue associado ao espaço de Borel da recta real. [3] ( Mesmas notações que no exercício anterior). Mostre que então se tem: 1. x R B B(R) x + B B(R) 2. x R B B(R) λ(x + B) = λ( B) Indicação : Utilize as propriedades já conhecidas do espaço de medida de Borel e do seu completado. Exercício 120 Seja (R, B(R),λ) o espaço de Borel da recta real e o seu espaço completado [3] (R, B(R), λ), o espaço de Lebesgue da recta real. Vamos mostrar que B(R) 2 R, isto é que existe um subconjunto da recta real que não é λ-mensurável. 1. Mostre que a relação R definida sobre [0,1[ por: é uma relação de equivalência. xry x y Q, 2. Mostre que é possível construir um conjunto E escolhendo um representante em cada classe de equivalência da relação R. 3. Mostre que a família (E + q) q Q [ 1,1] forma uma cobertura de [0,1[, em que os elementos são dois a dois disjuntos. Mostre ainda que: [0,1[ q Q [ 1,1] E + q [ 1,2]. Conclua que E não pode ser λ-mensurável. Indicação : Relembre a formulação do axioma da escolha e use as propriedades fundamentais da medida de Lebesgue. Exercício 121 Seja (,A) um espaço mensurável e (f n ) n N uma sucessão de funções [3] mensuráveis de em R. Mostre que: 1. {x : (f n (x)) n N converge} A. 2. Seja f uma função mensurável definida em e tomando valores em R. Mostre que o conjunto seguinte é mensurável: { } x : lim f n (x) = f(x). n N Indicação : Inspire-se da demonstração de um resultado semelhante dado na aula. Exercício 122 Seja (, A, µ) um espaço mensurável não completo. [3] 1. Mostre que existe uma sucessão (f n ) n N de aplicações mensuráveis de em R e uma outra aplicação de em R, não mensurável tais que a sucessão (f n ) n N converge µ-quase por toda a parte, para a função f. 22

23 2. Suponha agora que o espaço (,A,µ) é completo e que a sucessão (f n ) n N, converge µ-q.p.t.p. para a função f. Mostre que então se tem que f é mensurável. Indicação : Relembre a definição de uma propriedade válida µ-quase por toda a parte e a definição de espaço mensurável completo. Exercício 123 Seja (,A,µ) um espaço mensurável e (,Ã, µ), o espaço completado [3] deste. Mostre que dada uma aplicação f do espaço na recta acabada R, que seja Ã-mensurável, existe então uma aplicação g do espaço na recta acabada R que é A-mensurável e tal que f(x) = g(x) mas só µ-q.p.t.p. Indicação : Construa a aplicação g de forma a que esta verifique o que é pretendido. Exercício 124 Seja µ uma medida sobre um espaço mensurável (Ω,F) e A um conjunto [1] fixo de F. Mostre que, a função λ definida para E F por λ(e) = µ(a E), é uma medida sobre (Ω,F). Exercício 125 Suponha que (S, Σ, µ) é um espaço de medida. Defina-se a família N [2] de subconjuntos de S como sendo N := {N P(S) : Z Σtal quen Z e µ(z) = 0}. Considere-se agora que para qualquer subconjunto F de S se diz que F Σ se E, G Σ tais que E F G e µ(g\e) = Mostre que Σ é uma σ-álgebra sobre S. 2. Verifique que Σ = σ(σ, N). 3. Definindo para F Σ, que µ (F) = µ(e) = µ(g) verifique que (S,Σ, µ ) é um espaço de medida (trata-se da completação de (S, Σ, µ)). Observe que no novo espaço de medida (S, Σ, µ ), qualquer N N é mensurável (N Σ ) e tem medida nula (µ (N) = 0). 4.2 Integração de Funções Mensuráveis Positivas Nesta secção estudar-se-ão as principais propriedades da integração das funções mensuráveis positivas relativamente a uma medida positiva sobre um espaço mensurável. Os exercícios, que na sua maior parte são muito simples, deverão ser atentamente estudados com o fim de possibilitar ao leitor, uma familiarização com as ideias mais simples da teoria da integração relativa a uma medida positiva. Notações: Denotaremos o conjunto das funções mensuráveis de (, A, µ) na recta real (ou na recta acabada) por M((, A,µ), R) e o conjunto das funções mensuráveis positivas, definidas sobre (,A,µ), por M((,A,µ), R + ) ou mais simplesmente por M +. Exercício 126 Seja I o intervalo unitário. Mostre que [1] x dµ L = 1 2, usando apenas propriedades do integral de Lebesgue. I Exercício 127 Seja J o intervalo 1 x <. Mostre que [1] 1 x dµ L =, usando apenas propriedades do integral de Lebesgue. J 23

24 Exercício 128 Seja (,F,µ) um espaço de probabilidade. Seja f : [0,+ [ uma [2] variável aleatória. O integral E = fdµ é chamado de valor esperado de f e o integral V = (f E) 2 dµ é chamado de variância de f. Mostre que, se a variância de f é pequena, f desvia-se do seu valor esperado com pequena probabilidade. Explicite, mostrando que a probabilidade de f desviar-se ε de E-ou seja, é menor ou igual a ε 2 V. µ ({x ; f(x) E > ε}) Exercício 129 Seja J um subintervalo finito da recta real e f : J R uma função simples [2] que toma os valores c 1,..., c n. A função f é chamada de função em escada se f 1 (c i ) é uma união finita de intervalos para cada i. Mostre que o integral de Lebesgue e o integral de Riemann coincidem para funções em escada. Exercício 130 Seja H n o número de caras que ocorre nas primeiras n provas de uma [1] sequência de Bernoulli. Calcule o seu valor esperado e a sua variância. Exercício 131 Considere a série aleatória [2] 1 ± 1 2 ± 1 4 ± 1 8 ±... em que a atribuição do sinal + ou ao n-ésimo termo da série é decidido através do lançamento de uma moeda. Calcule o seu valor esperado e a sua variância. Exercício 132 Seja (,F, µ) um espaço de medida e fuma função mensurável não nega- [3] tiva. Para todo o a ]0, [, seja φ(a) = µ({x ;f(x) > a}). Suponha que fk dµ <, k > 0. Mostre que existe uma constante C > 0 tal que φ(a) Ca k. Isto é, mostre que φ tende para zero pelo menos tão rapidamente quanto a k quando a +. Exercício 133 Seja J um subintervalo finito da recta real e f : J R uma função em [1] escada. Dada uma função simples s : J R e um número positivo ε, mostre que existe uma função em escada f tal que s f dµ L < ε. J 24

25 Indicação : Mostre que, se A é um subconjunto mensurável de J, então existe uma união finita de intervalos B tal que d(a,b) = µ(s(a,b)) < ε. De seguida prove a igualdade pretendida para o caso em que s = I A. Prossiga. Exercício 134 Considere o espaço de medida (,2, δ a ) em que δ a é a medida de [1] Dirac no ponto a, sendo este um ponto escolhido do conjunto. Seja f M +. Mostre que então: fdδ a = f(a). Indicação : Relembre a definição da medida de Dirac e de integral de uma função mensurável positiva. Exercício 135 Seja ( N,2 N ), µ c ) o espaço mensurável em que µc é a medida de contagem [1] sobre o espaço mensurável maximal sobre o conjunto dos inteiros positivos. Mostre que para f M + se tem: fdµ c = p=+ p=0 Indicação : Proceda como no exercício anterior. f(p). Exercício 136 Seja (, A, µ) um espaço de medida. Mostre que existe uma aplicação φ [1] única definida em M + e tomando valores em R + verificando as seguintes propriedades: 1. f, g M + α R + φ(αf) = αφ(f) e φ(f + g) = φ(f) + φ(g). 2. (f n ) n N M N + f n f n+1 lim n + φ(f n ) = φ(lim n + f n ). 3. A A φ(1 A ) = µ(a). Indicação : Relembre a observação feita na aula a quando da definição de integral de uma função simples e relacione-a com a terceira propriedade que deseja obter para a função φ. Este exercício mostra-nos em particular que as propriedades de linearidade e de continuidade do integral asseguram-lhe uma unicidade. Exercício 137 Seja (, A, µ) um espaço de medida e f e g duas funções mensuráveis [2] positivas. Têm-se então as propriedades fundamentais seguintes: 1. f(x) = 0 µ q.p.t.p. f dµ = f dµ < + f < + µ q.p.t.p.. 3. f(x) = g(x) µ q.p.t.p. f dµ = g dµ. Indicação : Para demonstrar a segunda propriedade escreva o conjunto em que a função é finita como a união numerável de conjuntos mensuráveis cuja medida possa controlar. Exercício 138 Seja (,F,µ) um espaço de medida. Mostre que: [1] 1. f, g mf +, E F se tem f g E 25 f dµ E g dµ;

26 2. Se f = m j=1 β j 1 Aj for uma função simples mensurável positiva na sua representação canónica, então m { } β j µ(a j E) = sup s dµ : s S f + ; E j=1 3. f mf +, E,F F se tem que E F E F dµ F f dµ. Exercício 139 Seja (f n ) N N uma sucessão crescente de funções mensuráveis positivas, so- [3] bre o espaço de medida (,F,µ), convergindo (pontualmente) para f. 1. Mostre que lim f n dµ f dµ. n + 2. Seja ϕ uma função simples mensurável positiva. Mostre que λ, definido por λ(e) = ϕ 1 E dµ, E F é uma medida. 3. Seja A n = {x : f n (x) αϕ(x)} com 0 < α < 1 e ϕ S + f. Verifique que αϕdµ f n dµ f n dµ. A n A n 4. Mostre que ϕ dµ = lim n + ϕ dµ A n e que então α 5. Conclua que f dµ lim f n dµ. n + ϕ dµ lim f n dµ. n + Exercício 140 Considere o espaço de medida (,F,µ) e mostre que f,g mf +, E [2] F, c 0, (f + g)dµ = f dµ + g dµ E E E e ( ) (cf)dµ = c f dµ. E E Exercício 141 Seja = {x 1, x 2,...} um conjunto numerável. Seja P 1,P 2,... uma se- [2] quência de números não negativos tal que n=1 P n = 1. Considere o espaço de medida (, µ, P()), com µ definida para cada A por µ(a) = x i A P i. Mostre que qualquer função f : R é (,P()) mensurável e prove que, para f não negativa, fdµ = P n f(x n ) n=1 26

27 Exercício 142 Seja f : R [0, ) mensurável. Dado a R, seja f a (x) = f(x a). [2] Mostre que f a é mensurável e que f a dµ L = fdµ L. Indicação : Ver exercicio 92. Exercício 143 Seja (,F,µ) um espaço de medida e A e B subconjuntos mensuráveis de [1]. Mostre que, se µ( (A,B)) = 0, então, para toda a função mensurável não negativa f, fdµ = fdµ. A Exercício 144 Seja (, A, µ) um espaço de medida e f e g duas funções mensuráveis [3] positivas tais que f g e ainda que g dµ < +. Mostre então que sempre que f g tem sentido se tem também: (f g) dµ = f dµ g dµ. Indicação : Mostre que ambos os membros da igualdade existem e depois que são iguais, usando o procedimento habitual. Exercício 145 Uma aplicação do teorema da convergêcia monótona de Lebesgue. [1] 1. Seja (f n ) n N uma sucessão decrescente de funções mensuráveis positivas admitindo como limite a função (mensurável) f. Suponha que se tem f 1 dµ < +. Mostre que então se tem: lim f n dµ = f dµ. n + 2. Sendo (R, B(R), λ) o espaço de medida de Borel e a sucessão de aplicações definidas na recta real e tomando valores em R + definida para n inteiro positivo por f n = 1 [n,+ [, mostre que a sucessão assim definida é uma sucessão decrescente de funções mensuráveis mas que se tem: lim f n dµ lim f n dµ. n + n + Indicação : Para a alínea 1) reduza o problema a uma situação já estudada. Para a alínea seguinte calcule simplesmente cada um dos termos da igualdade. Exercício 146 Sobre o lema de Fatou [1] 1. Para (f n ) n N uma sucessão arbitrária de funções mensuráveis positivas tem-se sempre que: lim inf n dµ liminf f n dµ. n + n + 2. Sendo (R, B(R), λ) o espaço de medida de Borel e a sucessão de aplicações definidas na recta real e tomando valores em R + definida para n inteiro positivo por f n = n1 ]0, 1 ]. n Mostre que: lim inf f n dµ < liminf f n dµ. n + n + 27 B