1. Espaços mensuráveis; σ-álgebras. Seja Ω um conjunto.

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1 VISÕS 1. spaços mensuráveis; σ-álgebras Seja um conjunto. Definição 1.1. Uma σ-álgebra F (em ) é uma família de subconjuntos de que verifica as seguintes propriedades: (1) F, (2) F F temos \ F F, (3) (F n ) n N F N, temos n N F n F. xercicio 1. Mostre que são σ-álgebras sobre : (1) P(), (2) {, }, (3) {,A,A c, },A. Definição 1.2. Ao par (, F) chama-se espaço mensurável. xercicio 2. Considere (, F) umespaço mensurável, mostre que (F n ) n N F N, temos n N F n F. Seja uma família de partes de. Definição 1.3. A σ-álgebra gerada por, σ(), éamenor σ-álgebra que contém a família. Proposição 1.4. σ-álgebra sobre, (1) A intersecção de uma família de σ-álgebras sobre é ainda uma (2) a σ-álgebra gerada por, é a intersecção de todas as σ-álgebras que contém. Demonstração. (1) Seja (F i ) i I uma família de σ-álgebras sobre, para que F = i I F i seja uma σ-álgebra sobre temos de verificar: 1

2 VISÕS 2 (a) F,oque se verifica pois, i I, F i por cada F i ser σ-álgebra sobre. (b) Dado F Ftemos que \F Fuma vez que se F Fentão i I, F F i donde i I, \ F F i por cada F i ser σ-álgebra sobre. (c) Dado (F n ) n N F N, temos que i I, (F n ) n N Fi N donde por cada F i ser σ-álgebra virá i I, n N F n F i, concluindo-se que F é σ-álgebra sobre. (2) Sejam agora uma família de partes de e F = H G H com G = {H : H é σ-álgebra e H}. Podemos imediatamente concluir que F é σ-álgebra (pela alínea anterior). Basta agora mostrar que éamenor σ-álgebra que contém para se concluir que σ() = F. Que F é imediato tendo em atenção a definição de F, vamos agora considerar uma qualquer outra σ-álgebra L que contém, mas tal que L F. ntão como L Gvirá que F = H G H L, concluindo-se o pretendido. Definição 1.5. A σ-álgebra de Borel sobre, B(), éaσ-álgebra gerada pelos subconjuntos abertos de xercicio 3. Mostre que qualquer σ-álgebra sobre que contenha os intervalos abertos também contém os intervalos fechados. xercicio 4. Mostre que, B() pode ser gerada por {]a, [: a }. xercicio 5. Sejam X conjunto, (Y,G) umespaço mensurável e f uma aplicação de X para Y. Mostre que f 1 (G) ={f 1 (G) :G G}, é uma σ-álgebra sobre X. xercicio 6. Sejam X e Y dois conjuntos e f uma aplicação de X para Y. Seja uma família de subconjuntos de Y, mostre que f 1 (σ()) = σ(f 1 ()).

3 VISÕS 3 2. spaços demedida - medidas Definição 2.1. Uma função µ : F diz-se uma medida se: (1) µ 0, (2) µ( ) =0, (3) (F n ) n N F N F i F j =,i j µ( n N F n)= n N µ(f n). xercicio 7. Sejam (, F) umespaço mensurável e a fixo, considere-se δ a : F definida por, 1 a F F F,δ a (F )= 0 a/ F, mostre que δ a é uma medida. Definição 2.2. Ao trio (, F, µ)chama-se espaço de medida. Proposição 2.3. Sejam (, F,µ)umespaço de medida, e A 1,...,A n elementos de F, então: (1) Se A 1,...,A n F são dois a dois disjuntos então µ( n A i)= n µ(a i), (2) Se A 1,A 2 F com A 1 A 2,então µ(a 1 ) µ(a 2 ), (3) Se A 1,A 2 F,então µ(a 1 A 2 )+µ(a 1 A 2 )=µ(a 1 )+µ(a 2 ), (4) A 1,...,A n F temos µ( n A i) n µ(a i). Demonstração. (1) Basta considerar a sucessão B k = A k,k n, B k =, k>n,e usar as segunda e terceira condições da definição de medida. (2) Como A 2 =(A 2 \ A) A e estes conjuntos são disjuntos podemos usar a alinea anterior com n =2,vindo, µ(a 2 )=µ(a 2 \ A 1 )+µ(a 1 )eaconclusão sai de µ(a 2 \ A 1 ) 0. (3) Temos que A 1 A 2 =(A 1 \A 2 ) (A 2 \A 1 ) (A 1 A 2 ), como os conjuntos anteriores são disjuntos vem que µ(a 1 A 2 ) = µ(a 1 \ A 2 )+µ(a 2 \ A 1 )+µ(a 1 A 2 ). Finalmente como A 1 = (A 1 \ A 2 ) (A 1 A 2 )esão conjuntos disjuntos, virá µ(a 1 \ A 2 )=µ(a 1 ) µ(a 1 A 2 ) (análogamente para A 2 ), o que permite concluir o pretendido.

4 VISÕS 4 (4) Pela alinea anterior podemos concluir que µ(a 1 A 2 ) µ(a 1 )+µ(a 2 ) donde o resultado segue por indução em n, uma vez que µ( n A i)=µ(a A n ) µ(a) +µ(a n ) n 1 µ(a i)+µ(a n ) quando fazemos A = n 1 A i e usamos a hipótese de indução. xercicio 8. Mostre que se A B então µ(b \ A) =µ(b) µ(a). Proposição 2.4. (1) Dado (F n ) n N F N com F n n N F n temos ( ) lim µ(f n)=µ( lim F n )=µ F n, n n (2) se (G n ) n N F N com G n n N G n, e k N, µ(g k ) < temos ( ) lim µ(g n)=µ( lim G n )=µ G n, n n (3) a união numerável de conjuntos com medida (µ) nula é ainda um conjunto com medida (µ) nula. Demonstração. (1) Considere-se uma nova sucessão G n de elementos de F definidos por, G 0 = F 0,G 1 = F 1 \ F 0,...,G n = F n \ F n 1,... Facilmente se verifica que G i G j =, i j e que n N F n = n N G n, donde por µ ser medida, ( ) ( ) N µ F n = µ G n = µ(g n )= lim µ(g n ). N n N n N epare-se agora N µ(g n )=µ(f 0 )+ n N n N N (µ(f n ) µ(f n 1 )) = µ(f N ), n=1 o que permite concluir o pretendido. (2) Basta neste caso considerar a sucessão F n = G k \ G k+n, como temos F n vem que pela alínea anterior, µ ( n N F n) = limn µ(f n ). Como temos que G k+n G k, n N, virá F n = ( ) c ( ) (G k \ G k+n )=G k G k+n = G k \ G k+n, n N n N n N n N

5 VISÕS 5 donde Por outro lado, ( ) ( ) µ F n = µ(g k ) µ G k+n. n N n N lim µ(f n)= lim µ(g k \ G k+n )=µ(g k ) lim µ(g k+n ), n n n donde por µ(g k ) < sai o pretendido. Pois µ ( n N G ) ( n = µ n N G k+n) e lim n µ(g n )=lim n µ(g k+n ). (3) Seja (F n ) n N uma sucessão de elementos de F tais que n N, µ(f n )=0. Como por (??) epela hípotese, ( N ) N N N, µ F n µ(f n )=0 então teremos que pela primeira alínea, fazendo G N = N F n, ( ) ( ) ( N ) µ F n = µ G n = lim µ(g N)= lim µ F n =0. N N Corolário 2.5. Seja (, F,µ)umespaço de medida, mostre que A 1,...,A n,... F temos µ( A i) µ(a i) Demonstração. epare-se que por (??) temos N N, µ( N A i) N µ(a i), donde lim N µ( N A i) µ(a i). A conclusão segue de B N = N A i estar nas condições da primeira alínea da proposição anterior. xercicio 9. Considere o espaço mensurável (, B()). Admita que existe uma e uma só medida λ sobre B() verificando as seguintes condições: Mostre que: λ[[0, 1]] = 1 e x, B B() λ[x + B] =λ[x]. (1) n 1, λ[[0, 1/n[] 1/n. (2) Qualquer subconjunto numerável de é boreliano e tem medida nula. (3) Para qualquer intervalo (a, b) da recta real (aberto, fechado ou semi-aberto) temse: λ[(a, b)] = b a.

6 (4) λ[q] =0,λ[] =λ[ \ Q] =+. VISÕS 6 Definição 2.6. Se µ[] = 1 então a µ chama-se de probabilidade e a (, F,µ) espaço de probabilidade. xercicio 10. Seja (µ n ) n N uma sucessão de medidas sobre um espaço mensurável (, F) com µ n () = 1. Mostre que, se λ for definido por λ() = n=1 1 2 n µ n(), F, então λ é uma medida sobre (, F) com λ() =1. Definição 2.7. Sejam (, F, P) umespaço de probabilidade e A, B F, A e B dizem-se independentes se P[A B] =P[A]P[B]. Mais geralmente, Definição 2.8. Seja (, F, P) umespaço de probabilidade, A 1,...,A n,... F dizem-se independentes se para n N e qualquer sequência de inteiros 1 i 1 i 2... i k n, temos P[A i1 A i2... A ik ]=P[A i1 ]P[A i2 ]...P[A ik ]. xercicio 11. Suponha-se que A e B são independentes, mostre que: (1) A c e B, (2) A c e B c, são também independentes. Lema 2.9. (Borel-Cantelli I) Dados A 1,...,A n,... F,então, ( ) µ(a i ) < µ A n = µ(lim sup A n )=0. k=1 n k Demonstração. Façamos A = k=1 n k A n = k=1 B k com B k = n k A n, donde pelo corolário (??)vem, µ(b k ) n k µ(a n). Como n k µ(a n) 0, k por

7 VISÕS 7 µ(a i) <, teremos que uma vez que B k e µ(b k ) < podemos usar (??) para garantir que µ(a) =µ( k=1 B k )= lim k µ(b k ) lim k n k µ(a n )=0. xercicio 12. Dados (, F, P) umespaço de probabilidade e A 1,...,A n,... Findependentes. Mostre que então A c 1,...,A c n,... F são independentes. Lema (Borel-Cantelli II) Dados (, F, P)umespaço de probabilidade e A 1,...,A n,... F independentes, então ( ) µ(a i )= µ A n = µ(lim sup A n )=1. k=1 n k Demonstração. Uma vez mais façamos A = k=1 n k A n = k=1 B k, então A c = k=1 n k Ac n = k=1 Bc k.para se concluir que µ(a) =1vamos mostrar que µ(ac )=0, como já foi visto em (??) basta mostrar que µ(bk c )=0,k 1. Pela hipótese de independência temos que, ( l ) l k 1, l >k,µ = µ(a c n) n=k mas µ(a c n)=1 µ(a n ) exp( µ(a n )) uma vez que 1 x exp( x), x 0. Pode-se agora concluir, uma vez que l n=k Ac n,l, ( ) ( l µ(bk)=µ c A c n = lim µ l lim l l n=k n=k exp( µ(a n )) = lim l exp n=k A c n n=k A c n n=k ) = lim l n=k l µ(a c n) ( l ) ( ) µ(a n ) = exp µ(a n ) =0. Definição Sub-σ-álgebras G 1, G 2,... de F dizem-se independentes se para n N e quaisquer i 1,...,i n distintos, com G in G in temos: P[G i1 G i2... G in ]=P[G i1 ]P[G i2 ]...P[G in ]. n=k

8 VISÕS 8 xercicio 13. Mostre que são independentes as σ-álgebras definidas sobre ]0, 1], G 1 = {, ]0, 1], ]0, 1/2], ]1/2, 1]}, e G 2 = {, ]0, 1], ]0, 1/4] ]2/4, 3/4], ]1/4, 2/4] ]3/4, 1]}. 3. Funções mensuráveis Seja (, F,µ)umespaço de medida. Seja f uma função definida em tomando valores em. Definição 3.1. A função f diz-se F-mensurável se: (3.1) a, {ω :f(ω) >a} F Proposição 3.2. Mostre que são equivalentes as seguintes condições: (1) a, {ω :f(ω) >a} F (2) a, {ω :f(ω) a} F (3) a, {ω :f(ω) <a} F (4) a, {ω :f(ω) a} F Demonstração. Basta ter em atenção que: ]a, [ c =],a], [a, [ c =],a[. ]a, b[= n 1 [a + ε,b ε b a ],ε= ; [a, b] = n n 2 n 1 ]a 1,b+ 1 [. n n Para uma sucessão de conjuntos (A n ) n N, temos, f 1 ( n A n) = n f 1 (A n ), f 1 ( n A n)= n f 1 (A n ) e f 1 (A c n)=[f 1 (A n )] c. Fé σ-álgebra. Temos ainda uma definição equivalente de função mensurável. Teorema 3.3. Uma função f : é F-mensurável se, e só, se: B B(),f 1 (B) ={ω :f(ω) B} F.

9 Demonstração. pela hipótese que, ou seja f é mensurável. VISÕS 9 (1) ( ) Como a, ]a, + [ B() então teremos imediatamente a, {ω :f(ω) >a} = f 1 (]a, + [) F, (2) ( ) Considere-se C = {C : f 1 (C) F}. epare-se que C é uma σ- álgebra sobre e que pela hipótese a, ]a, [ C. ntão teremos que {]a, [; a } Cmas como B() =σ({]a, [; a }) basta usar a definição de σ-álgebra gerada para se concluir que B() Co que terminará a prova. xemplo 3.4. (1) Funções constantes são mensuráveis. (2) Somas de funções mensuráveis são mensuráveis. (3) Produtos de funções mensuráveis são mensuráveis. (4) Funções contínuas são mensuráveis. (5) Dada uma sequência de funções mensuráveis f 1,f 2,... então: (a) lim inf f n e lim sup f n são funções mensuráveis, (b) se (f n ) n N converge para f então f também é mensurável. Definição 3.5. Define-se a função indicatriz I A de um conjunto A, por: 1 se ω A (3.2) I A (ω) = 0 se ω/ A xercicio 14. Mostre que I A é F-mensurável se, e só, se A F. Mais geralmente, dados dois espaços mensuráveis (X, F) e(y,g). Definição 3.6. Uma função f : X Y diz-se mensurável de (X, F) em(y,g) se: G G,f 1 (G) F. Definição 3.7. Dada uma função f :, define-se a σ-álgebra gerada por f como sendo a menor σ-álgebra relativamente à qual f é mensurável, ou ainda, como sendo: σ(f) =f 1 (B()) = {f 1 (B) :B B()}.

10 VISÕS 10 Observação 3.8. epare-se que σ(f) G para qualquer σ-álgebra G relativamente á qual f seja mensurável. xercicio 15. Mostre que de facto a família definida em (??) é uma σ-álgebra sobre. Um caso especial de funções mensuráveis são aquelas que estão definidas sobre um espaço de probabilidade, que se designarão por variáveis aleatórias. Isto é, se (, F, P) é um espaço de probabilidade, então X : é uma variável aleatória se a, {ω :X(ω) >a} F. Suponha-se que X é uma variável aleatória relativamente ao espaço de probabilidade (, F, P). Definição 3.9. Define-se uma medida de probabilidade sobre B() por: P X [B] =P[X 1 (B)], B B(). a que se chama a distribuição de probabilidade da variável aleatória X ou apenas a lei da variável aleatória X. xercicio 16. Mostre que de facto P X definida em (??) é uma medida de probabilidade. xercicio 17. Seja X uma variável aleatória que toma os valores distintos a 0,a 1,...,a n,... com probabilidade p 0,...,p n,... Mostre que: (1) (2) { } σ(x) = A i ; I N, com A n = X 1 ({a n }), n N. i I em que δ a éamedida de Dirac. P X = n N p n δ an, Definição Define-se ainda a função distribuição F X,deX por: F X (x) =P X [],x]]=p[x x].

11 VISÕS 11 xercicio 18. Considere F X a função distribuição de uma variável aleatória X, mostre que: (1) F X : [0, 1] e que F X (x) é uma função crescente, (2) lim x F X (x) =0, e lim x + F X (x) =1, (3) F X é contínua à direita. xercicio 19. Determine a distribuição de uma variável aleatória X que apenas toma os valores 0e1,supondo que toma o valor 1 com probabilidade p [0, 1] (diz-se que X segue uma distribuição de Bernoulli de parâmetro p). Definição As variáveis aleatórias X 1,X 2,...dizem-se independentes se as σ-álgebras geradas σ(x 1 ),σ(x 2 ),... são independentes. xercicio 20. Mostre que 1 e 2 as primeira e segunda funções de ademacher são variáveis aleatórias independentes. xercicio 21. Sejam X 1,...,X n variáveis aleatórias independentes todas seguindo distribuição de Bernoulli de parâmetro p. Determine a distribuição de Y = X X n (diz-se que Y segue uma distribuição Binomial de parâmetro (n, p).) 4. Integral de Lebesgue Definição 4.1. Dado um espaço de medida (, F, µ) uma função s :, F- mensurável, diz-se simples se tomar apenas um número finito de valores distintos. Se s tomar os valores c 1,...,c 2, pode-se então escrever: n (4.1) s(ω) = c i I i (ω), com i = s 1 (c i ). Observação 4.2. A esta representação chama-se a representação canónica de s. Para funções simples não negativas define-se então o integral de Lebesgue. Definição 4.3. Ointegral de Lebesgue sobre Fpara uma função simples do tipo (??) não negativa, com respeito à medida µ é dado por: n s(ω)dµ = c i µ( i ).

12 VISÕS 12 Usa-se a convenção de que, 0. =0. xemplo 4.4. Um caso particular será, I F dµ = µ( F ),F F. xercicio 22. Considere (, B(), λ)em que λ é a medida de Lebesgue com as propriedades (??). Calcule, n 1 2 i I ]i 1,i](x)dλ. Temos algumas propriedades de integrais de funções simples. Proposição 4.5. Sejam s i :,i =1, 2 funções simples mensuráveis não negativas e F. (1) (2) (3) Se s 1 s 2 em então cs 1 dµ = c s 1 dµ, c 0. s 1 + s 2 dµ = s 1 dµ s 1 dµ + As duas primeiras propriedades são de linearidade. s 2 dµ. s 2 dµ. Demonstração. Suponhamos que temos as representações canónicas de s 1 e s 2, respectivamente, s 1 = n a ii i e s 2 = m j=1 b ji Fj (1) Temos cs 1dµ = n c.a iµ( i )=c n a iµ( i )=c s 1dµ. (2) epare-se que ( i ),...n,e(f j ) j=1,...m formam partições de e que s 1 + s 2 = i,j (a i+b j )I i F j.ntão s 1+s 2 dµ = i,j (a i+b j )µ( i F j ) = i a i j µ( i F j )+ j b j i µ( i F j ) = i a iµ( i ( j F j ) )+ j b jµ(( i i ) F j ) == i a iµ( i )+ j b jµ(f j ) = s 1dµ + s 2dµ. (3) Como s 2 s 1 0, então pela alinea anterior vem que s 1dµ s 1dµ + s 2 s 1 dµ = s 1 + s 2 s 1 dµ = s 2dµ.

13 VISÕS 13 xercicio 23. Sejam (, F, µ)um espaço de medida e s uma função simples F-mensurável não negativa. Para F defina-se ν() = Mostre que ν é uma medida sobre (, F). sdµ. Para funções mensuráveis não negativas define-se também o integral de Lebesgue. Definição 4.6. Sejam (, F,µ)umespaço de medida e f : uma função F- mensurável não negativa, define-se o integral de Lebesgue de f sobre Fcom respeito a µ por: com S + f { } f(ω)dµ = sup sdµ; s S + f, = {s : ;0 s f,s simples }. Teorema 4.7. (Teorema de Lebesgue) Seja f : uma função mensurável não negativa. ntão existe uma sucessão de funções simples mensuráveis não negativas, tais que s n f pontualmente. 0 s 1 s 2... f, Demonstração. Prova-se facilmente que a sucessão n2 n ( ) i 1 n 1,s n (ω) = I i (ω)+ni Fn (ω), 2 n onde i = f 1 ([ i 1 2 n, i 2 n [) e Fn = f 1 ([n, + ]), está nas condições desejadas. Proposição 4.8. Sejam,F F e f e g funções mensuráveis não negativas, então: (1) Se f g em, então (2) Se F,então (3) Se µ() =0então fdµ gdµ. fdµ fdµ. F fdµ =0.

14 VISÕS 14 Demonstração. (1) Se f g então S + f S+ g donde sup{ sdµ; s S+ f } sup{ sdµ; s S + g }. (2) Comecemos por por provar o resultado para f = I G,G F. ntão por G G F epela definição de integral vem fdµ = I Gdµ = µ(g ) µ(g F )= fdµ. De seguida usando a linearidade (??) prova-se o resultado F para f = n a ii i,a i > 0, i Ffunção simples. Finalmente como sdµ sdµ, s F S+ f vem opretendido. (3) Uma vez mais se f = I G,G Fvem fdµ = µ(g ) µ() =0. Se f = n a ii i,a i > 0, i Ffôr uma função simples vem que pela linearidade fdµ = n a i I i dµ =0,donde para f mensurável não negativa fdµ = sup{ sdµ; s S+ F } = sup{0} =0. xercicio 24. Calcule [1, [ 1 x dλ. Teorema 4.9. (Desigualdade de Chebyshev) Seja f uma função mensurável não negativa. Para F e α>0 temos, (4.2) µ ({ω : f(ω) α}) 1 fdµ. α Demonstração. Façamos α = {ω : f(ω) α}, então temos que por (??) fdµ fdµ α αdµ = αµ( α ), α o que prova o pretendido. Definição Uma propriedade diz-se válida µ-quase-por-toda-a-parte se fôr válida excepto num conjunto de medida nula. Corolário Se f é uma função mensurável não negativa com fdµ <, então µ({ω : f(ω) = } =0 f<, µ q.p.t.p. em.

15 Demonstração. Façamos n VISÕS 15 A n = {ω ; f(ω) n}, então pela desigualdade de Chebyshev vem que: n 1, µ(a n ) 1 fdµ. n Como fdµ < epor{ω ; f(ω) =+ } A n,n 1conclui-se que: µ({ω ; f(ω) =+ }) µ(a n ) 1 fdµ 0, n. n Corolário Seja f uma função mensurável não negativa e seja F, se fdµ =0, então f =0,µ q.p.t.p. em. Demonstração. Basta mostrar que µ({ω ; f(ω) 0}) =0. Façamos n 1, A n = {ω ; f(ω) 1/n}, então pela desigualdade de Chebyshev e pela hipótese vem que: n 1, µ(a n ) n fdµ =0. Como {ω ; f(ω) 0} = n=1 A n conclui-se que µ({ω ; f(ω) 0}) =0porser a medida de uma união de conjuntos com medida nula. 5. Teoremas de convergência Teorema 5.1. (Teorema da convergência monótona de Lebesgue(MON)) Seja (f n ) n N uma sequência crescente de funções mensuráveis não negativas. ntão, lim f n dµ = lim f ndµ, F. n n Demonstração. Façamos f = lim n f n, como n N, f n f virá f ndµ fdµ e portanto lim f n dµ fdµ. n Para a outra desigualdade considere-se s S + f, e0<c<1, e defina-se n N, n = {ω ; f n (ω) cs(ω)}. Temos então que ( n ) n N F N, n e, n N, f n dµ f n dµ c sdµ. n n

16 VISÕS 16 Como n epelo exercicio (??) ointegral da direita é uma medida e ainda por (??) vem que: lim f n dµ lim c sdµ = c sdµ. n n n Como c ]0, 1[ é qualquer teremos que lim f n dµ sdµ, s S + n f donde pela definição do integral vem finalmente lim f n dµ fdµ. n xercicio 25. Dado f mensurável não negativa, mostre que existe uma sequência (s n ) n N de funções simples tais que, lim n s n dµ = fdµ. Teorema 5.2. Sejam f e g funções mensuráveis não negativas, c>0. ntão para F teremos: (1) (2) cfdµ = c fdµ. (f + g)dµ = fdµ+ gdµ. Demonstração. (1) Como pelo teorema de Lebesgue (??) sabemos que (s n ) n N ( ) S + N f e f = limn s n, usando MON (??) vem que: cfdµ = lim cs n dµ = lim cs n dµ. Finalmente pela proposição (??) eusando MON uma vez mais, teremos, lim cs n dµ = lim c s n dµ = c lim s n dµ = c fdµ.

17 VISÕS 17 (2) Temos que (s 1 n) n N ( ) S + N f e (s 2 n ) n N ( ) S g + N com f = limn s 1 n, g = lim n s 2 n. Usando uma vez mais a proposição (??) emon (??)vem, (f + g)dµ = lim(s 1 n + s 2 n)dµ = lim (s 1 n + s 2 n)dµ = = lim s 1 ndµ + lim s 2 ndµ = lim s 1 ndµ + lim s 2 ndµ, o que prova o pretendido. Corolário 5.3. Seja (f n ) n N uma sequência de funções mensuráveis não negativas, então, para F temos, f n dµ = f n dµ. Demonstração. Façamos k N, g k = k f n, como a sucessão (g k ) k N está nas condições de MON e do teorema anterior, f n dµ = lim g kdµ = lim g k dµ = k k = lim k k f n dµ = f n dµ. xercicio 26. Seja f uma função mensurável não negativa. Seja A 1,A 2,... uma sequência de elementos de F disjuntos. Mostre que, fdµ = fdµ. A i A i xercicio 27. Sejam f e g duas funções mensuráveis não negativas. f = g, µ q.p.t.p. então, fdµ = gdµ. Mostre que se xercicio 28. Sejam (, F, µ)um espaço de medida e f uma função F-mensurável não negativa, para F defina-se Mostre que ν é uma medida. ν() = fdµ.

18 VISÕS 18 Lema 5.4. (Lema de Fatou) Seja (f n ) n N uma sequência de funções mensuráveis não negativas, então: lim inf f n dµ lim inf f n dµ. Demonstração. Façamos g k = inf n k f n então temos g k lim inf f n e n k, f n g k. Podemos escrever então n k, g k dµ f n dµ g k dµ inf f n dµ. n k Como o resultado anterior éválido para todo o k, então lim g k dµ lim inf f n dµ. k k n k Aplicando MON ao primeiro membro da desigualdade anterior vem lim g k dµ = lim g kdµ = lim inf f n dµ k k edosegundo membro da desigualdade vem lim inf f n dµ = sup inf k n k k 0 n k o que termina a prova. f n dµ = lim inf f n dµ, Definição 5.5. Para f função mensurável qualquer define-se as suas partes positiva f + e negativa f por: Observação 5.6. epare-se que: (1) f = f + f, (2) f = f + + f. f + (ω) =max(f(ω), 0), f (ω) =max( f(ω), 0). xercicio 29. Mostre que f é mensurável se, e só, se f + e f são mensuráveis. Definição 5.7. Uma função mensurável f diz-se integrável sobre F com respeito a µ, eescreve-se f L 1 (µ, ) seacontecer: f dµ < f + dµ < e f dµ <.

19 Definindo-se nesse caso, fdµ = VISÕS 19 f + dµ f dµ. xercicio 30. Considere o espaço de probabilidade (, P(),δ a )emqueδ a éamedida de Dirac no ponto a. Seja f L 1 (δ a, ). Mostre que então, fdδ a = f(a). Teorema 5.8. Sejam f,g L 1 (µ, ) ec. ntão, (1) (2) cf L 1 (µ, ), e f + g L 1 (µ, ), e cfdµ = c fdµ. (f + g)dµ = fdµ+ gdµ. Demonstração. (1) Como por f L 1 (µ, ) temos que f + dµ < cf + dµ = c f + dµ < edeforma análoga cf dµ < o que permite-nos concluir que cf +,cf e( c)f +, ( c)f são integráveis. Como (cf) + = cf + e(cf) = cf se c>0 e (cf) + =( c)f e(cf) =( c)f + se c 0. Podemos concluir que (cf) +, (cf) L 1 (µ, ) eportanto também cf L 1 (µ, ). Tendo em atenção o que foi feito e usando (??) podemos escrever para c>0, cfdµ = (cf) + dµ (cf) dµ = cf + dµ cf dµ = = c f + dµ c f dµ = c fdµ, análogamente para c 0, cfdµ = (cf) + dµ (cf) dµ = ( c)f dµ ( c)f + dµ =

20 VISÕS 20 = c f + dµ c f dµ = c fdµ. (2) Como f + g f + g vem por (??) e(??) f + g dµ f + g dµ = f dµ + g dµ < donde se conclui que Temos agora f + g L 1 (µ, ). f + g =(f + g) + (f + g),f+ g = f + f + g + g donde (f + g) + (f + g) = f + f + g + g eportanto (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g + como são todas funções integráveis e não negativas vem, (f + g) + dµ + f dµ + g dµ = (f + g) dµ + f + dµ + g + dµ (f + g) + dµ o que termina a demonstração. (f + g) dµ = f + dµ f dµ + f + gdµ = fdµ+ gdµ g + dµ g dµ Lema 5.9. (Lema de Fatou inverso) Seja (f n ) n N uma sequência de funções mensuráveis não negativas. Seja g uma função mensurável não negativa tal que n N,f n g e gdµ <,então: lim sup f n dµ lim sup f n dµ. Demonstração. epare-se que se definirmos uma nova sucessão h n = g f n,n N temos que h n 0,n N e podemos aplicar o Lema da Fatou a esta nova sucessão vindo, lim inf h n dµ lim inf h n dµ. Usando o teorema anterior e reparando que lim inf h n = lim inf(g f n )=g lim sup f n e lim inf h n dµ = lim inf ( gdµ f n dµ ) = gdµ lim sup f n dµ obtém-se gdµ lim sup f n dµ gdµ lim sup f n dµ,

21 VISÕS 21 o que termina a demonstração por gdµ <. xercicio 31. Sejam f,g L 1 (µ, ) com f g. Mostre que: (1) fdµ (2) fdµ f dµ. Teorema (Teorema da convergência dominada de Lebesgue(DOM)) Sejam (f n ) n N uma sequência de funções mensuráveis e F. gdµ. Seja g uma função mensurável não negativa tal que n N, f n g e gdµ <, então, se existe lim n f n (ω), ω, teremos que: f = lim n f n L 1 (µ, ), e Demonstração. Pelo lema de Fatou vem f dµ = lim inf f n dµ lim inf lim f ndµ = lim f n dµ. n n f n dµ gdµ <, eportanto f L 1 (µ, ). Ainda pelo lema de Fatou e porque n N, g+ f n 0vem lim inf(g + f n )dµ lim inf g + f n dµ gdµ + fdµ gdµ + lim inf f n dµ. Donde por gdµ <, fdµ lim inf f n dµ. De forma análoga podemos considerar n N, g f n 0 vindo lim inf(g f n )dµ lim inf g f n dµ Concluindo-se agora que: lim sup ( ) fdµ lim inf f n dµ fdµ lim sup f n dµ. f n dµ fdµ lim inf f n dµ,

22 VISÕS 22 donde sai, fdµ = lim sup f n dµ = lim inf f n dµ = lim f n dµ. xercicio 32. Seja (f n ) n N uma sequência de funções pertencentes a L 1 (µ, ) com f n dµ <. Mostre que, (1) f n converge absolutamente µ-q.p.t.p. em eéintegrável em, (2) f ndµ = f ndµ. Considere o espaço de probabilidade (, F, P). Definição Para uma variável aleatória X define-se o seu valor esperado por: [X] = XdP, e a sua variância por: V[X] = (X [X]) 2 dp. xercicio 33. Mostre que, se duas variáveis aleatórias X, Y L 1 são independentes, então: [XY ]=[X][Y ]. xercicio 34. Mostre que para uma variável aleatória X L 1 (P, ) e ε>0, temos: P [{ω ; X [X] >ε}] 1 ε 2 V[X]. Teorema Sejam X : uma variável aleatória e g : uma função B()-mensurável e integrável. ntão, g(x(ω))dp(ω) = g(x)dp X (x). Demonstração. ecordemos de (??)) que P X [B] =P[X 1 (B)], B B() eprovemos o teorema para

23 VISÕS 23 (1) g = I A,A B(): g(x)dp = I A (X)dP = I X 1 (A)dP = = P[X 1 (A) ] = P[X 1 (A)] = P X [A] = I A dp X = gdp X. (2) g = n a ii Ai,a i > 0, A i B(), (função simples): ntão usando a linearidade eaalínea anterior vem, n n g(x)dp = a i I Ai (X)dP = a i I Ai (X)dP = = n a i I Ai dp X = n a i I Ai dp X = gdp X. (3) g mensurável não negativa, então existe uma sequência de funções simples s n g que está nas condições de MON, vindo pela alinea anterior : g(x)dp = lim s n (X)dP = lim s n (X)dP = = lim s n dp X = lim s n dp X = gdp X. (4) Finalmente para g L 1, temos pela alínea anterior que g+ (X)dP = g+ dp X e análogamente para g donde vem g L 1 (P X, ) g(x) L 1 (P, ). Podemos usar agora a alínea anterior e a linearidade, g(x)dp = (g + (X) g (X))dP = g + (X)dP g (X)dP = = g + dp X g dp X = (g + g )dp X = gdp X. xercicio 35. Mostre que se P X = i N p ip i, onde P i são medidas de probabilidade e pi =1,p i 0, então para g L 1 (P X, ) temos g(x)dp X (x) = p i g(x)dp i. i N xercicio 36. Calcule [X] e V[X] quando X é a variável aleatória do exercicio (??). xercicio 37. Calcule [X]e V[X] quando X tem distribuição de Bernoulli de parâmetro p e quando tem distribuição Binomial de parâmetros (n, p), ver exercicios (??) e(??).

24 VISÕS 24 Definição Dizemos que X tem função densidade de probabilidade f X com respeito à medida de Lebesgue, se existir uma função f X : [0, ], B()-mensurável tal que: P[X B] = B f X (x)dλ, B B(). xercicio 38. Mostre que, se f X é função densidade de probabilidade da variável aleatória X então Podemos agora concluir, f X dλ =1. Teorema Sejam X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f X,eg L 1 (P X, ), então: g(x)dp X (x) = Demonstração. Provemos o teorema para g(x)f X (x)dλ. (1) g = I A,A B(), e usando a hipótese sobre f X : gdp X = I A dp X = P X [A ] =P[X A] = f X dλ = A I A f X dλ = gf X dλ. (2) g = n a ii Ai,a i > 0, A i B(), (função simples): ntão usando a linearidade eaalínea anterior vem, n n gdp X = a i I Ai dp X = a i I Ai dp X = = n a i I Ai f X dλ = n a i I Ai f X dλ = gf X dλ. (3) g mensurável não negativa, então existe uma sequência de funções simples s n g eporf X ser mensurável não negativa temos também s n f X gf X como ambas as sucessões estão nas condiçõesde de MON, vem pela alinea anterior : gdp X = lim s n dp X = lim s n dp X = = lim s n f X dλ = lim s n f X dλ = gf X dλ.

25 VISÕS 25 (4) Finalmente para g L 1, temos pela alínea anterior que g+ dp X = g+ f X dλ, análogamente para g eporf X 0 (gf X ) + = g + f X, (gf X ) = g f X donde vem g L 1 (P X, ) gf X L 1 (λ, ). Podemos usar agora a alínea anterior e a linearidade, = gdp X = (g + g )dp X = g + f X dλ O que termina a demonstração do teorema. Vindo como corolário, g + dp X g dp X = g f X dλ = ((gf X ) + (gf X ) )dλ = gf X dλ. Corolário Seja X L 1,seg(x)f X (x) fôr iemann-integrável, + [g(x)] = g(x)dp = g(x)dp X (x) = g(x)f X (x)dx. Demonstração. Consequência do que foi dito anteriormente e usando o facto do integral de iemann coincidir com o integral de Lebesgue para funções iemann integráveis, ver por exemplo Cap. 2.4 em [?]. xercicio 39. Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f X iemann-integrável. Mostre que a função distribuição de X, é derivável e que F X (x) = f(x). xercicio 40. Dizemos que a variável aleatória U tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] setem função densidade de probabilidade f U (u) = 1 b a I [a,b](u). Calcule, [U] ev[u]. xercicio 41. Uma variável aleatória X tem distribuição exponencial, de parâmetro λ>0, se tem função densidade de probabilidade, c exp( λx), x 0 f X (x) = 0, x < 0 Determine c para que f X seja uma função densidade, e calcule [X] ev[x]. xercicio 42. Determine as funções distribuição de probabilidade, F X, para as variáveis aleatórias dos exercicios anteriores.

26 VISÕS 26 eferências 1. [Adam86] M. Adams, V. Guillemin, Measure Theory and Probability, Birkhäuser, [Will91] D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, [udi87] W. udin, eal and Complex Analysis, third edition, McGraw-Hill, [Capi99] M. Capiński,. Kopp, Measure, Integral and Probability, Springer, 1999.