RESUMO :REVISÃO

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1 GEOMETRIA PLANA Ângulos Replementares Ângulos Ângulos opostos pelo vértice Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360. Neste caso, cada um é o replemento do outro. Ângulos Explementares Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes. Dois ângulos são explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro. Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal: Classificação dos ângulos quanto à sua medida: alternos internos 4ˆ e 6ˆ, 3ˆ e 5ˆ alternos externos 1ˆ e 7ˆ, ˆ e 8ˆ (são congruentes) Classificação dos ângulos quanto à complementações: colaterais internos 3ˆ e 6ˆ, 4ˆ e 5ˆ Ângulos Complementares colaterais externos ˆ e 7ˆ, 1ˆ e 8ˆ (são suplementares) Ângulos Suplementares correspondentes ˆ 3ˆ e 6ˆ, 1ˆ e 5ˆ e 7ˆ, 4ˆ e 8ˆ (são congruentes) Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 1

2 Polígonos Soma dos ângulos internos de um triângulo: Diagonal de um polígono simples convexo: Polígono Regular: Soma dos ângulos internos de um polígono convexo: Um polígono convexo é regular se, e somente se tem todos os lados congruentes (é equilátero) e todos os ângulos congruentes (é equiângulo). Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: Polígonos de gênero par (possuem diagonais que passam pelo centro): Expressões do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular: Como os ângulos internos de um polígono regular são congruentes, temos: Número de diagonais que passam pelo centro: Como os ângulos externos de um polígono regular são congruentes, temos: Número de diagonais que não passam pelo centro: Triângulos. Polígonos de gênero ímpar (não possuem diagonais que passam pelo centro: Não possuem diagonais radiais! Desigualdade triangular: Ao maior lado opõe-se o maior ângulo, ao menor lado opõe-se o menor ângulo, e à lados congruentes opõese ângulos congruentes e vice versa. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática

3 Em todo triângulo isósceles, a mediana relativa a base é altura, bissetriz interna e está na mediatriz do triângulo. A ângulos congruentes opõe-se lados congruentes e a lados congruentes opõe se ângulos congruentes. Condição de existência para um triângulo: Triângulo equilátero: É todo triângulo isósceles que possui 3 lados congruentes. Todos os lados do triângulo são congruentes, dessa forma, todos os ângulos internos são congruentes e medem 60. Todo triângulo equilátero é um polígono regular, pois é equilátero e equiângulo. Medida de um ângulo externo de um triângulo: Escaleno Tem os três lados não congruentes. Classificação de um triângulo quanto à medida de seus ângulos internos: Classificação de um triângulo quanto à medida de seus lados: Isósceles É um triângulo com pelo menos dois lados congruentes. Acutângulo Um triângulo é acutângulo se, e somente se, têm os três ângulos agudos. - Lados congruentes. é o lado não congruente. É chamado de base do triângulo isósceles. Retângulo Um triângulo é retângulo se, e somente se, tem um ângulo reto. Obtusângulo Um triângulo é obtusângulo se, e somente se, tem um ângulo obtuso. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 3

4 Casos de congruência de congruência de triângulos: 1 caso (L A L) Mediana é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto. caso (A L A) 3 caso (L L L) As três medianas de um triângulo interceptam se em um mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo, é o ponto de equilíbrio do triângulo. 4 caso (L A A 0) Caso especial de congruência de triângulos retângulos Incentro O ponto de encontro das três bissetrizes internas de um triângulo. Bissetriz interna de um triângulo é o segmento, com extremidades num vértice e no lado oposto, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. O incentro equidista dos lados do triângulo Pontos notáveis do triângulo: Circuncentro é a interseção das três mediatrizes do triângulo. Baricentro é o ponto de encontro das três medianas do triângulo. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 4

5 A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular e que passa pelo ponto médio desse segmento. A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa. O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita e equidista dos vértices do triângulo. Triângulo obtusângulo Possíveis posicionamentos do circuncentro: Triângulo acutângulo O circuncentro está na região externa ao triângulo. Ortocentro O ponto de encontro das três alturas de um triângulo. O circuncentro está na região interna do triângulo Altura é um segmento que sai de um dos vértices do triângulo e é perpendicular ao lado do triângulo que se opõe ao ângulo ou ao seu prolongamento. Triângulo retângulo Possíveis posicionamentos do ortocentro: Triângulo acutângulo O circuncentro está no ponto médio da hipotenusa do triângulo. O ortocentro está no interior do triângulo. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 5

6 Triângulo retângulo caso (LAL) Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes. O ortocentro está no vértice do ângulo reto do triângulo. Triângulo obtusângulo 3 caso (LLL) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. O ortocentro está no exterior do triângulo. Teorema fundamental da semelhança de triângulos: Se traçarmos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e interceptá-la com os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. Atenção: Se dois triângulos são semelhantes, as medianas, as bissetrizes internas, as alturas, os perímetros,..., enfim, os elementos lineares homólogos são proporcionais e seus ângulos são congruentes. Teorema das bissetrizes Teorema da bissetriz interna: Casos ou critérios de semelhança: 1 caso (AA) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes. A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 6

7 Teorema da bissetriz externa Relações trigonométricas num triângulo qualquer: A bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Lei dos Senos Lei dos Cossenos Relações métricas no triângulo retângulo: a b c bc.cos Lei dos cossenos 1 relação métrica b a. n c a. m relação métrica h mn. Reconhecimento da natureza de um triângulo dada as medidas dos lados (a > b > c): 3 relação métrica 4 relação métrica b. c a. h a b c Relações trigonométricas num triângulo retângulo: Quadriláteros e e e Trapézios Um quadrilátero convexo é um trapézio se, e somente se, possui apenas dois lados paralelos. (// significa paralelismo) Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 7

8 Os lados paralelos do trapézio são denominados bases. Base média do triângulo Em qualquer trapézio ABCD de base AB e CD, temos que: Base média do trapézio Trapézio isósceles  Dˆ Bˆ Ĉ 180 Mediana de Euler - Em todo trapézio o segmento da base média compreendido entre as diagonais é igual a semidiferença das bases. É todo trapézio que tem os lados não paralelos com medidas iguais. Os ângulos adjacentes a uma mesma base são congruentes. As diagonais são congruentes. Paralelogramos Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos. Trapézio retângulo ângulos retos. São todos os trapézios escalenos que têm dois Propriedades dos paralelogramos: 1) Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes. Um dos lados não paralelos é perpendicular às bases do trapézio! Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 8

9 ) Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes. As diagonais de todo losango são bissetrizes dos seus ângulos internos. 3) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios. Os triângulos AMB, BMC, CMD e DMA são congruentes pelo caso L A L. Paralelogramos notáveis: Quadrado Um quadrilátero convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes (equiângulo) e os quatro lados congruentes (equilátero). O quadrado é o polígono regular dos quadriláteros. Retângulo Um quadrilátero convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes (Equiângulo). ABCD é retângulo  Bˆ ABCD é quadrado Ĉ Dˆ e AB BC CD DA Propriedade específica do Retângulo: Propriedade específica do quadrado: Em todo retângulo as diagonais são congruentes. Todo quadrado é retângulo e também é losango. A diagonal de um quadrado é dada por:, onde é a diagonal de um quadrado e, seu lado. Losango Um quadrilátero convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes (Equilátero). O seguinte diagrama retrata as definições consideradas por este material. Observe: Propriedades específicas do losango: Todo losango tem diagonais perpendiculares entre si. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 9

10 Circunferências A circunferência é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de outro chamado centro. Um ângulo inscrito é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente. Ângulos inscritos correspondentes ao mesmo arco são congruentes. O comprimento de uma circunferência é dado por: Ângulo de segmento Ângulo de segmento é um ângulo que tem o vértice na circunferência, um lado secante e o outro lado tangente à circunferência. O diâmetro de uma circunferência é dado por: Ângulos na circunferência Ângulo central Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência. Um ângulo de segmento é metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo de segmento é metade da medida do arco correspondente. A medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente. Ângulos excêntricos interiores Ângulo inscrito Ângulo inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados são secantes a ela. Ângulos excêntricos exteriores Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 10

11 Propriedades importantes envolvendo circunferência, triângulos e quadriláteros: 1 - Todo ângulo reto é inscritível numa semicircunferência e, reciprocamente, todo ângulo inscrito numa semicircunferência, com os lados passando pelas extremidades, é ângulo reto. Se de um ponto P conduzirmos os segmentos e, ambos tangentes a uma circunferência, com A e B na circunferência, então. 5 - Propriedade dos quadriláteros circunscritíveis: Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é triângulo retângulo. - Um quadrilátero que tem os vértices numa circunferência é quadrilátero inscrito na circunferência. Se um quadrilátero convexo é inscrito numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares. Uma condição necessária e suficiente para um quadrilátero convexo ser circunscritível a uma circunferência é a soma de dois lados opostos ser igual à soma dos outros dois. Propriedades das bissetrizes de um ângulo e das mediatrizes de um segmento: 3 - Propriedade da reta tangente a uma circunferência: 1 - Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados do ângulo. Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. - Todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das extremidades do segmento. 4 - Propriedade dos segmentos tangentes a uma circunferência: Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 11

12 Potência de um ponto: Hexágono regular inscrito e circunscrito: Teorema das secantes Ponto interno à circunferência Ponto externo à circunferência Apótema (em função do raio r) Lado (em função do raio r) Hexágono Regular Inscrito r 3 a 6 l r 6 Teorema das tangentes a um círculo Hexágono Regular Circunscrito Ap 6 r.r. 3 L 6 3 Polígonos Regulares Lado e apótema de polígonos regulares A Altura do triângulo equilátero é dada por: l. 3 h Quadrado inscrito e circunscrito: Triângulo equilátero inscrito e circunscrito: Apótema Lado (em função do raio r) (em função do raio r) Apótema Lado (em função do raio r) (em função do raio r) Quadrado Inscrito r a 4 l 4 r. Triângulo equilátero Inscrito r p l 3 r. 3 a 3 Quadrado Circunscrito A 4 r p L 4. r Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 1

13 Triângulo equilátero Circunscrito A 3 p r L 3.r 3 Triângulos Área de figuras planas Área de uma superfície limitada é um número real positivo associado à uma superfície. Retângulos A triânguloabc a.h Expressões para a área do triângulo 1) Área do triângulo equilátero de lado l l A 3 4 ) Área do triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo compreendido.. Quadrados 3) Área do triângulo em função dos lados e do raio r da circunferência inscrita. Paralelogramos Losangos A b.h A ABC p. r 4) Área do triângulo em função dos lados e do raio R da circunferência circunscrita. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 13

14 5) Área do triângulo em função dos lados. Área do círculo p a. p bp c A p. Trapézios Área do setor circular A B b h Polígonos Regulares Relacionando a medida do ângulo central com a área do setor circular correspondente. Hexágonos Regulares Ângulo central Área 360 ou R A setor Relacionando a medida do comprimento de um arco de circunferência com a área do setor circular correspondente. Comprimento Área R R l A setor Todo hexágono regular pode ser subdividido em 6 triângulos equiláteros. A área de um hexágono regular de lado é seis vezes a área de um triângulo equilátero de mesmo lado. Relacionando a medida do comprimento de um arco de circunferência com o ângulo central correspondente. Comprimento R l Ângulo central 360 ou Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 14

15 Área do segmento circular GEOMETRIA ESPACIAL Poliedros Poliedros são sólidos que possuem todas as faces poligonais e que não estão em um mesmo plano. Poliedros convexos e Poliedros côncavos: Área da coroa circular Quando o segmento de reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no mesmo, ele é chamado de poliedro convexo, quando não, chama-se côncavo. Proporções entre áreas de figuras planas semelhantes: Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes Relação de Euler (Poliedros Convexos) A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso, temos: V F A A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Poliedros Regulares Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 15

16 Prismas Prisma regular: É todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares. Paralelepípedo reto É um prisma reto cujas bases são paralelogramos. Área lateral: Paralelepípedo retângulo (ou paralelepípedo reto- retângulo ou ortoedro) Prisma reto cujas bases são retângulos. (Onde n é a quantidade de lados do polígono da base.) A n. a. a l l b Área total: Área total, diagonal do paralelepípedo e volume Volume A A A t l V Ab. h b Diagonal do prisma Cubo (hexaedro regular ou romboedro) É um paralelepípedo retângulo cujas seis faces são quadrados. D n n3 - Paralelepípedos Prismas cujas bases são paralelogramos. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 16

17 PIRÂMIDE Área total (Pirâmide Regular) Pirâmide Regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base. Relações métricas entre os elementos das pirâmides regulares: ( = área do polígono da base) Volume 1 V. Ab. h 3 I) II) Secção transversal em uma pirâmide III) IV) h L A h d l a d V v 3 h d V v 3 A a Tronco de pirâmide Seja a Pirâmide hexagonal regular: V tronco V pirâmide maior V pirâmide menor Cilindro Cilindro reto ou Cilindro de revolução: Área lateral (Pirâmide Regular) A A l n. A triângulo da triângulo da face face ab.a p p Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 17

18 Secção meridiana: Secção meridiana é a intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo do cilindro. A secção meridiana de um cilindro oblíquo é um paralelogramo e a de um cilindro reto é um retângulo. Secção meridiana: Secção meridiana é a intersecção do cone com um plano que contém o eixo do cone. A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles. Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado. Cone equilátero é aquele cuja secção meridiana é um triângulo equilátero. Área lateral: Área de um retângulo de altura e base. Seja o cone reto: (A b = área do círculo da base. ) Área lateral, área total e volume Área total e volume Cone Secção transversal em um cone Cone reto ou cone de revolução: Relação do cone reto: Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 18

19 Tronco de cone Área total da cunha V tronco V cone maior V cone menor GEOMETRIA ANALÍTICA Esfera O ponto Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja menor ou igual a r. Distância entre dois pontos d AB ( xb xa) ( yb ya ) Ponto médio de um segmento Área da esfera e volume da esfera: Secções na esfera Coordenadas do baricentro do triângulo Fuso esférico e Cunha esférica xa xb xc xg 3 y G ya yb yc 3 A reta Coeficiente angular da reta Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 19

20 Observações iniciais da reta: Geral: Ax By C 0 Segmentária: Condição para alinhamento de três pontos Paramétrica: Ex: x 3t 1 y 4t 5 Posicionamento relativo entre retas Paralelas: Perpendiculares: Área de triângulos Ângulo entre duas retas O cálculo da área de um triângulo, dadas as coordenadas dos vértices, serve para o cálculo da área de um polígono convexo, já que um polígono pode ser dividido em triângulos. Distância entre ponto e reta Equações da reta Fundamental: y y0 m x x Reduzida: y mx n 0 Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 0

21 Circunferência Posição relativa entre duas circunferências Equação reduzida: ( x a) ( y b) r Aplicando distância entre dois pontos, temos: Equação geral: x y ax by ( a b r ) 0 Posição relativa entre ponto e circunferência d pc r ( x a) ( y b) r ou (Ponto interno à circunferência). d pc r ( x a) ( y b) r ou (Ponto na circunferência). d pc r ( x a) ( y b) r ou (Ponto externo à circunferência). Lugar Geométrico Ex: Desenhe no plano cartesiano o sistema de inequações: ( x 4) ( y 1) x y 0 9 Posição relativa entre reta e circunferência *A região hachurada é a solução da questão. FUNÇÃO Aplicando distância entre ponto e reta: Função polinomial de 1 grau dc e d Ct r dc e r - Reta externa à circunferência. - Reta tangente à circunferência. r - Reta secante à circunferência. Função do primeiro grau é toda função que associa a cada número real x, o número real ax + b, com a 0. Toda função de primeiro grau é uma relação que obedece a lei de formação: Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 1

22 Ex: Dada a função igual a: f :R R com f(x) x 1, seu gráfico é Concavidade da parábola da parábola. O termo dominante (a) nos informa a concavidade é estritamente crescente. O coeficiente linear é a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo oy. Função Linear: É toda função polinomial do 1 grau que tem o coeficiente linear igual a zero. Conclusão: termo dominante positivo (a > 0) concavidade voltada para cima. termo dominante negativo (a < 0) concavidade voltada para baixo. Termo independente (c) A ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo oy é igual ao termo independente da lei de formação da função polinomial do grau. Ex:, e Ex: É uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano. Observe que a parábola intercepta o eixo oy no ponto (0,), logo o termo independente (c) da lei de formação da função acima é igual a. Função polinomial do grau Valores do discriminante relacionados às raízes da função Toda função de segundo grau é uma relação que obedece a lei de formação:. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática

23 Coordenadas do vértice da parábola: x b v a Relações de Girard: Y v 4a Forma fatorada da função quadrática: onde r 1 e r são as raízes da função. Função Exponencial b r1 r r1. r a y a( x r1 ).( x r ) Função exponencial é toda função que associa a cada número real x, o número real a x. c a Propriedades das potências 1) a 0 1, com a 0 m ) a.a n n a mn a.b a.b 3) n n n 4) m m. n a a n n a : b ou a = a para b 0. n b b 5) n 6) a n 1 n a m 7) n n m a a Função Logarítmica Função logarítmica é toda função que associa a cada número real x, o número real log a x. (Função estritamente crescente) (Função estritamente decrescente) A função logarítmica definida em é a inversa da função exponencial definida em. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 3

24 Propriedades dos logaritmos 1) log a 1 0, pois a 0 1, qualquer que seja a 0 e a 1. ) log a a 1, pois a 1 a, para todo a 0 e a 1. 3) log a n a n, pois para todo n. n n a a para todo 0 4) a log a n n, com n 0, 0 5) log x log y x y a a 1. a a e a 1. a e a 1 e com x 0, y 0, a 0 e 6) a b log a.b log log c 7) a b log a : b log log c k 8) log a k.log a 9) log a c b c c logk a log b k c 10) 1 logb a logb a.loga b 1 log b a c c 11) 1 * log a logb a, para qualquer, R e b quaisquer números a e b reais positivos com b 1. Módulo de um número É a distância do número até o zero da reta real. (representação: k, k R A distância do número 1 e do -1 ao zero é 1 unidade de comprimento. Propriedades do módulo Gráficos das funções x f(x) e g(x) log x : I - x > 0 x R II - x = 0 x = 0 III- x = d x = d IV- x. y = x. y {x, y} R V- x n = x n n é par VI- x x {x, y} R e y 0 y y VII - x ²= x² = X² PROGRESSÕES Gráficos das funções g(x) log x : 1 1 f(x) e x Progressões Aritméticas (P.A.) Termo geral: a n a n 1r 1 Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 4

25 Propriedades da P.A. Média Aritmética: a c a, b, c, d b Considerando por x o termo médio desta P.A., temos: x r, x r, x, x r, x r (Formato mais utilizado) Progressões Geométricas (P.G.) Termos equidistantes: a, b, c, da d b c Termo geral: a n a1. q n1 Soma dos termos de uma P.A. Propriedades da P.G. S n a a. 1 n n Média Geométrica: a b, c, db a., c Notações Especiais P.A. de três termos: Considerando a1 x e seja r a razão desta P.A. temos: x, x r, x r Considerando por x o termo médio desta P.A., temos: P.A. de quatro termos: x r, x, x r (Formato mais utilizado) Termos equidistantes: a, b, c, d ad. b. c Soma dos termos de uma P.G. finita Se q 1, então S n n.a ; 1 n a 1 q, então 1 q Se 1 S n q 1. Considerando a1 x e seja r a razão desta P.A. temos: Produto dos n primeiros termos de uma P.G. x, x r, x r, x 3r x 3r, x r, x r, x 3 r (Formato mais utilizado) Neste caso a razão da P.A. ao invés de ser (r) será dada P.A. de cinco termos: Considerando a1 x por (r). e seja r a razão desta P.A. temos: x, x r, x r, x 3r, x 4r P n a n 1. q n1 n Soma dos termos de uma P.G. infinita Notações especiais P.G. de três termos: S a1 1 q Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 5

26 Considerando a x 1 e seja q a razão desta P.G. temos: x, xq, xq Considerando por x o termo médio desta P.G., temos: P.G. de quatro termos: Considerando x, x, xq q (Formato mais utilizado) a x 1 e seja q a razão desta P.G. temos: x x q 3, xq, xq, xq x 3 ; ; xq; xq 3 q (Formato mais utilizado) Neste caso a razão da P.G. ao invés de ser (q) será dada por (q ). Se dois ângulos agudos são complementares, então o seno de um deles é igual ao cosseno do outro ângulo agudo. Medidas das razões trigonométricas dos principais ângulos: 30º 45º 60º seno cosseno Tangente P.G. de cinco termos: Circunferência trigonométrica Considerando a1 x x e seja q a razão desta P.G. temos: 3 4, xq, xq, xq, xq Circunferência trigonométrica: Considerando por x o termo médio desta P.G., temos: x,, x, xq, xq x q q (Formato mais utilizado) TRIGONOMETRIA Seno e cosseno na circunferência trigonométrica: Em todo triângulo retângulo é verdade que: Arcos do 1 quadrante Arcos do quadrante Seno > 0 Cosseno > 0 Seno > 0 Cosseno < 0 Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 6

27 Arcos do 3 quadrante Arcos do 4 quadrante Seno < 0 Cosseno < 0 Seno < 0 Cosseno > 0 Tangente na circunferência trigonométrica Arcos notáveis na circunferência trigonométrica: 0 A(1,0) 90 B(0,1) 180 C(-1,0) Arcos do 1 quadrante Arcos do quadrante Arcos do 3 quadrante Arcos do 4 quadrante Arcos côngruos tg > 0 tg < 0 tg > 0 tg < 0 70 D(0,-1) São arcos que tem a mesma extremidade e que diferem pela quantidade de voltas dadas. 360 A(1,0) Relação fundamental da trigonometria Então: ou (Equação dos arcos côngruos) Outras razões trigonométricas 1) ) 3) Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 7

28 Relações derivadas da relação fundamental 1) ) Sejam os pontos da função encontrados anteriormente Arcos simétricos (Redução ao 1 quadrante) Seno e cosseno Para o arco de 30 quando substituímos esses pontos no plano, teremos: Paridade: A função seno é uma função ímpar. Nela é verdade que:. Observe o gráfico: Tangente Para o arco de 60 Ex: O gráfico da função seno tem simetria em relação à origem. Análise da paridade na circunferência trigonométrica: Seja a circunferência trigonométrica: Funções trigonométricas Função Seno Denominamos função seno a função que a cada número real faz corresponder o número. Gráfico da função perceba que arcos simétricos ( senos simétricos ( ). ) possuem Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 8

29 Período: A função seno é periódica Uma função é chamada função periódica quando existe um número real positivo tal que, para todo,. Ex: O período da função seno é. Análise da paridade na circunferência trigonométrica: Seja a circunferência trigonométrica: Função Cosseno Denominamos função cosseno a função que a cada número real faz corresponder o número. Gráfico da função Sejam os pontos da função encontrados anteriormente perceba que arcos simétricos ( ) possuem cossenos iguais ( ). Período quando substituímos esses pontos no plano, teremos: A função cosseno é periódica Uma função é chamada função periódica quando existe um número real positivo tal que, para todo,. Ex: Paridade A função cosseno é uma função par. Nela é verdade que:. Observe o gráfico: O período da função cosseno é. Construções de gráficos Ex 1: Ex: O gráfico da função cosseno tem simetria em relação ao eixo oy. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 9

30 Ex : Sendo a função, sua imagem é o conjunto: [ ], com Ex 5: Ex 3: Transformações trigonométricas Para uma função circular ou, como o período original era de rad, podemos afirmar que o novo período é dado por: Fórmulas de adição e subtração de arcos Seno da soma e seno da diferença: Logo, para, teremos: Cosseno da soma e o cosseno da diferença: Ex 4: Tangente da soma e tangente da diferença: Arco duplo Para uma função circular ou o conjunto imagem é dado da seguinte forma: Sendo a função, sua imagem é o conjunto: [ ], com Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 30

31 TEORIA DOS CONJUNTOS Conjunto Formamos ideia de conjunto como uma coleção qualquer de objetos. Elemento É cada um dos integrantes do conjunto. Ex: Dado o conjunto A = {1, 3,4}, mostre o conjunto das partes de A. P(A), 1, 3, 4, 1,3, 1,4, 3,4, 1,3,4 Relação de pertinência: ou Número de elementos do Conjunto das partes: Seja A um conjunto e x um elemento. Se x pertence a A, ou melhor, se x é elemento de A, escrevemos: x Amas, se x não pertence a A, ou melhor, x não é elemento de A, escrevemos: x A. É importante perceber que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Subconjuntos: ou Se A tem n elementos, então P(A) tem n elementos. Operações com conjuntos Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A é elemento de B. Seja A um conjunto e B outro conjunto. Se A está contido em B, ou melhor, se A é subconjunto de B, escrevemos: A Bmas, se A não está contido em B, ou A B melhor, A não é subconjunto de B, escrevemos: Ser subconjunto é a mesma coisa que ser parte, de estar contido. Conjunto das partes de um conjunto Dado o conjunto A, chama se conjunto das partes de A, notação P(A), aquele que é formado por todos os subconjuntos de A, ou seja, são aqueles cujos elementos são todos os subconjuntos de A. P(A) x x A União de conjuntos indicamos por A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B, que A B( A união B), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A ou B. Ex: A B x xa ou xb Sendo A 1,,3 e 6,7 A B 1,,3,6,7. B, temos que: Sendo C 1,,3,4 e D 3,4,5,6,7 C D1,,3,3,4,4,5,6,7 C D 1,,3,4,5,6,7 Intersecção de conjuntos indicaremos por, temos que: A intersecção de dois conjuntos A e B, que A B( A intersecção B), é o conjunto Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 31

32 cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e a B ao mesmo tempo. Ex: A B Sendo 1,,3,4 A B 3,4. x xa e xb A e 3,4,5,6,7 Sendo 1,,3 D C D B, temos C e 4,5,6,7,8 C. D, temos Sendo E 1,,3 e 1,,3,4,5,6,7 E F 1,,3 E F E E F. Diferença entre dois conjuntos F, temos n A B, o número de elementos de A B, vale a seguinte relação: n A B na nb na B Quando os conjuntos são disjuntos a intersecção é o conjunto vazio, ou seja, na B 0 n A B na nb, teremos então: A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, que indicaremos por A B (ou B A), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A (ou B se for o caso B - A) e não pertencem a B (ou A se for o caso B - A). Número de elementos da união de três conjuntos Dados três conjuntos A, B e C, o número de elementos da união desses conjuntos é obtido pela relação: A B B A x x A ou x xb e e x B xa Ex: Sendo A 1,,3,4,5 e 4,5,6,7,8,9 A B 1,,3 e B A 6,7,8,9. B, temos Sendo C 3,5,6,8,9 e 5,6,8 C D 3,9 e D C. D, temos Número de elementos da união de dois conjuntos Dados dois conjuntos A e B e indicando por n(a), o número de elementos de A, n(b) o número de elementos de B, (A B) n, o número de elementos de A B, e A BC na nb nc na B na C nb C na BC n ANÁLISE COMBINATÓRIA Princípio fundamental da contagem: Se um experimento A apresenta n resultados distintos e um experimento B apresenta k resultados distintos, então o experimento composto de A e B, nessa ordem, apresenta n.k resultados distintos. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 3

33 Ex 1: Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que para ir de Recife a São Paulo existem 5 estradas e de São Paulo a Porto Alegre 3 estradas. De quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre? Embora o arranjo simples seja o próprio princípio fundamental da contagem, a fórmula usada para calcular o arranjo é: Arranjo com repetição: A n, p n! n p!. É uma técnica de contagem onde leva - se em conta a ordem e a repetição dos elementos. O número total de formas que uma pessoa pode ir de Recife a Porto Alegre será: 5. 3 = 15 possibilidades. Ex: O número de maneiras de se responder a 40 questões com 5 alternativas distintas para cada uma é dado por: a) 40! b) 5. 40! c) 00 d) 40 5 e) 5 40 Fatorial Ex: n 1! n! Calcular n sabendo que 4! n 1! n 1.n! 4! ! n! n! n 1.n! ! n 1 4n 3 n! O número de formas de se responder a 40 questões é igual a: formas. 40 A resposta se encontra na letra E. Permutação Quando um arranjo simples for uma permutação, representamos da seguinte forma: P n!. Tipos de agrupamentos Arranjo simples: Ex 1: Em um campeonato de futebol, participam 0 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares? Esse problema divide-se em 3 etapas. Cada etapa seleciona um dos colocados no campeonato de futebol, então: 1 etapa etapa 3 etapa = = colocações. Ex: De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem formar uma fila indiana? A fila continua tendo as cinco pessoas. A diferença está na modificação das posições das mesmas. Logo, a quantidade de maneiras de dispor essas cinco pessoas em uma fila indiana é igual a: Concluindo, o número total de maneiras será: A 5 5,5 P maneiras. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 33

34 Permutação com elementos repetidos: Ex: Quantos anagramas a palavra ELEGER possui? 3 P 6 6! ! 3..1 A fórmula utilizada na permutação é: P n! A fórmula utilizada na permutação com elementos repetidos é: P n 1,,..., n n!!... 1 n! Utilizando a fórmula de combinação, teríamos: Combinação simples Ex 1: Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 7 pessoas? A ordem de escolha das pessoas das comissões não tem importância, ou seja, são agrupamentos onde a ordem não importa, dessa forma são combinações. Então: C, 3 Partições 5! 3!. 5! 5.4.3! 5 Partições ordenadas Ex 1: 5 3! 3!.! 3!.! 10 De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em três salas, A, B e C, de modo que em A fiquem 4 pessoas, em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas? Ex : A fórmula utilizada na combinação é: C n, p n! p! n p! Quantos triângulos podem ser formados ligando os pontos distintos A, B, C, D e E da circunferência abaixo? Repartição das 10 pessoas seria:,,,,,,,,, pessoasnasalaa pessoasnasalab pessoasnasalac Então:,,,,,,,,, pessoasnasalaa pessoasnasalab pessoasnasalac C10,4 C6,3 C3,3 Logo, o número de partições ordenadas será: Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 34

35 C,4.C 6,3.C 3, ! 3! 3! Observamos que quando permutamos os grupos encontramos uma nova sequência, isso nos faz perceber que a ordem importa. Por isso chamamos de partição ordenada. Partições não-ordenadas Princípio das gavetas (Princípio de Dirichlet ou Princípio das casas dos pombos) Se n objetos forem colocados em, no máximo, n 1 gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos. Ex: Covest (adaptada) Considerando que em uma festa existem 15 pessoas podemos afirmar que: a) pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano. Ex 1: De quantos modos 1 pessoas podem ser repartidas em 3 grupos, tendo cada grupo 4 pessoas? Considerando, para fixar a ideia, 3 grupos, temos:,,,,,,,,,,, grupo 1 grupo grupo 3 Se considerarmos que existe uma pessoa nascida em cada mês, iremos constatar que sobrarão 3 pessoas das 15. Concluindo que nessa situação teremos que pelo menos pessoas nasceram no mesmo mês. Observe que a ordem em que estão os grupos pode ser qualquer uma e sempre teremos 3 grupos de 4 pessoas. Então, estamos interessados no número de distribuições não ordenadas possíveis. Desenvolveremos, inicialmente, da mesma forma das questões anteriores (partições ordenadas). Logo:,,,,,,,,,,, grupo 1 grupo grupo 3 C1,4 C8,4 C4,4 Se trocarmos de posicionamento cada grupo do conjunto acima, teremos a mesma distribuição. Neste caso, deveremos dividir o resultado pelo número de permutações possíveis com os elementos (grupos) do conjunto. Logo, para esse exemplo temos P 3 3! 6 distribuições iguais. Então: b) pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana. Se considerarmos que existe uma pessoa nascida em cada dia da semana, iremos constatar que sobrarão 8. Colocando cada umas das oito em uma dia da semana, sobram 1 pessoa que poderá ter nascido em um dos 7 dias da semana. Observe a figura abaixo: C1,4 4, 4.C 8,4.C 3! ! 4! 3! ! Dessa forma, constatamos que pelo menos 3 pessoas nasceram no mesmo dia da semana. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 35

36 PROBABILIDADE RESUMO :REVISÃO A probabilidade de ocorrer determinado evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis (ou número de casos que nos interessam) e o número de casos possíveis (ou número total de casos). Assim: p(a) Ex 1: n(a) número de casos favoráveis n(e) número de casos possíveis Numa urna existem bolas vermelhas e 6 brancas. Sorteando-se uma bola qual a probabilidade de ela ser vermelha? O cardinal do espaço amostral será ne 8 e o cardinal do evento será: n(a) =, então P(A) Propriedades das probabilidades Sendo E um espaço amostral finito e não vazio e sendo A um evento de E, tem-se que: I. P(ø) = 0; (Probabilidade do evento impossível (menor evento)) II. P(E) = 1; n(e) n(a) n(a) n(e) n(e) n(e) 1 P(A) P(A) P(A) 1P(A) A probabilidade de não ocorrer o evento A é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer o evento A. Ex: Um experimento aleatório é realizado. A probabilidade de 8 ocorrer um evento A é. A probabilidade de não ocorrer 1 o evento A é: A probabilidade de não ocorrer o evento A, é o que chamamos de probabilidade do evento complementar de A. Logo: P 8 A 1PAP A 1 PA Probabilidade da união de eventos Dado dois eventos A e B, a probabilidade de A U B será: 1 caso: Os conjuntos A e B possuem intersecção, ou seja, não são disjuntos, logo A B. (Probabilidade do evento certo (maior evento)) III. 0 P(A) 1 Probabilidades de eventos complementares: n(a B) n(e) n(a) n(e) n(b) n(a B) n(e) n(e) P(A B) P(A) P(B) P(A B) Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 36

37 caso: Os conjuntos A e B não possuem intersecção, ou seja, A e B são disjuntos, logo A B. Evento A: número múltiplo de. A,4,6,8, 10, 1, 14, 16, 18,0 n(a) 10 n(a B) n(e) n(a) n(e) n(b) n(e) P(A B) P(A) P(B) Quando os eventos são conjuntos disjuntos dizemos que são eventos mutuamente exclusivos. Esta propriedade poderá ser estendida para mais de dois eventos: P(A B C...) Evento B: número múltiplo de 3. B 3,6,9, 1, 15, 18 n(b) 6 Evento A B: número múltiplo de e de 3. A B 6, 1, 18 na B 3 P(A) 10 0 P(A B) P(B) 10 P(A B) P(A B) P(A B) P(A) P(B) P A B 3 0 Ex: Numa classe de alunos, 1 têm olhos castanhos, 4 têm olhos negros, 3 têm olhos cinza, têm olhos verdes e um tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter olhos verdes ou azuis? Ex : Considerando por A o evento: ter olhos verdes e por B o evento ter olhos azuis, tem se que estes eventos são mutuamente exclusivos, já que não existe aluno com mais de uma cor de olhos. Logo, a intersecção é o conjunto vazio: P(A B) P(A) P(B) 1 3 Uma urna contém exatamente 0 bolas, numeradas de 1 a 0. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de se obter uma bola com um número múltiplo de ou de 3? Probabilidade condicional: Ex 1: Dentre 5 homens e 3 mulheres, com apenas uma de nome Márcia, foi sorteada uma pessoa. Sabendo-se que a pessoa foi uma mulher, qual a probabilidade de Márcia ter sido sorteada? Estamos diante de uma probabilidade condicional. No momento em que Márcia tem que ser a sorteada e nos é afirmado que a pessoa sorteada já é uma mulher, observamos que o nosso espaço amostral é reduzido de 8 pessoas para 3 pessoas (já que existem 3 mulheres). Então a probabilidade pedida será: 1 P B \ A 3. Onde B é o evento Márcia ser sorteada e o evento A é o sorteado ser mulher. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 37

38 Ex : Dois dados foram lançados. Sabendo que caíram, nas faces voltadas para cima, dois números pares, calcule a probabilidade de que a soma desses números seja 6. acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? O espaço amostral é: A questão afirma que os números voltados para cima são pares. Então, o nosso espaço amostral ficará reduzido para (bolinhas branco com preto): Então, o evento: soma dos números igual a 6 será: Observamos que a probabilidade de urna I e bola vermelha é dada por: Entre as duas formas de resolução, indicamos a segunda, por ser mais simples. Mas, é importante ressaltar que a melhor forma de resolver um problema é aquela em que o aluno mais compreende e se sente seguro. Estamos diante de uma probabilidade condicional, então:. Ex : (UPE Mat 008) A urna A tem nove cartas numeradas de 1 a 9, e a urna B contém cinco cartas numeradas de 1 a 5. Uma urna é escolhida aleatoriamente, e uma carta é retirada. Se o número é par, a probabilidade de a carta ter saído da urna A é igual a: Probabilidade de dois eventos simultâneos a) b) c) 45 d) 9 e) 19 6 De um modo geral, quando p( A \ B ) p( A), isto é, o fato de ter ocorrido o evento B não altera a probabilidade de ocorrer o evento A, dizemos que A e B são eventos independentes e o teorema da multiplicação se reduz a: p A B pa.pb Fazendo o esquema, temos: Ex 1: Uma urna I contém bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao Espaço amostral reduzido: Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 38

39 n E (o número da carta retirada da urna é par) Evento: n A (Ser uma carta retirada da urna A) Se o número é par, a probabilidade de a carta ter saído da urna A é igual a: P P ! 4 3! Por fim, como a probabilidade de ocorrerem 4 H e 1 M em uma determinada ordem é dada por H H H M P e existem 4 4.3! 4 3! P 3 4 ordens possíveis; a probabilidade pedida é igual a: 1 1 P 4. 5% 16 4 Método Binomial Ex 1: Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a probabilidade de nascerem 3 meninos e 1 menina: Cada ensaio corresponde à resolução de uma questão, em que P(homem) = P(mulher) = 1/. Os quatro ensaios são independentes entre si. Vamos inicialmente calcular a probabilidade de ocorrerem 3 meninos e 1 menina numa determinada ordem, por exemplo: (H,H,H,M). Temos: Ex : Uma prova consta de 6 questões com 4 opções cada uma, com uma única alternativa correta. Qual a probabilidade de acertar das 6 questões. A probabilidade de acertar cada questão é 4 1. A probabilidade de não acertar é 4 3. Uma possível sequência poderia ser: (C,C,E,E,E,E), logo: P ( A) P, H H H M P MATRIZES E DETERMINANTES Essas respostas, porém, podem ocorrer em outras ordens, por exemplo: (M,H,H,H) ou (H,M,H,H), etc. A quantidade de sequências desse tipo corresponde ao número de permutações de 4 letras, com repetição de 3 letras H. Logo: Matriz quadrada É toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas. A x B 3x Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 39

40 Diagonal Principal É o conjunto dos elementos que possuem os dois índices iguais. Determinantes Matriz quadrada x O determinante de uma matriz quadrada de ordem é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária, nesta ordem. Diagonal Secundária É o conjunto dos elementos tais que i j n 1, onde n é a ordem da matriz quadrada. Matriz quadrada 3x3 Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 será necessária a utilização da regra de Sarrus. Observe os exemplos abaixo: A Regra de Sarrus consiste em: Ex: Dada a matriz, obtenha o determinante de A: Uma matriz quadrada M 3x3 é uma matriz que do tipo Utilizando a regra de Sarrus, temos: 3 x 3, desta forma, diz se que tem ordem 3, ou ainda que é de ordem 3. Então toda matriz quadrada de ordem m. M mxn, com m = n é Matriz identidade indica por Chama-se matriz identidade de ordem n, que se, a matriz que tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e todos os demais elementos iguais a zero. A x B 3x A matriz identidade é um caso especial de matrizes escalares e consequentemente pode ser dita uma matriz diagonal. [ ] [ ] Ou aplicar a regrinha do coração: [ ] [ ] Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 40

41 SISTEMAS LINEARES ESTATÍSTICA Classificação de um sistema x. Possível (têm solução) Sistema Impossível (SI) (não tem solução) Determinado (SPD) (única solução) Indeterminado (SPI) (infinitas soluções) Frequência Chamamos de frequência o número de vezes que um determinado dado aparece em uma lista numérica qualquer. Frequência absoluta Frequência absoluta do valor de é o número de vezes que a variável estatística assume o valor. Solução gráfica para sistemas possíveis determinados (SPD) Frequência total Frequência absoluta total ( ) é a soma de todas as frequências absolutas observadas. Retas concorrentes Frequência absoluta acumulada É a soma de cada frequência absoluta com os valores das frequências anteriores. Solução gráfica para sistemas possíveis determinados (SPI) Frequência relativa É quociente entre a frequência absoluta e o número de elementos da população estatística. Tipos de gráficos Retas paralelas coincidentes Solução gráfica para sistemas impossíveis (SI) Gráficos de colunas e de barras Retas paralelas Outra forma de classificar um sistema x: Seja o sistema genérico x, { teremos: Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 41

42 Gráficos de segmentos Média Aritmética Ponderada números reais: Consideremos uma coleção formada por n de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: Gráficos de setores Média Aritmética com dados agrupados em classes Gráficos múltiplos Ex: No sábado de carnaval de 010 foi realizado um levantamento de dados para identificar o tempo (em minutos) dos atrasos dos ônibus que partem da rodoviária da cidade. Os resultados obtidos foram registrados na tabela de distribuição a seguir: Tempo Número de ônibus (em minutos) Total 100 Medidas de tendência central Média Aritmética Simples Calcule o tempo médio de atrasos dos ônibus na rodoviária da cidade. Consideremos uma coleção formada por n números racionais: Para encontrar a média aritmética, inicialmente precisamos encontrar os pontos médios de cada intervalo: Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 4

43 Logo, a média aritmética é dada pela soma do produto dos pontos médios pela frequência do seu respectivo intervalo dividido pelo total da frequência absoluta (quantidade de ônibus observados). O tempo médio de atrasos é igual a: Sendo maior frequência dada pela quantidade de professores igual a 15, a idade modal será igual ao ponto médio do seguinte intervalo: 6 9. Portanto, a idade modal dessa distribuição é 7,5 anos. Mediana Dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será: o número que ocupar a posição central se n for ímpar; Portanto, o tempo médio de atrasos na rodoviária da cidade é de 6, 3 minutos. Moda É (ou são) o valor (ou valores) que aparece (m) com maior frequência no conjunto de valores observados. a média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par. Moda com dados agrupados em classes A moda em uma distribuição de frequências organizadas em classes é o ponto médio da classe que apresenta maior frequência absoluta. A classe com maior frequência absoluta é chamada de classe modal. Ex: A distribuição de frequências a seguir apresenta as idades dos professores de uma escola de Educação Infantil. Encontre a idade modal desse grupo de professores. Idades (em anos) Número de professores Total 50 Medidas de dispersão Amplitude total É a diferença entre o maior e o menor valor observado. Desvio É diferença entre cada valor e a média aritmética do conjunto de dados observados. A soma de todos os desvios de cada conjunto de dados é sempre zero. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 43

44 Variância: A média aritmética dos quadrados dos desvios de cada valor observado em um conjunto de dados é chamada de variância, que é indicada por Var. ( ) ( ) Desvio Padrão: A raiz quadrada da variância representa uma medida real chamada de desvio padrão que é indicada por DP. ( ) ( ) ( ) Ou ainda Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 44

45 Aritmética Competência de área 1 - Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais. (Ex1.) Um palmo de tem cm. Uma pessoa deverá medir o perímetro do tampo retangular de uma mesa cujas dimensões são: 1,10 m x,86 m. O perímetro, em palmos, é igual a: palmos (Ex.) Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata de refrigerante de 350 ml. Perguntando à menina o que ela estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para secar a enchente. Sabendo que o volume da enchente era de 70 m 3, quantas latas a menina teria que encher para secar toda a água? Sendo o volume da lata de refrigerante igual a 350 ml. O número de vezes que a menina deverá encher a lata para retirar o volume total da enchente é: vezes. (Ex4.) No jogo Encontrando Números Iguais são lançados 5 dados especialmente preparados para isso. Observe esta jogada: Ao lermos o cartaz, ficamos, a saber, que o exército de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Qual o número, no sistema de numeração decimal, que o exército romano leu? Os dados com números iguais são: Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor:. Como antes de não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor:. Depois tiravam de o valor da letra que vem antes: Somavam 400 ao valor de porque está depois de. Os dados com números iguais são: dado1, dado 3 e dado 4. (Ex5.) Uma parede de 5 metros por metros deve ser coberta com azulejos quadrados, de lado 5 cm. Uma caixa de azulejos tem 100 azulejos. Quantas caixas eu devo comprar, no mínimo, para garantir que não fiquem faltando azulejos? Sobrava apenas o. Então MCDV = = (Ex3.) As dimensões da parede em centímetros são: 500 cm e 00 cm. Como cada azulejo tem lado 5 cm, faremos o seguinte: Azulejos na dimensão 500 cm Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 45

46 azulejos Azulejos na dimensão 00 cm azulejos Um total de 160 azulejos. Portanto, serão necessárias duas caixas. (Ex6.) O ônibus A passa na parada a cada 0 minutos. O ônibus B passa na mesma parada a cada 15 minutos. Neste momento estes ônibus estão na parada. Daqui a quanto tempo eles estarão juntos nesta mesma parada? (Ex8.) O dia 1º de outubro de 014 caiu numa quarta feira. Daqui a 50 dias, qual será o dia da semana? Como uma semana tem 7 dias: : Sete semanas mais um dia! Daqui a 50 dias será uma quinta feira. (Ex9.) Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de maio de certo ano ocorreu num sábado. Então, 5 de dezembro do mesmo ano foi: O MMC (0,15) = 60 minutos. Portanto, daqui a 1 hora estes ônibus estarão juntos na parada. (Ex7.) O piso retangular de uma sala, com m de comprimento e 3 m de largura, deve ser coberto com ladrilhos quadrados. Admitindo-se que não haverá perda de material e que será utilizado o menor número de ladrilhos inteiros, pode-se estimar que serão colocados: A sala retangular tem dimensões 00 cm por 300 cm. Para serem colocados o menor número de ladrilhos faz se necessário que os lados dos ladrilhos quadrados sejam os maiores possíveis. Portanto: Somando os dias dos meses de junho, julho, agosto, setembro, outubro e novembro, até 5 dias de dezembro, temos um total de: : 9 semanas mais cinco dias! 5 de Dezembro do mesmo ano caiu numa quinta feira. (Ex10.) Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem dois pássaros em cada galho, fica um galho sem pássaros. Se pousar um pássaro em cada galho, fica um pássaro sem galho. Determine o número de pássaros e o número de galhos. MDC (00,300) = 100 cm Logo: e Um total de: ladrilhos. Considerando por x a quantidade de pássaros e y a quantidade de galhos: Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 46

47 Considere por x a quantidade de carrinhos que eu possuo: Substituindo a segunda equação na primeira:, portanto,. São 4 pássaros e 3 galhos. (Ex11.) Lia tem bombons e quer dividir entre os alunos de uma escola. Percebe que dando 3 a cada aluno, sobram bombons. Dando 4 para cada aluno, sobram bombons e dando 5 para cada aluno sobram bombons. Sabe se que a quantidade de bombons é maior que 180 e menor que 40. Quantos bombons Lia possui para dividir entre os alunos desta escola? Considerando por A e B, respectivamente, a quantidade alunos da escola e a quantidade de bombons, tem se: Portanto: Concluímos que é um múltiplo de 3, 4 e 5. Portanto, é um múltiplo de 60: Sendo,. Dessa forma,. Eu possuo 10 carrinhos. (Ex13.) Pedro propõe 16 problemas a um de seus amigos, informando que dará 5 pontos por problema resolvido e lhe tirará 3 pontos por problema não resolvido. No final seu amigo tinha nota zero. Quantos problemas seu amigo resolveu? Considerando por x a quantidade de problemas resolvidos e por y a quantidade de problemas não resolvidos: Substituindo a primeira equação na segunda: (Ex14.) Dado um número de dois algarismos forma se um novo número de três algarismos colocando 1 à direita do número original. O novo número é: a) dez vezes o número original, mais um. b) cem vezes o número original, mais um. c) cem vezes o número original. d) o número original, mais um. Sendo o número original: Colocando o número 1 na direita do número: (Ex1.) Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se dos 8 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo. Quantos carrinhos eu tenho? Portanto: (Ex15.) Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 47

48 Maria terminou um trabalho e numerou todas as páginas, partindo do número 1. Para isso utilizou 70 algarismos. Quantas páginas tem esse trabalho? Números com 1 algarismo = 9 algarismos no total. Números com algarismo = páginas um total de x 90 algarismos = 180 algarismos = 81 algarismos (faltam). Dividindo por 3, pois as próximas páginas terão numerações com 3 algarismos: páginas. Este trabalho possui um total de 16 páginas! Competência de área 3/ área 4 - Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano / Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. (Ex.) A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para. Determine a idade do pai e do filho. Considerando por P e F, as idades do pai e do filho respectivamente: e (Ex3.) A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por mês é de 4/5. O que resta coloco em caderneta de poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 840,00, qual a quantia que aplicarei na caderneta de poupança? Portanto, este mês aplicarei na caderneta de poupança: R$ 840,00 R$ 67,00 = R$ 168,00. (Ex1.) Pedrinho resolveu 0 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 4. Quem apresentou o melhor desempenho? (Ex4.) A distância entre duas cidades num mapa de escala de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades? é Reduziremos as frações para um mesmo denominador para podermos comparar: Desempenho de Pedrinho: Desempenho de Cláudia: Note que Pedrinho teve um melhor desempenho, acertando 54 problemas de 60. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 48

49 (Ex5.) Um terreno cuja área mede 100m² será desenhado num papel na escala 1 : 100. Qual deverá ser a medida deste térreo no papel? (Ex6.) Analisaremos as relações de dependência entre as grandezas das fórmulas a seguir: b) Organizando a fórmula a seguir: Note que o quadrado do período de revolução do Planeta ao redor do sol é diretamente proporcional ao cubo da distância média do Planeta ao sol. (Ex7.) Três trabalhadores devem dividir R$ 1.00,00 referentes ao pagamento por um serviço realizado. Eles trabalharam, 3 e 5 dias respectivamente e devem receber uma quantia diretamente proporcional ao número de dias trabalhados. Quanto deverá receber cada um? a) onde: F é a força em Newtons (N) M é a massa em quilogramas (kg) d é a distância em metros (m) G é a constante gravitacional em Newtons metro quadrado por quilograma quadrado (Nm / kg ). b) onde: T é o período de revolução do Planeta ao redor do Sol; K é a constante de proporcionalidade; R é a distância média do Planeta ao Sol. a) Organizando a fórmula a seguir: Note que a força (F) é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância. O quadrado da distância é diretamente proporcional ao produto das massas. Considerando por x, y e z as quantidades que cada trabalhador deverá receber e considerando k a constante de proporcionalidade; Portanto: Cada trabalhador receberá, respectivamente: R$ 40, R$ 360 e R$ 600,00 (Ex8.) Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão receber um prêmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação referente a cada um deles respectivamente? Considerando por x, y e z as quantidades que cada trabalhador deverá receber e considerando k a constante de proporcionalidade; Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 49

50 Portanto: Cada jogador receberá, respectivamente: R$ 1.540, R$ e R$ 700,00 (Ex9.) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 1 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães? As grandezas farinha de trigo e pães são diretamente proporcionais: (Ex1.) Uma torneira enche um tanque em 1 minutos. Outra torneira enche o mesmo tanque em 8 minutos. Num determinado dia, Maria resolveu encher o tanque mantendo as duas torneiras ligadas. Depois de quanto tempo o tanque ficou cheio? A primeira torneira enche, em 1h. A primeira torneira enche, em 1h. Em 1h, juntas, encheria: Portanto: 1h h As duas torneiras, juntas, enchem o tanque em: 4h e 48 min. (Ex10.) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois pedreiros construirá a mesma casa em quanto tempo? As grandezas pedreiros e dias são inversamente proporcionais, portanto: dias. (Ex11.) Se 8 homens levam 1 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 máquinas? (Ex13.) 30% da população de uma cidade litorânea mora na ilha e os demais habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? Portanto, a quantidade de pessoas que moram na ilha é: (Ex14.) Do meu salário de R$ 1.00,00 tive um desconto total de R$ 40,00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário? Portanto: dias (Ex15.) Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 50

51 Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 1%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido? O desconto obtido foi de:. Acabei pagando o produto por: ou ainda:. (Ex16.) Uma jarra de 18 litros está cheia de suco. 0% é água e 80% é polpa. Após uma perda de água, 10% do suco passaram a ser de água e 90% passaram a ser de polpa. Qual o volume de água perdido? Trabalharemos, apenas com a parte fixa (polpa). Portanto: O poder de compra nesse mês aumentou em 50%. (Ex19.) Um produto que custa R$ 700,00 é vendido com um prejuízo de 30% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda dessa mercadoria? Sabe se Portanto: (Ex0.) Amélia fixou em 0% o lucro sobre o preço de aquisição de uma mercadoria. Sabendo que ela custou R$ 00,00, por quanto deverá ser vendida? Logo, o volume de água perdido é dado por:. (Ex17.) O salário de Luiz Cláudio era de x reais em janeiro. Em maio, ele recebeu um aumento de 10% e outro de 0% em novembro. Seu salário atual é de R$ 1.30,00. Calcule o salário de Luiz em janeiro. (Ex18.) Em determinado mês os salários aumentaram 0% e os preços das mercadorias diminuíram em 0%. O que aconteceu neste mês com o poder de compra? Sabe se Portanto: (Ex1.) Em uma feira livre 4 lápis são vendidos por R$,00. Sabe se o custo da unidade do lápis foi de R$ 0,0. Qual o lucro percentual na venda de 160 lápis? Preço de venda: 4 lápis R$,00 Preço de custo: 1 lápis R$ 0, 4 lápis R$ 0,8 Portanto, o lucro na venda de 4 lápis é dado por: Definindo poder de compra como:. Tem se: Para 160 lápis, o lucro será: O lucro percentual será:. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 51

52 (Ex.) Um capital aplicado a juros simples durante dois anos, à taxa de 4% a.m., gerou no período, um montante de R$ ,00. Qual foi o capital aplicado? 01) A tabela a seguir apresenta os principais produtos exportados pelo Brasil para a China nos anos de 010, 011 e 01 e a quantia em milhões de dólares gastos pela China com esses produtos. ( ) (Ex3.) Uma loja oferece um computador e uma impressora por R$ 3.000,00 à vista, ou por 0% do valor à vista como entrada mais um pagamento de R$.760,00 após 5 meses. Qual a taxa de juros simples cobrada ao mês? À vista: R$ 3.000,00. À prazo: R$ 600,00 (entrada) + R$.760,00 (após 5 meses). Com relação ao pagamento À vista: R$ R$ 600,00 Após 5 meses R$.400,00 R$ 600,00 Após 5 meses R$.760,00 nos 5 meses. Por mês foi uma taxa de 3%. (Ex4.) Um investidor fez uma aplicação de R$ num banco a uma taxa cumulativa de 5% ao ano. Após anos o montante deverá ser de: (use: ). Se um produto A, entre aqueles contidos na informação Outros produtos, representar 1% do total do volume monetário das exportações do Brasil para a China em 01, então o valor monetário que esse produto A representou nas exportações daquele ano foi: a) trezentos e oitenta e dois milhões e quinhentos e trinta mil dólares. b) trinta e oito milhões e duzentos e cinquenta e três mil dólares. c) quarenta e um milhões e duzentos e vinte e oito mil dólares. d) quarenta e um bilhões e duzentos e vinte e oito milhões de dólares. e) quatrocentos e doze milhões e duzentos e oitenta mil dólares. 0) O lixo do refeitório de uma grande metalúrgica é coletado diariamente por um caminhão e levado para um aterro sanitário que fica a aproximadamente 30 quilômetros da empresa. Duas transportadoras disputam a licitação para o transporte desse lixo diário, que chega a 40 toneladas por ano. Sabendo que a transportadora A cobra R$ 160,00 por tonelada de lixo e R$ 50,00 por coleta diária, de segunda a sábado; e a transportadora B cobra R$ 150,00 por tonelada e R$ 0,80 por quilômetro rodado, na ida e na volta ao aterro. Considerando 6 dias úteis no mês, assinale a alternativa correta: PRATICANDO NA SALA a) A proposta de A é mais interessante, pois cobra aproximadamente R$ 3.000,00 por mês. Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 5

53 b) A proposta de A é mais interessante, pois o preço fixo de coleta reduz o custo para a empresa. c) A proposta de B é mais interessante, pois seu custo mensal é menor do que o de A. d) A proposta de B é mais interessante, pois cobra pouco a mais de R$ 3.000,00 por mês. e) As propostas são igualmente boas, pois ambas têm o mesmo custo mensal. RESUMO :REVISÃO ) Em uma fazenda, é necessário transportar um número de sacos de soja utilizando carros que serão alugados para a prestação de serviço. O produtor calculou que, se transportasse 40 kg de soja em cada carro, sobraria, 4 carros daqueles que planejava alugar. Por outro lado, transportando 35 kg por carro, ainda sobrariam, 10kg de soja para serem transportados. Nessas condições, o número de carros que o produtor planeja alugar e a quantidade total, em quilogramas de soja a serem transportadas, são, respectivamente: a) 34 e 1 00 b) 34 e c) 3 e 1 00 d) 3 e e) 36 e ) Uma pesquisa foi realizada com a intenção de conhecer o que as pessoas sabem sobre o diabetes. Nela, utilizou se um questionário com 16 perguntas, respondidas pelas pessoas na entrada de estações do metrô de São Paulo. Os gráficos a seguir mostram, respectivamente, os percentuais de respostas dadas às seguintes perguntas do questionário: Você conhece alguém com diabetes? e Caso conheça, indique onde. O percentual do número de entrevistados que conhecem pessoas diabéticas na escola é mais aproximado por: a) 6% b) 15% c) 37% d) 41% e) 5% 05) Um ilustrador precisou representar um rancho de metros quadrados em um mapa. Essa representação, por causa do espaço disponível, precisou ser feita por um quadrilátero semelhante à forma real do rancho, porém com área de nove centímetros quadrados. Para que o mapa esteja correto, o ilustrador deve indicar que foi construído na escala: a) 3:1.000 b) 3: c) 5: d) 9:1.000 e) 9 : ) A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da intensidade da corrente elétrica (i) que por ele circula. Para um chuveiro elétrico qualquer, a energia elétrica (E) consumida depende da potência elétrica e do intervalo de tempo de funcionamento. Se o intervalo de tempo for constante, a energia elétrica consumida será diretamente proporcional à potência elétrica do aparelho e o será a Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 53

54 constante de proporcionalidade. Nessas condições, a energia elétrica (E) pode ser escrita em função da resistência elétrica (R) e da intensidade da corrente elétrica (i) por meio da expressão: a) b) e) 135,00 09) Quando se diz que numa determinada região a precipitação pluviométrica foi de 10 mm, significa que a precipitação naquela região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média. c) d) e) 07) Uma empresa trabalha com dois produtos, A e B. Para transportar seus produtos, utiliza uma caminhonete. A carga máxima, permitida por lei, para transporte nessa caminhonete é igual a 300 latas do produto A ou 10 latas do produto B. Se a caminhonete abrigar 180 latas do produto A, então o máximo de latas do produto B, que pode transportar, sem infringir a lei, é: a) 7 b) 84 c) 98 d) 10 e) ) O litro do combustível X custa R$,00 e do combustível Y, custa R$ 3,00. O tanque do veículo V, que se move indiferentemente com os combustíveis X e Y, tem capacidade total de 54 litros. O veículo V, quando abastecido unicamente com o combustível X, tem rendimento de 15 quilômetros por litro e, quando abastecido unicamente com o combustível Y, tem rendimento de 18 quilômetros por litro. Quantos reais gastará o proprietário de V, caso resolva abastecer completamente o seu tanque com uma mistura desses combustíveis, de forma que, numericamente, os volumes correspondentes de X e Y sejam, simultaneamente, diretamente proporcionais aos rendimentos e inversamente proporcionais aos custos de cada um deles? a) 131,00 b) 13,00 c) 133,00 d) 134,00 Se numa região de 10 km² de área ocorreu uma precipitação de 5 cm, quantos litros de água foram precipitados? a) 5 x b) 5 x c) 5 x d) 5 x e) 5 x ) A decoração natalina de uma empresa no ano passado foi a de uma enorme árvore de Natal constituída por 3.00 lâmpadas piscas-piscas (que consomem energia por igual) que ficaram acesas por 45 dias ininterruptos das 18 horas às horas da manhã, gerando com isso um consumo de energia de R$ 64,00 nesse período. Para este ano, a tarifa de energia elétrica aumentou 5%. A empresa quer novamente enfeitar a árvore de Natal, mas mantendo as lâmpadas acesas por 60 dias e pretendendo ter o mesmo gasto, em reais, com a energia elétrica proveniente desse enfeite, em relação ao ano anterior, apenas das 18 horas à meia--noite. Analisando essa atitude da empresa, verifica -se que, para que isso realmente aconteça, o número de lâmpadas piscas-piscas na árvore deve ser reduzido para: a).800 b).560 c).105 d) e) Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 54