Faculdades Pitágoras de Uberlândia. Matemática Básica 1

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1 Faculdades Pitágoras de Uberlândia Sistemas de Informação Disciplina: Matemática Básica 1 Prof. Walteno Martins Parreira Júnior waltenomartins@yahoo.com 2010 Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 0

2 Sumário 1 APRESENTAÇÃO Metodologia da Disciplina Visão geral da Disciplina Objetivos da Disciplina Encontro das equipes de aprendizagem: O que se avalia? Avaliação dos Alunos CONJUNTOS NUMÉRICOS Representação e Linguagem dos Conjuntos Naturais, Inteiros, Racionais e Reais Noções de Conjunto Representação de conjuntos Diagramas de Venn Operações e Propriedades Igualdade de Conjuntos Conjunto Unitário Conjunto Vazio Relação de inclusão Subconjunto Operações com Conjuntos: Interseção Operações com Conjuntos: União Operações com Conjuntos: Diferença entre dois conjuntos Operações com Conjuntos: Complementar de um conjunto Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais Conjunto dos Números Inteiros Conjunto dos Números Racionais Conjunto dos Números Irracionais Conjunto dos Números Reais Intervalos Exercícios GRANDEZAS E MEDIDAS Unidades de medidas: comprimento, área e volume Unidades de medida de comprimento Unidades de medida de área Unidades de medida de volume Ordem de grandeza e notação científica Notação científica Grandezas direta e inversamente proporcionais: regra de três simples e regra de três composta Razão e proporção Relação direta de proporcionalidade Relação inversa de proporcionalidade Cálculo de porcentagens: aumento e desconto percentual, porcentagens sucessivas Relação entre proporção e porcentagem Cálculo de porcentagens e regra de três simples Aumento e desconto percentual Quantidades usualmente expressas em taxas percentuais Exercícios Bibliografia Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 1

3 1 APRESENTAÇÃO 1.1 Metodologia da Disciplina Aula expositiva: informação, conhecimento, aprendizagem de conceitos e princípios. Encontros das equipes de aprendizagem: desenvolvimento de habilidades e competências, não só da disciplina em questão, mas também habilidade de trabalhar em grupos e equipes. Ênfase em projetos e pesquisas dos alunos, fazendo a relação entre a teoria e o mundo real. Atividades Avaliativas (individuais e coletivas) 1.2 Visão geral da Disciplina Estudar a Matemática implica conhecer tanto seu sistema quanto sua linguagem. A Matemática adota o método dedutivo para desenvolver suas teorias, portanto os sistemas matemáticos são também chamados sistemas lógico-dedutivos. Um sistema lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar formalmente o raciocínio válido. Diferentes sistemas de lógica formal foram construídos ao longo do tempo quer no âmbito estrito da Lógica Teórica, quer em aplicações práticas na Engenharia, na Ciência da Computação nos Sistemas de Informação e em Inteligência artificial, etc. A linguagem matemática é útil às Ciências principalmente porque analisa e descreve como as grandezas variam em fenômenos que obedecem a critérios determinados. 1.3 Objetivos da Disciplina Matemática Básica I procura ensinar os alunos a serem críticos em relação aos resultados matematicamente encontrados, não de uma forma intuitiva ou gratuita, mas de forma racional e logicamente argumentada. Aprender a criticar um resultado matematicamente encontrado é aprender a distinguir e aplicar adequadamente argumentos matemáticos, e é também aprender a avaliar a invalidade de argumentos matematicamente apresentados. Desenvolver a capacidade de raciocínio lógico e dedutivo. Estabelecer adequadamente métodos, conceitos e modelos matemáticos ligados à solução de problemas. Usar adequadamente linguagem e conceitos matemáticos ligados à solução de problemas específicos. Desenvolver a habilidade algébrica e a capacidade de relacionar conceitos abstratos da álgebra e da geometria à solução de problemas; analisar e criticar os resultados obtidos. 1.4 Encontro das equipes de aprendizagem: Nenhum aluno pode participar dos encontros das equipes de aprendizagem sem fazer parte de uma equipe. O aluno deve ler o material indicado no Guia do Aluno anteriormente. Não é possível desenvolver satisfatoriamente uma atividade sem um mínimo de conhecimento do conteúdo ministrado nas aulas expositivas. O aluno deve trazer o material indicado para a sala de aula. A participação será avaliada a cada encontro das equipes. A nota de participação não é nota de presença. 1.5 O que se avalia? Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 2

4 Avaliação de conteúdos. Produtos: estruturas internas que revelam o grau de proficiência do aluno para elaborar os conteúdos, relacioná-los com conhecimentos anteriores e aplicá-los a situações concretas, conhecidas ou novas. Estratégias cognitivas e metacognitivas: capacidade do aluno em monitorar e regular o próprio processo de aprender a aprender. 1.6 Avaliação dos Alunos Conhecimentos adquiridos. Habilidades e competências específicas da disciplina, principalmente, a competência argumentativa. Atitudes: abertura às idéias e aos argumentos dos outros, mostrando disponibilidade para rever suas próprias opiniões; cooperação com os outros, mostrando que a crítica só é eficaz através do diálogo justo e honesto, no seio de uma comunidade. Participação efetiva nas aulas e atividades coletivas (não é apenas presença). Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 3

5 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS O tratamento matemático de fenômenos científicos associa grandezas que expressam na maioria das vezes quantidades; tais grandezas são frequentemente representadas por números e, portanto, a Teoria dos Conjuntos auxilia na solução dos problemas dessa natureza. 2.1 Representação e Linguagem dos Conjuntos Naturais, Inteiros, Racionais e Reais Noções de Conjunto A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da matemática, pois a partir dela podem se expressar todos os conceitos matemáticos. Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo: Conjunto dos países do mercosul: Argentina,, Brasil, Paraguai e Uruguai; Conjunto de regiões brasileiras: Centro-oeste, Norte, Nordeste, Sudeste e Sul; Conjunto de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Conjunto de números quadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36,... Um conjunto é formado por elementos. Um objeto o qualquer pode ou não ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, diz-se que o pertence a A e escreve-se o A e em caso contrário, dize-se que o não pertence a A e escreve-se o A. Assim, considerando que: M : Conjunto dos países do mercosul; P: Conjunto de regiões brasileiras; Q: Conjunto de números primos. R: Conjunto de números quadrados. Tem-se que: O Brasil M e Chile M. (lê-se: Brasil pertence a M e Chile não pertence a M) O Nordeste P e Bolívia P. 2 Q e 9 Q. 16 R e 8 R. Portanto, um conjunto é qualquer coleção de objetos. Os objetos que compõem a coleção são chamados elementos. Os elementos pertencem à sua respectiva coleção. Convenciona-se representar conjuntos por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas Representação de conjuntos. Tomando como exemplo o conjunto B dos números ímpares menores que 10 e maiores que 0. Colocando os números entre chaves: B = { 1, 3, 5, 7, 9} essa é uma representação pela designação de seus elementos. Existe outro tipo de representação, que é pela propriedade de seus elementos. O elemento do conjunto é chamado de x que possui uma propriedade P, o conjunto será indicado por x tal que x possua a propriedade P { x x possui a propriedade P}, essa barra vertical significa tal que. Pegando o mesmo conjunto B = { 1, 3, 5, 7, 9}, o conjunto dos números ímpares menores que 10 e maiores que 0. Usando esse tipo de representação fica: B = { x x é ímpar e 0 < x < 10 } Que é representado por: Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 4

6 Os elementos que pertencem ao conjunto B (na área verde) estão dentro do diagrama, os de fora são ímpares, mas não pertencem ao conjunto B. Essa é uma representação em forma de Diagrama. Diagramas de Venn É usual representar os conjuntos por curvas fechadas, sem auto-interseção, contendo no seu interior pontos que representam os seus elementos. Elementos que não pertencem ao conjunto são representados por pontos no exterior da curva. Por exemplo, na figura abaixo representa-se um conjunto A = {x, y, z,u,w}. A figura indica que a A, b A e c A. 2.2 Operações e Propriedades Considerando a propriedade p, logo, p: x é um número natural ímpar. Assim, essa propriedade pode ser representada pelo conjunto I = {1, 3, 5, 7, 9, 11,...}. Logo, não faz diferença dizer que x possui a propriedade p ou que x I. Considerando agora a condição c, logo, c: x é um número inteiro que satisfaz a condição x 2 4 = 0. Esta condição pode ser expressa pelo conjunto A = {-2, 2}. Neste caso, também não faz diferença dizer que x satisfaz a condição c ou que x A. Concluindo, é mais simples trabalhar com conjuntos, definindo operações entre eles do que com propriedades e condições Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos são iguais quando tiverem os mesmos elementos. Equivalentemente, dois conjuntos A e B serão considerados iguais quando todo elemento de A for elemento de B e todo elemento de B também for elemento de A. Para simplificar que um conjunto A é igual a um conjunto B, usa-se a notação A = B. Não importa se há repetição de elementos e nem a ordem em que os elementos são listados Conjunto Unitário Um conjunto que contenha um único elemento é chamado unitário. Por exemplo: Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 5

7 Conjunto Vazio A = { x x é par e 4 < x < 8 } ou A = {6} Um conjunto sem elementos é chamado conjunto vazio, que é representado por ou por { }. Por exemplo: Dado o conjunto C = { y y é natural e 2 < y < 3 } é um conjunto que não possui nenhum elemento Relação de inclusão Subconjunto Dados dois conjuntos A e B, diz que A está contido em B ou que A é subconjunto de B, somente se, todo elemento do conjunto A também for elemento de B. Isso será representado da seguinte forma: A B. Por Exemplo: Observe que todo elemento pertencente ao conjunto A pertence também ao conjunto B. Por isso, A está contido em B.Simbolicamente: A B A está contido em B.E também B A B contém A Operações com Conjuntos: Interseção Exemplo de interseção de conjuntos: Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados. Exemplo 1: Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedir a interseção deles tem-se que: A B = {5}, diz-se que A inter B é igual a 5. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 6

8 Exemplo 2: Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedir a interseção deles tem-se: B C = { } ou B C =, então B e C são conjuntos distintos. Exemplo 3: Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim: E D = {3,4,5} ou E D = E, pode ser concluído também que E D Operações com Conjuntos: União Exemplo 1: Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados. Dados os conjuntos A = { x x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é :A U B = {0,1,2,3,4} Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso pode-se dizer que A U B = B Operações com Conjuntos: Diferença entre dois conjuntos Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A B. Exemplo 1: Dado: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7}, a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2} Exemplo 2: Dado: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10}, a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2,3,4,5} Operações com Conjuntos: Complementar de um conjunto Dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Indica-se C A U. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 7

9 Exemplo 1: Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar: A B = C A B= {1,2,3,4}. Exemplo 2: Dados os conjuntos U = {1,2,3,4,5,6,7} e B = {4,5,6}, a diferença dos conjuntos é: A B = {1,2,3,4}. Como B U podemos escrever em forma de complementar: U A = C A U= {1,2,3,7}. 2.3 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...} Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: Inteiros não negativos - São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6,...} Inteiros não positivos - São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} Inteiros não negativos e não-nulos - É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Z*+ = N* Inteiros não positivos e não nulos - São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. Z*- = {... -4, -3, -2, -1} Conjunto dos Números Racionais Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12, ", são também conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q Conjunto dos Números Irracionais Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 8

10 É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3, Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1, ) Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R. 2.4 Intervalos Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos: Intervalo aberto de extremidades a e b como sendo o conjunto ]a,b[= {x R a < x < b} Intervalo fechado de extremidades a e b como sendo o conjunto [a,b] = {x R a <= x <= b} Intervalo fechado à esquerda de extremidades a e b como sendo o conjunto: [a,b[= {x R a <= x < b} Intervalo fechado à direita de extremidades a e b como sendo o conjunto ]a,b] = {x R a < x <= b} Também definimos intervalos infinitos: ],b[= {x R x < b}, também representado por (,b) ],b] = {x R x <= b}, também representado por (,b] ]a,+ [= {x R x > a}, também representado por (a,+ ) [a,+ [= {x R x >= a}, também representado por[a,+ ) ],+ [= R, também representado por (,+ ) 2.5 Exercícios Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos: a)80% b)14% c)40% d)60% e)48% Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma das sobremesas? a) 1 b) 2 c) 3 d) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; quando chove de manhã não chove à tarde; houve 5 tardes sem chuva; Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 9 e) 0

11 houve 6 manhãs sem chuva. Pode-se afirmar então que n é igual a: a)7 b)8 c)9 d) pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era: O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; O dobro do número de pessoas que gostavam de A; A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B. e)11 Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: a)48 b)35 c)36 d) Sendo o conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 2, 3, 4, 5}, determine: a) A C = b) A C = c) A (B C) = d) A B = e) C A = f) (A B) C = e)37 g) A C = Numa pesquisa realizada, verificou-se que das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal A, 150 o jornal B e 20 liam os dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas? Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 10

12 Lógica Matemática e Computacional 3 GRANDEZAS E MEDIDAS 3.1 Unidades de medidas: comprimento, área e volume As grandezas são valores ou medidas associados a um objeto matemático e representam a dimensão ou o tamanho de objetos reais. A unidade de medida deve adequar-se ao tamanho dos objetos que medimos. Pontos Principais: Unidades de medida de comprimento: objetos de uma dimensão. Unidades de medida de área: objetos de duas dimensões. Unidades de medida de volume: objetos de três dimensões. Os povos foram criando unidades de medida para atenderem as suas necessidades. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio entre os povos, ficaram cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, um grupo de representantes de vários países reuniram-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal Unidades de medida de comprimento A palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Multiplos Unidade Submúltiplos quilometro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milimetro km hm dam m dm cm mm 1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Para fazer as transformações entre os diferentes múltiplos e submúltiplos, usa-se a multiplicação ou a divisão, dependendo do sentido da transformação, conforme a figura abaixo. Exemplo: Transforme 160,456 metros em decametro e depois em centímetros. Resolução: a) Para transformar metro (m) em decametro (dam), ver na figura, tem que dividir por 10, logo 160,456 / 10 = 16,0456 dam b) Para transformar metro (m) em centímetro (cm), ver figura acima, tem que multiplicar por 100 (10 x 10), logo 160,456 x 100 = 16045,6 cm. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 11

13 Lógica Matemática e Computacional Unidades de medida de área As medidas de área fazem parte de nosso dia a dia. Também são denominadas de medidas de superfície. Estão em perguntas corriqueiras do cotidiano tais como: Qual a área desta casa? Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir esta sala? Qual a área pintada dessa parede? A unidade fundamental usada para medir superfície é o metro quadrado (m 2 ), que corresponde a área de um quadrado em que o lado mede 1 m. Medida de superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. quilometro quadrado Multiplos Unidade Submúltiplos hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milimetro quadrado km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m m 2 1 m 2 0,01 m 2 0,0001 m 2 0, m 2 m 2 Para fazer as transformações entre os diferentes múltiplos e submúltiplos, usa-se a multiplicação ou a divisão, dependendo do sentido da transformação, conforme a figura abaixo. Exemplo: Transforme 160,456 metros quadrados em decâmetro quadrado e depois em centímetros quadrado. Resolução: a) Para transformar metro quadrado (m 2 ) em decâmetro quadrado(dam 2 ), ver na figura, tem que dividir por 100, logo 160,456 / 100 = 1,60456 dam 2 b) Para transformar metro quadrado (m 2 ) em centímetro quadrado (cm 2 ), ver figura acima, tem que multiplicar por (100 x 100), logo 160,456 x = cm Unidades de medida de volume São os problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. Com as medidas tridimensionais, pode-se calcular medidas de volume. A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m 3 ) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 12

14 quilometro cúbico Lógica Matemática e Computacional Multiplos Unidade Submúltiplos hectômetro cúbico decâmetro cúbico metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milimetro cúbico km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm m 3 1 m 3 0,001 m 3 0, , m 3 m 3 m 3 m 3 Para fazer as transformações entre os diferentes múltiplos e submúltiplos, usa-se a multiplicação ou a divisão, dependendo do sentido da transformação, conforme a figura abaixo. Assim, cada unidade de volume é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 3.2 Ordem de grandeza e notação científica A expressão das medidas pode ser mais precisa ou apenas estimada dependendo da natureza do problema e do rigor que pretendemos dar à sua solução. A ordem de grandeza de uma medida é a potência de dez que mais se aproxima do número que representa essa medida e a notação científica é o padrão utilizado para expressar as medidas realizadas no tratamento científico de problemas. Pontos Principais: Medida de comprimentos muito grandes e muito pequenos. Medida de áreas muito grandes e muito pequenas. Medida de volumes muito grandes e muito pequenos Notação científica A notação científica é uma forma de reduzir um número a uma grandeza que seja mais facilmente compreensível para escrever ou visualizar. Sua forma é a x 10 n. Exemplos: a) 8200 = 8,2 x 10 3 b) 0,00014 = 1,4 x 10-4 Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de expressões. Tem-se que observar se n é positivo ou negativo. Para N>0, escrever a quantidade de zeros da potência a direita do número 1. Por exemplo: 10 4 = Para N<0, escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1, colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu. Por exemplo: 10-3 = 0,001. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 13

15 Lógica Matemática e Computacional 3.3 Grandezas direta e inversamente proporcionais: regra de três simples e regra de três composta Quando os problemas estabelecem uma relação de proporcionalidade entre as grandezas que expressam, sua solução pode ser encontrada pelo cálculo do termo desconhecido numa proporção. Pontos Principais: Razão e proporção. Relação direta de proporcionalidade. Relação inversa de proporcionalidade Razão e proporção Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b > 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a / b ou a : b. Os termos de uma razão são denominados de Antecedente ( a parte superior da fração) e Conseqüente (a parte inferior da fração). Para ler uma razão, por exemplo: 2/5 como Dois está para cinco. Exemplo: Em uma sala há 20 moças e 25 moços. A razão entre o número de moças e de moços é de: logo, indica que para cada 4 moças existem 5 moços. Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dados os números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, diz-se que eles formam, nessa ordem uma proporção quando a razão de a para b for igual a razão de c para d. Na proporção 3/5 = 6/10, lê-se que 3 está para 5 assim como 6 está para 10. Logo, os extremos são 3 e 10 e os meios são 5 e 6. Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. No exemplo acima, 3 x 10 = 5 x 6 = 30. Exemplo: Determine o valor de y na seguinte proporção: 15/3 = 10/y. Assim, 15 y = 30, logo y = Relação direta de proporcionalidade No cotidiano encontra-se varias situações em que são relacionadas duas ou mais grandezas. Como exemplo, tem-se: Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 14

16 Exemplo: Lógica Matemática e Computacional Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. As grandezas são a velocidade e o tempo. Numa construção, quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo. Em um determinado mês do ano o litro de leite custa R$ 1,00. Tomando como base esse dado pode-se formar a tabela. Quantidade (em litros) Valor a pagar (R$) 1 1,00 2 2,00 3 3,00 4 4,00 Pode-se observar que: a) se a quantidade de leite dobra, o preço a ser pago também dobra; b) se a quantidade de leite triplica, o preço a ser pago também triplica. Neste caso, as duas grandezas envolvidas são denominadas de grandezas diretamente proporcionais. E pode ser observada que suas razões são iguais: 1/2 = 1,00 / 2, Relação inversa de proporcionalidade Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro. Exemplo: Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. Observe a tabela: Quantidade de alunos escolhidos Quantidade de livros para cada aluno Pode-se observar que: a) Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. b) Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante. 3.4 Cálculo de porcentagens: aumento e desconto percentual, porcentagens sucessivas Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 15