MÓDULO V. Certamente nesse módulo vamos trabalhar com temas imprescindíveis para quem tem como objetivo participar de seleções de concursos públicos.

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1 1 MÓDULO V Certamente nesse módulo vamos trabalhar com temas imprescindíveis para quem tem como objetivo participar de seleções de concursos públicos. Problemas envolvendo grandezas proporcionais, regra de três e regra de sociedade serão abordados. Então, UM BOM ESTUDO PARA NÓS... Números e Grandezas Proporcionais Números proporcionais são aqueles que apresentam o mesmo coeficiente de proporcionalidade. Um grupo de números é proporcional ao outro na ordem dada se produzem razões iguais entre si. Exemplos: a) Os números: São proporcionais, porque:

2 = = = = = = K constante de proporcionalidade 1 K = 3 b) Os números: não são proporcionais, pois: = = c) Dados os números proporcionais , 8 72 x Calcule x : = = 8 72 x 1 21 = 8 x 9 21 = 72 x 1x = 168 9x = x = x = 9 x = 168 x = 168 Resposta: x = 168

3 3 Grandezas: em Matemática; entende-se por grandeza o que é sujeito ao aumento ou diminuição. Exemplos: tempo, velocidade, peso, número de pessoas, número de objetos, etc. No dia-a-dia, pode-se observar que certas grandezas variam em conseqüência de outras grandezas. Por exemplo, o tempo de viagem depende da velocidade média do carro; a superfície de ladrilhos que se consegue assentar em um dia, depende do número de ladrilhos disponíveis... A dependência que ocorre entre duas grandezas pode ser classificada em diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais, dependendo das condições de variação. Grandezas diretamente proporcionais: quando o aumento do valor de uma grandeza, leva ao aumento proporcional do valor da outra. Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma é igual à razão dos dois valores correspondentes na outra. Exemplo: O tempo de viagem corresponde a um aumento proporcional na distância percorrida 1 = 2 = Grandezas inversamente proporcionais: quando aumento do valor de uma grandeza, leva diminuição proporcional do valor da outra. Exemplo: as grandezas do número de trabalhadores, relacionados à colheita de um lote de laranjas, são inversamente proporcionais.

4 4 Considera-se que normalmente um lote de laranjas é colhido por trabalhadores em 12 horas. Quanto maior o número de operários, menor o número de dias. Quanto menor o número de operários, maior o número de dias. Regra de três simples É uma regra prática que permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhecem três termos e o quarto termo é o procurado. Exemplos: a) Cinco metros de tecido custam UM$ 8,. Quanto custam nove metros desse tecido? Observação: UM$ será usado como unidade monetária, substituindo o símbolo da moeda (que é passível de mudança, de nome e de valor). Comprimento (m) Preço (UM$) Observação: a seta da grandeza onde está o x, será sempre em direção ao x (para cima ou para baixo). No caso do exemplo dado, o x está embaixo, então seta virada para baixo. Com relação a grandeza comprimento, iremos compará-la com o preço.

5 5 Se 5 metros de tecido custam UM$8,, então 9 metros custarão mais ou menos? É evidente que custarão mais... Aumenta o comprimento e aumenta o preço. As grandezas são consideradas diretamente proporcionais, a seta se iguala à seta do x, isto é, para baixo. 5 8 = 9 x 5x = 9 8 x = 72 5 x = 144 Resposta: Nove metros de tecido custarão UM$144,. b) Três torneiras enchem um tanque em 9 minutos. Quantas torneiras iguais a essas seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54 minutos? Torneiras Tempo (minutos) Se eu diminuir o tempo, vai aumentar o número de torneiras. As grandezas consideradas são inversamente proporcionais.

6 6 Resposta: Para encher o mesmo tanque em 54 minutos, serão necessárias 5 torneiras. Fonte: Regras de três composta Consiste na relação entre três ou mais grandezas. Observa-se sempre as grandezas comparadas com a grandeza que falta e efetua-se normalmente a proporção.

7 7 Exemplos: a) Uma casa é construída em 6 dias por 2 operários trabalhando 9 horas por dia. Em quantos dias 12 operários trabalhando 5 horas por dia poderiam fazer a mesma casa? Tempo (dias) Operários Tempo (horas) 1 passo) Seta onde está o x, para baixo. Tempo (dias) Operários Tempo (horas) 2 passo) Comparação entre a grandeza tempo e a grandeza operários. Se 2 operários fazem a obra em 6 dias, se eu diminuir o número de operários para 12 aumenta o números de dias para realizar a obra. Então inversamente proporcionalmente, seta virada ao contrário da seta do x. Tempo (dias) Operários Tempo (horas) 3 passo) Comparação entre tempo (dias) e tempo (horas). Se trabalhando 9 horas por dia, levaram 6 dias, então diminuindo o número de horas para 5, os operários vão levar mais dias para realizar a obra. Então, inversamente proporcional, seta ao contrário da seta do x, isto é virada para cima.

8 8 4 ) Proporção x = x = 3 x = passo) Resposta: Doze operários trabalhando 5 horas por dia, levarão 18 dias para construir a casa. b) Uma holaria produz 147 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirá em 1 dias, trabalhando 8 horas por dia? Tijolos Tempo (dias) Tempo (horas) Grandezas diretamente proporcionais = x = x 8 21x = x = 21 x = 56 Resposta: Produzirá 56 tijolos em 1 dias, trabalhando 8 horas por dia.

9 9 Fonte: Exercícios 1) Uma roda de 4 dentes engrena com outra de 3 dentes. Sabendo que a primeira de 45 voltas. Calcular o número de voltas da segunda.

10 1 Rodas (dentes) Voltas 45 3 x = 4 3 x = x = 3 x = 6 Resposta: A segunda roda dará 6 voltas. 2) Um carro a 1 km/h faz um percurso em 2 horas. Se a velocidade passar para 8 km/h, em quanto tempo fará o percurso? Velocidade (km/h) Tempo (horas) 2 8 x = 1 8x = 2 x = 2,5 2 horas e 3 minutos Resposta: Fará o percurso em 2 horas e 3 minutos.

11 11 3) Maria leu um livro em 4 dias; sendo 15 páginas por dia. Quantos dias ela levaria para ler o mesmo livro se lê-se 6 páginas por dia? Tempo (dias) Páginas 4 6 x = 15 6x = 6 x = 1 Resposta: Lendo 6 páginas por dia, Maria levaria 1 dias para ler seu livro. 4) Um espaço de 32 km é percorrido em 4 horas. Qual o tempo gasto para percorrer 12 km? Distância (km) Tempo (horas) 4 32 x = x = 12 32x = 48 x = 15

12 12 Resposta: O tempo gasto para percorrer 12 km será de 15 horas. 5) Uma família consome, em média, 4kg de arroz em 2 meses. Mantendo a mesma média de consumo. Quantos kg de arroz serão necessários em um semestre: Quantidade (kg) Tempo (meses) 4 2 x = 6 2x = 4 6 2x = 24 x = 12 Resposta: Serão necessários em 1 semestre, 12kg de arroz. 6) Vinte máquinas trabalhando 16 horas por dia levam 6 dias para fazer um serviço. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço se trabalharem 2 horas por dia, durante 12 dias? Máquinas Tempo (horas) Tempo (dias)

13 =. x 16 6 x = 8 Resposta: Serão necessárias oito máquinas. 7) Na abertura de um canal, 15 homens, trabalhando 8 horas diárias escavaram 4m 3 de terra em 1 dias. Quantos homens, serão necessários para escavar 6m 3 trabalhando 15 dias de 6 horas? Homens Tempo (horas) Profundidade (m 3 ) Tempo (dias) =.. x simplificando x = 2 Resposta: Serão necessários 2 homens. 8) Para preparar 72 páginas de 3 letras com 4 linhas, 6 tipógrafos gastam 18 dias de 8 horas. Quantos dias de 7 horas, 9 tipógrafos podem preparar 8 páginas de 28 linhas com 45 letras por dia? Páginas Letras Linhas Tipógrafos Dias Horas x = Pode simplificar frações: X=16 Resposta: Serão necessários dezesseis dias.

14 14 9) Uma árvore de 4,2m de altura projeta uma sombra de 3,6m. No mesmo instante, outra árvore projeta uma sombra de 2,8m. Qual a altura da segunda árvore? Altura Sombra (m) 4, 2 3,6 x = 2,8 3,6x = 4,2 2,8 3,6x = 11,76 11,76 x = 3,6 x 3,27m Resposta: A altura da segunda árvore é de aproximadamente 3,27 metros. 1) Um navio partiu para uma viagem levando a bordo alimento para 12 tripulantes durante 3 dias. Quando o navio partiu descobrem-se três passageiros clandestinos. Nessas condições quantos dias deverá durar o alimento? Tripulantes Tempo (dias)

15 x = 12 15x = 3 12 x = 24 Resposta: Deverá durar o alimento 24 dias. Agora para descontrair, vamos ler algumas piadas dos Super Heróis????? Piadas de Super Heróis! Por que o Batman colocou o batmóvel no seguro? Porque ele tem medo que robin... Por que a mulher do Hulk largou ele? Porque ela queria um homem mais maduro... Por que o Zorro foi expulso da Associação dos Super-Heróis? Porque ele era muito mascarado... Como o Batman faz para abrir a bat-caverna? Ele bat-palma... O que é um astrólogo andando a cavalo? Cavaleiro do Zodíaco... Fonte:

16 16 Regra de Sociedade É uma aplicação da divisão em partes diretamente proporcionais e destacamse três casos: 1 ) Tempos iguais e capitais diferentes Divide-se o lucro ou prejuízo da sociedade proporcionalmente aos capitais dos sócios. Exemplo: 1) Três pessoas formam uma sociedade, entrando a primeira com R$3,; a segunda com R$4, e a terceira com R$45,. Calcular o lucro de cada uma, sabendo-se que o lucro total foi de R$23,. Para facilitar os cálculos, desprezamos os cinco zeros finais de cada importância no problema, acrescentando-os depois no resultado final.

17 17 Chamamos de sócios a, b e c, respectivamente, formando o sistema e aplicando a divisão em partes proporcionais: Então: a b c = 2 = 2 = a = 6 b = 8 c = 9 Resposta: Cada sócio lucrou R$6,, R$8, e R$9, respectivamente. 2 ) Capitais iguais e tempos diferentes Divide-se o lucro ou prejuízo da sociedade proporcionalmente aos tempos de permanência dos sócios. Exemplo: 1) Três pessoas formam uma sociedade, permanecendo a primeira durante 12 meses; a segunda 8 meses e a terceira 6 meses. Quanto ganhou cada uma, se a sociedade apresentou um lucro de R$52,. a + b + c 52 = =

18 18 a b c = 2 = 2 = a = 24 b = 16 c = 12 Resposta: Cada pessoa ganhou R$24,; R$16, e R$12,, respectivamente. 3 ) Tempos diferentes e capitais diferentes Divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade proporcionalmente aos produtos do tempo pelo capital, respectivo de cada sócio. Exemplo: 1) Três negociantes formam uma sociedade em que o primeiro entrou com o capital de R$ 3,; o segundo com R$ 2, e o terceiro com R$ 5,. O primeiro permaneceu 12 meses na sociedade; o segundo 9 meses e o terceiro 4 meses. Qual foi o lucro de cada um, se o lucro total da sociedade foi de R$ 3 7,. 1 ) sócio = 3 12 = 36 2 ) sócio = 2 9 = 18 3 ) sócio = 5 4 = 2 a + b + c 37 1 = =

19 19 a 1 = 36 2 b 1 = 18 2 c 1 = 2 2 2a = 36 2b = 18 2c = 2 a = 18 b = 9 c = 1 Resposta: O lucro de cada um foi de R$ 1 8,; R$ 9,; R$ 1, respectivamente.