GRANDEZAS PROPORCIONAIS Matemática Financeira. HERCULES SARTI Mestre

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1 GRANDEZAS PROPORCIONAIS Matemática Financeira HERCULES SARTI Mestre

2 Profº. Hércules Sarti Bacharel e Licenciado em Matemática. Mestre em Educação Matemática. 16 anos no Ensino Superior. Disciplinas: Estatística, Matemática Financeira e Geometria. Cursos: Segurança do Trabalho, Administração e Matemática. Matemática (E. Fundamental e Médio) Casado, 2 filhas e Paulistano.

3 Proporções Proporção é a igualdade de duas razões. a b c d

4 Proporções a b c d a, c antecedentes (numeradores) b, d conseqüentes (denominadores)

5 Proporções a b c d a, c antecedentes (numeradores) b, d conseqüentes (denominadores) a. d b. c O produto dos extremos é igual ao produto dos meios

6 Exercício E1 Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a ¼ e cujos conseqüentes sejam 28 e 6.

7 Exercício E1 Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a ¼ e cujos conseqüentes sejam 28 e

8 Exercício E1 Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a ¼ e cujos conseqüentes sejam 28 e : 4 6 : 4 7 9

9 Exercício E1 Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a ¼ e cujos conseqüentes sejam 28 e

10 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números?

11 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5

12 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b a 8b

13 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 a b 12 5a 8b 0 5 a 8b

14 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 a b 12 5a 8b 0 8a 5a + 8b 8b a 8b

15 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 a b 12 5a 8b 0 8a 5a + 8b 8b a 8b

16 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b 8 5 a b 12 5a 8b 0 8a + 8b 96 5a 8b 0 a 96 5 a 8b

17 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b a 8b a b 12 5a 8b 0 8a + 8b 96 5a 8b 0 a 96 a 2

18 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b a 8b a b 12 5a 8b 0 2 b 12 8a + 8b 96 5a 8b 0 a 96 a 2

19 Exercício E Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8/5. Quais são esses números? a b 12 a b a 8b a b 12 5a 8b 0 2 b 12 b 20 8a + 8b 96 5a 8b 0 a 96 a 2

20 Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6?

21 Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x

22 Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x ( x ) 5 ( x + 1)

23 Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x ( x ) 5 ( x + 1) 6 x 18 5x + 5

24 Exercício E7 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x ( x ) 5 ( x + 1) 6 x 18 5x x 5x

25 Exercício E7 P1 Qual é o número que, diminuído de unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? x x ( x ) 5 ( x + 1) 6 x 18 5x x 5x x 2

26 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números?

27 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555

28 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5

29 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b

30 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69

31 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69 a b 69 5a 8b 0

32 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69 a b 69 5a 8b 0 8a + 8b 552 5a 8b 0

33 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69 a b 69 5a 8b 0 8a + 8b 552 5a 8b 0

34 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 b 5 5 a 8b a b 69 a b 69 5a 8b 0 8a + 8b 552 5a 8b 0 a 552

35 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b 5 a a 8b a 184 a b 69 a b 69 8a + 8b 552

36 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b b 69 a a 8b a 184 a b 69 a b 69 8a + 8b 552

37 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b b 69 a a 8b b 115 a 184 a b 69 a b 69 8a + 8b 552

38 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b b 69 a a 8b b 115 a 184 a b 69 a b c 8a + 8b

39 Exercício E8 A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números? a + b + c 555 a 8 5a 8b 0 5a 8b 0 b b 69 a a 8b b 115 a 184 a b 69 a b 69 8a + 8b c 555 c 256

40 Proporção Múltipla a b Propriedade: c... d A soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente. m n a b + + c d m n a b c d... m n

41 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/.

42 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y 70

43 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y 70 x y 2

44 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70

45 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x y x 2

46 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x x 5 2

47 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x x x 140

48 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x x x 140 x 28

49 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x x x 140 x 28 x y y

50 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x x x 140 x 28 x + y y y 5

51 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y x x x 140 x 28 x + y y y 5 5 y 210

52 Exemplo : Determine dois números, sabendo que sua soma é 70 e que a razão entre eles é 2/. x + y x y x 2 2 y 70 x + y y y 5 5 x y 210 x 28 y 42 x + y x x 5 2

53 Grandezas diretamente proporcionais Exemplo 5: Sendo X e Y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b nas seqüências X (7, 9, b) e Y (21, a, 9).

54 Grandezas diretamente proporcionais Exemplo 5: Sendo X e Y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b nas seqüências X (7, 9, b) e Y (21, a, 9). Sendo k a razão de proporcionalidade k 21 7

55 Grandezas diretamente proporcionais Exemplo 5: Sendo X e Y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b nas seqüências X (7, 9, b) e Y (21, a, 9). Sendo k a razão de proporcionalidade 21 a k a

56 Grandezas diretamente proporcionais Exemplo 5: Sendo X e Y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b nas seqüências X (7, 9, b) e Y (21, a, 9). Sendo k a razão de proporcionalidade 21 a k a b 1 b

57 Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números:, 8 2, 5 4, 8 5

58 Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) 8, 2, 5 4, 8 5 8,, 4, 5 4,, 2, 5 2,,1, 5 1,,1, 5 1,1, 1,1, 1, 5 1,

59 Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) 120 8, 2, 5 4, 8 5 8,, 4, 5 4,, 2, 5 2,,1, 5 1,,1, 5 1,1, 1,1, 1, 5 1,

60 Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) , 8 2, 5 4, 8 5

61 Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) , 8 2, ,

62 Exercício E16: Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) , 8 2, ,

63 Exercício E16: P2 Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números: m. m. c.(8,,4,5) , 2, 5 4, 8 5

64 Grandezas inversamente proporcionais Exemplo 7: Determine os valores da a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais X(2,, b) e Y(15, a, 5).

65 Grandezas inversamente proporcionais Exemplo 7: Determine os valores da a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais X(2,, b) e Y(15, a, 5). Sendo k a razão de proporcionalidade K' 2 15 K' 0

66 Grandezas inversamente proporcionais Exemplo 7: Determine os valores da a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais X(2,, b) e Y(15, a, 5). Sendo k a razão de proporcionalidade K' 2 15 K' 0 a 0 a 10

67 Grandezas inversamente proporcionais Exemplo 7: Determine os valores da a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais X(2,, b) e Y(15, a, 5). Sendo k a razão de proporcionalidade K' 2 15 K' 0 a 0 a 5 b 0 b 10 6

68 Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em cotas, ficando, dessa forma o primeiro com e o segundo com cotas. Com quanto entrou cada um?

69 Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em cotas, ficando, dessa forma o primeiro com e o segundo com cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x º sócio x

70 Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em cotas, ficando, dessa forma o primeiro com e o segundo com cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x º sócio x x x

71 Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em cotas, ficando, dessa forma o primeiro com e o segundo com cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x º sócio x x x x 5 ( x ) 8 5

72 Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em cotas, ficando, dessa forma o primeiro com e o segundo com cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x º sócio 8x x 5x x x x 5 ( x ) 8 5

73 Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em cotas, ficando, dessa forma o primeiro com e o segundo com cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x º sócio 8x x 5x x x x x 5 ( x ) 8 5

74 Divisão em partes diretamente proporcional E19. Para montar um negócio, um dos dois sócios entra com R$12.000,00 a mais do que o outro. O capital é dividido em cotas, ficando, dessa forma o primeiro com e o segundo com cotas. Com quanto entrou cada um? 1º sócio x º sócio 8x x 5x x x x x 5 ( x ) x O 1º entrou com $2.000 e o 2º com $20.000

75 Regra da Sociedade E2. Uma máquina, que trabalhando sem interrupção fazia 90 fotocópias por minuto, foi substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia. O valor hora/máquina da 1ª é de R$560,00 e o da 2ª é de R$624,00. Quanto ficará fazer este trabalho com a 2ª máquina?

76 Regra da Sociedade E2. Uma máquina, que trabalhando sem interrupção fazia 90 fotocópias por minuto, foi substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia. O valor hora/máquina da 1ª é de R$560,00 e o da 2ª é de R$624,00. Quanto ficará fazer este trabalho com a 2ª máquina? 1ª máquina 90 cópias/min 5400 cópias/h 90 1,5 15 cópias 5400 :15 40 min 2ª máquina 15 cópias/min 5400 cópias/40 min

77 Regra da Sociedade PF E2. O valor hora/máquina da 1ª é de R$560,00 e o da 2ª é de R$624,00. Quanto ficará fazer este trabalho com a 2ª máquina? 1ª máquina 90 cópias/min 5400 cópias/h 2ª máquina 15 cópias/min 5400 cópias/40 min Custo da 1ª máquina por hora $560,00 Custo da 2ª máquina por hora $624, Custo da 2ª máquina por 40 $416,00

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