APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE

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1 Capítulo 5 APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE Neste capítulo apresentaremos diversos exemplos e algumas aplicações que envolvem os conceitos de limite e de continuidade, estudados anteriormente. Exemplo 5.1. [1] Uma montadora de computadores determina que um empregado após x dias de treinamento, monta m computadores por dia, onde: m(x) = 0x x + x + 5. Qual é ocomportamentode m = m(x)paratreinamentoslongos? Observe que: 0x lim m(x) = lim x + x + x + x + 5 = 0. Logo, após um longo treinamento, um empregado pode montar 0 computadores por dia Figura 5.1: Gráfico do exemplo[1]. 197

2 198 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE [] Ocustoparaproduzir xunidadesdeumcertoprodutoédadopor C(x) = 0.5x em reais. (a) Determine o custo médio quando x cresce. (b) Interprete o resultado. (a) Primeiramente, CM e (x) = C(x) x = x ; então: lim CM e(x) = lim x + x + [ x ] = 0.5. (b) Isto é, quando o bem em questão é produzido em grande escala o custo médio tende a estabilizar-se em 0.5 reais. CMe x Figura 5.: Gráfico do exemplo[]. [3] Um governo determina que o custo para despoluir x% de metais pesados que contaminam umareservadeáguadoceédadopor: medido em dólares. C(x) = 10000x 100 x, (a) Qual éocustoparaeliminar a metadedosmetaispesados? (b) Com dólares, que percentual da reserva fica despoluida? É economicamente viável despoluir totalmente a reserva? (a) Calculamos C(50) = US$ (b) Agora, devemos resolver a equação: = 10000x 100 x = x = %. Por outro lado, lim C(x) = +,; x 100

3 199 isto implica em que à medida que nos aproximamos para despoluir toda a reserva, os custos crescem arbitrariamente, isto é, é economicamente inviável, despoluir toda a reserva. C x Figura 5.3: Gráfico do custo para despoluir. [4] A função de produção de um certo bem em relação à quantidade de matéria prima, em quilogramas, é dada por: P(x) = x 4 x. Determine e interprete a produção quando se tem quilogramas de matéria prima. Como P = P(x) nãoestádefinidapara x =, devemoscalcular: isto é, são produzidas 4 unidades. lim P(x) = lim (x + ) = 4, x x Figura5.4: Comportamentode P = P(x). [5]Modelou-seaevoluçãodapopulaçãodeumacertacidade,após tanos,apartirde009por: E(t) = t t + t Determine o comportamento da população após t = 3, t = 5, t = 15 anos. Qual é o comportamento a longo prazo?

4 00 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE Como a função é contínua, primeiramente calculamos: t E(t) A longo prazo, temos que: [ lim E(t) = lim t ] t + t + t = t + 10 Istoé,alongoprazo apopulação fica estável Figura 5.5: Comportamento da população. 5.1 Juros Compostos Sabemos que se uma quantia A 0 é investida a uma taxa r de juros compostos,capitalizados m vezesao ano,osaldo A(t), após t anosédadopor: A = A 0 [1 + r m ]mt. Se os juros forem capitalizados continuamente, o saldo deverá ser: A = Analogamente, com a taxa efetiva: e o valor atual da quantia (desconto): lim A [ r ] mt [[ r ] m ] t = A0 lim 1 + = A0 e rt. m + m m + m A 0 = lim r ef = e r 1. m + lim A[ 1 + r ] mt = Ae rt. m + m

5 5.1. JUROS COMPOSTOS 01 Exemplo 5.. [1] Os juros de uma aplicação de renda fixa é de 6% ao ano, compostos diariamente. São aplicados R$100,00 neste fundo. Determine o ganho após 10 anos, considerando a taxa de 6% de juros compostos continuamente. Calculando diretamente A(t) = 100 e 0.06t,logo A(10) 18.1 reais Figura 5.6: Comportamento da aplicação. [] Considere um certo investimento que paga 14% de juros anuais sobre um depósito inicial der$3000. Os ganhosdaaplicação após5anosforam estimadospor: A = 3000( ) 5t, onde t é medido em anos. Calcule os ganhos trimestrais e diários da aplicação. Que acontece no caso de os juros serem aplicados continuamente? Devemos calcular A 1 = A t=1/4 (trimestral), A = A t=1/365 (diária) e o limite de A, respectivamente: A 1 = reais A = reais e A = reais A t Figura5.7: Gráfico de A = A(t).

6 0 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE Muitas funções utilizadas em Economia e em Administração não são contínuas e apresentam uma quantidade finita de pontos de descontinuidade. Por exemplo, a função de custo é frequentemente discreta devido à natureza dos bens que ela representa. Exemplo 5.3. [1] Um distribuidor de refrigerantes vende um certo tipo de refrigerante segundo a seguinte lista de preço: R$ 10 por caixa, na compra de até 30 caixas. R$ 8 por caixa, na compra de mais de30caixas emenosde70caixas. R$5porcaixa, nacomprademais de70caixas emenosque 150 caixas e R$4porcaixa,nacompraacima de150 caixas. Acheafunção querepresentaesta lista e esboce seu gráfico. Se x éaquantidadedecaixas e p opreçototal,afunção preçoé: 10x se 0 x 30 8x se 30 < x 70 p(x) = 5x se 70 < x 150 4x se 150 < x. p x Figura 5.8: Gráfico da função preço. [] Em geral os custos de produção diminuem quando aumenta a produção. Suponha que uma empresa tem a seguinte função de custo, para certo produto x: (a) Esboceográficode C = C(x). (b) Determine lim C(x), lim x 100 (a) Esboçode C = C(x): 1.x se 0 < x x se 100 < x 300 C(x) = 0.75x se 300 < x x se 600 < x. x 100 x 600 C(x), lim C(x)e lim + x C(x).

7 5.1. JUROS COMPOSTOS Figura 5.9: Gráfico de C(x). (b) lim C(x) = lim 1.x = 10, lim C(x) = lim 0.9x = 90 e x 100 x 100 x x 100 lim C(x) = lim 0.75x = 450, lim C(x) = lim 0.6x = 360 x 600 x 600 x x 600 [3] Umaempresatemcomo função decusto,paracertoproduto x: C(x) = (a) Esboceográfico de C = C(x). (b) Determine lim C(x)e lim C(x). x 10 x 10 + (c) C = C(x)écontínua? (a) Esboçode C = C(x): { x se 0 < x x + 14 se 10 < x Figura 5.10: Gráfico de C(x). (b) lim C(x) = lim x = 0 e lim C(x) = lim 0.6x + 14 = 0. x 10 x 10 x 10 + x 10 (c) Écontínua, pois C(10) = 0.

8 04 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE [4] Numa cidade se observa que a despesa de uma família com TV a cabo depende do tempo t, mensal, que os habitantes assistem TV e esta quantidade, em centenas de reais, é modelada por: 0 se 0 t < 0 P(t) = 0.1t se 0 t t 1000 se 100 < t. t Estude a continuidade da despesa P = P(t). A despesa de uma família é sensivelmente diferente se o tempo que assiste TV é ligeiramente inferior ou superior a 0 horas? E para 100 horas? Primeiramente calculamos: lim P(t)) = lim 0 = 0 t 0 t 0 lim P(t) = lim 0.1t = t 0 + t 0 Logo, a função é descontínua em t 0 = 0. Note que a mudança de gasto de uma família varia sensivelmente se as horas que assiste TV é ligeiramente inferior ou superior a 0 horas. Por outro lado, calculamos lim P(t)) = lim 0.1t = 10 t 100 t 100 lim P(t) = lim t t t 1000 t = 10 Logo, a função é contínua em t 0 = 100. Note que não existem mudanças de gasto quando a tempoemqueassistetv mudaligeiramente inferior a100 horasousuperiora 100 horas P t Figura5.11: Gráfico de P = P(t). [5] A despesa em artigos de limpeza, de certa família, depende de sua receita x, em centenas de reais. A despesa destes artigos é modelada por: 0.05x se 0 x 00 G(x) = 40x se 00 < x. x + 000

9 5.1. JUROS COMPOSTOS 05 (a) Estude a continuidade da despesa G = G(x). A despesa de uma família é sensivelmente diferente se sua receita é levemente inferior ou superior a 00 reais? (b) Podeuma família gastarmais doque0 reais? (a) Notequeoúnicopontoproblemático é x 0 = 00, entãodevemosestudar: lim G(x) = lim x 00 lim G(x) = lim x 00 + x x = 3 x 00 40x x = Logo, a função é descontínua em x 0 = 00. A mudança da despesa de uma família varia sensivelmente se sua receita é levemente inferior ou superior a 00 reais. (b) Por outro lado: 40x lim G(x) = lim x + x + x = 0. A função apresenta uma assíntota em y = 0; logo, nenhuma família pode gastar mais do que 0 reais em artigos de limpeza. G x Figura5.1: Gráfico de G = G(x). [6] A administração de um hospital vai implementar um novo sistema que pretende reduzir o tempo de espera para cirurgias. O seguinte modelo foi experimentalmente determinado para prever que em t meses o percentual de pacientes que podem ser operadossem entrar em lista deesperaé: t 8t + 50 se 0 t 10 h(t) = 38t 100 se 10 < t. 0.4t Estudeacontinuidadedafunção h. Qual éopercentualquenão poderánuncaseratingido? Notequeoúnico pontoproblemático é t 0 = 10; então,devemosestudar: lim h(t) = lim t 10 lim h(t) = lim t 10 + t 10 t 10 t 8t + 50 = 70 38t 100 = t

10 06 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE h(10) = 70. Logo,afunção écontínuaem t 0 = 10. Poroutrolado: 38t 100 lim h(t) = lim = 95. t + t + 0.4t A função apresenta uma assíntota em y = 95; logo, o percentual nunca poderá ultrapassar 95 %. h t Figura5.13: Gráfico de h = h(t). [7] Num certo país, o montante de impostos de renda T(x) devido por uma pessoa física que recebe x u. m. émodeladopor: 0.15x se 0 x < 5000 T(x) = (x 5000) se 5000 x < (x 60000) se x. Estudeacontinuidadedo impostode renda T = T(x). A rendade um contribuinte é sensivelmente diferente se sua receita é ligeiramente inferior ou superior a reais? Notequeospontosproblemáticos são x 0 = 5000 e x 1 = 60000; entãodevemosestudar: e lim T(x) = x 5000 lim T(x) = x lim T(x) = x lim T(x) = x lim x 5000 lim x 5000 lim x lim x x = 3750 [ ] (x 5000) = 3750 [ (x 5000) ] = 1500 [ (x 60000) ] = Logo, a função é contínua. As mudanças da renda do contribuinte não tem variação sensível sesuarendaélevementeinferiorou superiora60000 u.m.

11 5.. FUNÇÃO PARTE INTEIRA T x Figura5.14: Gráfico de T = T(x). 5. Função Parte Inteira Como vimos nos exemplos anteriores, muitas vezes é necessário representar uma situação que não é possível modelar através de funçãos contínuas. Neste sentido, a seguinte função é utilizada para modelar situações onde a variável independente é escalonada. Definamos aseguintefuncão: f : R Zpor: f(x) = maior{n Z /n x < n + 1}. Denotamos f(x) = [[x]]. Isto é, [[x]] denota o maior número inteiro n tal que n x < n + 1. Claramente esta função é descontínua. Note que [[x]] = 1 se 1 x < 0, [[x]] = 0 se 0 x < 1, [[x]] = 1se 1 x <, etc. Exemplo 5.4. [1] A função f(x) = [[x]] édescontínuaparacada k Z. De fato, se k Z, lim [[x]] = k 1 e lim [[x]] = k; logo, lim [[x]] não existe. Se k R Z, x k x k + x k então lim [[x]] existe. x k Figura5.15: Gráfico de f(x) = [[x]].

12 08 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE [] Suponhaqueafunção custoparaproduzir,emreais, certotipodeprodutoédadapor: C(x) = 0.34([[x]] + ), emmilhõesdereais. Esboceográfico de C = C(x). Como [[x]] = 0se 0 x < 1, [[x]] = 1se 1 x <, etc. Temos: x C(x) Figura5.16: Gráfico de C = C(x). [3] Serão aplicados R$ 5000 numa aplicação financeira que rende 15% ao ano com juros capitalizados trimestralmente. O montante após t anos pode ser calculado utilizando uma das seguintes fórmulas: A 1 = 5000( ) 4t ou A = 5000( ) [[4t]]. Que fórmula é mais conveniente utilizar após 10 dias de aplicação? As fórmulas são iguais se [[4t]] é inteiro. Em geral, A A 1 para todo t 0. Logo, é mais vantajoso utilizar A 1. Defato, calculando para t = 10/365: A 1 = e A = reais.

13 5.. FUNÇÃO PARTE INTEIRA Figura5.17: Gráficos de A 1 e A,respectivamente. [4] Uma refinaria de petróleo possui 10 torres de destilação. O custo para operar cada torre é deus$140 porsemanaeocustodamatériaprimaédeus$0.9porbarril depetróleorefinado. Cada torre pode processar matéria prima de modo a produzir barris por semana. Se as torres só são ativadas quando houver matéria prima, e se x é a quantidade de matéria prima, embarris, ocustodeproduçãoé: C(x) = 140( [[ x ]] + 1) + 0.9x Esboceográfico de C = C(x). Noteque a quantidade [[ x ]] [[ x ]] foi aumentada de 1, pois torresde destilação produzem no máximo x barris e que para qualquer produção adicional será necessário co meçar a operar com outra torre Figura 5.18: Gráfico de C = C(x). [5] A tarifa de uma ligação telefônica a longa distância noturna do Rio de Janeiro para New Yorké70 centavos dereal peloprimeiro minuto ede 50 centavos dereal porminuto ou fração de minuto adicional. A tarifa é modelada por: { 0.7 se 0 < t 1 T(t) = [[t + 1]] se 1 < t.

14 10 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE Determinequantosedevepagarporumaligação deminutose43segundos? Calculemos T(.43); como t > 1 utilizamos a parte da função T(t) = [[t + 1]]; logo T(.43) = [[3.43]] = =.. Deve pagarreais e 0centavos. T t Figura5.19: Gráficos de T = T(t). [6] Aquantidadedematériaprima deumacertaempresaémodeladapor: m(t) = 0 [ [[ t + ]] ] t. Esboce o gráfico de m = m(t) no intervalo [0,6) e determine quando a empresa deve repor o estoque. Note que: [[t + ]] [[ t ]] = 1 +. Então, [[ t + ]] [[t + ]] = 1 se, e somente se 0 t < ; = se, e somente se t < 4; [[t + ]] = 3se,esomentese 4 t < 6; logo: 0( t) se 0 t < m(t) = 0(4 t) se t < 4 0(6 t) se 4 t < 6 Ográfico de m = m(t)é:

15 5.. FUNÇÃO PARTE INTEIRA m t Por outro lado: lim t logo,devereporoestoqueacada anos. Figura5.0: Gráfico de T = T(t). t 4 t 6 m(t) = lim m(t) = lim m(t) = 0;

16 1 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE 5.3 Exercícios 1. A evolução notempo t dacapacidade deproduçãodeumafábrica édadapor: P(t) = (t 100). (a) Calcule P(10), P(0), P(50), P(100) e P(150). Expliqueoqueestáacontecendocom a produção. (b) Calcule lim t 100 P(t) (c) Calcule lim t 00 P(t);expliqueoresultado. (d) Esboceográfico de P.. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias, t minutos após a introdução de uma toxina, é dada pela função: (a) Calcule lim t 10 f(t). f(t) = (b) Calcule lim f(t)e lim f(t). t 5 t 5 + (c) Afunção f écontínuaem t = 5? { t + 7 se t < 5 8t + 7 se 5 t. (d) Explique por que a população deve ser de bactérias em algum momento entre t = 1et=7. (e)esboceográfico de f. 3. A pontuação num vestibular obtida por um estudante depende do tempo t, em horas, que dedicou ao estudo. Esta pontuação é modelada por: t V (t) = 3 t 0.t + 3 se 0 t 15 se 15 < t. (a) Estude a continuidade da função. (b) Justifique por que a pontuação não pode ultrapassar 15 pontos.

17 5.3. EXERCÍCIOS O preço atingido por certos artigos num leilão depende do número de pessoas interessadasnasuaaquisição. Opreçoédadopor: 5x + 5 se 0 x 10 P(x) = 38x se 10 < x. 9 Verifique se existe alguma variação importante quando o número de pessoas interessadas é ligeiramente superior a Numacidadeoconsumodeáguaémodeladoemfunçãodoconsumode xmetroscúbicos mensais por: 8 se x < 10 A(x) = 8 + (x 10) se 10 x < (x 0) se 0 x. (a) Estudeacontinuidadedoconsumodaágua A = A(x). (b) Analise seoconsumodeágua ésensivelmentediferentesesãogastosemtornode0 metros cúbicos de água. (c) Esboceográfico de A = A(x). 6. Onúmerodeunidadesdeum certoprodutomantidoemestoqueé dadopor: E(t) = 5 ( [[ ]] t + t ), 0 t 1. (a) Esboceográfico de E = E(t). (b) Comquefrequência aempresadevereporoestoque? (c) Calcule lim t 1 E(t). 7. Opreçodeum certoprodutoé p(x) = [[ ]] [ [[ ]] x x x onde x o número de produtos vendidos. Determine lim p(x) e lim p(x); o que podemos x 16 x 16 + concluir? 8. Um acordo coletivo dos empregados de uma empresa garante um aumento anual de 11% durante os próximos 10 anos. Se o salário anual dos empregadosé1000 dólares e se tal situação é modelada por: s(t) = [[t]], (a) esboce o gráfico do salário. (b) determineosalário após8anos.

18 14 CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DE LIMITES E CONTINUIDADE 9. O número de pessoas infectadas por uma epidemia de dengue é modelada por: (a) Esboceográfico de d = d(t). d(t) = 30t t t + 4. (b) A epidemia de dengue passará a longo prazo? Justifique sua resposta. 10. Definamos e denotemos o lucro médio por: LMe(x) = L(x) x R(x) C(x) =. x (a) Umaempresafabrica um produtoaumcustounitário de0.15 u. m. e ovendea0.9u. m. a unidade;. Se a empresa invistiu u. m. para fabricar o produto., determine o lucro médio,para e 0000 unidades. Qual éolucro médio alongoprazo? (b) Se o custo de uma empresa é dado por C(x) = 1.5 x + 1.5x + 10 e a receita é dada por R(x) =.7x, esboceográficodolucro médio.