ELEMENTOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 ELEMENTOS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA Rogério Rodrigues Uma perspectiva pedagógica geral de construção do conhecimento e, portanto, da aprendizagem, é o raciocínio orientado na direção desse conhecimento, contando-se com uma boa dose de intuição, esta consequentemente originada a partir de toda a vivência do estudante. Em outras palavras, a aprendizagem se efetiva e se consolida em caráter permanente, quando o olhar sobre o conhecimento é natural, despido da exagerada carga acadêmica. Obviamente, a sistematização posteriormente executada também favorecerá a aquisição de outros conhecimentos. É incontestável a ideia de que nossos antepassados construíram o conhecimento que nos legaram, contando com a experiência prática voltada para a sobrevivência aliada a uma ferramenta supostamente exclusiva de sua espécie: a inteligência e dela a capacidade de avaliação e juízo. Imaginamos cientistas como Laplace, Chió, Gauss e Jacobi como gente bem comportada e alheia à vida comum dos simples mortais, mas a maioria deles descobriu ciência a partir de suas experiências corriqueiras, até mesmo no lazer. A famosa Teoria dos Jogos, deflagrada por James Waldegrave, em 1713, apesar da origem e do nome, acabou criando as bases lógicas para tomadas de decisão em Economia, por exemplo. O princípio Fundamental da contagem, cuja compreensão é naturalmente efetivada a partir de uma árvore de possibilidades, é uma ferramenta que de ingênua só tem a cara. Pode-se resolver a grande maioria dos problemas de Análise Combinatória usando-se esse princípio.

2 Trata-se de um conceito que, na verdade, todos usam na vida. Por exemplo, se alguém tem 2 calças e 3 camisas, de quantos modos poderá se vestir com uma calça e uma camisa? Sem pestanejar, qualquer pessoa responderia 6. Academicamente essa questão geraria uma árvore de possibilidades como esta CALÇAS CAMISAS ESCOLHA S 1 C 1 S 1 C 1 S 2 C 1 S 2 S 3 C 1 S 3 S 1 C 2 S 1 C 2 S 2 C 2 S 2 S 3 C 2 S 3 NÚMERO DE CALÇAS (2) x NÚMERO DE CAMISAS(3) = 6 ESCOLHAS Situações e contextos simples como esse podem introduzir o estudante no universo lógico do Princípio da contagem, em sua face multiplicativa, de um modo fluente e conceitual.o princípio aditivo pode ser posteriormente introduzido num contexto que o convoque naturalmente: Ao fazer um determinado prato, um chef de cozinha executa quatro operações A, B, C e D. Essas operações podem ser executadas em qualquer ordem, desde que a operação C só aconteça depois que A tiver acontecido. Em quantas sequências de operações diferentes esse prato pode ser feito?

3 Há três possibilidades para a operação A, portanto três árvores : 1ª ÁRVORE: A como 1ª operação OP. 1 OP. 2 OP.3 OP. 4 SEQUÊNCIA B C D ABCD D C ABDC A C B D ACBD D B ACDB D B C ADBC C B ADCB 1 X 3 X 2 X 1 = 6 (Princípio Multiplicativo) 2ª ÁRVORE: A como 2ª operação OP. 1 OP. 2 OP.3 OP. 4 SEQUÊNCIA B A C D BACD D C BADC D A C B DACB B C DABC 2 X 1 X 2 X 1 = 4 (Princípio Multiplicativo)

4 3ª ÁRVORE: A como 3ª operação OP. 1 OP. 2 OP.3 OP. 4 SEQUÊNCIA B D A C BDAC D B A C DBAC 2 X 1 X 1 X 1 = 2 (Princípio Multiplicativo) TOTAL DE SEQUÊNCIAS = = 12 (Princípio Aditivo) Posteriormente, introduz-se a diferenciação entre os ddois tipos básicos de agrupamentos: ARRANJOS e COMBINAÇÕES. é conveniente usar, como exemplos, dois contextos com uma similaridade quantitativa e semântica: a) Usando-se apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, sem repetição, quantos numerais de três algarismos se pode formar? b) De quantos modos se pode escolher 3 alunos num grupo de 4? É notável a similaridade dos dois exemplos. Em ambos, tem-se à disposição um conjunto com 4 elementos, dos quais se deve escolher 3. As árvores de possibilidades serão assim :

5 a) 1 o algarismo 2 o algarismo 3 o algarismo numeral X 3 X 2 = 24 numerais (Princípio Multiplicativo)

6 b) ) 1 o aluno esc. 2 o aluno esc. 3 o aluno esc. trio esc. B C ABC D ABD A C B ACB D ACD D B ADB C ADC C BAC A D BAD A BCA B C D BCD A BDA D C BDC B CAB A D CAD A CBA C B D CBD A CDA D B CDB B DAB A C DAC A DBA D B C DBC A DCA C B DCB Observe-se que : 1 o ) A estrutura da árvore é idêntica à interior.é fácil, num equívoco, afirmar-se que a resposta numérica é a mesma. 2 o ) Entretanto, cada trio escolhido aparece repetido 6 vezes, pois ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA, por exemplo, representam o mesmo trio, já que os alunos são os mesmos (A, B e C). Os trios de mesma cor são

7 formados com os mesmos alunos. Observe que o número de repetições é igual a = 3! = fatorial de 3 = 6 (fatorial do número de etapas). A justificativa é assim enunciada: Um conjunto de três elementos pode seer ordenado de 3! modos. Veja-se a árvore: primeiro segundo terceiro ordenação A B B C ABC C B ACB A C BAC C A BCA C A B CAB B A CBA TOTAL DE ORDENAÇÕES = 6 Em geral: Um conjunto de n elementos pode ser ordenado de n! modos. Voltando ao problema, tem-se que corrigir as repetições, dividindose o resultado da árvore pelo número de repetições: Número de escolhas do trio =

8 Então, vê-se que a diferença básica entre os dois problemas é a importância da ordenação dos elementos. Pode-se enunciar: Dado um conjunto com n elementos A = {x 1,x 2, x 3,..., x m,..., x 0,..., x n }, formam-se todos os subconjuntos possíveis com p elementos de A, p n. Se dois subconjuntos quaisquer diferenciam-se apenas pela ordem de seus elementos, cada subconjunto é uma COMBINAÇÃO, caso contrário,cada subconjunto é um ARRANJO. Pode-se desenvolver um processo de cálculo: Sejam A n,p = arranjos de n elementos de p em p e C n,p = combinações de n elementos de p em p. Nos casos anteriores, teve-se, respectivamente A 4,3 = 24 numerais e C 4,3 = 4 trios. Pelas árvores e pelo Princípio multiplicativo, tem-se A 4,3 = =, ou seja, A n,p = C 4,3 =, ou seja, C n,p = EXEMPLOS: 1) Cinco cavalos disputam um páreo, que classifica os três primeiros lugares e os premia de acordo com a classificação. a) Quantos são os resultados possíveis? b) Se o cavalo de nome Black king será classificado, quantos são os resultados possíveis? Resolução: a) Pelo Princípio da contagem, tem-se

9 1 o LUGAR 2 o LUGAR 3 o LUGAR = 60 resultados possíveis, já que duas possíveis classificações diferenciam-se apenas pela ordem: cavalos A,B e C podem chegar na ordem ABC ou BCA, que neste caso são diferentes, é um problema de ARRANJO. Esse problema poderia ser resolvido pela fórmula A 5,3 = = 60 resultados possíveis. b) Black king pode ser classificado em 1 o LUGAR: Black king = 12 modos 2 o LUGAR: Black king = 12 modos 3 o LUGAR: Black king = 12 modos TOTAL DE MODOS = = 36. Cada um dos diagramas acima é A 4,2 e a solução é 3. A 4,2 = 3. = 3, 12 = 36. 2) Um bufet dispõe de 3 cozinheiras, 5 copeiras e 6 garçons. Para uma determinada festa, o gerente do bufet precisa de 2 cozinheiras, 2 copeiras e 3 garçons. De quantos modos pode-se montar essa equipe?

10 RESOLUÇÃO: São três etapas de escolha: cozinheiras, copeiras e garçons. Em cada etapa, a ordem dos elementos escolhidos não importa, é um problema de COMBINAÇÃO. pelo Princípio da Contagem, tem-se C O Z I N H E I R A S C O P E I R A S G A R Ç O N S ! 2! 3! NÚMERO DE MODOS = = 600. Trata-se de C 3,2. C 5,2. C 6,3 = = = 600. Algumas considerações cabem agora: 1 o ) Observe-se que, por exemplo, que de acordo com o princípio da contagem A 7,4 = (n = 7, p = 4 e n - p +1= 4 último termo do produto) A 9,5 = (n = 9, p = 5 e n - p +1= 5 último termo do produto) A 10,3 = (n = 10, p = 3 e n - p +1= 8 último termo do produto)... A n,p = n.(n -1).(n - 2).(n - 3)...(n - p + 1), que é outra fórmula para arranjos. Multiplicando-se e, ao mesmo tempo, dividindo-se o segundo membro por (n - p)!, tem-se a fórmula anteriormente mostrada: n.(n -1).(n - 2).(n - 3)...(n - p + 1).(n - p)! n! A n,p = = (n - p)! ( n - p)! 2 o ) Se o número de elementos p de cada arranjo for igual ao número de elementos disponível n para formá-los, o tipo de agrupamento recebe o nome de PERMUTAÇÃO.

11 Então, a permutação de n elementos P n = A n,n = = n!. EXEMPLOS : 1) Seis pessoas aguardam o atendimento em uma repartição pública. De quantos modos a fila para o atendimento pode ser formada? Resolução : São seis pessoas para formar a fila. Então, - Pelo Princípio da contagem, tem- se Posição 1 Posição 2 Posição 3 Posição 4 Posição 5 Posição Ou pela fórmula, P 6 = 6! = = 720 modos. 2) As senhas de abertura do cofre de um banco mudam diariamente e são assim determinadas: sorteia-se um dia aleatório de um ano qualquer, mesmo do passado ou do futuro; com os oito algarismos dessa data, sorteia-se então uma de suas permutações e esta será a senha do dia.se a data sorteada for 25 de dezembro de 1925, a) quantas senhas poderão ser geradas? b) qual é a probabilidade de a senha ser um número em que os algarismos repetidos apareçam juntos em qualquer ordem? Resolução: A data em questão é 25/12/1925 ou seja, Observe-se que são 8 algarismos com repetição de dois algarismos iguais a 1, três iguais a 2 e dois iguais a 5.

12 Neste caso, chamado de PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO,corrige-se cada repetição, dividindo-se a permutação simples pelo fatorial de cada repetição, uma vez que cada repetição a gera a! de posições idênticas. Então, a)no presente problema, senhas b) O formato descrito é como a senha ; então o número de senhas desse formato é = 420. Logo, a probabilidade pedida é de = 25%. 3 o ) Há também COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO ou COMBINAÇÃO COMPLETA Exemplo : (CEFET - MG) - Um bar vende três marcas de cerveja K, L e M. De quantos modos se pode comprar 4 cervejas neste bar? Resolução: Em cada linha do quadro a seguir, cada coluna é uma garrafa de cerveja ou um sinal + (de soma). Configuremos, assim, algumas soluções deste problema, uma em cada linha:

13 Verifique-se que qualquer solução que se escreva é uma sequência de 6 objetos dos quais 4 são garrafas, 2 são sinais de +. Pensando de modo invertido, dada uma sequência de 4 garrafas, separá-las em 3 grupos com dois sinais de +. Pode-se ter, por exemplo M

14 Trata-se, então, de uma permutação de 6 elementos com repetições de 4 e de 2, ou seja = = 15 modos de comprar 4 cervejas. em geral, dados n elementos para combinar de p em p (n p), TEM-SE = = 4 o ) E a PERMUTAÇÃO CÍCLICA, o que é? Exemplo : De quantos modos 6 pessoas podem ocupar os seis lugares de uma mesa redonda?

15 Resolução: F A E B D C Quando os elementos das posições A,B,C,D.E e F avançam, no sentido horário ou anti-horário, o mesmo número de posições, nada, de fato, está mudando, pois o antecedente e o e o consecutivo de cada elemento permanecem os mesmos. Para haver disposições realmente diferentes, é preciso fixar uma das posições e permutar as restantes, ou seja, = (n - 1)! Para o presente exemplo, tem-se (6-1)! = 5! = 120 modos. QUESTÕES DE VESTIBULARES : 1) (CESCEA) Um automóvel é oferecido pelo fabricante com 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões standard, luxo e superluxo, quantas são as alternativas para o comprador? 2) (MACK-SP) Se uma sala tem 8 portas, qual é o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente?

16 3) (UFMG) Um teste é composto de 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se obter, pelo menos, 80% dos acertos, qual é o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas? 4) (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Neste caso, qual é o número de maneiras diferentes de se fazer a programação da semana? 5) ( UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de Segunda a Sextafeira, estas cinco atividades: a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola; b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; c) passeia com o cachorro da família; d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; e) rega as plantas de jardim de sua casa. Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá-las em uma ordem diferente. Nesse caso, qual é o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades? 6) (UFCE) Qual é a quantidade de números inteiros compreendidos entre e que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos?

17 7) (UnB DF) Seis pessoas A, B, C, D, E e F - ficam em pé uma ao lado da outra para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em ficar em pé uma ao lado da outra, qual é o número de possibilidades para as seis pessoas se disporem? 8) (FGV-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetir algarismo num mesmo número, podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8? 9) (MACK-SP) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles o restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, qual é o número de modos diferentes para se montar a composição? 10) (UFBA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez. Combinaram também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. Qual é o número de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante a viagem? 11) (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?

18 12) (UFMG) Dadas duas retas paralelas, marcam-se 7 pontos sobre uma e 4 sobre a outra. Qual é o número de triângulos que podemos formar ligando esses 11 pontos? 13) (UFMG) Numa competição esportiva, dez atletas disputam os três primeiros lugares Admitindo que não haja empate, quantos resultados são possíveis para as três primeiras colocações? 14) (PUC-MG) Qual é o valor de n na equação n! (n -1)! (n 1)! - n! 6 25? 15) (CESCEM-SP) As placas dos automóveis são formadas por duas letras e quatro algarismos. Qual é o número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, Sem repetir nenhum algarismo? 16) (UFBA) Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a tesoureiro. Qual é o número de resultados possíveis para essa eleição? 17) (UFCE) O mapa de uma cidade é formado por 6 bairros distintos. Deseja-se pintar esse mapa com as cores vermelha, azul e verde do seguinte modo: um bairro deve ser vermelho, dois bairros azuis e os demais verdes. De quantos modos distintos isso pode ser feito? 18) (ITA-SP)- Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco) algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, qual será a posição do número ) (FGV-SP) Quantos anagramas da palavra sucesso começam com s e terminam com o?

19 20) ( FEI-SP) Quantas diagonais possui um dodecágono? 21) (PUC MG) - Os habitantes de certa ilha têm predileção por uma loteria na qual o jogador deve escolher pelo menos 5 das 35 letras que compõem o alfabeto utilizado no lugar. Vence o jogo quem acertar as 5 letras sorteadas independentemente da ordem do sorteio. Pela aposta em uma quina, o jogador paga um pin, unidade monetária da ilha. Caso um apostador decida aumentar suas chances de ganhar marcando 7 letras, quanto deverá pagar pelo jogo, em pins? 22) (PUC MG) - As portas de acesso de todos os apartamentos de certo hotel são identificadas por meio de números ímpares formados com 3 elementos do conjunto M = {3, 4,6,7,8}. Nessas condições, qual é o número máximo de apartamentos desse hotel? 23) (PUC MG) - Com os elementos de A = {0,2,5,6}, é possível formar x números naturais compreendidos entre 100 e 1000, sem que haja algarismos repetidos em um mesmo número. Sendo assim, qual é o valor de x? 24) (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. Qual é o número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha?

20 25) (UFMG) Na figura a seguir, qual é o número de ligações distintas entre X e Z? 26) (UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro jogadores repartem entre si essas 28 peças, ficando cada um com 7 peças. De quantas maneiras distintas se pode fazer tal distribuição? 27) (UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila? 28) (UFMG) - A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se formar uma comissão de oito integrantes, composta de um presidente, um vicepresidente, um secretário, um tesoureiro e quatro conselheiros. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode compor essa comissão?

21 29) (UFMG) - A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? 30) (CEFET - MG) - Em um bar vende-se três tipos de cervejas: S, B e K. Qual é o número de maneiras diferentes que uma pessoa pode comprar quatro garrafas dessas cervejas? 31) (CEFET - MG) - Um teste possui 10 questões com apenas duas opções de respostas: (V) verdadeira ou (F) falsa. Para se obter pelo menos 70% de acertos, qual é o número de maneiras diferentes de marcar o gabarito? 32) (CEFET - MG) - De um pequeno aeroporto saem 7 vôos por dia, com diferentes destinos, sendo 3 pela manhã e 4 à tarde. Por motivos técnicos, dois desses sete vôos só podem sair à tarde. Qual é o número de ordens possíveis para as decolagens? 33) (CEFET - MG) - Num plano, existem vinte pontos dos quais três nunca são colineares, exceto seis que estão sobre uma mesma reta. Qual é o número total de retas determinado pelos vinte pontos? 34) (CEFET - MG) - Para se compor uma diretoria são necessários 6 membros, sendo um presidente e um vice-presidente. Sabendo-se que 9 pessoas se candidataram aos cargos, qual é o número de maneiras distintas para se pode formar essa diretoria?

22 35) (CEFET - MG) -A senha de um banco é constituída de 4 algarismos escolhidos entre os 10 de 0 a 9, seguidos de 3 letras dentre as 26 do alfabeto. Um cliente, ao determinar sua senha, decidiu que a parte numérica começaria por algarismo par e terminaria por algarismo ímpar, e que a parte literal teria início e término com vogal. Qual é o número de possibilidades que esse cliente poderia criar para sua senha? 36) (CEFET - MG) - O Conselho de Administração de um sindicato é constituído por dez pessoas, das quais uma é o presidente. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos pelos conselheiros, sendo que o presidente do conselho e o da diretoria não devem ser a mesma pessoa. Calcule o número de maneiras diferentes para compor os cargos. 37) No cartão da mega sena existe a opção de aposta em que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita usando apenas seis números, calcule a quantidade de cartões que o apostador deve apostar. 38) Calcule o número de anagramas da palavra CONJUNTO que começam por C e terminam por T.

23 39) Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso, a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Calcule o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação. 40) Se os telefones de uma certa vila devem ter números de 5 algarismos, todos começando com 23 e todos múltiplos de 5,.calcule o número máximo de telefones que a vila pode ter. 41) Sabendo que x IN, determine o conjunto verdade ou solução da equação ( x 2)!(2x 2)! (2x 1)! ( x 1) x! 40 42) São dados 10 pontos num plano, dos quais 8 sobre uma mesma reta r e os outros 2 não alinhados com qualquer um dos oito pontos sobre a reta r. Quantos diferentes triângulos e retas podem ser formados usando os pontos dados como vértices? 43) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, Determine o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem.

24 RESPOSTAS : 1) 42 2) 56 3) 576 4) 720 5) 60 6) 66 7) 144 8) 840 9) ) 24 11) 55 12) ) ) n = 5 15) ) 72 17) 60 18) 76 a 28! 19) 60 20) 54 21) 21 22) 50 23) 18 24) 71 25) 41 26) 4 (7!) (5!) 3.3! 28) 14! 4!.6! 29) 55 30) 15 31) ) ) ) ) ) ) 28 38) ) ) ) S ={3} 42) 18 retas e 64 triângulos 43) 7 modos. 27)

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