Permutação a) b) c) 256 d) 120 e) 56

Transcrição

1 Permutação (Espcex (Aman) 2016) Da análise combinatória, pode-se afirmar que a) o número de múltiplos inteiros e positivos de 11, formados por três algarismos, é igual a 80. b) a quantidade de números ímpares de quatro algarismos distintos que podemos formar com os dígitos 2, 3, 4, 5 e 6 é igual a 24. c) o número de anagramas da palavra ESPCEX que têm as vogais juntas é igual a 60. d) no cinema, um casal vai sentar-se em uma fileira com dez cadeiras, todas vazias. O número de maneiras que poderão sentar-se em duas cadeiras vizinhas é igual a 90. e) a quantidade de funções injetoras definidas em A {1, 3, 5} com valores em B {2, 4, 6, 8} é igual a (Upf 2016) Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A a B é: a) b) c) 256 d) 120 e) (Imed 2016) O número de candidatos inscritos para realização do último vestibular de verão, em um determinado curso, corresponde ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR que começam por VE e terminam por AR. Esse número é igual a: a) 120. b) 240. c) 360. d) 540. e) Página 1 de 6

2 4. (Epcar (Afa) 2016) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes numeradas de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas e sem numeração. A quantidade de formas distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas é a) 8 7! b) 7! c) 5 4! d) 10! 5. (Uerj 2015) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: (B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C) O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: a) 6 b) 90 c) 180 d) (Upe 2015) A vendedora de roupas está arrumando os cabides da vitrine de uma loja. Ela deve pendurar 5 camisas, 3 bermudas e 2 casacos na vitrine, de modo que cada peça fique uma do lado da outra sem sobreposição. Quantas são as disposições possíveis nessa arrumação, de modo que as peças de um mesmo tipo fiquem sempre juntas, lado a lado na vitrine? a) 30 b) 120 c) d) e) (Pucrj 2015) A quantidade de anagramas da palavra CONCURSO é: a) 2520 b) 5040 c) d) e) (Pucrs 2015) Um fotógrafo foi contratado para tirar fotos de uma família composta por pai, mãe e quatro filhos. Organizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos entre os pais. Mantida essa configuração, o número de formas em que poderão se posicionar para a foto é a) 4 b) 6 c) 24 d) 36 e) 48 Página 2 de 6

3 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia atentamente o texto abaixo para responder à(s) questão(ões). Agora todo mundo tem opinião Meu amigo Adamastor, o gigante, me apareceu hoje de manhã, muito cedo, aqui na biblioteca, e disse que vinha a fim de um cafezinho. 1 Mentira, eu sei. 2 Quando ele vem tomar um cafezinho é porque está com alguma ideia borbulhando em sua mente. E estava. 3 Depois do primeiro gole e antes do segundo, café muito quente, ele afirmou que concorda plenamente com a democratização da informação. Agora, com o advento da internet, qualquer pessoa, democraticamente, pode externar aquilo que pensa. 4 Balancei a cabeça, na demonstração de uma quase divergência, e seu 5 espanto também me espantou. Como assim, ele perguntou, está renegando a democracia 6? Pedi com modos a meu amigo que não 7 embaralhasse as coisas. Democracia não é um termo 8 divinatório, que se aplique sempre, em qualquer situação. Ele tomou o segundo gole com certa avidez e 9 queimou a língua. Bem, voltando ao assunto, nada contra a democratização dos meios para que se divulguem as opiniões, as mais diversas, mais esdrúxulas, mais inovadoras, e tudo o mais. É um direito que toda pessoa tem 10 : emitir opinião. O que o Adamastor não sabia é que uns dias atrás andei consultando uns filósofos, alguns antigos, outros modernos, desses que tratam de um 11 palavrão que sobrevive até os dias atuais: gnoseologia. Isso aí, para dizer teoria do conhecimento. Sim, e daí? 12, ele insistiu. O mal que vejo, continuei, não está na 13 enxurrada de opiniões as mais isso ou aquilo na internet, e principalmente com a chegada do Facebook. Isso sem contar a imensa quantidade de textos 14 apócrifos, muitas vezes até opostos ao pensamento do presumido autor, falsamente presumido. A graça está no fato de que todos, agora, têm opinião sobre tudo. Mas isso não é bom? O gigante 15, depois da maldição de Netuno 16, tornou-se um ser impaciente. O fato, em si, não tem importância alguma. O problema é que muita gente lê a enxurrada de bobagens que aparecem na internet não como opinião, mas como conhecimento. O Platão, por exemplo, afirmava que opinião (doxa) era o falso conhecimento. O conhecimento verdadeiro (episteme) depende de estudo profundo, comprovação metódica, teste de validade. Essas coisas de que se vale em geral a ciência. O mal que há nessa democratização dos veículos é que se formam crenças sem fundamento, mudam-se as opiniões das pessoas, afirmam-se absurdos em que muita pessoa ingênua acaba acreditando. Sim, porque estudar, comprovar metodicamente, testar a validade, tudo isso dá muito trabalho. O Adamastor não estava muito convencido da 17 justeza dos meus argumentos, mas o café tinha terminado e ele se despediu. Texto de Menalton Braff, publicado em 03 de abril de Disponível em: < Acesso em: 20 abr (G1 - ifsul 2015) Observando o texto Agora todo mundo tem opinião, o número de anagramas que formamos com o nome do gigante é a) b) c) d) Página 3 de 6

4 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Falsa. O menor múltiplo de 11 de três algarismos é o 110 e o maior número múltiplo de 11 com 3 algarismos é 990. Temos então uma P.A. de n termos, de razão 11, primeiro termo igual a 110 e último termo igual a (n 1) 11 n 1 80 n 81. [B] Falsa, pois a quantidade correta é [C] Falsa. A quantidade correta é 5! 120. [D] Falsa, pois existem 9 lugares para o casal se sentar em duas cadeiras vizinhas, sem esquecer a permutação das pessoas que formam o casal, temos 9 2! 18. Verdadeira. O número de funções injetoras de A em B será dado pelo arranjo de 4 elementos três a três: A ,3 Resposta da questão 2: α, β, θ,... n! 5,3 8! Pn P8 56 α! β! θ!... 5! 3! Resposta da questão 3: Permutando as letras S, T, I, B, U, L, temos, uma permutação simples: VE AR P6 6! Página 4 de 6

5 Resposta da questão 4: [A] Pode-se extrair do enunciado que: 3 bolas amarelas A 1, A 2, A3 3 bolas verdes V 1, V 2, V3 4 bolas coloridas C 1, C 2, C 3, C4 Importante ressaltar que, embora as 4 bolas coloridas não sejam numeradas, elas são todas distintas entre si. Matematicamente, não importa se estas são distintas por cores ou numeração, motivo pela qual elas foram nomeadas como C 1, C 2, C3 e C 4. Os conjuntos de mesmo número devem ficar juntos, porém o enunciado é claro em afirmar a quantidade de formas distintas ou seja, a ordem é importante. Pode-se reorganizar as 10 bolas, considerando que as de mesma numeração fiquem juntas, em 7 blocos. Para ilustrar melhor, pode-se identificar a primeira maneira de enfileirar as 10 bolas: A1V1 A2V2 A3V3 C1 C2 C3 C 4 Daí, nota-se que o número de maneiras de enfileirar estes 7 blocos identificados seria permutação de 7, ou seja 7!. Porém, é preciso lembrar que os blocos com elementos de mesma numeração também podem ser permutados, pois como já vimos, a ordem é importante. Assim, o número de maneiras que podemos permutar esses elementos isoladamente será: AV permutação de 2, ou seja, 2! A2V2 permutação de 2, ou seja, 2! A3V3 permutação de 2, ou seja, 2! Assim, o número de maneias distintas de se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas será: ! 8 7! Resposta da questão 5: [B] Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é dado por (2, 2, 2) 6! P ! 2! 2! Resposta da questão 6: Supondo que as peças de um mesmo grupo (camisas, bermudas e casacos) sejam distinguíveis, há P5 5! 120 maneiras de arrumar as camisas, P3 3! 6 modos de arrumar as bermudas e P2 2! maneiras de arrumar os casacos. Além disso, ainda podemos arrumar os 3 grupos de P3 3! 6 modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado pedido é Página 5 de 6

6 Resposta da questão 7: [C] A palavra CONCURSO possui 8 letras, sendo que as letras C e O aparecem duas vezes cada. Para determinar o número de anagramas desta palavra deveremos usar permutação com repetição. 2,2 8! P ! 2! Resposta da questão 8: Há 2 possibilidades para o posicionamento dos pais e P4 4! 24 modos de posicionar os filhos. Desse modo, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado é Resposta da questão 9: [A] Pelo texto sabe-se que o gigante é o amigo Adamastor. A palavra ADAMASTOR possui 9 letras, sendo 3 delas iguais (3 letras A). Assim, o número de anagramas possíveis com a palavra ADAMASTOR é igual a permutação de 9 letras divido pela permutação de 3 letras: P ! P3 3! Página 6 de 6