PROBABILIDADE. Adriane Violante de Carvalho Ramos

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1 PROBABILIDADE Adriane Violante de Carvalho Ramos

2 . INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE..... DEFINIÇÕES INICIAIS EXPERIMENTO EVENTO EVENTO SIMPLES ESPAÇO AMOSTRAL..... DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE DEFINIÇÃO CLÁSSICA DEFINIÇÃO COMO FREQÜÊNCIA RELATIVA TIPOS DE EVENTOS EVENTOS COMPLEMENTARES EVENTOS COMPOSTOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES EVENTOS INDEPENDENTES.... AXIOMAS DE PROBABILIDADE TEOREMAS DE PROBABILIDADE TEOREMA DA SOMA PROBABILIDADE CONDICIONAL..... TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO..... TEOREMA DE BAYES E PARTIÇÕES.... VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DEFINIÇÃO FUNÇÃO DE PROBABILIDADE PARÂMETROS DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA MÉDIA OU ESPERANÇA MATEMÁTICA VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA E DISTRIBUIÇÃO MARGINAL PARÂMETROS DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA COVARIÂNCIA CORRELAÇÃO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES... 7

3 6. ALGUNS MODELOS DE PROBABILIDADES DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL OU DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI DISTRIBUIÇÃO DE POISSON DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO DISTRIBUIÇÃO NORMAL NÃO PADRÃO TESTE DE HIPÓTESES DEFINIÇÃO DE HIPÓTESE: HIPÓTESE NULA E HIPÓTESE ALTERNATIVA ERROS DO TIPO I E II TESTES UNILATERAL E BILATERAL... BIBLIOGRAFIA... 5

4 . Introdução a Probabilidade.. Definições Iniciais... Experimento Qualquer processo que permita ao pesquisador fazer observações.... Evento Coleção de resultados de um experimento.... Evento Simples Qualquer resultado que não comporta decomposições. Se o evento permitir decomposições ele é dito composto.... Espaço Amostral Consiste de todos os eventos simples de um experimento. Exemplo : Experimento: arremesso de um dado. Evento simples: face Espaço amostral: EA {,,,, 5, 6} Exemplo : Experimento: arremesso de um par de dados Evento composto: resultado 7. Esse resultado pode ser obtido através de vários eventos simples: (,6), (,5), (,), (,), (5,), (6,) Espaço amostral: EA {(,), (,), (,), (,), (,5), (,6),...,(6,),(6,), (6,5)} num total de 6 eventos. NOTAÇÃO: P probabilidade A) probabilidade de ocorrer o evento A Os eventos serão sempre denotados por letras maiúsculas.

5 QUESTÃO: Como saber o número de elementos do espaço amostral? Basta tomarmos a quantidade de eventos simples do experimento elevado ao número de vezes que o experimento será feito. Exemplo : No arremesso de dados devemos tomar a quantidade de faces do dado 6 e elevá-lo a que é a quantidade de vezes que o dado será lançado, assim 6 6 e, portanto esse experimento terá 6 eventos simples. Exemplo : No lançamento de moedas teremos eventos, pois temos possibilidades na moeda (cara ou coroa) sendo lançada vezes... Definição de Probabilidade Existem duas definições para Probabilidade: a definição clássica e a definição como uma freqüência relativa.... Definição Clássica Suponha que um experimento tenha n eventos simples, cada um com a mesma chance de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em s eventos dentre as n maneiras possíveis, então: número de maneiras que A pode ocorrer s P ( A) número total de eventos simples n Exemplo 5: Joga-se um dado não viciado uma vez. Qual a probabilidade de ocorrer a face? EA {,,,, 5,6} n 6 Evento A face s P ( A) 0,666 ou 6,66% 6 Exemplo 6: Ao lançarmos uma moeda honesta vezes, qual a probabilidade de dar caras? Para facilitar denotaremos cara c e coroa k. EA {ccc, cck, ckc, ckk, kkk, kkc, kck, kcc} n A caras s P ( A) 0,75 ou 7,5% 5

6 ... Definição como Freqüência Relativa Realize um experimento um grande número de vezes e conte quantas vezes o evento A ocorre. Então A) é estimada como: número de ocorrências do evento A P ( A) número de repetições do experimento Exemplo 7: Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser atingida por um raio? Nesse caso não temos a mesma probabilidade para os dois casos possíveis: ser atingido por um raio e não ser atingido por um raio. Assim precisamos usar a definição como freqüência relativa, para isso devemos recorrer a um estudo já feito. Por exemplo, se numa determinada cidade foram contabilizadas quedas de raios durante um determinado período do ano sendo 7 pessoas atingidas, teríamos então: 7 P ( A) 0,00 ou 0,% Exercícios:. Qual a probabilidade de sua resposta em uma questão de múltipla escolha, com 5 respostas possíveis, estar errada respondendo à questão aleatoriamente? n 5 s P ( A) 0, ou 0% 5. Uma empresa de seguros estudou as causas de morte por acidente doméstico e obteve o seguinte resultado: 60 mortes causadas por quedas, 0 mortes por envenenamento e 70 por queimaduras. Selecionado um caso aleatoriamente, qual a probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento? Total 50 Envenenamento 0 0 P ( A) 0, 50 6

7 . Determine a probabilidade de que um casal com filhos tenha exatamente meninos. Suponha que as probabilidades de menino e menina sejam as mesmas. EA {HHH, HHM, HMH, HMM, MMM, MMH, MHM, MHH} n s P ( A) 0,75. Selecionado um ano aleatoriamente, determine a probabilidade de o dia da Páscoa cair: a. Numa quarta-feira A) 0 evento impossível b. Num Domingo. A) evento de ocorrência certa Observação: Para qualquer evento A sempre temos 0 A).. Tipos de Eventos... Eventos Complementares O complemento de um evento A, que será denotado por Ā ou A C, consiste em todos os resultados do espaço amostral em que A não ocorre. Dessa maneira dois eventos são complementares se um é o complementar do outro. Observe que A A C Espaço Amostral Exemplo : No lançamento de um dado, se A for o evento relacionado a face par, teremos A C como dar face ímpar.... Eventos Compostos São os eventos que combinam dois ou mais eventos simples. Exemplo 9: Dar soma 9 no lançamento de dois dados é um evento composto, pois teríamos possibilidades para essa soma: (,6), (,5), (5,), (6,). 7

8 ... Eventos Mutuamente Excludentes Dois eventos são mutuamente excludentes se não podem ocorrer simultaneamente. Exemplo 0: Ao lançar um dado não podemos ter face e face 6 ao mesmo tempo. Observação: Eventos complementares são mutuamente excludentes.... Eventos Independentes Dois eventos, A e B, são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Se A e B, não são independentes, então são ditos dependentes. Exemplo : Jogar uma moeda e um dado são eventos independentes, pois o resultado da moeda não afetará o resultado do dado.

9 . Axiomas de Probabilidade Antes de qualquer coisa precisamos saber o que são axiomas: DEFINIÇÃO: Axioma: Afirmação que se admite como verdadeira sem exigência de demonstração e da qual podemos deduzir proposições. Os Axiomas de Probabilidade são:. Para todo evento A temos 0 A).. Seja S um espaço amostral, então S).. Se A e B são eventos mutuamente excludentes então, A B) A) B). 9

10 . Teoremas de Probabilidade.. Teorema da Soma Sejam A e B dois eventos quaisquer, temos que: A B) A) B) A B) Exemplo : Numa pesquisa obtivemos os seguintes dados sobre três jornais e quantos dias da semana são lidos pelos entrevistados. Suponhamos que cada entrevistado só possa escolher um dos jornais. Jornal A Jornal B Jornal C Total Todos os dias Fim de semana 5 97 Total a) Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de ser alguém que leia o jornal A ou o jornal C? Nesse caso os eventos são mutuamente excludentes, aplicamos então o axioma P ( A C) A) C) 0, b)escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de obter alguém que lê o jornal B ou só lê jornal no fim de semana? Utilizando o teorema da soma: B fim) B) fim) B fim) 0,

11 Observação: Seja A um evento qualquer.temos que A e A C são eventos mutuamente excludentes, logo pelo axioma : C C P ( A A ) A) A ) Mas A A C Espaço Amostral, e assim pelo axioma : P ( A A C ) Portanto, C P ( A) A ) Exemplo : Se a probabilidade de chover for igual a 0,, então qual é a probabilidade de não chover? Chuva e não-chuva são eventos complementares, logo não chuva) 0, 0,6.. Probabilidade Condicional Chamamos de probabilidade condicional a probabilidade de um evento ocorrer sabendo que outro evento já ocorreu e que essa ocorrência influenciará o segundo evento. Denotamos por B/A) e lemos: a probabilidade de B ocorrer sabendo que A já ocorreu. Exemplo : Lança-se um par de dados não-viciados. Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido a face em um deles? A soma 6 {(,5), (,), (,), (,),(5,)} 5 possibilidades Queremos agora que a face tenha ocorrido já sabendo que a soma dos dados é 6: B face {(,),(,)} eventos Assim, P ( B / A) 0, 5

12 .. Teorema da Multiplicação Se A e B, são eventos dependentes, então: P ( A B) A). B / A) Se ao contrário, A e B forem independentes, então: P ( A B) A). B) Exemplo 5: Na extração de cartas de um baralho comum com 5 cartas, determine a probabilidade da ª carta ser um ás e a ª carta ser um rei, sabendo que \ não houve a reposição da ª carta. 6 P ( ás rei) ás). rei / ás). 0, Exemplo 6: Ao lançar um dado honesto duas vezes, qual a probabilidade de dar as faces e? Nesse caso o º evento não está condicionado ao º. P ( ) ). ). 0, Observação: com reposição eventos independentes sem reposição eventos dependentes Exemplo 7: Num lote de peças, são defeituosas. Três peças são retiradas aleatoriamente, uma após a outra, sem reposição. Encontre a probabilidade de todas as três peças serem não defeituosas. No lote, temos peças defeituosas e peças boas. Queremos que as três peças retiradas estejam boas, assim P ( boa boa boa).. 0, Observação: OU E Exemplo : A probabilidade de A acertar um alvo é de e a de B acertar é de 5. Qual é a probabilidade do alvo ser atingido, se ambos atirarem, sabendo que um não afeta a chance do outro acertar? Queremos então que A acerte ou B acerte, então pelo teorema da soma:

13 A B) A) B) A B) A B) 5 Precisamos saber o valor de A B), como estamos supondo que são eventos independentes, temos que: P ( A B) A). B). 5 0 Substituindo, teremos: 5 P ( A B) 0, Teorema de Bayes e Partições Sejam A e B eventos mutuamente excludentes de um espaço amostral S, de maneira que A B S. Dessa maneira dizemos que A e B são uma partição de S. Seja X um evento qualquer, pelo Teorema de Bayes é possível determinar a probabilidade condicional de uma das partições de S sabendo que X ocorreu, ou seja, A). X / A) A/ X ) A). X / A) B). X / B) Exemplo 9: Suponha uma determinada peça de computador utilizada por uma empresa seja fabricada por duas fábricas: 60% pela fábrica A e 0% por outra fábrica. Suponha ainda que as taxas de defeito das fábricas sejam de 5% para a fábrica A e 5% para a outra. Qual a probabilidade de uma peça defeituosa, escolhida aleatoriamente, ter vindo da fábrica A? X estar defeituosa A) 0,6 B) 0, X/A) 0,5 X/B) 0,5 A/X)? 0,6.0,5 0, 0, P ( A/ X ) 0,677 0,6.0,5 0,.0,5 0, 0, 0,

14 Exemplo 0: Três máquinas A, B e C produzem 50%, 0% e 0% respectivamente do total de peças de uma fábrica. As percentagens de produção defeituosa dessas máquinas são de %, % e 5%, respectivamente. Suponha que uma peça retirada aleatoriamente seja defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B? X estar defeituosa A) 0,5 B) 0, C) 0, X/A) 0,0 X/B) 0,0 X/C) 0,05 B/X)? B). X / B) B / X ) A). X / A) B). X / B) C). X / C) 0,.0,0 0,0 0,0 0, 0,5.0,0 0,.0,0 0,.0,05 0,05 0,0 0,00 0,07 Exercícios: 5. Numa pesquisa realizada numa universidade obtevesse os seguintes resultados: Homens Mulheres Total Fumantes Não fumantes Total a) Escolhido aleatoriamente um dos 00 entrevistados, qual a probabilidade de ser homem? 0 P ( homem) 0,6 00 b) Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de ser mulher ou ser fumante? mulher fumante) mulher) fumante) mulher fumante) , c) Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade ser homem ou ser não fumante? homem não fumante) homem) não fumante) homem não fumante) ,5

15 6. Retiram-se duas cartas de um baralho, sem reposição da ª carta, determine a probabilidade de: a) ser um valete e um ; 6 P ( valete ). 0, b) ser uma dama de copas e um 7; P ( dama de copas 7). 0, c) ser uma carta de ouros e um ás de paus; P ( ouros ás de paus). 0, d) serem as duas cartas de espadas; 56 P ( espada espada). 0, e) serem dois ases. P ( ás ás). 0, Num certo colégio, % dos homens e % das mulheres têm mais do que,70m de altura. Além disso, 60% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de,70 m de altura, qual é a probabilidade de o estudante ser uma mulher? X mais de,70 m. A) 0,6 B) 0, X/A) 0,0 X/B) 0,0 A/X)? 0,6.0,0 0,006 0,006 P ( A/ X ) 0,77 0,6.0,0 0,.0,0 0,006 0,06 0,0 5

16 . Variáveis Aleatórias.. Definição Uma variável aleatória é uma variável que tem um único valor numérico para cada resultado de um experimento. Denotaremos por letras maiúsculas. Uma primeira etapa no estudo de variáveis aleatórias é a determinação dos valores que a variável pode assumir. Exemplo : Seja o experimento que consiste em selecionar aleatoriamente 7 acidentes aéreos e contar quantos envolvem aviões da Empresa Gaivota. A variável aleatória representa o número de acidentes com aviões dessa empresa dentre as 7 ocorrências selecionadas, assim: X {0,,,,, 5, 6, 7} Exemplo : No lançamento de moedas contamos o número de coroas que aparecem. A variável aleatória representa o número de coroas e assim, X {0,, } Observação: A variável é dita aleatória pois só conhecemos seu valor após o experimento ter sido realizado. Além de identificar os possíveis valores de uma variável aleatória, podemos atribuir uma probabilidade a cada um desses valores... Função de Probabilidade Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória juntamente com suas respectivas probabilidades, temos uma função ou distribuição de probabilidade. 6

17 Exemplo : Suponha que a distribuição de probabilidade do número de acidentes com a Empresa Gaivota dentre os 7 analisados, seja: X X) 0 0,0 0,67 0,75 0,5 0,09 5 0, Qualquer função de probabilidade deve satisfazer as seguintes condições:. 0 X) para todo X. P ( X ) Exemplo : Determine a distribuição de probabilidade. EA {CC, CK, KC, KK} X X) 0 Exemplo 5: Seja de probabilidade? X P ( X ), onde X {0,, }. Essa lei define uma distribuição X X) 0 0 7

18 X Exemplo 6: Seja P ( X ), onde X {0,,, }. Essa lei define uma 5 distribuição de probabilidade? X X) Parâmetros de uma variável aleatória... Média ou Esperança Matemática Notação: X) ou µ ou x X E ( X ) X. X ) X. X ) X. )... Exemplo 7: Utilizando os dados do caso dos acidentes aéreos com a empresa Gaivota, teremos: X ) 0.0,0.0,67.,75.,05.0,09 5.0, X ) 0,67 0,550 0,5 0,6 0,00 X ),9 Exemplo : No exemplo das duas moedas, teremos: X ) 0... X ) X )

19 ... Variância Notação: Var(X) [ X ]. X ) ( ) ) Var( X ) X Exemplo 9: No caso dos acidentes aéreos: Var( X ).0,67.0,75.0,5.0,09 5.0,00 Var( X ) [ ] (,9) [ 0,67,,05 0,6 0,] Var( X ),066,95,6,95 Exemplo 0: No caso das coroas: Var( X ).. Var( X ) Var( X ) 0,5 ( )... Desvio Padrão Notação: D P (X) ou σ(x) D P ( X ) Var( X ) Exemplo : No caso dos acidentes aéreos: ( X ),6,05 D P Exemplo : No caso das coroas: ( X ) 0,5 0,707 D P CURIOSIDADE: O assunto probabilidade está diretamente ligado aos jogos de azar. Quem nunca se perguntou qual a chance de se ganhar na loteria? Assim podemos utilizá-la para saber se um jogo é favorável ou desfavorável para o jogador, vejamos: 9

20 Exemplo : Um jogador lança uma moeda não viciada duas vezes. Ganha $,00 ou $,00 caso ocorra ou caras respectivamente. Por outro lado perde $5,00 se não ocorrer cara. Ache o valor esperado do jogo e diga se ele é favorável ou não para o jogador. EA {CC, CK, KC, KK} X X) $ 0-5 Devemos calcular a esperança desse experimento, colocando no lugar dos valores de X, a quantia em dinheiro relacionada: 5 E ( X ) ,5 Logo o jogo é desfavorável! Exercícios:. Determine em cada item se é uma distribuição de probabilidade. Em caso afirmativo, determine sua esperança, variância e desvio padrão. a) X X) 0 0,5 0, 0, É função de probabilidade. X ).0,.0, 0, 0,6 0,7 Var( X ) D ( X ) P [.0,.0,] 0,67 0,5 (0,7) [0, 0,9] 0,9 0,67 0

21 b) X X) - 0, 0, 0, 0, É função de probabilidade. X ).0,.0,.0,.0, 0, 0, 0,,, Var( X ) D ( X ) P [.0,.0,.0, 9.0,],,676 c) X X) 0 0,5 0, 0,6 Não é função de probabilidade. (,) [0, 0, 0,,6],69, 9. Uma moeda viciada, de maneira que P ( cara) e P ( coroa), é lançada vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de caras ocorridas. Ache a distribuição de probabilidade, a esperança, a variância e o desvio padrão. EA {CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC,KCK, KCC} X X) X )..., Var( X ).. 9. (,5) 5, ,65 5,065 0,565 6 DP ( X ) 0,565 0,75 7 6

22 0. Um jogador lança moedas não viciadas. Ganha $5,00 se ocorrerem caras, $,00 se ocorrerem caras e $,00 se somente cara ocorrer. Por outro lado perde $5,00 se coroas ocorrerem. Encontre o valor esperado do jogo. X X) $ E ( X ) ,5

23 5. Distribuição Conjunta 5.. Distribuição Conjunta e Distribuição Marginal Sejam X e Y duas variáveis aleatórias de um mesmo espaço amostral. Suponhamos que X {x, x,..., x n } e Y {y, y,..., y m }, assim para cada par ordenado (x i, y i ) definiremos sua probabilidade por P X x, Y y ) h( x, y ) ( i i i i Essa função h é chamada de distribuição conjunta ou função de probabilidade conjunta e é usualmente dada na forma de uma tabela: X \ Y y y... y m soma x h(x,y ) h(x,y )... h(x,y m ) f(x ) x h(x,y ) h(x,y )... h(x,y m ) f(x ) x n h(x n,y ) h(x n,y )... h(x n,y m ) f(x n ) soma g(y ) g(y )... g(y m ) As funções f e g são definidas por: f(x i ) é a soma dos valores da linha i g(y i ) é a soma dos valores da coluna j Essas funções são chamadas de Distribuições Marginais e são as distribuições individuais de X e Y. Exemplo : Uma moeda é lançada vezes. Seja X igual a 0 ou, se ocorrer cara ou coroa no º lançamento, respectivamente. Seja Y a variável relacionada ao número de caras que ocorram. Determine a distribuição conjunta de X e Y. EA {CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC, KCK, KCC} X {0, } Y {0,,, } Para facilitar separamos o EA segundo os valores de X, ou seja, X 0 CCC, CCK, CKC, CKK X KKK, KKC, KCK, KCC

24 X \ Y 0 soma soma Exemplo 5: Dois cartões são selecionados aleatoriamente de uma caixa que contém 5 cartões numerados da seguinte forma:,,,, Seja X a soma dos números que aparecem nos cartões e seja Y o maior dos dois números. Determine a distribuição conjunta de X e Y. EA {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} X {,,, 5} Y {,, } X (, ) X (, ), (, ) X (, ), (, ), (, ) X 5 (, ), (, ) X \ Y soma soma 0

25 5.. Parâmetros de uma Distribuição Conjunta Já vimos até agora tipos de parâmetros: Esperança, Variância e Desvio Padrão. Essas medidas só podem ser calculadas em distribuições individuais. Veremos agora parâmetros para as distribuições conjuntas: 5... Covariância Notação: Cov(X, Y) Cov( X, Y ) XY ) X ). Y ) onde E ( XY) X. Y. H ( X, Y ) Y ) Exemplo 6: Utilizando a tabela do exemplo, calcule a covariância: Precisamos inicialmente calcular XY), X) e Y): XY ) XY ) X ) Substituindo esses valores: Cov ( X, Y ). 6 Exemplo 7: Utilizando o exemplo 5, teremos: XY ) XY ) 6 0 X ) Y )... Substituindo: Cov ( X, Y )

26 5... Correlação Notação: ρ(x,y) ρ ( X, Y ) Cov( X, Y ) D ( X ). D ( Y ) P P Exemplo : Utilizando novamente o exemplo : Precisamos calcular inicialmente os valores do desvio padrão, para isso calculamos a variância, utilizando o valor da esperança calculado no exemplo 6: Var( X ) 0.. D ( X ) P 0,5 Var( Y ) ,7 DP ( Y ) 0,66 Substituindo teremos: 0,5 0,5 ρ ( X, Y ) 0,577 0,5.0,66 0, 9 Exemplo 9: Utilizando novamente o exemplo 5, com os valores calculados no exemplo 7, teremos: Var( X ). D ( X ) P 5 6 Var( Y) ,79 0, ,5677 DP ( Y ) 0, E então: 0,597 0,597 ρ ( X, Y ) 0, 0,96.0,6959 0,

27 5.. Variáveis Aleatórias Independentes Duas variáveis aleatórias X e Y de um mesmo espaço amostral S, são consideradas independentes se: h x, y ) f ( x ). g( y ) ( i i i i Exemplo 0: Sejam X e Y varáveis aleatórias com a seguinte distribuição conjunta. Verifique se X e Y são variáveis independentes. X \ Y soma 0,06 0,5 0,09 0, 0, 0,5 0, 0,7 soma 0, 0,5 0, Para que X e Y sejam independentes, elas devem satisfazer a condição dada acima, verificando teremos: h(,) f (). g() 0,.0, 0,06 h(,) h(,) h(,) h(,) f (). g() 0,.0.5 0,5 f (). g() 0,.0, 0,09 f (). g() 0,7.0, 0, f (). g() 0,7.0,5 0,5 h(,) f (). g() 0,7.0, 0, Logo X e Y são variáveis aleatórias independentes! Exemplo : Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com as seguintes distribuições individuais: X f(x) Y g(y) 0,7-0, 0, 5 0,5 0, Encontre a distribuição conjunta e verifique que Cov(X,Y) 0. Como as variáveis são independentes basta calcularmos os valores da função h a partir da definição: X \ Y - 5 soma 0, 0,5 0, 0,7 0,09 0,5 0,06 0, soma 0, 0,5 0, Precisamos calcular agora o valor da covariância: XY ).( ).0,.5.0,5..0,.( ).0,09.5.0,5..0,06 XY ) 0,,75, 0,6,5 0,96,55 X ).0,7.0, 0,7 0,6, Y ) ( ).0, 5.0,5.0, 0,6,5,6,5 E, portanto: Cov ( X, Y ),55,.,5,55,55 0 7

28 Observação: Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então Cov(X,Y) 0. Exercícios:. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta: X \ Y - soma 0, 0, 0, 0,5 0, 0, 0, 0,5 soma 0, 0, 0, a) Ache as distribuições individuais de X e de Y; X f(x) Y g(y) 0,5-0, 0,5 0, 0, b) Ache Cov(X,Y); XY ).( ).0,..0,..0,.( ).0,..0,..0, XY ) 0, 0, 0,,7 0,6, 0 X ).0,5.0,5 0,5,5 Y ) ( ).0,.0,.0,, 0,6, 0,6 Cov( X, Y ) 0.0,6, c) Ache ρ(x,y); Var( X ) (.0,5 9.0,5) 0,5,5 D ( X ) P Var( Y ) (9.0,.0, 6.0,) 0,6 D ( Y ) P 9,,097,, ρ( X, Y ) 0,97.,097,097 d) Responda: X e Y são independentes? Não, pois a sua covariância é diferente de 0.,6,, 0,6 9,

29 . Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com as seguintes distribuições individuais: X f(x) Y g(y) 0,5-0, 0,5 0 0, 0, 0,5 Encontre a distribuição conjunta e determine o valor da covariância. X \ Y - 0 soma 0,05 0,075 0,5 0,5 0,07 0,05 0,75 0,5 0,0 0, 0, 0, soma 0, 0, 0,5 Cov(X,Y) 0.. Um casal tem filhos. Seja X a variável aleatória associada ao número de meninas e seja Y a variável que toma os valores ou conforme o filho caçula seja homem ou mulher, respectivamente. Determine a distribuição conjunta e os valores da covariância e da correlação. EA {HHH, HHM, HMH, HMM, MMM, MMH, MHM, MHH} X {0,,, } Y {, } X 0 HHH X HHM, HMH, MHH X HMM, MHM, MMH X MMM X \ Y soma soma 9

30 0 0,577 0, 0,5 0,66.0,5 0,5 ), ( 0,5 ) ( ) ( 0,66,7 ) ( ) ( 0, ), (.. ) ( 6... ) ( ) ( Y X Y D Y Var X D X Var Y X Cov Y E X E XY E P P ρ

31 6. Alguns Modelos de Probabilidades Vimos até agora, experimentos simples e fáceis de se encontrar a distribuição de probabilidade. Porém existem alguns modelos de experimentos que são mais complexos e por essa razão requerem um modelo mais elaborado para representar as sua probabilidades. Esses modelos foram estudados por grandes matemáticos que os tornaram mais simples através de fórmulas ou até mesmo criando uma tabela de valores. Veremos então alguns desses modelos: 6.. Distribuição Binomial ou Distribuição de Bernoulli Seja um experimento com dois resultados possíveis, chamaremos um dos resultados de sucesso e o outro de fracasso. Se a probabilidade do sucesso for p então a probabilidade do fracasso será q p. Para calcularmos a probabilidade de ocorrerem exatamente x sucessos em n repetições do experimento, utilizaremos a seguinte fórmula: n x x P x! p q n ( ). x!.( n x)!. RECORDANDO! O símbolo fatorial (!) denota o seguinte produto: 5! 5...!. 0! (por definição) Para facilitar nossas contas é importante observar a seguinte propriedade dos fatoriais: 5! ! 5..! Assim, 0! 7!.! ! 7!.! ou seja, desenvolvemos o fatorial do numerador até o maior fatorial do denominador, de maneira que eles se simplificarão.

32 Exemplo : Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente caras? Sucesso cara (sempre denotaremos de sucesso o que está sendo pedido) p q - x n 6 ) 6!.!(6 )!. 6 6!!.! !..!.! , Exemplo : Se quisermos agora a probabilidade de ocorrer pelo menos caras? Devemos então calcular )5)6) ) 5) 6!!.! 6! 5!.! !.!.! 6.5!. 5!.! 6! 6).. 6!.0! ) 5) 6) , Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é utilizada para determinar a probabilidade de um evento em um intervalo específico. Esse intervalo pode ser tempo, distância, área ou qualquer unidade análoga. Por exemplo, o número de chamadas telefônicas por minuto, o número de erros de impressão por página de um livro ou ainda, o número de partículas emitidas por uma substância radioativa. A fórmula é dada por: x λ λ. e x) x! onde λ é a média de ocorrência do evento x. Observação: O número e é um número irracional de grande uso na matemática. Seu valor é aproximadamente,7 e é chamado de algarismo neperiano.

33 Utilizaremos uma tabela para determinarmos os valores de λ e. Exemplo : Suponha que 00 erros de impressão estejam distribuídos aleatoriamente em 500 páginas de um livro. Encontre a probabilidade de em uma página qualquer conter exatamente erros. Precisamos determinar o valor de λ que nessa caso será a média de erros por página, ou seja, 00 λ 0,6 500 Assim, 0,6. e P ()! 0,6 0,6.0,59 0,976 0,09 Exemplo : Durante a ª Guerra Mundial o sul de Londres foi dividido em 576 sub-regiões de mesma área. A região toda foi atingida por bombas. Escolhida aleatoriamente uma das sub-regiões, determine a probabilidade dela ter sido atingida exatamente vezes. λ 0, ,5. e )! 0,5 0,5.0,607. 0,075 0, Distribuição Hipergeométrica Seja uma população finita com um número A de sucessos e um número B de fracassos. Se tirarmos uma amostra de n elementos, sem reposição, então a probabilidade de obter x elementos do tipo A será: A! B! ( A B)! x). x!.( A x)! ( n x)!.( B n x)! n!.( A B n)! Exemplo 5: Em uma caixa há 00 parafusos com 0 destes defeituosos. Foram tirados 5 parafusos dessa caixa. Qual a probabilidade de retirarmos exatamente defeituoso? A 0 B 90 n 5 x 0! 90! 00! 0.9! ! ! )..!.9!!.6! 5!.95! 9!...6! ! ,

34 Exemplo 6: Numa loteria um apostador escolhe 6 números entre 5. Sorteando-se posteriormente uma combinação ganhadora, qual a probabilidade de acertar 5 dentre os 6 números ganhadores? A 6 B n 6 x 5 6!! 5! 6.5!.7! ! 5).. 5!.!!.7! 6!.! 5! 7! ! , Distribuição Normal Uma variável aleatória tem distribuição normal se essa distribuição é simétrica e apresenta a forma de um sino: E é dada pela fórmula: y ( x µ ). DP π. D P. e Pela fórmula verificamos que a distribuição normal depende do valor da média (µ) e do desvio padrão D P.

35 6... Distribuição Normal Padrão É uma distribuição normal com média igual a 0 e desvio padrão igual a. Para determinarmos a probabilidade desejada, calculamos a área da região correspondente na curva de Gauss. Exemplo 7: Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Determine 0 X,) Devemos calcular área azul. Porém na prática, utilizamos uma tabela já construída. Essa tabela nos fornece a área da região entre 0 e um valor t. Assim basta procurarmos na tabela o valor,: 0 X,) 0,9 Observações:. A área da curva toda é por definição igual a.. Os lados da curva são simétricos. 5

36 Exemplo : Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Determine: a) 0 X,) 0, b) -0,7 X 0) 0,67 c) -,7 X,0) 0 X,0) -,7 X 0) 0,77 0,7 0,95 d) 0,65 X,6) 0 X,6) - 0 X 0,65) 0,96 0, 0,50 e) X,0) 0,5 0,5 0,55 6

37 f) X 0,7) 0,5 0,6 0, Distribuição Normal Não Padrão Nossa tabela só pode ser usada quando a variável aleatória tem distribuição normal padrão. Assim quando tivermos trabalhando com uma variável normalmente distribuída não padrão, devemos padronizá-la, aplicando a seguinte fórmula: x µ z D P onde x é o valor na distribuição não padrão e z é o valor padronizado. Exemplo 9: Suponha que a temperatura durante o mês de junho seja normalmente distribuída com média de 5 C e desvio padrão de C. Encontre a probabilidade de a temperatura num certo dia de junho estar entre 0 C e C. Queremos saber o valor de 0 X ). Para que possamos utilizar a tabela devemos tornar essa variável padrão: 0 5 z,5 5 z,5 Assim temos que 0 X ) -,5 Z,5) E agora podemos utilizar a tabela: Portanto: 0 X ) -,5 Z,5) 0,9 0, 0,97 7

38 Exemplo 50: Suponha que as idades de 00 pacientes sejam normalmente distribuídas com média igual a 66 anos e desvio padrão de 5 anos. Encontre o número de pacientes com idade maior ou igual a 7 anos z, 5 X 7) Z,) 0,5 0,9 0,5 Assim o número de pacientes com idade superior a 7 anos é: 0, pacientes Exercícios:. Um time A tem de probabilidade de vitória sempre que joga. Se A jogar partidas, encontre a probabilidade de A vencer: a) Exatamente partidas;!..! P () !.!!. 9 9 b) Pelo menos uma partida; ) ) ) ) 0) 0! 0).. 0,0 0!.! ) ) ) ) 0,0 0,977 c) Mais que a metade das partidas )!!.!..! )..!.0! 6 ) ) 0.!..! 7 6 0,595. 0,96

39 5. Suponha que 0 erros de impressão são distribuídos aleatoriamente em um livro de 00 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha: a) Nenhum erro; 0 λ 0, ,9 0,9. e 0) 0,07 0! b) erro; 0,9 0,9. e P () 0,9.0,07 0,66! c) erros. 0,9. e P ()! 0,9 0,.0,07 0,96 0,6 6. Numa sala de aula tem 5 alunos sendo 60\% mulheres. Numa prova apenas 0 alunos obtiveram nota superior a. Qual a probabilidade de existirem mulheres nesse grupo? A 7 B n 0 x 7!! 5! ).!.9!!.6! 0!.5! !.7.6! ! !.6! ! , Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre: a) -0, X,) b) 0,5 X,0) c) X 0,7) d) X 0,5) 9

40 . Suponha que os pesos de.000 estudantes do sexo masculino sejam distribuídos normalmente com média de 70kg e desvio padrão de kg. Encontre o número de estudantes com peso: a) Menor ou igual a 60kg; z,5 X 60) Z,5) 0,5 0,9 0,056 b) Entre 65kg e 6kg; z 0, z 0,5 65 X 6) 0,6 Z 0,5) 0, 0,097 0,7 c) Maior ou igual a 0kg z,5 X 0) Z,5) 0,5 0,9 0,056 0

41 7. Teste de Hipóteses 7.. Definição de Hipótese: Uma Hipótese, em Estatística, é uma afirmação feita sobre uma propriedade de uma população. Exemplos de hipóteses: Médicos afirmam que a temperatura média do corpo humano não é igual a 7º C. A porcentagem de motoristas hospitalizados em conseqüência de acidentes é menor no caso de carros equipados com airbag do que no caso sem esse equipamento. Quando se utilizam equipamentos novos na fabricação de altímetros para aviões, a variação nos erros é reduzida tornando os dados mais consistentes. Antes de iniciar o cálculo de uma probabilidade baseada numa hipótese, devemos analisar uma amostra para distinguir entre resultados que podem ocorrer facilmente e os que dificilmente ocorrem. Vejamos o exemplo seguinte: Exemplo 5: Uma empresa americana lançou um produto que garantia que os casais aumentariam em 5% a chance de terem um filho e em 0% a de terem uma filha. Esse produto era vendido numa embalagem azul se o casal quisesse um menino e numa embalagem rosa se quisessem uma menina. Suponha que se fez um experimento com 00 casais que queriam ter meninas e que todos seguiram as instruções corretas da embalagem rosa. O que se pode concluir sobre a eficácia desse produto se as 00 crianças compreendem: a) 5 meninas? b) 97 meninas? Solução: a) Normalmente esperamos de 00 crianças que 50 sejam meninas, assim o resultado de 5 meninas está próxima dos 50 esperados e então não podemos concluir que o produto seja eficaz. Pois sem a utilização do produto esses casais poderiam obter o mesmo resultado. : b) A ocorrência de 97 meninas entre 00 crianças é extremamente improvável e poderia se r explicada de duas maneiras: ou ocorreu algo raro por puro acaso ou o produto é realmente eficaz. Como a chance de nascer 97 meninas por puro acaso é baixa, concluímos então que o produto é eficaz.

42 7.. Hipótese Nula e Hipótese Alternativa Hipótese Nula: (denotada por H 0 ) é uma afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional que se deseja aceitar ou rejeitar. Hipótese Alternativa: (denotada por H ) é a hipótese contraditória, ou seja, é a afirmativa que deve ser verdadeira se a hipótese nula for falsa. 7.. Erros do Tipo I e II Erro do Tipo I: Consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. A probabilidade de ocorrer um erro do tipo I é chamada de nível de significância e se denota por α. O valor de α é normalmente pré-determinado. Erro do tipo II: Consiste em não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. Usa-se o símbolo β para representar a probabilidade de um erro do tipo II e β pode ser desconhecido. Controle dos erros de Tipo I e II: Uma das etapas do teste de hipóteses é a escolha do nível de significância α. Entretanto não escolhemos o valor de β. Matematicamente os valores de α, β e n (tamanho da amostra) estão correlacionados, então na prática determinamos os valores de α e n, e assim β seria determinado. A escolha de α depende da seriedade do erro do tipo I. Para erros do tipo I com conseqüências sérias devemos escolher valores pequenos de α. E então se escolhe um tamanho n de amostra tão grande quanto for razoável para analisar a hipótese. Exemplificando: Um pacote de bombons do tipo M&M contém 9 unidades e o peso médio de cada bombom deve ser pelo menos 0,905g, pois o pacote anuncia o peso total de 6g. Um pacote de aspirinas contém 0 tabletes, cada um com 5mg de aspirina. Se o peso médio dos bombons não for 0,905g as conseqüências serão irrelevantes, inclusive se o peso for maior ninguém reclamará. Ao contrário se os tabletes conterem mais aspirina do que o necessário, a empresa fabricante poderá ser acionada na justiça pois poderão fazer mal aos consumidores. Dessa maneira ao testar a afirmação µ 0,905g para os bombons podemos escolher α 0,05 e um tamanho de amostra n 00; já para testar a afirmação µ 5mg para os tabletes de aspirina podemos escolher α 0,0 e um tamanho de amostra n 500.

43 7.. Testes unilateral e bilateral região crítica. Para entender os teste unilateral e bilateral precisamos saber o que é uma Região Crítica: É o conjunto de todos os valores que levam à rejeição da hipótese nula. Exemplo 5: Médicos afirmam que a temperatura média do corpo humano é 7º C. Numa amostra com 00 pessoas sadias acusou que a temperatura média era de 6,º C com desvio padrão de 0,º C. Seguindo uma distribuição normal teríamos: 6, 7 z 0, 0,6 0, Nesse exemplo a região crítica consiste nos valores inferiores a z - ou superiores a z. Teste Bilateral: quando a região crítica está situada nas duas regiões extremas da curva. Rejeitamos a hipótese nula se nossa estatística de teste estiver na região crítica. Nesses casos o nível se significância é dividido igualmente entre as duas regiões que constituem a região crítica. Teste Unilateral: quando a região crítica está localizada em apenas uma das regiões extremas. Pode ser Unilateral esquerdo quando a região crítica é a região da esquerda ou Unilateral direito se for a região da direita. Nesses casos a área da região crítica é α.

44 Exemplo 5: Após obter amostras nas bombas de gasolina de um posto, uma agência de propaganda afirmou que os consumidores estão sendo prejudicados em virtude da seguinte condição: quando o marcador indica galão, a quantidade média de combustível é inferior a galão. a) Expresse a afirmação de que os consumidores estão sendo prejudicados µ < b) Identifique a hipótese nula: H 0 H 0 µ (deve sempre ter a igualdade) c) Identifique a hipótese alternativa: H H µ < d) Identifique esse teste como bilateral, unilateral esquerdo ou unilateral direito Esse teste é unilateral esquerdo pois a hipótese nula é rejeitada se µ <, ou seja, para valores menores que. Exemplo 5: Muitos passageiros de navios de cruzeiro utilizam adesivos para evitar o enjôo. Testa-se uma afirmação sobre a quantidade da dosagem média, com nível de significância α 0,05. Utilizando uma distribuição normal, determine os valores que determinam a região crítica quando o teste é: a) Bilateral b) Unilateral esquerda c) Unilateral direita Solução: a) Como o teste é bilateral o valor de α é dividido entre as duas regiões o que determina uma área de 0,05 em cada região. Para encontrar o valor na tabela de distribuição normal padrão, precisamos achar a área vermelha 0,5-0,05 0,75. Procurando na tabela vemos que z,96 e z -,96. b) Em um teste unilateral esquerdo temos α 0,05 que é a área da região crítica à esquerda de maneira que a área vermelha é igual a 0,5 0,05 0,5. Olhando na tabela encontramos z -,65. c) Como a distribuição é simétrica, para o teste unilateral direito encontraremos z,65.

45 Bibliografia Triola, M. Introdução à Estatística. Editora LTC. Soares, J. F.; Farias, A. A. e César C. C. Introdução à estatística. Editora Guanabara. Tanaka, O. K. e Pereira, W. Estatística: conceitos básicos. Editora Makron Books. Lipschutz, S. Probabilidade. Editora Makron Books. 5