Testes de Hipóteses para Diferença entre duas Médias - Amostras relacionadas

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1 Testes de Hipóteses para Diferença entre duas Médias - Amostras relacionadas Introdução Ivan Bezerra Allaman Entende-se por amostras relacionadas ou emparelhadas quando a medida tomada na primeira amostra está claramente associada com a medida tomada na segunda amostra. Em outras palavras, quando tomamos um par de medidas em uma mesma unidade observacional, essas medidas estão relacionadas. Hipóteses Como µ d é a média dos valores de diferença para a população, as hipóteses nula e alternativa são reescritas da seguinte maneira: H 0 : µ d = µ 0 1

2 H a : µ d µ 0 Estimadores Uma vez que as amostras são relacionadas, as estimativas serão obtidas de uma nova variável proveniente da diferença entre cada par observado. A ilustração a seguir resume o procedimento. Logo, a média da diferença amostral é calculada como: O desvio padrão amostral é calculado como: d = di n (di d) 2 S d = n 1 Estatística de teste A estatística de teste é dada pela seguinte expressão: t = ( d) µ d S d / n 2

3 Graus de liberdade O cálculo do graus de liberdade é calculado simplesmente como n 1. Exemplo 1. Uma firma de pesquisa de mercado usou uma amostra de indivíduos para avaliar o potencial de compra de determinado produto antes e depois de as pessoas virem um novo comercial de televisão a respeito do produto. As avaliações do potencial de compra basearam-se em uma escala de 0 a 10, e os valores mais altos indicavam maior potencial de compra. A hipótese nula declarava que a avaliação média depois seria menor ou igual à avaliação média antes. A rejeição dessa hipótese demonstraria que o comercial melhorou a avaliação do pontencial médio de compra. Use α = 0, 05 e os dados apresentados a seguir para testar a hipótese e comentar o valor do comercial. dados = read.table(" = T) dados ## individuo depois antes ## ## ## ## ## ## ## ## # Opção 1 - na unha! # Neste caso temos as seguintes hipóteses: H 0 : µ d = 0 H a : µ d > 0 Vamos obter a diferença entre o depois e o antes na base de dados. Esta nova variável chamará dif. dados$dif = with(dados, depois) - with(dados, antes) dados ## individuo depois antes dif ## ## ## ## ## ## ## ## Vamos calcular as estatisticas dos dados como média e desvio padrão da diferença. 3

4 xbarradif = with(dados, mean(dif)) xbarradif ## [1] desviodif = with(dados, sd(dif)) desviodif ## [1] Vamos obter as demais estatisticas. n = dim(dados)[1] errodpaddif = desviodif/sqrt(n) tcalc = (xbarradif - 0)/errodpaddif tcalc ## [1] glib = n -1 pvalor = 1-pt(tcalc,glib) pvalor ## [1] # Opção 2 - usando a função t.test # t.test(dados$depois, dados$antes, paired = TRUE, alternative = 'greater') ## ## Paired t-test ## ## data: dados$depois and dados$antes ## t = 1.357, df = 7, p-value = ## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0 ## 95 percent confidence interval: ## Inf ## sample estimates: ## mean of the differences ## Logo, como o pvalor é maior que alfa, não rejeita-se a H 0. Aplicações 1. Nos últimos anos, uma sucessão crescente de opções de entretenimento compete pela atenção dos clientes. Em 2004, televisão a cabo e o rádio suplantaram a televisão convencional, as gravações musicais e os noticiários diários e se transformaram nas duas mídias de entretenimento mais utilizadas. Pesquisadores usaram uma amostra de 15 indivíduos e coletaram dados sobre as horas por semana que eles passam a assistir à TV a cabo e as horas por semana que ouvem rádio. Use o nível de significância 0,05 e teste se há alguma diferença entre a média populacional de uso da TV a cabo e do rádio. 4

5 2. A StreetInsider.com divulgou dados referentes aos rendimentos por ação das maiores empresas em Antes de 2002, analistas financeiros fizeram previsões dos rendimentos por ação em 2002 para essas mesmas empresas. Use os dados a seguir para comentar as diferenças entre os rendimentos por ação reais e os rendimentos por ação previstos. Use um nível de significância de 0,05 e teste se há alguma diferença entre a média populacional real e a média populacional prevista dos rendimentos por ação. 5