Quando dividimos uma grandeza em um número inteiro de partes iguais, cada uma destas partes é dita ser uma alíquota da grandeza dada.

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1 6. FRAÇÕES ORDINÁRIAS 1). A ideia de alíquota 2). A ideia de fração 3). Frações de grandezas contínuas e de grandezas discretas 4). O tipo mais importante de frações discretas: as frações ordinárias 5). Um tipo de frações ordinárias: as frações irredutíveis 6). Igualdade ( ou congruência) entre frações ordinárias: frações equivalentes 7). Somando e multiplicando frações ordinárias 8). Exercícios e problemas 1). A ideia de alíquota Quando dividimos uma grandeza em um número inteiro de partes iguais, cada uma destas partes é dita ser uma alíquota da grandeza dada. Exemplos: se grandeza = diagonal de um certo quadrado; dividindo-a em três partes iguais, cada uma delas é uma alíquota da diagonal; se grandeza=dúzia de ovos; dividindo-a em quatro partes iguais, cada uma delas é uma alíquota da dúzia. 2). A ideia de fração Dada uma grandeza vista como um todo, se a dividirmos em duas ou mais alíquotas, por fração dessa grandeza (ou desse todo) entendemos a indicação da escolha de um número inteiro dessas alíquotas. Exemplos: (e a terminologia um meio, um terço, um quarto, etc.) se grandeza = diagonal de um quadrado; se dividirmos esta diagonal em três partes iguais, dizemos que tomamos como alíquota a terça parte da diagonal, e obtemos as seguintes frações: 1 terço da diagonal = 1 alíquota, 2 terços da diagonal = 2 alíquotas, 3 terços da diagonal = 3 alíquotas; 4 terços da diagonal = 4 alíquotas, etc. se grandeza = uma dúzia de ovos; separando esta dúzia em quatro conjuntos de mesmo número de ovos, dizemos que tomamos como alíquota a quarta parte da dúzia, e obtemos as seguintes frações: 1 quarto de dúzia = 1 alíquota, 2 quartos de dúzia = 2 alíquotas, 3 quartos de dúzia = 3 alíquotas, etc. Quantos ovos temos em cada uma dessas frações?

2 Notação: Para trabalhar com frações, é conveniente usarmos uma notação abreviada que é assim exemplificada: 2 terços da diagonal = 2 3 da diagonal, 3 quartos de dúzia = 3 4 de dúzia; também se usa a notação 2/3 da diagonal, 3/4 de dúzia. Observação: A grandeza a ser fracionada pode ser positiva, nula ou negativa. Por exemplo, quando tratamos de dinheiro, dívidas são representadas por números negativos; assim, dizendo que "fiquei com um terço da dívida da empresa", e supondo que essa dívida seja de R$ 800, teremos que tal dívida corresponde à fração (-800)/3, o que também podemos escrever como - 800/3, ou 800 3, ou ). Frações de grandezas contínuas e de grandezas discretas Como já ocorreu nos exemplos acima, a grandeza (ou o todo) a ser fracionada pode ser uma grandeza contínua (como um comprimento, uma área, uma massa, etc.), ou uma grandeza discreta (como um conjunto de ovos, o conjunto dos alunos de uma turma, etc.). Exemplos de frações de grandezas contínuas: dois quartos da área daquele retângulo, um quinto de tanque de gasolina, etc. Exemplos de frações de grandezas discretas: "Aqui, 2/7 dos alunos são homens e 5/7 são mulheres", "Quero um terço de dúzia de ovos", "Quase dois terços dos deputados estavam presentes", etc. 4). O tipo mais importante de frações discretas: as frações ordinárias As frações discretas de carácter inteiramente numérico (ou seja, sem nenhuma referência a grandezas concretas, como quantidade ovos ou de deputados) em que o todo a ser particionado em alíquotas é um número inteiro são denominadas frações ordinárias. Exemplos: 2/3, -4/5, 0/3, 23/17, -32/5. Contraexemplos: π/3 é uma fração de π, mas não é uma fração ordinária (não é sequer uma fração discreta, é uma fração contínua); o mesmo ocorre com 2/5. As frações ordinárias são as que têm o formato m n ou m/n, onde m é um número inteiro qualquer e n é um inteiro positivo. No que segue, por brevidade, quando usarmos a expresão fração estaremos nos referindo a uma fração ordinária, o único tipo de fração que aqui trataremos. Se iremos tratar apenas de frações ordinárias, por que todas as colocações anteriores? Não bastaria dar a definição anterior? Porque é importante termos em vista que, por exemplo, π/3 é fração, embora não do tipo ordinário. 2

3 5). Um tipo de frações ordinárias: as frações irredutíveis Frações irredutíveis são as frações ordinárias cujo numerador e denominador são inteiros relativamente primos. Exemplos: 4/5, 7/3. Contraexemplos: 4/6 (2 é fator comum), 15/9 (3 é fator comum). 6). Igualdade ( ou congruência) entre frações ordinárias: frações equivalentes Um uso importante das frações é servir para indicar a medida de partes das grandezas: medir quantidade, tamanho, etc. Sob este ponto de vista, todo aluno sabe que se partirmos uma barra de chocolate em 3 alíquotas e lhe dermos 2 delas, ele estaria recebendo a mesma quantidade se lhe déssemos 4 pedaços da mesma barra quando dividida em 6 alíquotas. Por isso, sob o ponto de vista de medidas (no exemplo, quantidade de chocolate) dizemos que as frações 2/3 e 4/6 são iguais. Note bem: o processo de divisão 2/3 é diferente do 4/6, mas sob o ponto de vista de quantidade, esses processos podem ser considerados como iguais. Em termos matematicamente rigorosos, dizemos que as frações 2/3 e 4/6 são equivalentes e usaremos o sinal de = para denotar isso: 2/3 = 4/6. Observe que podemos escrever 2/3 = 4/6 como 2/3 = (2 x 2)/(3 x 2). A partir desse exemplo, fica natural a seguinte definição consideramos uma fração a/b como equivalente a uma fração c/d (o que escrevemos a/b = c/d) quando, e só quando, for possível achar um número inteiro k tal que ou (c = ka, d = kb ), ou (a = kc, b = kd ). Na prática, é muito mais fácil usar a seguinte regra: Teorema Uma fração ordinária a/b é equivalente a uma fração ordinária c/d quando, e só quando, valer ad=bc. Prova: se c = ka e d = kb, então bc = bka = kab, e ad = akb = kab, de modo que ad = bc. Para a recíproca, precisamos saber interpretar frações como números que expressam a divisão entre inteiros. Mais precisamente, precisamos interpretar as frações como representação dos números racionais, assunto da próxima aula. Em todo o caso, damos uma demonstração pouco rigorosa, aqui mesmo: de ad = bc segue ad/bd = bc/bd, e simplificando: a/b = c/d. Observações por simplificar uma fração entende-se achar uma fração a ela equivalente e que tenha numerador e denominador menores; uma fração irredutível não pode ser simplificada; toda fração é equivalente a uma fração irredutível (aplique o Teorema Fundamental da Aritm.) 3

4 7). Somando e multiplicando frações ordinárias Tendo como base a ideia de frações equivalentes, fica natural definirmos as operações aritméticas entre as frações ordinárias, conforme se resume no quadro abaixo: Sendo a/b e c/d duas frações ordinárias, sua soma e produto são definidos como a b + c d = ad + bc bd e a b c d = ac bd. A justificativa, caso da soma: 2/3 = 8/12 (pense em mesmas quantidades de bolo) e 3/4 = 9/12, de modo que somando: 2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12, e isto é o mesmo que = Para a multiplicação: = 1 3 (2 5 ) 1 = = Erros comuns 8).- Exercícios e problemas 4

5 1 Ideia de partes iguais, ou alíquotas Exercícios didáticos Relativamente à figura ao lado: a).- que fração do número total de formas simples da figura corresponde aos triângulos? b).- que fração da área da figura foi feita com triângulos? O jardim de Pedro está representado na figura abaixo. Como podemos ver, ele é composto de duas partes, cada uma das quais foi dividida em cinco canteiros iguais, sendo que ele plantou as rosas nos canteiros sombreados da figura. Perguntase que fração da área total do jardim de Pedro foi destinada às rosas? A variedade de significados da ideia de fração Provavelmente, a principal razão da dificuldade do assunto frações é que a ideia de fração tem vários significados. Iniciamos recordando alguns deles: parte de um todo: se uma grandeza for dividida em b partes iguais (alíquotas), então a/b denota a destas b alíquotas; medida: quando uma grandeza de medida a foi dividida em b alíquotas, cada uma destas mede a/b ; quociente: resultado da divisão do número inteiro a pelo inteiro b ; operador: uma instrução que determina um processo, como tomar 2/3 de... ; razão de a para b. (fração parte-todo grandeza discreta) Maria têm seis lápis coloridos e quatro pretos. Que fração de pretos há entre os lápis? (fração parte-todo grandeza contínua) Maria quebrou sua barra de chocolate em cinco partes iguais e comeu três delas. Que fração da barra foi comida? (fração como medida de grandeza discreta: contagem) José foi jogar gude com os amigos e voltou com 5 bolinhas pretas e 8 coloridas. Que fração de suas bolinhas são coloridas?

6 2 (fração como medida de grandeza contínua) O farmacêutico de José lhe fez uma mistura com uma colher de remédio amargo e quatro colheres de groselha. Que fração da mistura foi feita com groselha? Eu tinha duas barras de chocolate iguais, e dividi cada uma delas em cinco pedaços iguais. Comi uma parte de cada barra. Pergunta-se: a).- o total que comi é que fração de barra? b).- o total que comi é que fração do chocolate que eu tinha? Exercício (fração como quociente de grandeza discreta) Tenho 12 adesivos e vou dividí-los em partes iguais, entre quatro crianças. Que fração representa essa partilha? Exercício (fração como quociente de grandeza contínua) Se eu dividir igualmente duas barras de chocolate entre três crianças que fração do chocolate dado recebe cada criança? (fração operador em grandeza discreta) José tem 24 adesivos e sua prima tem apenas 2/3 do que ele tem. Quantos adesivos tem sua prima? (fração operador em grandeza contínua) José comeu ¾ de sua barra de chocolate. Desenhe o chocolate e represente o que ele comeu. As ideias de equivalência e irredutibilidade, soma e multiplicação de frações Trabalhando apenas com frações ordinárias, decidir qual dentre os seguintes aquecedores gasta mais gás: o primeiro gasta 710 litros em 7 ½ horas e o segundo gasta 640 litros em 5 ½ horas. Dica: inicie expressando os consumos horários como frações ordinárias e as transformando em frações irredutíveis, para melhor compará-las. o segundo aquecedor consome mais. Um comerciante vendeu 63 m de tecido, o que lhe deixou com 2/5 do que tinha. Quanto tinha? 105 m. Uma florista sempre faz suas encomendas do seguinte modo: 2/5 são plantas verdes, 3/7 são plantas de flores e o restante é de cactos. Pergunta-se: a).- os cactos representam que fração do pedido? b).- se entre as plantas de flores, 2/3 são rosas, que fração da encomenda representam as rosas? No Dia dos Namorados, um florista vendeu ¾ dos seus bouquets de flores durante a manhã e de tarde vendeu 2/3 do que sobrara. No final do dia, que fração de seus bouquets foi vendida? Um avião de 240 lugares partiu de PoA para Miami com 2/3 dos lugares ocupados, fez uma única escala, no Rio de Janeiro, onde novos passageiros ocuparam 3/5 dos lugares vazios. Com quantos lugares vazios o avião chegou em Miami?

7 3 Exercício (ORM/2011) Alexandre emprestou seu carro com tanque cheio para Gabriela e ela devolveu o carro sem abastecer. No tanque cabem 40 litros de gasolina. a).- Se Gabriela gastou 2/5 da capacidade do tanque, com quantos litros no tanque ele devolveu o carro? b).- Sem reabastecer o carro, Alexandre consumiu mais 1/3 da gasolina que sobrou para ir à esco la e mais 1/5 do restante para voltar para casa. Quantos litros de gasolina serão necessários para ele voltar a deixar o tanque cheio? a) 30 litros b) 34 litros. Problemas olímpicos: adição de muitas frações, ou de frações complicadas Tipicamente, este tipo de problemas pode ser resolvido se conseguirmos cancelar frações. Para se conseguir isso, pode-se usar identidades tais como: a 2 b 2 1 = a b a b e n n 1 = 1 n 1 1 ou n 1 a 1 b = b a ab. Expressar como fração ordinária o valor de A, dado por: simplifique o numerador e depois o denominador; resp.: A = 31/9. Expressar a fração seguinte como fração irredutível: usando uma das dicas acima, a 2 b 2 = a b a b, podemos simplificar o denominador para , o que permite um grande cancelamento com o numerador, obtendo-se facilmente o valor ½ para a fração dada. Expressar a soma abaixo como uma fração irredutível: inicie observando que os denominadores podem ser facilmente escritos como produtos: 3=1 3, 15=3 5, 35=5 7, 63=7 9, etc.; a seguir, use a terceira dica acima para transformar a soma das frações dadas em uma soma na qual existe uma série de cancelamentos subtrativos, resultando no valor total da soma: ½ (1/1 1/23) = 11/23. Problemas olímpicos diversos José gosta de apresentar o seguinte enigma para seus amigos: O terço de um quarto é igual ao quarto de um quarto mais o terço do quarto de um quarto?. Responda-lhe.

8 (ORM/2007) Maria escreveu cinco números inteiros positivos e constatou que a soma deles era igual ao seu produto. Que números Maria escreveu? a b c d e=abcde, onde 0 a b c d e. Dividindo os dois lados da igualdade anterior, por abcde obtemos: 1 bcde 1 acde 1 abde 1 abce 1 abcd =1. Ora, o menor resultado possível para o produto de quatro dos números de Maria é abcd, de modo que cada uma das frações acima é 1/abcd, logo a igualdade acima mostra que 1 5/abcd, e então: abcd 5. Disso segue que a=b=1 e c=1 ou c=2. Jogando com essa informação e a condição a b c d e=abcde, obtemos três soluções: {1,1,1,2,5}, {1,1,1,3,3} e {1,1,2,2,2}. É fácil achar três ou quatro números inteiros distintos cujos recíprocos têm soma igual a um, por exemplo: = 1, = 1. Pede-se: a).- mostrar que também existem cinco inteiros distintos cujos recíprocos têm soma unitária; b).- usando indução matemática, mostre que esse tipo de resultado vale para n 3 inteiros; 4 Observe que vale 1 6 = inteiro, se m 2. e então generalize (provando). Para b) use que m 1 m nunca é (ORM/2010) Dos 165 participantes do Chat-ORM, 3/5 são alunos da Escola MAT e 1/3 destes alunos são meninos. Pergunta-se: a).- Quantas meninas da Escola MAT participam do Chat-ORM? b).- O número dos participantes do Chat-ORM que têm 16 anos é múltiplo de 4 e 7, além de ser divisível por seus próprios dígitos. Quantos são os alunos com 16 anos? a).- Temos 3/ 5 165=99 alunos da Escola MAT participando do Chat, e 2/3 deles são meninas, ou seja: 66 deles são meninas. b).- O número de tais participantes tem de ser múltiplo de 28 e menor do que 165. Temos as seguintes possibilidades: 28, 56, 84, 112, 140. Desses números, o único que é divisível por todos seus dígitos é 112. Este é, pois, o número de alunos de 16 anos no Chat. Problema (ORM/2010) Temos quatro inteiros positivos, a, b,c,d tais que 1 a 1 b 1 c 1 d =1. Mostre que ao menos um deles tem de ser par. some as frações e raciocine por absurdo (suponha que todos sejam ímpares). Achar um número inteiro que somado ao numerador e o denominador de 13/25 produza uma nova fração que difere de 3/50 da unidade. 175.

9 Mostrar que a fração que precisamos somar à uma fração irredutível, para obter a unidade, é também irredutível. indicando por a/b a fração irredutível dada, precisamos mostrar que na fração b a o numerador e denominador são relativamente primos. O que envolve raciocínio b conhecido. Mostrar que se escrevermos a soma de um inteiro com uma fração irrdedutível como uma fração, esta é irredutível. Dica: raciocine por absurdo. Seja dada uma fração irredutível cujo numerador é maior do que o denominador, e suponhamos que a coloquemos na forma m+a/b, onde m é inteiro. Mostre que também a/b é irredutível. Dica: raciocine por absurdo. Se somarmos 88 ao numerador da fração 8/13, que inteiro devemos somar a seu denominador para que a fração não mude de valor? Dica: 88 é múltiplo do numerador. Faça algo semelhante com o denominador. A fração 1001/1848 é equivalente a alguma fração de denominador igual a 560? Dica: cuidado com seu raciocínio. V. precisa examinar tanto denominador como numerador, e a maneira inteligente de fazer isso consiste em reduzir a fração dada à forma irredutível. Entre as frações equivalentes a 8/51, determinar a menor que tenha como diferença entre o deno minador e numerador um múltiplo de 6. Dica: raciocine com mod 6. 48/306. Mostrar que se a/b é irredutível, então também é irredutível a fração a b ab. Mostrar que se a/b é irredutível, então também é irredutível a fração a/b + b/a. Mostrar que ao somarmos duas frações irredutíveis, a única maneira da soma resultar num número inteiro é quando os denominadores forem iguais. Dica: usar Lema de Euclides. (dificil) Achar um número inteiro que somado tanto ao numerador como ao denominador de a/b produza uma nova fração que difere de 1/n da unidade (onde n é um inteiro positivo dado). Dica: terá de estudar o que ocorre com k=n b a b, segundo a b, a=b,a b. 5