João Oliveira & André Marta. Estabilidade de Voo Lista de Problemas

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1 João Oliveira & André Marta Estabilidade de Voo Lista de Problemas Versão de 3 de Janeiro de 2018

2 A Equilíbrio e Estabilidade Estática Longitudinais 1. Considere um modelo de uma asa montado num túnel de vento, em condições SSL (ρ = kg/m 3 ) e com uma velocidade de escoamento de 50 m/s. A asa tem uma área de 1.2 m 2 e uma corda média de 0.4 m. O centro de massa da asa está localizado a 25% da corda, atrás do bordo de ataque. Utilizando uma balança de medição de forças e momentos (relativamente ao CG) obtiveram-se os seguintes resultados: α 1 = 1 : L 1 = N M 1 = Nm. α 2 = 2.5 : L 2 = N M 2 = Nm. (Nota: Os ângulos de ataque foram medidos relativamente a uma linha de referência escolhida de forma arbitrária.) a) Determine a posição do centro aerodinâmico da asa, o coeficiente do momento de picada em relação ao centro aerodinâmico da asa e o coeficiente a w. b) Determine a direcção da linha de sustentação nula da asa em relação à linha de referência mencionada na nota acima. 2. Considere uma aeronave constituída por uma asa + fuselagem com as seguintes características: * Área da asa: S w = 13.5m 2 ; * Corda média: c = 1m; Peso: W = N; * Distância entre o bordo de ataque da asa e o centro aerodinâmico do conjunto asa + fuselagem (em cordas): h nwb = 0.18; * Distância entre o bordo de ataque da asa e o centro de massa (em cordas): h = 0.27 * Coeficiente de momento de picada relativo ao centro aerodinâmico do conjunto asa + fuselagem: C macwb = * Declive da curva do C L com α: a wb = 0.07/ a) Calcule o coeficiente de sustentação necessário para equilibrar o peso da aeronave, e o respectivo ângulo de ataque, sabendo que a sua velocidade é V = 60m/s em condições de voo SSL. b) Nas circunstâncias da alínea anterior a aeronave está em equilíbrio? Caso não esteja, diga qual a velocidade e o ângulo de ataque necessários para o equilíbrio. c) O ponto de equilíbrio calculado na alínea anterior é estável? Justifique. 3. Pretende-se projectar um avião com as seguintes características: V H = 0.48; S t /S = 0.14; a = 4.5 rad 1 ; a t = 2.8 rad 1 ; a e = 1.2 rad 1 ; ɛ 0 = 0; ɛ/ α = 0.47; h = 0.27; h nwb = 0.18; C macwb = Determine o ângulo de incidência i t do estabilizador que é necessário para que o avião esteja em equilíbrio (trim) com C L = 0.3 e deflexão nula do leme de profundidade. (Admita δ t = 0 e despreze eventuais efeitos da propulsão). [Pergunta 1, 1 o Teste 2006] 1

3 4. Um pequeno avião comercial apresenta as seguintes características longitudinais: x cg / c = 0.3; C mcg = C m0 + dc m cg dc L C L + C mδe δ e ; C m0 = 0.05; dc mcg dc L = 0.1; C mδe = 0.01/. (O centro de gravidade é dado em relação ao bordo de ataque da asa.) Assuma que C m0 e C mδe não se alteram com o deslocamento do centro de gravidade e que os valores máximos de deflexão do leme de profundidade são ±20. O avião é carregado de tal forma que o seu centro de gravidade se desloca para a posição x cg / c = Determine se o avião pode ser equilibrado durante a aterragem, em que C L = 1. [Pergunta 1, 1 o Teste de 2005] 5. O aeromodelo acrobático radio-comandado, ilustrado na figura abaixo, apresenta as seguintes características: m = 7 kg, h = 0.35, S = 78 dm 2, S t = 12 dm 2, b = 2070 mm, b t = 750 mm, ε = 0.4α wb, lt = 1170 mm. Perfil NACA 64A-010 α C l C m c/4 0 o o O perfil simétrico NACA 64A-010, utilizado em todas as superficies sustentadoras, exibe os valores de coeficiente (2D) de sustentação e momento de picada em relação ao quarto de corda conforme tabelado acima. a) Considerando apenas a contribuição da asa e do estabilizador horizontal, calcule o declive C Lα a do aeromodelo, utilizando a equação de Helmbold para estimar o declive de uma asa finita. a 2D a 3D = 1 + ( a 2D πa )2 + a 2D πa b) Calcule a posição do centro aerodinâmico h ac do perfil. c) Determine a posição limite do centro de massa para garantir estabilidade do aeromodelo. (Nota: assuma que a posição do centro aerodinâmico da asa é a mesma da do perfil h nw = h ac ). d) Determine a incidência o estabilizador horizontal para que o aeromodelo voe equilibrado com velocidade V = 20 m/s sem necessidade de deflexão do leme de profundidade, em condições SSL (ρ = kg/m 3 ). [Pergunta 1, 1 o Teste 2016/2017] 2

4 6. Um avião com uma configuração convencional tem as seguintes características: Asa: c = 1.49m S = 16.17m 2 h nwb = 0.2 C macwb = 0.04 a wb = 3.98/rad Estabilizador: c t = 1.05m S t = 3.78m 2 i t = 2.7 o lt = 4m a t = 2.95/rad ɛ 0 = 0 ɛ α = O peso total do avião é W = N. A deflexão do leme de profundidade deve permanecer entre os limites 20 < δ e < 20. Determine a área mínima do leme de profundidade necessária para equilibrar o avião a uma velocidade de V = 95 km/h em condições SSL (ρ = kg/m 3 ) para uma margem estática K n = Nota: Suponha que o leme de profundidade ocupa toda a envergadura do estabilizador e considere que C L t δ e a e = a t τ. O parâmetro τ é dado em função da razão c e / c t pelo gráfico: [Pergunta 2, 1 o Exame 2013/2014] 7. Em ensaios em túnel aerodinâmico verificou-se que o momento de picada de uma asa relativamente a um ponto P situado a metade da corda da asa é dado por (C mw ) P = C Lw. Admita que quando esta asa é montada numa aeronave, os coeficientes aerodinâmicos ou de estabilidade do conjunto asa+fuselagem são iguais aos da asa isolada. a) Qual a posição do centro aerodinâmico da asa? b) O estabilizador horizontal da aeronave tem área S t = 3.3 m 2 e está colocado de modo que a distância entre os centros aerodinâmicos da asa e do estabilizador é exactamente 5 m. Determine o maior valor de h para que a aeronave possa voar estavelmente. c) Admita que δ e pode variar entre ±20 o. Se a margem estática for de 15%, determine o menor valor da velocidade para que o avião possa voar em equilíbrio e o respectivo valor do ângulo de ataque da asa+fuselagem. Comente o resultado. Outros dados da aeronave: S w = 16.5 m 2, c = 1.5m, ɛ 0 = 0 o, ɛ α = 0.3, W = N a wb = 0.07/ o, a t = 0.065/ o, a e = 0.02/ o, i t = 2. Nota: considere condições de voo SSL (ρ = kg m -3 ). [Pergunta 1, 2 o Exame 2013/2014] 3

5 8. Considere um avião com uma configuração canard. A asa tem uma área S = 13.5 m 2, uma corda média c = 1.35 m, a wb = 0.075/ o e C macwb = O canard tem uma área S c = 3.2 m 2 e a c = 0.07/ o, sabendo-se que tem um perfil simétrico. A distância entre os centros aerodinâmicos da asa e do canard é de 9 m. O efeito do upwash traduz-se no ângulo de upwash ε = 0.3α wb. a) Deduza uma expressão para a derivada C mα e determine a distância do centro aerodinâmico do estabilizador (canard) ao ponto neutro. b) Tendo o avião um peso de N e uma margem estática de 7%, determine o ângulo de incidência do canard e o correspondente ângulo de ataque α wb necessários para equilibrar o avião se este voar a 2400m de altitude (ρ = kg/m3) com velocidade V = 75 m/s. (Nota: se não resolveu a alínea anterior, admita que o ponto neutro se encontra a 7 m do centro aerodinâmico do canard.) [Pergunta 1, 2 o Exame 2014/2015] 9. Um avião tem as seguintes características: c = 1.1m h nwb = 0.24 C macwb = 0.06 a wb = 0.1/ a t = 0.08/ V H = 0.6 S t /S = 0.2 b 1 = 0.002/ b 2 = 0.003/ i t = 2 a e = 0.02/ ɛ 0 = 0 ɛ α = 0.4 W = N S = 16m 2. A deflexão total do leme de profundidade não deve ultrapassar os limites δ e = ±30. a) Determine o limite da posição centro de massa para que exista estabilidade longitudinal com controlo fixo. b) Qual é a posição mais à frente (isto é, mais perto do nariz do avião) que o centro de massa pode ter para que se possa garantir o equilíbrio à velocidade V min = 50 m/s? c) Determine a posição do ponto neutro de manche livre. [Pergunta 1, 1 o Teste 2009] 10. Considere um avião com massa de 1250 kg, área da asa S = 15m 2 e com o centro de massa a 25% da corda, e que se encontra em voo horizontal a baixa altitude com uma velocidade de 100 m/s. Usando os dados e a figura abaixo, determine o ponto neutro e a margem estática para manche livre. Comente os resultados. Dados do avião: S t /S w = 0.35; VH = 0.4; ε α = 0.4; a w = 0.09/ ; b 1 = 0.003/ ; b 2 = 0.005/ ; a t = 0.08/ ; b 0 = 0.0; a e = 0.05/. [Pergunta 2, 1 o Teste de 2006] 4

6 11. O aeromodelo acrobático radio-comandado, ilustrado na figura abaixo, apresenta as seguintes características: m = 7 kg, i t = 2 o, h = 0.33, h nwb = 0.3 S = 78 dm 2, b = 2070 mm, S t = 12 dm 2, b t = 750 mm, S e = 4 dm 2, c e = 6 cm, ε = 0.4α wb, lt = 1170 mm, a w = 5.2 /rad, a t = 4.8 /rad, É utilizado o perfil simétrico NACA 64A-010 em todas as superficies sustentadoras, e o aeromodelo não possui quaisquer compensadores. Foram realizados ensaios aerodinâmicos do estabilizador horizontal isolado, tendo-se obtido os resultados apresentados nos gráficos abaixo: a) Calcule o ângulo de ataque e a deflexão do leme de profundidade para que o aeromodelo voe nivelado a uma altitude de 500 m (ρ = kg/m 3 ) com velocidade V = 25 m/s. b) Estime os paramêtros b 0, b 1 e b 2 para a linearização do coeficiente de momento de charneira do leme de profundidade. c) Estime a força F do actuador do leme de profundidade, conforme ilustrado na figura acima, para a situação de voo da alinea a), sabendo que o tirante tem um braço de z e = 3 cm de comprimento. [Pergunta 2, 1 o Teste (2 a Época) 2016/2017] 12. Uma aeronave em voo horizontal em condições SSL (ρ = 1.225kg m -3 ), com margem estática K n = 0.15 e carga alar W/S = 1800 N/m 2 tem as seguintes características: a wb = 0.08/ a t = 0.06/ C macwb = 0.04 VH = 0.55 a e = 0.025/ ɛ = 0.36α wb S e = 4m 2 c e = 0.5m i t = 3 G = 1.6 rad/m S t /S = 0.25 b 0 = 0 b 1 = 0.002/ b 2 = 0.005/ b 3 = 0.006/ a) Determine a velocidade para força nula no manche com δ t = 0. b) Determine a deflexão do compensador para equilibrar o avião com força nula para V = 120m/s. c) Calcule o gradiente da força de controlo dp/dv para os casos das alíneas anteriores. Compare a manobrabilidade da aeronave nos dois casos, justificando a resposta. [Pergunta 2, 1 o Teste de 2009] 5

7 13. Um avião está a voar a uma altitude constante de 900 m (ρ = kg m -3 ) com velocidade V = 100 m/s. Com deflexão nula do compensador, a força de controlo necessária para equilibrar o avião é P = 40.8N. Para voar em equilíbrio com força nula, é necessário δ t = 2.7 o. a) Sabendo que G = 1.45rad m -1, S e = 6.7 m 2, c e = 0.7 m, determine o valor da derivada C he δ t. b) Se o avião alterar a velocidade de equilíbrio para V = 170 m/s, a força de controlo no manche para δ t = 0 é P = 28N. Determine a valor de δ t necessário para o avião voar em equilíbrio com manche livre à velocidade V = 170 m/s. [Pergunta 2, 1 o Teste de 2011] 6

8 B Equilíbrio e Estabilidade Estática Laterais 1. Considere o bombardeiro russo supersónico Tupolev Tu-22M, conforme ilustrado na figura abaixo. Esta aeronave, com uma configuração de asa baixa, possui uma asa de flecha variável, que pode ser ajustada consoante as condições de voo. Gama de variação da flecha da asa: 20 o Λ 65 o ; gama de variação da envergadura: 23 m b 34 m. Outros dados da aeronave: m = kg S = 180 m 2 Γ = 0 c root = 10 m c tip = 2.7 m S F = 22 m 2 z F = 2 m a F = 0.1/ Admita que a aeronave se encontra em voo rectilíneo nivelado a uma altitude de 13200m (ρ = kg/m 3, a = 295 m/s) a voar a Mach=1.6. Nestas condições de voo: a) Estime o valor da derivada C lβ para ambas as posições limite da geometria variável da asa. b) Comente o efeito em termos de estabilidade lateral se o piloto passar da posição de flecha minima para flecha máxima, mantendo todos os outros parâmetros operacionais inalterados. c) Indique, qualitativamente, qual o efeito que a variação da geometria da asa tem na derivada C nβ (considere apenas a contribuição da cauda para esta derivada). [Pergunta 3, 1 o Teste (2 a Época) 2015/2016] 7

9 C Estados Estacionários e Manobras 1. Um avião está a fazer uma aterragem com vento cruzado em condições SSL. O vento sopra directamente da direita com uma velocidade de 4,47 m/s. A velocidade do avião durante a aterragem é de 40,24 m/s. O peso do avião é N. O piloto derrapa (slip) e prancha (bank) o avião para o manter alinhado com a pista de aterragem. Calcule os ângulos de deflexão do leme de direcção (rudder) e dos ailerons necessários para se efectuar a aterragem. C lβ = /rad C lδa = /rad C lδr = /rad S = m 2 C nβ = /rad C nδa = 0/rad C nδr = /rad ρ = kg/m 3 C Yβ = /rad C Yδa = 0/rad C Yδr = /rad [Pergunta 3, 1 o Teste de 2007] 2. O Cessna 182 é uma aeronave com uma asa de área S = 16 m 2 e corda média c = 1.48 m. Tem peso máximo à aterragem de W = N, para a qual o centro de massa recomendado deve situar-se a h = A velocidade de aterragem é de V = 33 m/s em codições SSL (ρ = kg/m 3 ). Nessa fase de voo, a aeronave apresenta as seguintes derivadas aerodinâmicas laterais-direcionais adimensionais: C yβ = C yp = C yr = C yδa = 0 C yδr = C lβ = C lp = C lr = C lδa = C lδr = C nβ = C np = C nr = C nδa = C nδr = Assuma como válida a aproximação de ângulos α e β pequenos. a) Sabendo que os aileron têm uma deflexão máxima de ±16 o e o leme de direção uma deflexão máxima de ±20 o, calcule o valor máximo admissível de vento lateral durante a aterragem. b) Calcule o ângulo de pranchamento na situação limite da alinea anterior. [Pergunta 4, 1 o Teste 2016/2017] 3. Quando o bimotor da figura se encontra em voo rectilíneo nivelado a uma altitude de 3000 m (ρ = 0, 9048 kg/m 3 ) e com uma velocidade de 120 m/s, os dois motores geram uma força de propulsão de N. Supondo que o motor esquerdo tem uma avaria e pára, e que o motor da direita passa a desenvolver a mesma força de propulsão de N, determine as deflexões do aileron e do leme de direcção necessárias para manter o avião num voo rectilíneo, bem como o ângulo constante de pranchamento. Despreze a resistência adicional do motor e considere que o ângulo de derrapagem é nulo. [Pergunta 2, 1 o Exame de 2005] Características da aeronave W = N; S = 87.8m 2 ; c = 3.08m; b = 29.3m; y p = 4.72m; C m0 = C Lα = 5.24 C mα = C Yβ = C lβ = C nβ = C Lδe = C mδe = 2.12 C Yδa = C lδa = C nδa = C Lq = 7.83 C mq = 35.6 C Yδr = C lδr = C nδr = (Nota: As derivadas relativamente a ângulos são por radiano) 8

10 4. O bimotor comercial a jacto representado na figura abaixo encontra-se em voo rectilíneo com velocidade u 0 = 76 m/s em condições SSL (ρ = kg m -3 ) quando um dos motores pára. O motor em funcionamento passa a desenvolver uma força de propulsão de T = 62 kn. A deflexão do leme de direcção pode variar entre 15 o < δ r < 15 o. Usando os dados e o gráfico abaixo, determine a área do leme de direcção S r necessária para controlar o avião e mantê-lo no rumo (sem derrapagem). Dados da aeronave: S = 91 m 2 S F = 30.5 m 2 l F = 11 m y T = 4.8 m b = 28 m a F = 0.1/ o C nδa = 0 F OEI = 1.23 Nota: Considere C L F δ r = a F τ, em que τ é um parâmetro adimensional. [Pergunta 1, 2 o Teste (Rec) de 2009/2010] 5. Após a deflexão dos ailerons o avião adquire uma velocidade angular de rolamento que passado suficiente tempo tende para um valor constante. Admitindo válida a teoria linear, e supondo desprezáveis as derivadas cruzadas, calcule a velocidade de rolamento estacionário após uma deflexão dos ailerons de 10. A envergadura das asas do avião em causa é b = 15 m e sabe-se que C lp = 0.45 e C lδa = Considere que o avião se encontra a voar com uma velocidade de 70 m/s em condições SSL. [Pergunta 3, 1 o Exame 2014/2015] 9

11 6. Considere um avião composto unicamente por uma asa e uma cauda e os seguintes dados: S w = 14 m 2, S t = 4.6 m 2, C macw = 0.0, c = 1.8 m, a w = 0.075/ o, a t = 0.065/ o, ε α = 0.4, W = 13 kn. A distância entre os centros aerodinâmicos da asa e da cauda é 6 m. Quando o centro de gravidade do avião se localiza no centro aerodinâmico da asa, o avião encontra-se equilibrado se voar à velocidade V = 50 m/s (com δ e = 0). a) Se o avião apresentar uma velocidade angular de picada de 10 o /s, determine o momento adicional criado pela cauda em torno do centro de gravidade do avião. b) Admita que o centro de gravidade do avião se desloca de 0.15 m na direcção da cauda. Calcule a nova velocidade do avião para o qual este se manterá em equilíbrio com velocidade angular de picada nula e sem deflexão do leme de profundidade. [Pergunta 3, 1 o Teste de 2006] 7. Uma aeronave encontra-se em voo rectilíneo nivelado a uma altitude de ft (ρ = 0, 9048 kg/m 3 ) e com uma velocidade de 120 m/s. a) Determine o valor de α e δ e em equilíbrio. b) Determine o incremento δ e da deflexão do leme de profundidade que seria necessário se o avião se encontrasse numa manobra de pull-up (descida-subida) estacionária nivelada com um factor de carga n = 2. [Pergunta 1, 1 o Exame de 2005] c) Determine o ângulo de pranchamento e o factor de carga, bem como o incremento δ e da deflexão do leme de profundidade necessário se o avião iniciar uma volta coordenada com o raio de 2000 m. Características da aeronave W = N; S = 87.8m 2 ; c = 3.08m; b = 29.3m; y p = 4.72m; C m0 = C Lα = 5.24 C mα = C Yβ = C lβ = C nβ = C Lδe = C mδe = 2.12 C Yδa = C lδa = C nδa = C Lq = 7.83 C mq = 35.6 C Yδr = C lδr = C nδr = (Nota: As derivadas relativamente a ângulos são por radiano) 10

12 D Derivadas de Estabilidade 1. Considere uma aeronave com uma configuração canard. Sabendo que as áreas da asa e do canard são S e S c, respectivamente, que as respectivas cordas são c e c c e que a distância entre o centro aerodinâmico do canard e o centro de massa do avião é l c, deduza expressões para a contribuição do canard para as derivadas de estabilidade C Lq e C mq. Recorde que ˆq = c 2u 0 q e use a notação (C Lα ) canard = a c. [2.5 val] [Pergunta 4, 2 o Exame 2014/2015] 2. Considere os dados geométricos de um jacto privado: S w = 21.5 m 2 ; S t = 5 m 2 ; S F = 3.5 m 2 ; h nwb = 0.15; h = 0.30; Γ = 3 ; b = 11 m; l t = 6.5 m; l F = 5.5 m; C macw = 0.02; a wb = 0.1/ ; a F = 0.1/ ; C m α = 3.0; C mq = 12.0; c root = 3.0 m c tip = 1.6 m a) Determine a derivada C mα. b) Apresente estimativas para as derivadas C lp e C nr. c) É possível apresentar estimativas para C l r e C np? Justifique. [Adaptado de Exame de 1 a Época de 2005, Pergunta 3] 3. Num avião com uma configuração convencional, a principal contribuição para a derivada C nβ vem do estabilizador vertical. Caso se pretenda modificar esta contribuição, indique a) que características do avião se devem modificar; b) que outras derivadas são afectadas. 11

13 4. Um Cessna T37 como o representado na figura está em voo de cruzeiro a uma altitude de ft (ρ = kg/m 3 ) com uma velocidade U 0 = 139 m/s (M = 0.459). Tendo em conta as suas características geométricas e aerodinâmicas, dadas abaixo, calcule uma estimativa para as contribuições da asa e da empenagem vertical para as derivadas aerodinâmicas C lβ e C nβ. Considere três possíveis ângulos de diedro: a) Γ = 0 o ; b) Γ = 2 o ; c) Γ = 5 o. 5. O mesmo que o problema anterior mas para um voo em condições SSL com velocidade U 0 = 48.7 m/s (M = 0.143). Propriedades: W = N; h = Asa: S = 16.9 m 2 ; c = 1.67 m; b = m; λ = 0.587; Λ LE = 2.4 o ; Λ 1/2 = 2.8 o ; Λ 1/4 = 0.2 o. Estabilizador vertical: S F = 2.2 m 2 ; a F = 3.0 rad -1 ; l F = 4.7 m; z F = 0.75 m; σ β desprezável. 12

14 De Etkin & Reid, Dynamics of Flight, Apêndice B: 13

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17 B = 1 M 2 cos 2 Λ c/4 16

18 Contribuições da Cauda: ( Clβ ) cauda = a F S F z F Sb, ( Cnβ )cauda = a F V V ( VF V ) 2 ( 1 σ ). β 17

19 E Estabilidade Dinâmica 1. Considere um jacto comercial que se desloca com velocidade horizontal de 85 m/s em condições SSL e que tem as seguintes características: W = N; S = m 2 ; c = 3.35 m ; I y = kg m 2 ; C D1 = 0.08; C Dα = 0.08; C D α = 0; C Dq = 0; C Du = 0; C L1 = 0.68; C Lα = 4.5; C L α = 2.7; C Lq = 7.7; C Lu = 0; (C m ) 0 = 0; C mα = 0.9; C m α = 4.1; C mq = 12.1; C mu = 0; (Nota: As derivadas relativamente a ângulos são por radiano) a) Determine os valores aproximados da frequência natural e do coeficiente de amortecimento para o modo fugóide. Use os valores obtidos para estimar o tempo e o número de ciclos necessários para a amplitude das oscilações se reduzir a metade, após uma solicitação inicial. b) Determine os valores aproximados da frequência natural e do coeficiente de amortecimento para o modo de período curto. [Exame de 1 a Época de 2005, Pergunta 4] 2. Um avião, cujos dados se encontram abaixo, e que está em voo horizontal a baixa altitude com velocidade u 0 = 52 m/s encontra vento de cauda (tailwind) que varia de acordo com a altitude. Admita que a velocidade do vento pode ser dada por W = W 0 + Γz E, em que W 0 é a velocidade a uma altitude de referência, z E é a variação de altitude relativamente à altitude de referência e Γ é o gradiente de velocidade do vento. Determine, para o modo fugóide aproximado: a) a frequência natural e do factor de amortecimento; b) para W 0 = 10 m/s e Γ = 0.1/s, a variação da frequência natural e do factor de amortecimento para o modo fugóide devido à existência de vento. (Despreze a variação das derivadas de estabilidade devido ao gradiente de velocidade do vento.) Dados da aeronave: S = 26 m 2 ; c = 2 m; b = 14 m; W = N I xx = kg m 2 ; I yy = kg m 2 ; I zz = kg m 2 ; I xz = 0 Em voo a baixa altitude: C Du = 0 C Lu = C Tu = C mu = 0 C lβ = 0.13 C lp = 0.50 C lr = 0.06 C nβ = C np = C nr = [Exame de 1 a Época de 2007, Pergunta 5] 18

20 3. O modo de fugóide de uma aeronave pode ser aproximado pelo seguinte sistema de equações: { 2µ u Cxu u + C L1 θ = C xδe δ e 2C L1 u 2µ θ = C Lδe δ e em que µ é uma constante. Para este modo aproximado, determine: a) a equação característica; b) a frequência natural e o factor de amortecimento; c) a relação entre C Tu e C Du que assegura a estabilidade do modo. [2 o Teste de 2012/2013, Grupo I] 4. O monomotor a hélice cujos dados se apresentam abaixo encontra-se em voo de cruzeiro a uma altitude de 5000 ft (ρ = 1.058kg/m 3 ) com uma velocidade de u 0 = 67 m/s. Para estas condições de voo verificou-se que, para o modo de rolamento holandês, a frequência natural é ω n = 3.09 rad/s e o factor de amortecimento é ζ = a) Determine as derivadas C nr e C nβ. b) Estime a contribuição da asa+fuselagem para a derivada C nβ, admitindo que o efeito do sidewash é desprezável. (Se não resolveu a alínea anterior, use os valores C nr = e C nβ = 0.060). Dados da aeronave (Cessna 182): W = N, S = 16.2 m 2, c = 1.5 m, b = 11.0 m, l F = 5.5 m I x = 1285kg m -3, I y = 1825kg m -3, I z = 2666kg m -3, I xz = 0. Para voo de cruzeiro, altitude 5000 ft, Velocidade u 0 = 67 m/s: C Lα = 4.41, C Lq = 3.9, C Lδe = 0.43, C Lu = 0, C mα = 0.613, C mq = 12.4, C mδe = 1.122, C mu = 0, C yβ = 0.393, C yp = 0.075, C yr = 0.214, C Du = 0, C D1 = [Pergunta 3, 2 o Teste (Rec) 2008/2009] 5. Uma aeronave encontra-se em voo rectilíneo horizontal a uma altitude de 5000 ft (ρ = kg/m 3 ) com uma velocidade u 0 = 104m/s. Por meio de ensaios em voo determinou-se que para o modo fugóide ω n = rad/s e ζ = Sabendo que C mu = 0 e tendo em conta os dados abaixo, determine o valor para que tende o ângulo de subida quando se altera a deflexão do leme de profundidade de δ e = 0.5. Dados da aeronave: S = 26.0 m 2 ; c = 2.0 m; b = 14.0 m; W = N; g = 9.8 m/s 2 ; I xx = kg m 2 ; I yy = kg m 2 ; I zz = kg m 2 ; I xz = 2170 kg m 2 C Dα = C Dδe = 0 C D0 = C Lα = 5.48 C Lδe = 0.60 C mα = 1.89 C mδe = 2.0 C yβ = 0.59 C yp = 0.19 C yr = 0.39 C yδr = C yδa = 0 C lβ = 0.13 C lp = 0.50 C lr = 0.14 C lδr = C lδa = C nβ = C np = C nr = C nδr = C nδa = (Nota: As derivadas relativamente a ângulos são por radiano) [Exame de 1 a Época de 2013/2014, Pergunta 5] 19

21 6. Um Boeing 747 de massa m = kg encontra-se a voar a uma velocidade de 67 m/s em condições SSL. A partir das suas derivadas de estabilidade laterais-direccionais sabe-se que (em SI): Y v = Y δr = N v = N r = N δa = N δr = Considere também os seguintes momentos de inércia modificados: I z = kg m 2 ; I zx = 1, kg m 2. a) Determine a frequência natural e o factor de amortecimento do modo aproximado de rolamento holandês. b) Calcule as funções de transferência β(s)/δ a (s) e β(s)/δ r (s). c) Determine a resposta estacionária do avião em termos do ângulo de guinada Ψ a uma variação do tipo impulso da deflexão do leme de direcção (rudder) δ r = 10. (Nota: recorde que, para um voo estacionário nivelado e rectilíneo, Ψ = r.) [Exame de 1 a Época de 2006, Pergunta 6] 7. Considere uma aeronave em voo horizontal rectilíneo nivelado com velocidade u 0. a) Mostre que após um aumento da deflexão do leme de profundidade de δ e (tipo escalão), o valor para que tende a variação da velocidade da aeronave é: u = u 0 C Lα C mδe C mα C Lδe 2C W0 C mα δ e. Admita que C mu = 0, C Lu = 0 e C D0 << C Lα. b) Mostre que se chega ao mesmo resultado usando a expressão da deflexão do leme de profundidade para equilíbrio e determinando a variação da velocidade de equilíbrio que se obtém quando se aumenta a deflexão do leme de δ e. (Nota: admita que ( u) 2 /u 2 0 << 1, fazendo as aproximações habituais para pequenas perturbações.) [Pergunta 3, 2 o Teste 2009/2010] 8. O bimotor com propulsão a hélice cujos dados se encontram abaixo está em voo rectilíneo nivelado a baixa altitude (ρ = kg m -3 ) com velocidade u 0 = 54.6 m/s. a) Determine t 1/2 (ou t 2 ) para os modos aproximados de rolamento e espiral. Discuta o resultado quanto à estabilidade dinâmica dos modos. b) Caso pretenda garantir a estabilidade dinâmica do modo espiral, indique que derivadas de estabilidade e que características do avião modificaria para o conseguir. Justifique a resposta. [Pergunta 4, 2 o Teste 2010/2011] Dados da aeronave (Cessna 310): S = m 2 ; c = 1.46 m; b = m; W = N; g = 9.8 m/s 2 ; I xx = kg m 2 ; I yy = 2628 kg m 2 ; I zz = kg m 2 ; I xz = 0 C D0 = C Dα = C Du = 0 C Lα = 4.58 C Lu = 0 C Lq = 8.8 C Lδe = 0.90 C mδe = 2.53 C m0 = 0.07 C mα = C m α = 14.8 C mu = 0 C mq = 29.2 C Tu = C yβ = C yp = C yr = C yδr = C yδa = 0 C lβ = C lp = C lr = C lδr = C lδa = C nβ = C np = C nr = C nδr = C nδa = (Nota: As derivadas relativamente a ângulos são por radiano) 20

22 9. Uma aeronave encontra-se a voar a 40000ft (ρ = kg m 3 ) com uma velocidade (TAS) V = 206 m/s. Verificou-se que as raízes da equação característica para os modos laterais são: λ 1 = /s, λ 2 = /s, λ 3,4 = ± i (/s). a) Indique, justificando, a que modos corresponde cada uma destas raízes. b) Sabendo que C nr = 0.200, determine valores aproximados para as derivadas C lp, C yβ e C nβ. Dados adicionais: I xx = kg m 2 ; I zz = kg m 2 ; I xz = 0; W = N; b = 10.4 m; S = 21.4 m 2 ; [Pergunta 5, 1 o Exame 2014/2015] 10. O modo espiral aproximado pode ser caracterizado pelas seguintes equações: { 0 = Lv v + L r r, ṙ = N v v + N r r. O avião cujos dados se encontram abaixo está a voar com velocidade u 0 = 67 m/s a uma altitude de 5000ft (ρ = kg m -3 ). Use as equações acima para determinar a raiz característica do modo espiral e calcule t 1/2 (ou t 2 ) para esta situação de voo. Comente os resultados. [Pergunta 6, 2 o Exame 2014/2015] W = N, S = 16.2 m 2, c = 1.5 m, b = 11.0 m, C Lα = 4.41, C Lq = 3.9, C Lδe = 0.43, C D1 = 0.032, C mα = 0.613, C mq = 12.4, C mδe = 1.122, C Dδe = 0, C Lu = 0, C Du = 0, C mu = 0, I x = 1285kg m -3, C yβ = 0.393, C yp = 0.075, C yr = 0.214, I y = 1825kg m -3, C lβ = , C lp = 0.484, C lr = , I z = 2666kg m -3, C nβ = , C np = , C nr = , I xz = 0. (Nota: As derivadas relativamente a ângulos estão /rad) 21

23 11. O aeromodelo acrobático radio-comandado, ilustrado na figura abaixo, apresenta as seguintes características: m = 7 kg I xz = 0 S = 78 dm 2 S F = 8 dm 2 b = 2000 mm z F = 100 mm u 0 = 20 m/s em condições SSL C lp = 0.50 C lδa = 0.25 (ângulos em radiano) Um parâmetro importante em acrobacia é a capacidade de efetuar um rolamento de ailerons, que consiste no movimento de rolamento em torno do eixo longitudinal, enquanto o modelo permanece num voo aproximadamente retilíneo e horizontal. Para estimar essa capacidade, podem ser utilizadas as equações de movimento lateraldirecional dadas por: v ṗ ṙ φ = Y v 0 Y r g cos θ L v L p L r 0 N v N p N r tan θ 0 v p r φ + Y δa L δa N δa Y δr L δr N δr 0 0 { δa δr a) A partir do sistema de equações do enunciado e assumindo que não é utilizado o leme de direção, escreva a equação que rege o modo de rolamento aproximado no domínio do tempo. Justifique todas as simplificações utilizadas. b) Determine a equação característica de modo de rolamento aproximado e conclua quanto à estabilidade desse modo. c) Expresse a função de transferência entre a deflexão de ailerons e a velocidade de rolamento, em termos das derivadas dimensionais manuscritas, utilizando o modo de rolamento aproximado. d) Calcule a velocidade de rolamento estacionária após o piloto defletir os ailerons 20 o, encontrando-se em voo retilíneo horizontal a u 0 = 20 m/s em condições SSL. e) Discuta que características da asa e cauda deverão ser modificadas, caso se pretenda aumentar a capacidade de rolamento do aeromodelo. [Pergunta 1, 2 o Teste 2016/2017] } 22

24 Soluções A.1. a) h nw = 0.23, C mac = 0.003, a w = 0.075/ b) α LSN = 1.5 A.2. a) C L = , α = 5.34 b) C m = (não equilíbrio), V = 87 m/s, α = 2.54 c) C mα = > 0 (instável) A.3. i t = 1.63 A.4. δ e = 25 / [ 20, 20 ] A.5. a) C Lα = 5.82/rad b) h ac = 0.3 c) h = d) i t = rad = 1.83 A.6. S e = m 2 A.7. a) h nw = 0.23 b) h n = 0.61 c) V = 25.2 m/s, α wb = 24.1 (possibilidade de perda) A.8. a) C mα = ( lc l c c b) i c = 0.8, α wb = 2.7 A.9. a) h = h n = b) h = c) h n = A.10. h n = 0.34, K n = 0.09 ) a wb + lc c S c a S c(1 ɛ α ), l c = l n = 6.99 m A.11. a) α trim = rad = 2.4, δ etrim = rad = 1.2 b) b 0 = 0, b 1 = 0.005/, b 2 = 0.020/ c) F = 0.645N A.12. a) V = 97.9 m/s b) δ t = 0.78 c) (dp/dv ) trima = 5.37, (dp/dv ) trimb = 4.38 (mais fácil alterar velocidade para V elevado) A.13. a) C he = b 3 = 0.023/rad δ t b) δ t = rad = 0.64 B.1. a) C lβ = / p/ Λ = 20, C lβ = / p/ Λ = 65 b) mais flecha tem efeito estabilizador em C lβ (mais negativa) 23

25 c) mais flecha tem efeito estabilizador em C nβ (mais positiva) C.1. δ r = 9.3, δ a = 11.6, φ = 0.75 C.2. a) v windmax = 16.5 m/s para δ r = ±20 ( δ a < 16 ) b) φ = 4.8 C.3. δ r = 3.2, δ a = 0.4, φ = 2.4 C.4. S r = 2.1 m 2 (τ = 0.2) C.5. p = rad/s = 10.8 /s C.6. a) M = 3296N.m ( C m = ) b) V trim = 45.5 m/s C.7. a) α trim = rad = 3.5, δ etrim = rad = 0.96 b) δ e = 2.3 c) δ e = 0.75 D.1. ( C Lq )carnard = 2 Sc S l c c a c, ( Cmq ) carnard = 2 Sc S ( lc c ) 2 ac D.2. a) C mα = b) ( C lp ) asa = 0.810/rad, ( Clp )cauda = 0.019/rad, (C nr ) asa 0, (C nr ) cauda = 0.466/rad c) (C lr ) asa e ( C np )asa dependem da condição de voo C L D.3. a) a F (perfil e alongamento do estab.vertical), S F (área do estab.vertical) e l F (comprimentos da cauda) b) ( ) C, ( ) lβ Cyβ, ( ), ( ), ( Cyp Clp Cnp cauda cauda cauda cauda )cauda, (C y r ) cauda, (C lr ) cauda, (C nr ) cauda D.4. a) ( C lβ )asa = ( ) /, Clβ = ( ) ( ) cauda /, Cnβ = asa /, Cnβ = cauda / b) ( C lβ )asa = / (restantes inalteradas) c) ( C lβ )asa = / (restantes inalteradas) D.5. a) ( C lβ )asa = ( ) /, Clβ = ( ) ( ) cauda /, Cnβ = asa /, Cnβ = cauda / b) ( C lβ )asa = / (restantes inalteradas) c) ( C lβ )asa = / (restantes inalteradas) E.1. a) ω n = rad/s, ξ = 0.083, t 1/2 = 51.1 s, N 1/2 = 1.32 ciclos b) ω n = rad/s, ξ = E.2. a) ω n = rad/s, ξ = b) ω n = rad/s, ξ =

26 E.3. a) λ 2 C Xu λ + 1 2µ 2 b) ω n = 2 2 c) C Tu < C Du ( CL1 µ ) 2 = 0 C L1 µ, ξ = C Xu C L1 E.4. a) C nr = , C nβ = b) ( C nβ )asa = E.5. lim t + γ(t) = 1.36 E.6. a) ω n = rad/s, ξ = b) β(s)/δ a (s) =, β(s)/δ s s r(s) = s s s c) lim t + Ψ(t) = C Lα C mδe C mα C Lδe E.7. a) u = u 0 2C W0 C mα b) (igual) δ e E.8. a) t 1/2 rol = 0.38 s, t 2 esp = s b) aumentar diedro Γ ou flecha Λ C lβ mais negativo diminuir área S F ou comprimento l F C lr e C nβ diminuem mas C nr aumenta diminuir altura z F C lr diminui E.9. a) λ 2 real perto da origem - modo espiral λ 1 real mais afastada da origem - modo rolamento λ 3 e λ 4 complexas conjugadas - modo rolamento holandês b) C lp = 0.521, C yβ = e C nβ = E.10. λ = N v L r L v + N r, t 1/2 = 1.24 s, modo espiral estável pouco amortecido E.11. a) ṗ = L p p + L a δa b) L p λ R = 0, λ R = Lp I x < 0 logo modo estável c) G p δa = L δa s L p d) lim t + p(t) = 200 /s e) diminuir envergadura b, aumentar deflexão de ailerons δa, aumentar derivada C lδa (maior área de ailerons ou ailerons mais perto do bordo marginal), diminuir derivada C lp (diminuir a F, S F ou z F, aumentar S ou b, diminuir a w ou λ) 25