banco do brasil Matemática

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1 banco do brasil Matemática Análise combinatória Livro Eletrônico

2 SUMÁRIO...3 Apresentação do Professor...4 Princípios de Contagem Permutações Permutação Simples...22 São agrupamentos com todos os n elementos distintos Permutação com Repetição Permutação Circular Arranjos Combinações...37 Autoavaliação...41 Gabarito de 48

3 JOSIMAR PADILHA Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemática Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante. ANÁLISE COMBINATÓRIA ANÁLISE COMBINATÓRIA: neste módulo, serão apresentados métodos para resolução de questões de concursos públicos relacionados a problemas de Análise Combinatória. Propõe-se a desenvolver, gradualmente, o raciocínio lógico e criativo, promovendo maior independência na busca de soluções de problemas, aprendendo a interpretar tais questões por meio da prática. Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem; porém, quando aumentam o número de elementos dados e o número de elementos em cada agrupamento, o processo intuitivo de formá-los, para depois realizar sua contagem, torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por isso, partindo do concreto, tentar-se-á chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos são os agrupamentos que se quer realizar e quais são eles. Frente a essa realidade nos concursos públicos e a necessidade de agilidade para resolver as questões, a estratégia será a resolução de problemas de Análise Combinatória, com poucos cálculos, apenas aplicando dois princípios básicos: o princípio Aditivo e o princípio Multiplicativo. 3 de 48

4 Arranjos, Permutações ou Combinações são os três tipos principais de agrupamentos, podendo ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos. Vamos comentar algumas questões de outras bancas que são similares às questões da banca CESGRANRIO. Apresentação do Professor Olá, aluno(a), tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande alegria que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo com você, que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 16 anos de experiência em aulas presenciais e mais de 9 anos em aulas online, possuo mais de três obras escritas, dentre elas podemos citar: RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTI- CO Fundamentos e Métodos Práticos, da Editora Juspodivm (2016); e, também, em breve o REVISAÇO com mais de 500 questões de matemática e raciocínio lógico comentadas e com notas exclusivas do autor. De uma maneira clara, simples e bem objetiva, iremos aprender como a banca examinadora exige o assunto indicado nesta aula. O conteúdo deste módulo é de suma importância, pois trata de um dos mais recentes assuntos cobrados nas provas de concursos públicos pela banca CESGRANRIO. Pensando nisso, teremos uma metodologia infalível e estratégica, pois, além de aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo interpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores métodos de resolução, que, no decorrer desses 17 anos como professor, me dediquei para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público nos diversos processos seletivos em todo o Brasil. 4 de 48

5 Ao longo do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem dado muito certo: 1. Conceitos de forma esquematizada; 2. Métodos e dicas de resolução rápida; 3. Questões comentadas com esquemas estratégicos. DESAFIO Quem sabe responde! Em um concurso de televisão, há uma caixa fechada com nove bolas, sendo três brancas, três azuis e três verdes. O participante responde nove perguntas do apresentador e, a cada resposta correta, retira uma bola da caixa. O participante, que só identifica a cor da bola após retirá-la da caixa, ganha o prêmio do programa se conseguir retirar da caixa pelo menos uma bola de cada cor. Para que o participante tenha certeza de que ganhará o prêmio, independentemente de sua sorte ao retirar as bolas da caixa, deverá responder corretamente, no mínimo: a) 3 perguntas. b) 5 perguntas. c) 6 perguntas. d) 7 perguntas. e) 9 perguntas. RESPOSTA NO FINAL DO MÓDULO. 5 de 48

6 Princípios de Contagem Os princípios de contagem, na matemática, incluem: I Princípio da Soma: se um evento E 1 pode ocorrer de N 1 maneiras distintas, E 2, de N 2 maneiras distintas,..., E K, de N k maneiras distintas, e se quaisquer dois eventos não podem ocorrer simultaneamente, então um dos eventos pode ocorrer em N 1 + N N k maneiras distintas. II Princípio da Multiplicação: considere que E 1, E 2,..., E k são eventos que ocorrem sucessivamente; se o evento E 1 pode ocorrer de N 1 maneiras distintas, o evento E 2 pode ocorrer de N 2 maneiras distintas,..., o evento E k pode ocorrer de N k maneiras distintas, então todos esses eventos podem ocorrer, na ordem indicada, em N 1 N 2... N k maneiras distintas. O poder da palavra POSSIBILIDADES. Princípio Multiplicativo: resolveremos algumas questões neste momento para que você possa entender o Princípio Multiplicativo. Exemplo Uma pessoa vai ao shopping e compra 3 blusas (B 1, B 2 e B 3 ), 2 sapatos (S 1 e S 2 ) e 2 calças (C 1 e C 2 ). Logo ao chegar em casa, ela se pergunta: De quantas maneiras distintas eu posso me arrumar com as compras realizadas?. 6 de 48

7 No esquema construído acima, temos 12 maneiras distintas dessa pessoa se arrumar. O raciocínio utilizado é o seguinte: há quantas possibilidades para blusas? Nesta situação, temos 3. Quantas possibilidades há para sapatos? Nesta situação, temos 2. Quantas possibilidades há para calças? Nesta situação, temos 2. Logo, podemos concluir que: Pelo Princípio Multiplicativo, temos de multiplicar as POSSIBILIDADES = 12 (maneiras distintas) Possibilidades Possibilidades Possibilidades O que devemos perceber é que temos de nos basear sempre na palavra Possibilidades, pois ela trará o raciocínio correto. Vamos resolver algumas questões aplicando apenas o conceito do Princípio Multiplicativo, utilizando a palavra POSSIBILIDADES : 7 de 48

8 Não se esqueça de pronunciar a todo instante a expressão: QUANTAS POSSIBI- LIDADES. 1. Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: a) b) c) d) e) Letra a. Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem, temos um novo agrupamento. Logo, a ordem altera a natureza. Para os três primeiros colocados, temos: = (maneiras diferentes). Possibilidades Neste caso, as possibilidades vão diminuindo, uma vez que a possibilidade utilizada (dupla de tênis) não tem como ser utilizada novamente (ninguém pode ocupar duas posições simultaneamente). 8 de 48

9 2. Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então, o número de telefones que podem ser instalados nas farmácias é igual a: a) 504. b) 720. c) 684. d) 648. e) 842. Letra d. Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem, temos um novo agrupamento. Logo, a ordem altera a natureza. Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar. Os números telefônicos possuem 7 algarismos, então temos 7 posições: Restrições: os números não podem começar com zero e os quatro últimos algarismos são iguais a zero. Nesta posição, o zero não é possibilidade. Nestas 4 posições, somente o número 0 é possibilidade. 9 de 48

10 Preenchendo as posições, temos: Não podemos ter algarismos repetidos, logo a possibilidade que foi utilizada não poderá ser usada novamente. Com esse pensamento, temos para a primeira posição 9 possibilidades, pois o zero não pode ser utilizado; na segunda, temos 9 possibilidades, pois o zero neste caso voltou a ser possibilidade e na terceira posição, temos 8 possibilidades, uma vez que já foram usadas duas possibilidades. Neste caso, todos os algarismos utilizados serão iguais a zero, logo percebemos que não é o número zero que será colocado nas posições, e, sim, quantas possibilidades para a posição, portanto, temos 1 (uma) possibilidade para cada posição, isto é, o número zero. Dessa forma, aplicando o Princípio Multiplicativo (multiplica as possibilidades), temos: = 648 (números telefônicos). 3. Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuí das senhas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma sequência de 3 letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de 3 algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a: a) 26³ x 10³. b) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8. c) 26 x 25 x 24 x 10³. d) 26³ x 10 x 9 x de 48

11 Letra c. Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem, temos um novo agrupamento. Logo, a ordem altera a natureza. Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar. As senhas são compostas por uma sequência de 3 letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma sequência de 3 algarismos (escolhidos entre 0 e 9). Os códigos possuem 6 posições, 3 letras (26 possibilidades) e 3 algarismos (10 possibilidades): e(x) Número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos. Quanto às três primeiras posições, temos: Nestas 3 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 25 possibilidades na segunda, uma vez que uma já foi utilizada, e, por último, 24 possibilidades. Quanto aos três últimos algarismos, temos: Nestas 3 posições, temos: 10 possibilidades na primeira, 10 possibilidades na segunda e, por último, 10 possibilidades. O número que foi utilizado pode ser utilizado novamente, logo, temos as mesmas possibilidades para as 3 posições. 11 de 48

12 Concluindo: os códigos possuem 6 posições 3 letras (26 possibilidades) e 3 algarismos (10 possibilidades): _26_ _25_ 24 e(x) _ = Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem. a) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a b) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a c) O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é inferior a a) Certa; b) Errada; c) Certa. Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem, temos um novo agrupamento; logo, a ordem altera a natureza. Nesta questão, as letras do código ocupam as duas primeiras posições. a) Certa. O número de processos que podem ser codificados é dado por 5 símbolos, logo 5 posições: 12 de 48

13 = Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 26 possibilidades na segunda e, por último, 10 possibilidades nas três últimas posições. A letra e o número que foram utilizados podem ser utilizados novamente, portanto, temos as mesmas possibilidades para as duas posições de letras e para as três posições de algarismos. b) Errada = Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 1 possibilidade na segunda (devido as duas letras serem iguais, o que faz com que a segunda seja a mesma que a primeira) e nas três últimas posições, 10 possibilidades, uma vez que a questão não exige que os códigos possuam algarismos distintos. c) Certa. Esse item significa que as letras e os algarismos devem ser distintos. Logo, temos: = Nas 5 posições, temos: 26 possibilidades na primeira, 25 possibilidades na segunda (devido as duas letras não serem iguais, o que faz com que a possibilidade da segunda seja menor que a primeira, pois uma possibilidade já foi utilizada) e, nas três últimas posições, 10 possibilidades na primeira, 9 na segunda e 8 na terceira, uma vez que a questão traz a ideia de que os códigos possuam algarismos distintos. 13 de 48

14 5. Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em que foi digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua senha não tinha algarismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8. Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou? a) 224. b) 210. c) 168. d) 144. e) 96. Letra a. Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem, temos um novo agrupamento; logo, a ordem altera a natureza. Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar. A senha a ser digitada possui 4 algarismos; logo, teremos 4 posições: = Nessas 4 posições, temos: algarismos distintos; o número formado é par (a restrição é na última posição, pois um número par é aquele que termina em {0, 2, 4, 6, 8}) e a senha começa com o número 8, ou seja, uma possibilidade. 14 de 48

15 = 224. Nessa posição, temos apenas 1 (uma) possibilidade que é o número 8. Após preenchemos as posições que se tratam das restrições, vamos colocar as possibilidades sabendo que os algarismos não se repetem. Nessa posição, temos 4 possibilidades, uma vez que o número 8 já foi utilizado na primeira posição. De acordo com o jornal espanhol El País, em 2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema desses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de homicídios por habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala. (Internet: Tendo como referência as informações apresentadas no texto acima, julgue o item que se segue. 6. (POLÍCIA FEDERAL) Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada ilegal de armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. Errado. No item acima, temos que uma organização criminosa escolhe seis das dezessete cidades, ou seja, temos onze possibilidades para agrupar as seis cidades. 15 de 48

16 Pelo princípio multiplicativo: 11 6 x 10 5 x 9 4 x 8 3 x 7 2 x 6 1 = 462. Trata-se de uma questão de combinação; logo, podemos utilizar a fórmula: C n,p = C 11,6 = n! (n-p)!p! 11! (11-6)!6! É comum não utilizar todos os elementos para a construção de novos grupos, uma vez que, se todos forem utilizados, obteremos apenas um grupo. É importante guardarmos o seguinte: A ordem dos elementos não altera a natureza. Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se seguem. 7. (POLÍCIA FEDERAL) A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. Errado. Formamos agrupamentos com p elementos (p<m), de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie. Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. C m,p = m! (m-p)!p! 16 de 48

17 Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comissões, turmas etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos nos quais a ordem não importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos um novo agrupamento. É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma vez que, se todos forem utilizados, obteremos apenas um grupo ( A Ordem dos Elementos não Altera a Natureza ). Respondendo pela fórmula, temos: C 11,5 = 11! (11-5)!5! Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassagens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informações, julgue o item. 8. (CESPE/PRF/AGENTE) Existem 12! / (3!)4 maneiras de se montar quatro equipes, cada uma delas com 3 agentes. 17 de 48

18 Certo. Esta questão trata da seguinte combinação , isto (3.2.1) (3.2.1) (3.2.1) é, quatro equipes com 3 agentes, em que teremos, pelo Princípio Multiplicativo, as possibilidades multiplicadas no numerador e, como se trata de uma combinação, dividimos por fatorial 3 no denominador para retirar as equipes repetidas. Pela fórmula, podemos ter: C 12,3. C 9,3. C 6,3 C 3,3. Uma unidade policial, com 12 agentes, vai preparar equipes de educação para o trânsito para, no período carnavalesco, conscientizar motoristas de que atitudes imprudentes como desrespeito à sinalização, excesso de velocidade, ultrapassagens indevidas e a condução de veículo por indivíduo alcoolizado têm um potencial ofensivo tão perigoso quanto o de uma arma de fogo. Com base nessas informações, julgue o item. 9. (CESPE/PRF/AGENTE) Se cada equipe for formada por 3 agentes, então, a partir dos 12 agentes da unidade, a quantidade de maneiras diferentes de se formar essas equipes será superior a 200. Certo. A questão trata de uma combinação em que teremos (3.2.1) = 220, isto é, uma equipe com 3 agentes em que há, pelo Princípio Multiplicativo, as possibilidades multiplicadas no numerador e, como se trata de combinação, dividimos por fatorial 3 no denominador para retirar as equipes repetidas. Pela fórmula, podemos ter: C 12,3 18 de 48

19 Dez policiais federais dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 10. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares motorista e mais quatro passageiros será superior a 100. Certo. São cinco posições pelo Princípio Multiplicativo. Dessa forma, temos: x x x x. Para cada posição acima, temos o seguinte: 5 x 4 x 3 x 2 x 1. = 120 Possibilidades Podemos também concluir que se trata de uma permutação de 5 pessoas, isto é, P 5 = 5! 19 de 48

20 11. (POLÍCIA FEDERAL/2012) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. Errado. Se as equipes devem ser formadas por um delegado, um perito, um escrivão e agentes, temos de realizar uma combinação: C 2,1. C 2,1. C 2,1. C 4,2 = 48 Vimos que o princípio multiplicativo se torna fundamental e prático para a resolução das questões. Dica do Padilha! Nas questões que envolvem a formação de senhas, códigos, números, protocolos etc., temos uma observação importante referente à interpretação correta de uma questão. Por exemplo: 1. com os números (algarismos) {1, 2, 4, 5 e 7}, quantos códigos (senhas) distintos de 3 dígitos podem ser formados? 2. com os números (algarismos) {1, 2, 4, 5 e 7}, quantos códigos (senhas) de 3 dígitos distintos podem ser formados? Qual a diferença entre os dois exemplos? À primeira vista, parecem equivalentes, ainda mais durante a realização de uma prova, em que o candidato, às vezes, fica imperceptível a tais detalhes. Vamos interpretar tais situações. 20 de 48

21 1. Quando a questão solicita que as senhas sejam distintas, precisamos interpretar senhas distintas e não dígitos distintos, uma vez que mesmo repetindo dígitos, os códigos (senhas) permanecerão distintos. Ex.: os códigos 224 e 222 repetem dígitos entre si, porém permanecem códigos (senhas) distintos. Assim, a resolução da questão será: = 125 (códigos distintos de 3 dígitos). Mesmo com a repetição de algarismos, os códigos permanecem distintos. 2. Quando a questão solicita que as senhas sejam formadas com dígitos distintos, devemos interpretar que, além de senhas distintas, teremos dígitos distintos, uma vez que os códigos (senhas) permanecerão distintos. Ex.: os códigos 243 e 257 não repetem dígitos entre si, além de possuírem códigos (senhas) distintos. Assim, a resolução da questão será: = 60 (códigos distintos de 3 dígitos). Não há a repetição de algarismos e os códigos são também distintos. 12. (CESPE) Considere que se deseja produzir códigos de 7 caracteres, em que os 3 primeiros caracteres sejam letras escolhidas entre as 26 do alfabeto e os 4 últimos sejam algarismos, de 0 a 9. Com relação a essa construção de códigos, julgue os itens subsequentes 1. 1 Gabarito: E; E. 21 de 48

22 a) A quantidade de códigos que começam com a letra Z, terminam com o algarismo 0 e têm todos os caracteres distintos é inferior a b) A quantidade de códigos distintos que começam com AMX é inferior a Neste instante, iremos estudar os seguintes assuntos que fazem parte de Análise Combinatória. 1. Permutações Ocorrem quando formamos agrupamentos com n elementos, de forma que os n elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares. 1.1 Permutação Simples São agrupamentos com todos os n elementos distintos. Fórmula: P(n) = n!. Em que: n = número de elementos a serem permutados. Cálculo para exemplo: P(5) = 5!= = 120. Exemplo: seja C = {A, B, C} e n = 3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo, mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} 22 de 48

23 Treinando Anagramas: é a formação de novas palavras com ou sem significado. Responda com relação à palavra LÓGICA. a) Quantos anagramas existem? b) Quantos anagramas começam por G? c) Quantos anagramas possuem as vogais juntas? d) Quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética? e) Quantos anagramas possuem as vogais em ordem alfabética? Gabarito a) 720 b) 120 c) 144 d) 24 e) 120 Vimos que, na permutação, iremos utilizar todos os elementos (DISTINTOS) do grupo, realizando uma permutação (troca) dos elementos, em que a ordem irá influenciar. A ORDEM ALTERA A NATUREZA 13. (CESPE) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Nemeia, capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto. 23 de 48

24 Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subsequentes. a) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 10! b) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho matar o leão de Nemeia na primeira posição é inferior a c) O número de possíveis listas contendo os trabalhos capturar a corça de Cerineia na primeira posição e capturar o javali de Erimanto na terceira posição é inferior a d) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!. a) C; b) C; c) E; d) C. a) Certa. O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10! Pn = n! = = 12! (Número máximo de diferentes listas) > 12 x 10! 24 de 48

25 Simplificando dos dois lados da igualdade: > 12 b) Certa. O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho matar o leão de Nemeia na primeira posição é inferior a A restrição é na primeira posição, ou seja, temos 1 (uma) possibilidade > 72 x 42 x 20 x 6 Capturar a corça de Cerineia Capturar o Javali de Erimanto Simplificando dos dois lados da desigualdade: < < 240 c) Errada. O número de possíveis listas contendo os trabalhos capturar a corça de Cerineia na primeira posição e capturar o javali de Erimanto na terceira posição é inferior a Simplificando dos dois lados da desigualdade: < 1 25 de 48

26 d) Certa. O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8! x 2 x 1 < 6! x 8! Nas duas últimas posições, em qualquer ordem (a corça e o javali) Simplificando dos dois lados da desigualdade: < 6! < < (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos entre eles, Caio e Beto e seis meninas entre elas, Ana e Beatriz compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas, porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos, porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: a) b) c) 960. d) 540. e) de 48

27 Letra a. De acordo com a questão, sabemos que todos os meninos devem sentar-se juntos, como as meninas também, logo, façamos a seguinte ilustração: H H H M M M M M M Considerando que sejam Caio e Beto Considerando que sejam Ana e Beatriz Sendo que Caio e Beto, assim como Ana e Beatriz, devam ficar sempre juntos, então consideraremos como se cada um dos dois sejam apenas um, ou seja, uma possibilidade. Temos então: H H M M M M M 2 (2 1) ( ) 2 = 960 Considerando que sejam Caio e Beto em qualquer ordem Considerando que sejam Caio e Beto em qualquer ordem Devemos ainda perceber que o resultado 960 deverá ser multiplicado por dois, devido à possibilidade de termos os homens e as mulheres juntos em qualquer ordem: 27 de 48

28 H M = 960 M H = 960 TOTAL = Permutação com Repetição Dentre os m elementos do conjunto C = {x 1, x 2, x 3,..., x n }, faremos a suposição que existem m 1 iguais a x 1, m 2 iguais a x 2, m 3 iguais a x 3,... m n iguais a x n, de modo que m 1 +m 2 +m m n = m. Fórmula Se m=m 1 +m 2 +m m n, então P r (m)=c(m,m 1 ).C(m-m 1,m 2 ).C(m-m 1 -m 2,m 3 )... C(m n,m n ) Anagrama É a palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. Cálculo para exemplo: m 1 =4, m 2 =2, m 3 =1, m 4 =1 e m=6, logo: P r (6)=C(6,4). C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15. Exemplo: quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARA- RAT? A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A, R, T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos, que contêm a repetição de todos os elementos de C, aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: 28 de 48

29 P r ={AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA, AATRRA, AARRTA, ARAART, ARARAT, ARARTA, ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR} Treinando Com relação às palavras abaixo, calcule a quantidade de anagramas. a) Quantos anagramas possui a palavra ANA? b) Quantos anagramas possui a palavra ARARA? c) Quantos anagramas possui a palavra CASA? d) Quantos anagramas possui a palavra BANANA? e) Uma prova de português é constituída de 10 questões em que 3 são verdadeiras e 7 são falsas. De quantas maneiras distintas esta prova pode ser respondida? f) Para ter acesso a uma seção de uma repartição, os funcionários precisam digitar uma senha na portaria que é constituída por 5 dígitos, em que 3 são iguais a 1(um) e 2 são iguais a 0(zero). Quantas senhas distintas podem ser formadas seguindo tais exigências? g) Considerando todas as possíveis permutações das letras da palavra PROVAVEL- MENTE, quantas vezes esta palavra aparece? Resposta: 3, 10, 12, 60, 120, 10, de 48

30 Vimos que, na permutação com repetição, iremos utilizar todos os elementos (DISTINTOS E NÃO DISTINTOS) do grupo, realizando uma permutação (troca) dos elementos, em que a ordem irá influenciar parcialmente (algumas vezes, isto é, quando não for os elementos repetidos). Agora, é importante ressaltar que alguns elementos são idênticos, o que não trará um novo agrupamento. Logo, devemos perceber que existirão grupos repetidos, então deveremos retirar aqueles que se repetem. A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA 15. (CESPE/ADAPTADA) A respeito de contagem, que constitui um dos principais fundamentos da matemática, julgue o item a seguir. ( ) O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra PAPILOSCOPISTA é inferior a Errado. A palavra PAPILOSCOPISTA possui letras repetidas, que, se forem permutadas, não formarão um novo anagrama. Logo, trata-se de permutação com letras repetidas. Calculando, temos: 14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 3x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1 Haverá uma divisão para que possamos retirar as palavras que se repetem, e, de acordo com a quantidade de letras repetidas, iremos calcular o fatorial, por exemplo: (letra P: 3 2 1); (letra O: 2 1); (letra A: 2 1); (letra I: 2 1); (letra S: 2 1) 14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 3x2x1x2x1x2x1x2x1x2x1 = < de 48

31 16. (CESPE/ADAPTADA) Julgue o item que se segue quanto a diferentes formas de contagem. Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas. Certo. Na questão, temos 7 faixas que deverão ser permutadas para se adquirir novas decorações, mas temos faixas de mesma cor, em que a troca de posição não produzirá decorações novas. Logo, é interessante fazermos uma analogia como uma palavra com letras repetidas, da seguinte maneira: V V V A A A B Temos 7 letras (faixas) sendo permutadas: P7 = 7! = Sabendo que algumas decorações são as mesmas (devido a algumas faixas serem iguais), temos de retirar essas decorações que se repetem. Assim, se o princípio utilizado é a multiplicação que gera os novos agrupamentos, logo temos de dividir para retirar aquilo que se repete, da seguinte maneira: Número de decorações = 7x6x5x4x3x2x1 3x2x1x3x2x1, sendo que no denominador temos (3x2x1(3!) que se refere às cores verdes que se repetem e logo após 3x2x1 (3!), que se referem às cores amarelas que se repetem. 31 de 48

32 Usaremos a seguinte estratégia: dividir pelo fatorial da quantidade de letras que se repetem. Isto é, temos nesta questão três letras V e três letras A repetidas. Calculando, temos: 7x6x5x4x3x2x1 3x2x1x3x2x1 = 140 formas diferentes de decorações. 1.3 Permutação Circular A situação que ocorre quando temos grupos com n elementos distintos formando uma circunferência de círculo. Fórmula: P c (n)=(n-1)!. Em que: (n-1) = número total de elementos a serem permutados. Cálculo para exemplo: P(5)= 4!= 24 Exemplo: em um conjunto com 4 pessoas K={A, B, C, D}, de quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições? Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto: P c ={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA} Acontece que junto a uma mesa circular temos que: 32 de 48

33 ABCD = BCDA = CDAB = DABC ABDC = BDCA = DCAB = CABD ACBD = CBDA = BDAC = DACB ACDB = CDBA = DBAC = BACD ADBC = DBCA = BCAD = CADB ADCB = DCBA = CBAD = BADC Existem somente 6 grupos distintos, dados por: P c ={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB} Vimos que, na permutação circular, a troca de alguns elementos não cria um novo agrupamento. Então, deveremos retirar aqueles que se repetem. A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA 17. (CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102. Certo. Nesta questão, temos uma permutação circular: P6 = (6 1)! = 5! = = de 48

34 2. Arranjos São agrupamentos formados com p elementos (p < n) de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetições. Arranjo simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Fórmula: A(n,p) = n! (n-p)!, n = número total de elementos/ p = número de elementos a serem arranjados. Cálculo para exemplo: A 4,2 4! 2! = 12 Exemplo: seja Z = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento, mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: A s = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC} Nesta aula, vimos algumas questões comentadas utilizando o princípio multiplicativo, em que os agrupamentos são realizados com elementos do conjunto, por meio da troca dos elementos. No caso do arranjo, para formar os agrupamentos, não serão utilizados todos os elementos do conjunto e é importante ressaltar que a cada nova ordem dos elementos do agrupamento, será formado um novo grupo (arranjo). Sendo assim, a ordem é importante. A ORDEM DOS ELEMENTOS ALTERA A NATUREZA 34 de 48

35 18. (CESPE/ADAPTADA) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para serem protocolados. Um assistente da promotoria deve formar os códigos dos processos, que devem conter, cada um deles, 7 caracteres. Os 3 primeiros caracteres são letras do conjunto {d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são números inteiros de 1024 a Com base nessa situação, julgue o item subsequente. ( ) É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do código referente às 3 letras iniciais, sem que haja repetição de letra. Errado. Referente às três letras iniciais, temos o seguinte: 1º) Pela fórmula Temos: n = 8, {d, f, h, j, l, m, o, q} e p = 3, {primeira parte do código}. n! (n-p)! = 8x7x6x5! (8-3)! = 8x7x6x5! 5! = 8x7x6 = 336 2º) Pelo princípio multiplicativo = 336 Temos 8 possibilidades para a primeira posição, 7 possibilidades para a segunda e 6 possibilidades para a terceira posição, uma vez que não há repetição de caracteres. 35 de 48

36 19. (CESPE/BB/ADAPTADA) O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue o item que se segue. ( ) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1º, 2º e 3º lugares foi igual a 6. Certo. Referente às três primeiras posições: 1º) Pela fórmula Temos: p = 3, {países da América do Norte} e n = 3, {três primeiras classificações} n! (n-p)! = 3x2x1 (3-3)! = 3x2x1 0 = 6, sabendo que 0! = 1 2º) Pelo princípio multiplicativo = 6 Temos 3 possibilidades para a primeira posição, 2 possibilidades para a segunda e 1 possibilidade para a terceira posição, uma vez que as possibilidades vão diminuindo, pois não há como um atleta ocupar duas posições simultaneamente. 36 de 48

37 3. Combinações Quando formamos agrupamentos com p elementos (p < m), de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie. Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. m! Fórmula: C m,p = em que m = número total de elementos/ (m-p)!p! p = número de elementos a serem combinados 4! Cálculo para exemplo: C 4,2 = (4-2)!2! Exemplo: seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações simples desses 4 elementos, tomados 2 a 2, são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: C s = {AB, AC, AD, BC, BD, CD} Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comissões, turmas etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos nos quais a ordem não importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos um novo agrupamento. É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma vez que, se forem utilizados todos os elementos, obteremos apenas um grupo. A ORDEM DOS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA 37 de 48

38 20. Em uma festa com 20 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez. Dessa forma, são possíveis quantos apertos de mão? 190. Nessa questão, a ordem não altera a natureza, uma vez que, se a pessoa A cumprimentar a pessoa B, não torna necessário a pessoa B cumprimentar a pessoa A. Para que haja um aperto de mão, são necessárias duas pessoas (p = 2). Sendo assim, trata-se de combinação e podemos resolver de duas maneiras: 1ª) Pela fórmula C m,p = m! (m-p)!p! = C20,2 = 20! (20-2)!2! = 20x19x18! 18!2! = 20x19 2x1 = 190 apertos de mão. 2ª) Sem fórmula Para obter um aperto de mão, é necessária a presença de duas pessoas. Logo, iremos utilizar dois espaços: X ; e, para que possamos retirar os agrupamentos que se repetem, iremos dividir pelo fatorial da quantidade de espaços utilizados. 20x19 2x1 = 190, o numerador expressa 20 possibilidades para a primeira pessoa, e 19 para a segunda pessoa. No denominador, temos 2 1, uma vez que representa o fatorial de 2 = 2!. O denominador tem a função de retirar os agrupamentos repetidos. 38 de 48

39 21. Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas havia na reunião, se foram trocados 55 apertos de mão? 11 pessoas. Esta questão apresenta a quantidade de apertos de mão e solicita a quantidade de pessoas presentes na reunião. C x,2 = 55 C x,2 = x! (x-2)!2! = x.(x-1).(x-2)! (x-2)!2! = x.(x-1) 2.1 = 55 x 2 x = 110 equação do 2º grau. x 2 x 110 = 0, resolvendo a equação teremos: S { 10, 11}, logo, iremos considerar a solução positiva. 22. (ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas 6 dezenas de um conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02,..., 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as 6 dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é: a) 8. b) 28. c) 40. d) 60. e) de 48

40 Letra b. Esta questão trata-se de uma combinação, uma vez que a ordem dos números não altera a aposta. Pedro sonhou com 8 números, sendo que 6 fazem parte de uma aposta simples. Logo, podemos ter: C n,p = n! (n-p)!p! = 8! (8-6)!6! = 8! 2!6! = 8x7x6! 2!x6! = 8x7 2x1 = 28 apostas simples diferentes (quantidade total) 23. (CESPE/ADAPTADA) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens. ( ) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12. Errado. A questão indica a formação de comissões, na qual a ordem dos integrantes não altera a natureza da comissão. Sendo assim, trata-se de combinação. C n,p = n! (n-p)!p! = 5! (5-3)!3! = 5! 2!3! = 5x4x3! 2!x3! = 5x4 2x1 = 10 Comissões distintas 40 de 48

41 AUTOAVALIAÇÃO 1. (CESGRANRIO) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma sequência de cinco símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da sequência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é: a) 240. b) 216. c) 120. d) 360. e) (CESGRANRIO) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3 supervisores e 10 técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes diferentes podem ser escaladas? a) b) c) 840. d) 630. e) (CESGRANRIO) Em certa universidade, o número de matrícula dos estudantes é formado por 7 dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um padrão: o primeiro dígito não pode ser zero, o antepenúltimo indica em que semestre (primeiro ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos, o ano da matrícula. Por exemplo, 41 de 48

42 é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu curso no segundo semestre de Se dois estudantes matriculados num mesmo ano devem ter, obrigatoriamente, números de matrícula diferentes, qual é o número máximo de estudantes que podem ser matriculados em 2008? a) b) c) d) e) (CESGRANRIO) Certa operadora de telefonia celular só pode habilitar telefones de 8 dígitos, que comecem por 9 e tenham como segundo dígito um algarismo menor ou igual a 4. Qual a quantidade máxima de números telefônicos que essa operadora pode habilitar em uma mesma cidade? a) b) c) d) 4 C9,6. e) 5 C9,6. 5. (CESGRANRIO) Certo campeonato estadual de futebol será realizado com 14 clubes divididos em dois grupos iguais. Dentro de cada grupo todos os times se enfrentarão uma única vez. Em seguida, serão realizadas as partidas semifinais, quando o primeiro colocado de cada grupo enfrentará o segundo colocado do outro grupo. A final será realizada com os vencedores desses dois jogos. No total, quantos jogos serão realizados nesse campeonato? 42 de 48

43 a) 87. b) 84. c) 65. d) 45. e) (2015/CESGRANRIO/PETROBRAS) Durante o intervalo, alguns alunos jogam um torneio de pingue-pongue no qual quem perde uma partida é eliminado. Cada partida é disputada por dois alunos e há somente uma mesa de pingue-pongue na escola. Para que esse torneio termine exatamente na hora em que o intervalo termina, cada partida deve ter, exatamente, 3 minutos. Além disso, as regras do torneio são estabelecidas de modo a não ocorrer empate nas partidas. Se o intervalo dura 30 minutos, quantos alunos disputam o torneio? a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 6 7. (2013/CESGRANRIO/BNDES) Compareceram a uma festa exatamente 20 homens com suas respectivas esposas. Quantos pares (A, B) podem ser formados, de maneira que A é um homem, B é uma mulher e A não é casado com B? a) 20 b) de 48

44 c) 210 d) 380 e) (2013/CESGRANRIO/BNDES) Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que duas delas (João e Maria) precisam ficar sempre juntas. De quantas formas diferentes essas pessoas podem-se enfileirar? a) 48 b) 50 c) 52 d) 54 e) (2011/CESGRANRIO/TRANSPETRO) Deseja-se identificar cinco vagas de um estacionamento para uso da diretoria de uma empresa, cada uma com uma cor. Entretanto, há restrições: as vagas estão dispostas linearmente e são adjacentes, só há três cores diferentes no almoxarifado e duas vagas consecutivas não podem ter a mesma cor. De quantas maneiras essa identificação é possível? a) 15 b) 32 c) 48 d) 125 e) de 48

45 10. (2011/CESGRANRIO/PETROBRAS) O gerente de um projeto quer dividir sua equipe, que é composta de 12 pessoas, em três grupos de quatro pessoas cada um. Entretanto, duas dessas pessoas, João e Maria, por questões de perfil profissional, serão colocadas em grupos diferentes. O número de maneiras distintas que esse gerente tem para dividir sua equipe segundo a forma descrita é a) 930 b) c) d) e) de 48

46 GABARITO 1. c 2. d 3. d 4. c 5. d 6. a 7. d 8. a 9. c 10. c 46 de 48

47 DESAFIO COMENTÁRIO Temos que, na questão, há uma caixa fechada com nove bolas, sendo três brancas, três azuis e três verdes. O participante responde nove perguntas do apresentador e, a cada resposta correta, retira uma bola da caixa. O participante, que só identifica a cor da bola após retirá-la da caixa, ganha o prêmio do programa se conseguir retirar da caixa pelo menos uma bola de cada cor. Para que o participante tenha certeza de que ganhará o prêmio, independentemente de sua sorte ao retirar as bolas da caixa, deverá responder corretamente, no mínimo: a) 3 perguntas. b) 5 perguntas. c) 6 perguntas. d) 7 perguntas. e) 9 perguntas. Vamos observar que não se pede uma chance, ou seja, probabilidade, e sim uma certeza; logo, temos uma questão com aplicação do Princípio da Casa dos Pombos, ou, como eu costumo dizer, método da pior hipótese. Segundo o método, temos de retirar bolas de mesma cor, pois se deseja uma de cada cor, isto é, cores diferentes. Desta forma, a pior hipótese seria 3 bolas de uma das cores, depois 3 de uma outra cor e precisamos de somente mais uma para que tenhamos uma bola de cada cor. Solução: = 7 bolas. Resposta: letra d. 47 de 48

48 Mostre que você aprendeu com esse desafio e faça uma questão da CES- GRANRIO. 1. (2013/CESGRANRIO/BR DISTRIBUIDORA) Dentro de um saco há 24 balas, todas indistinguíveis, a não ser por seus sabores: 6 são de morango, 8 de caramelo e 10 de hortelã. Uma pessoa coloca a mão dentro do saco e pega n balas. Para que essa pessoa tenha certeza de que pegou pelo menos duas balas de hortelã, o menor valor de n deverá ser 2 a) 4 b) 10 c) 16 d) 18 e) 20 2 Gabarito: c. 48 de 48