Análise Combinatória para professores do Ensino Médio
|
|
- Stefany de Santarém da Mota
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Análise Combinatória para professores do Ensino Médio José Plínio de O. Santos 1 Instituto de Matemática, Estatística e Comp. Científica - IMECC Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP Robson da Silva 2 Centro de Matemática, Computação e Cognição - CMCC Universidade Federal do ABC - UFABC 1 josepli@ime.unicamp.br 2 robson.dasilva@ufabc.edu.br
2 Conteúdo 1 Permutação, Arranjo e Combinação 5 2 Permutação com repetições 11 3 Permutações circulares 15 4 Exercícios 17 5 Respostas dos exercícios 19 Bibliografia 20 2
3 Apresentação Nosso objetivo ao escrever este texto é o de apresentar o que consta do programa de Análise Combinatória do segundo grau em uma linguagem informal mas sem deixar a precisão em segundo plano. Acreditamos que esta abordagem ajudará bastante os professores de matemática na tarefa de ensinar esta disciplina que, infelizmente, não tem sido dada ou, quando ministrada, reduz-se a algumas fórmulas decoradas sem o devido entendimento. Utilizaremos um grande número de exemplos concretos na introdução de cada conceito novo. 3
4 4
5 1 Permutação, Arranjo e Combinação Nosso primeiro problema será o de calcularmos o número de diferentes maneiras que podemos colocar n pessoas em fila. Claramente estamos considerando as pessoas como diferentes objetos. Vamos, inicialmente, tomar n 3 e listar todas as possíveis filas que podemos formar com estas três pessoas, que vamos chamar de a, b e c. A tabela abaixo apresenta as seis diferentes filas que podemos formar neste caso. abc acb bac bca cab cba Tabela 1: Possíveis filas com três pessoas Veja que, ao falarmos em filas, a pergunta em que posição uma dada pessoa se encontra? faz sentido. Observe que a pessoa a é a primeira em duas filas, é a segunda em duas filas e é a terceira, também, em duas filas. Estas afirmações valem também para as outras duas letras (pessoas). Aqui estamos em uma democracia plena. Todos têm exatamente os mesmos direitos. É claro que tendo apenas uma pessoa o número de filas é igual a 1 e, ainda, no caso de duas pessoas este número é igual a 2. Listamos abaixo estes dois casos. a ab ba Tabela 2: Possíveis filas com uma e com duas pessoas O número de filas com três pessoas é 3 vezes o número de filas com duas pessoas. Isto é verdade pelo simples fato de que a terceira pessoa, c, pode ser 5
6 introduzida na fila ab em três posições distintas: depois de ab, isto é, no final da fila, gerando abc; entre as duas, resultando em acb; como primeira da fila, gerando cab. Ao introduzirmos a nova pessoa c na outra fila ba vamos obter, pelas mesmas razões, três novas filas que são: bac, bca, cba. O número de diferentes filas com quatro pessoas é igual a 24 que é 4 vezes o número de filas com três pessoas, que já vimos ser igual a A justificativa é a mesma usada na mudança de duas para três pessoas. Agora como estamos introduzindo uma quarta pessoa, denotada por d, esta pode ser colocada, em cada fila com três pessoas, em quatro posições diferentes: em primeiro lugar, em segundo, em terceiro ou em último. Na tabela abaixo temos as 24 filas distintas. abcd abdc adbc dabc acbd acdb adcb dacb bacd badc bdac dbac bcad bcda bdca dbca cabd cadb cdab dcab cbad cbda cdba dcba Tabela 3: Possíveis filas com quatro pessoas Este simples argumento nos permite concluir que, no caso de n pessoas, o total de diferentes filas é igual a n! (lê-se n fatorial) que é a notação usada para o produto dos primeiros n inteiros positivos, isto é, n! n (n 1) (n 2) Dizemos que n! é o número de permutações de n objetos distintos, isto é, o número de filas distintas que podemos formar com n objetos diferentes. Vamos denotar este número por P n, ou seja, P n n!. Estas diferentes filas que chamamos de permutações podem ser vistas como funções. Vejamos como. Consideremos o caso n 4, isto é, quatro pessoas a, b, c e d. Na fila bacd temos que a primeira letra é b, a segunda a, a terceira c e a última d. Podemos escrever isto da seguinte forma 6
7 b a c d aqui como o c é a imagem do 3, isto significa que ele é o terceiro da fila. Observações semelhantes valem, claramente, para as demais letras (pessoas). Agora que sabemos contar de quantas maneiras diferentes podemos ordenar (colocar em fila) n objetos distintos (que é n!), vamos responder a uma outra pergunta, cuja resposta inclui, como caso particular, a questão resolvida acima. Consideremos o seguinte conjunto com quatro objetos distintos {a, b, c, d}. A pergunta agora é a seguinte: de quantas maneiras diferentes podemos retirar dois objetos colocando-os em fila? Como para o primeiro da fila temos 4 condidatos, restam apenas 3 possíveis ocupantes para a segunda posição. Logo, é a resposta à nossa pergunta. Listamos a seguir todas estas doze filas. ab ad bd ba da db ac bc cd ca cb dc Tabela 4: As doze possíveis filas Se o número total de objetos for n e desejarmos retirar r (r n) objetos para formarmos filas, temos que escolher um objeto para ocupar o primeiro lugar (são n possibilidades), para o segundo lugar nos restam n 1 candidatos, n 2 para o terceiro,..., e finalmente n (r 1) n r + 1 para a r-ésima posição. Assim, temos n (n 1) (n 2) (n r + 1) possíveis filas diferentes contendo r elementos escolhidos dentre os n do nosso conjunto. A este número chamamos arranjo de n objetos r a r, o qual vamos denotar por A r n. Como n (n 1) (n 2) (n (r 1)) n (n 1) (n (r 1)) (n r) (n r) (n r 1) n (n 1) (n 2) (n (r 1)) (n r)! n! (n r)!, (n r)! 7
8 então A r n n! (n r)! Observemos que no caso r n, ou seja, se desejamos tomar todas os indivíduos para formarmos filas, a resposta será A n n n!. Portanto, a permutação é um caso particular de arranjo. Ao substituirmos r por n em (1), obtemos A n n n! P n, donde concluímos ser conveniente definir 0! 0! 1. Vamos agora responder algumas simples questões que ilustram os conceitos de permutação e arranjo vistos até aqui. Numa prateleira de uma estante onde cabem pelo menos 20 livros gostaríamos de colocar 15 livros, todos distintos, sendo 6 de Matemática, 6 de Física e 3 de Português. Não havendo nenhuma restrição a resposta seria simplesmente 15!. Caso os livros de mesma disciplina devam estar juntos a resposta seria 6!6!3!3!. Se apenas os de Matemática tivessem que estar juntos, teríamos 6!10! possibilidades. Se os 3 livros de português ocupassem os primeiros 3 lugares, estando os de Matemática e Física intercalados, teríamos 3!6!6!2!. Caso queiramos escolher 3 livros de Matemática dentre os 6 e 3 livros de Física dentre os 6 para colocarmos todos em fila juntamente com os 3 de português a resposta não seria A 3 6A 3 63!. Procure justificar onde esta o erro. Qual seria a pergunta que teria como resposta correta o número dado acima? 3 Tendo visto as definições de Arranjo e de Permutação, vamos introduzir o conceito de Combinação que, como veremos, pode ser expresso em termos dos dois primeiros. Gostaríamos de contar quantos são os subconjuntos de {a, b, c, d} contendo exatamente 2 elementos. Vamos chamar este número de combinação de 4 objetos tomados 2 a 2 e o denotaremos por ( 4 2). A lista de todos estes conjuntos é apresentada na Tabela 5 abaixo. (1) {a, b} {b, c} {a, c} {b, d} {a, d} {c, d} Tabela 5: Os 6 possíveis conjuntos 3 resposta na Seção Respostas dos Exercícios ao final deste texto 8
9 No caso geral, ( n r) denota, portanto, o número de subconjuntos contendo r elementos que um conjunto com n elementos possui. Sabemos que o arranjo de n objetos r a r conta todas as maneiras de tirarmos r elementos colocando-os em fila e que combinação de n objetos r a r não leva em consideração a ordem mas apenas a natureza dos elementos retirados. Logo (veja a Tabela 6 a seguir) para obtermos A r n basta multiplicarmos ( n r) por r!, isto é, ( n r ) r! A r n n! (n r)!, donde obtemos ( ) n Ar n r r! n! r!(n r)!. (2) ( 4 ) ( ) 2 2! A 2 4 ab ac ad bc bd cd ab, ba ac, ca ad, da bc, cb bd, db cd, dc Tabela 6: Um exemplo de que ( n r) r! A r n Uma propriedade importante verificada pela fórmula de combinação, supondo r n, é a seguinte: ( ) ( ) n n. (3) r n r Uma maneira de se provar (3) é pela simples substituição na fórmula dada por (2): ( ) ( ) n n! r r!(n r)! n! (n r)!(n (n r))! n! n (n r)!r!. n r Esta demonstração, embora correta, não requer o uso da definição de combinação como sendo o número de subconjuntos contendo r elementos que um conjunto com n elementos possui. Vamos, pois, demonstrar (3) 9
10 novamente, mas agora sem fazer uso da fórmula dada por (2). Cada vez que retiramos r elementos, n r são deixados e, portanto, (3) está provada. A tabela abaixo ilustra isto no caso n 5 e r 2. A mesma tabela ilustra, também, o caso n 5 e r 3 (basta trocar retirar por deixar ). É, portanto, apenas uma questão de referencial. retirar deixar ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe ce abd de abc Tabela 7: Um exemplo de que ( ) ( n r n ) n r Vamos resumir o que foi feito até agora: P n n! A r n ( ) n r n! (n r)!, r n Ar n r! n! r!(n r)!, r n. Antes de considerarmos coleções de objetos onde repetições são permitidas, vamos demonstrar uma importante e conhecida relação utilizando apenas argumentos combinatórios: ( ) n r ( ) n 1 + r ( ) n 1. r 1 Sabemos que ( n r) conta quantos são os subconjuntos com r elementos que um conjunto com n elementos possui. Como cada elementos do conjunto aparece exatamente o mesmo número de vezes na tabela das combinações de n objetos r a r, podemos escolher um elemento qualquer e contar o número 10
11 de subconjuntos nos quais ele não está presente, que é ( ) n 1 r, e somar com o número daqueles em que este elementos está presente, que é ( n 1 r 1). Consideremos o conjunto {a, b, c, d, e}. As combinações destas cinco letras três a três estão listadas abaixo. cde bde bce bcd ade ace acd abe abd abc Tabela 8: Combinações de a, b, c, d e e três a três Como sabemos, cada letra aparece exatamente o mesmo número de vezes na tabela acima. Consideremos a letra d. Claramente, dado um subconjunto ou d pertence a este subconjunto ou não pertence. Vamos contar, primeiramente, a quantos subconjuntos a letra d não pertence. Como o subconjunto deve ter três elementos (r no caso geral), então ( ) ( ( 3) 4 ( n 1 ) r no caso geral) é o número de subconjuntos nos quais a letra d não aparece. Aqueles em que d esta presente são ( ( ) 4 ) ( 2 6 ( n 1 r 1) no caso geral), pois devemos retirar dois (r 1 no caso geral) elementos para completarmos, juntamente com o elemento d os três (r no caso geral) elementos do subconjunto considerado. Neste caso particular temos 10 ( ( 5 3) 4 ( 3) + 4 2) Permutação com repetições Vamos estudar agora as permutações com repetições. Isto significa que queremos colocar em fila objetos que não são necessariamente todos distintos. Para ilustrarmos a idéia, consideremos um exemplo com apenas quatro elementos aabc, isto é, duas cópias da letra a, uma da letra b e uma da letra c. Sabemos que o total de filas distintas com quatro objetos distintos é igual a 4! 24. Inicialmente, vamos supor que as duas letras a são distintas. Vamos chamá-las de a 1 e a 2. Assim, temos quatro objetos distintos: a 1, a 2, b e c. Na Tabela 9 estão listadas as 24 permutações (filas) que podemos construir com estes quatro (temporariamente distintos) objetos. 11
12 a 1 a 2 bc a 2 a 1 bc a 1 a 2 cb a 2 a 1 cb a 1 ba 2 c a 2 ba 1 c a 1 bca 2 a 2 bca 1 a 1 cba 2 a 2 cba 1 a 1 ca 2 b a 2 ca 1 b ca 1 a 2 b ca 2 a 1 b ba 1 a 2 c ba 2 a 1 c ba 1 ca 2 ba 2 ca 1 ca 1 ba 2 ca 2 ba 1 cba 1 a 2 cba 2 a 1 bca 1 a 2 bca 2 a 1 Tabela 9: As 24 possíveis filas Listamos a tabela de forma a destacar o fato de que a diferença entre a primeira e a segunda colunas é apenas pela troca (permutação) das letras a 1 e a 2. Como, na realidade, a 1 a 2, as filas a 1 a 2 bc e a 2 a 1 bc são iguais. Isto se aplica a todas as outras linhas da Tabela 9, o que nos mostra que a resposta correta é 12, que é igual a 24 4! dividido por 2!. Logo, o número de permutações das quatro letras aabc é igual a 4! ! 2 Se tivéssemos com as seis letras aaabbc, o total de filas distintas seria 6! 60, pelo mesmo argumento apresentado acima, isto é, poderíamos 3!2!1! supor serem todas distintas a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 c e teríamos, por exemplo, do total de 6! 720, as seguintes filas onde apenas as letras a 1 a 2 a 3 são permutadas: a 1 a 2 b 1 cb 2 a 3 a 1 a 3 b 1 cb 2 a 2 a 2 a 1 b 1 cb 2 a 3 a 2 a 3 b 1 cb 2 a 1 a 3 a 1 b 1 cb 2 a 2 a 3 a 2 b 1 cb 2 a 1 Tabela 10: 6 das 720 filas possíveis Como a 1 a 2 a 3 a, todas estas filas são iguais, o que mostra a necessidade de dividir 6! por 3!. De forma análoga, temos que dividir por 2! devido as duas cópias da letra b. 12
13 No caso geral, em que se tem n 1 cópias de a 1, n 2 cópias de a 2,..., n r cópias de a r, o total de permutações com repetições é dado por n! n 1!n 2! n r!, (4) onde n 1 + n n r n. Observe que permutação simples, isto é, sem repetição, é um caso particular da fórmula (4) acima onde n 1 n 2 n r 1. Algo já visto anteriormente também é caso particular da fórmula (4) acima. Trata-se de combinação simples. Como demonstramos, o número de combinações de n objetos tomados r a r é dado por ( ) n n! r r!(n r)! e isto é, claramente, um caso particular de (4) ao tomarmos n 1 r e n 2 n r. Vejamos um exemplo numérico simples para ilustrar este importante fato. Gostaríamos de escolher dentre cinco pessoas (distintas, é claro) duas para participarem de um comissão. Sabemos que este número é dado por ( 5 2) 5! 5! 10. Este é, também, o número de filas distintas que podemos 2!(5 2)! 2!3! formar com as letras aaabb. Na Tabela 11 listamos todas estas filas. aaabb aabab abaab baaab aabba ababa baaba abbaa babaa bbaaa Tabela 11: As 10 filas distintas com as letras aaabb Observe que para caracterizarmos uma fila basta que escolhamos as posições das duas letras b. Ou as posições das letras a, afinal ( ( 5 2) 5 3), como já foi visto. Disto concluímos que combinação simples é um caso particular muito especial das permutação com repetições. 13
14 Vamos discutir agora problemas que podem ser resolvidos com o que vimos até aqui. Consideremos duas salas distintas, Sala 1 e Sala 2, e quatro pessoas a, b, c e d. De quantas maneiras diferentes podemos colocar duas pessoas em cada sala? Quando escolhemos duas pessoas para colocarmos na Sala 1, as duas restantes necessariamente irão para a Sala 2. Na Tabela 12 abaixo temos listadas todas as possibilidades. Sala 1 Sala 2 ab cd ac bd ad bc bc ad bd ac cd ab Tabela 12: As possíveis ocupações das duas salas Como pode ser visto, na coluna da Sala 1 estão todas as combinações de 4, 2 a 2. Na segunda coluna, temos exatamente a mesma lista na ordem inversa. A resposta para nossa questão é, portanto, 6 ( 4 2). Vejamos agora uma outra questão relativa a estas mesmas quatro pessoas a, b, c e d. De quantas maneiras distintas podemos separá-las em dois conjuntos com duas pessoas em cada? Uma simples observação na Tabela 12 nos permite concluir que a resposta agora é 3, pois a diferença entre a primeira e a última linhas é apenas na ordem dos conjuntos {a, b} e {c, d}. A mesma observação é válida para as linhas 2 e 5 e, ainda, para as linhas 3 e 4. Disto podemos concluir que a resposta é 2( 1 4 2) 1 4! !2! 2 Assim, ( 4 2) é o número de subconjuntos formados por dois elementos que um conjunto com quatro elementos possui e é, também, o número de maneiras de separarmos estes quatro elementos em dois grupos, com dois em cada um, onde a ordem destes grupos importa. Caso as salas sejam idênticas, a resposta, como vimos, é 3, pois neste caso estamos interessados em saber quem está junto com quem e não onde um par de elementos está. Continuando com esta mesma linha de raciocínio, vamos resolver outra questão semelhante. Considerando agora três salas distintas e as seis pessoas 14
15 a, b, c, d, e e f, de quantas maneiras diferentes podemos colocar duas em cada sala? Temos ( 6 2) maneiras para a escolha das duas que irão para a Sala 1. Devemos agora escolher duas dentre as quatra restantes para ocupar a Sala 2, o que pode ser feito de ( 4 2) maneiras. Logo, a resposta correta é ( ) ( ) ( ) ! 4! 2! !4! 2!2! 2!0! 6! 90. (5) 2!2!2! Note que, também neste caso, temos uma permutação com repetições. Considere agora a seguinte questão envolvendo as mesmas seis pessoas a, b, c, d, e e f acima: de quantas maneiras podemos separá-las em três pares, isto é, em duplas para disputarem a primeira rodada de um torneio de tênis? A resposta agora é o número dado por (5) dividido por 3! 6. Observe as seguintes distribuições em salas distintas das pessoas a, b, c, d, e e f na Tabela 13. Sala 1 Sala 2 Sala 3 ac ef bd ac bd ef ef ac bd ef bd ac bd ef ac bd ac ef Tabela 13: Seis possíveis ocupações das salas por a, b, c, d, e, f Claramente, as seis ocupações listadas na Tabela 13 são todas distintas. Caso estejamos interessados apenas na formação de pares, cada uma das linhas desta tabela fornecerá exatamente a mesma configuração, isto é, que os pares são ac, bd e ef. Por isto a necessidade de dividirmos por 3!. 3 Permutações circulares Inicialmente vamos falar a respeito da diferença entre as permutações já vistas e as que chamamos permutações circulares. Vimos que a número de maneiras de colocarmos em fila n pessoas (n objetos distintos) é igual a P n 15
16 n!. Vamos tomar n 4 para ilustrarmos, não apenas a diferença entre os dois conceitos, mas também como se calcula o número de permutações circulares de n. Na Tabela 4 listamos as 24 4! filas distintas que podemos formar com 4 pessoas a, b, c, d. Quando temos pessoas em fila podemos perguntar quem ocupa o primeiro lugar, quem ocupa o segundo e assim por diante. Já no caso em que as pessoas estão de mãos dadas, formando uma roda, esta mesma pergunta não faz sentido. Vamos explicar uma forma de se contar o total das permutações circulares a partir das filas, isto é, das permutações não circulares. Claramente se tomarmos uma fila e pedirmos para que a primeira pessoa da fila dê a mão à última formaremos uma roda que estamos considerando como permutação circular. Quando as pessoas estão de mãos dadas o que se pode perguntar sobre uma dada pessoa é, por exemplo, quem são seus vizinhos mas não se ela ocupa uma dada posição no sentido de ser a primeira ou a segunda, etc. Vamos, agora, iniciar a formação de rodas transformando uma fila em uma roda pedindo para que o primeiro da fila dê a mão ao último. Como estamos lidando com pessoas e devemos ser precisos vamos convencionar que todos deverão ficar olhando para o interior da roda. Iniciemos com a fila abcd. b a d c a c d b c a b d d c b a Consideramos iguais duas rodas quando elas diferem apenas por uma rotação. Com esta convenção as quatro rodas da figura acima são idênticas. É fácil observar que nenhuma outra fila, além destas quatro, dará origem a esta roda com a operação que realizamos (ligação do primeiro com o último). Mantendo nossa preocupação com a precisão não estamos esperando que as pessoas brinquem de roda de cabeça para baixo. 4 As quatro filas que originam esta mesma roda são: abcd, dabc, cdab e bcda. Vejamos o que elas têm em comum. O que se observa é que cada uma pode ser obtida da anterior ao se retirar o último elemento e colocá-lo no início da fila. Logo estas quatro diferentes filas nos fornecem a mesma roda. Se tomarmos qualquer fila fora do conjunto formado por estas quatro poderemos repetir o que fizemos obtendo outro conjunto de quatro filas que irá gerar uma roda diferente da anterior. Procedendo desta maneira iremos 4 isto é importante porque não precisamos considerar, em cada roda, duas possíveis posições para cada pessoa 16
17 separar o conjunto das 24 filas em 6 grupos de 4 filas, cada um dos quais, gerando uma roda. Logo o 6 foi obtido da divisão de 24 por 4. Isto é de 4! por 4. Este simples argumento nos permite dizer que, no caso geral, teremos (n 1)! rodas (permutações circulares distintas) com os n objetos distintos. Este número, que denotamos por (P C) n, é, pois, dado por: (P C) n P n n n! n n(n 1)! n (n 1)!. 4 Exercícios 1. De quantas maneiras podemos colocar em fila 10 homens e 10 mulheres sendo que os homens devem estar juntos numa ordem qualquer? 2. De quantas maneiras podemos formar comissões com 5 homens e 3 mulheres de um total de 8 homens e 12 mulheres? 3. Uma comissão julgadora é formada por 4 matemáticos e 3 físicos. De quantas maneiras eles podem sentar-se em fila, se: (a) os matemáticos sentam-se juntos e os físicos também? (b) somente os matemáticos sentam-se juntos? 4. De quantas maneiras podemos separar 12 pessoas em dois grupos de 6 pessoas cada? 5. De quantas maneiras podemos separar 12 pessoas em três grupos de 4 pessoas cada? 6. De quantas maneiras podemos separar 12 pessoas em dois grupos de 2 pessoas e dois grupos de 4? 7. De quantas maneiras podemos separar 12 pessoas em dois grupos sendo um de 7 pessoas e o outro de 5? 8. No Problema 1 quantas são as filas nas quais não existam duas mulheres vizinhas? 9. No Problema 2, considerando-se que João é um dos homens e Maria uma das mulheres, quantas são as comissões das quais Maria faz parte sem o João? 17
18 10. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 18 objetos distintos em três caixas distintas com a restrição de que cada caixa tenha 6 objetos? 11. Considere 4 bolas vermelhas idênticas, 4 bolas verdes idênticas e 4 bolas amarelas idênticas. De quantas maneiras podemos coloca-las em fila? 12. Que relação existe entre os Problemas 5 e 11? 13. Considere um grupo de 8 casais. De quantas maneiras podemos colocar estas 16 pessoas em fila de forma que marido e mulher estejam juntos? 14. Qual a resposta ao problema anterior caso os casais sejam colocados ao redor de uma mesa circular com exatamente 16 cadeiras idênticas? 15. E se as cadeiras no problema anterior forem distintas? 16. Considere dois dados de cores distintas. Quando jogamos os dois quantos são os possíveis resultados? 17. No problema anterior quantas são as possibilidades de se obter soma 9? 18. De quantas maneiras podemos colocar 8 torres idênticas em um tabuleiro de xadrez de modo que elas estejam em linhas distintas e colunas distintas? pessoas vão disputar um campeonato de xadrez. De quantas maneiras podemos separá-las em seis duplas para a primeira rodada? 20. Sendo João e Maria duas dentre as 12 pessoas do problema anterior qual a probabilidade de que eles formem um par na primeira rodada? 21. De quantas maneiras podemos distribuir 24 livros diferentes entre 5 alunos se 2 deles recebem 6 livros e os outros 3 recebem 4 livros cada? 22. De quantas maneiras podemos retirar sucessivamente 2 cartas de um baralho de 52 cartas de modo que: (a) a primeira carta é um ás e a segunda carta não é uma rainda? (b) a primeira carta é de espadas e a segunda não é uma rainda? 23. Quantos são os jogos de um campeonato disputado por 16 equipes de vôlei se todas se enfrentam 2 vezes? 24. De quantas maneiras podemos comprar 18 sorvetes, cada um de um único sabor, numa sorveteria que tem apenas 4 sabores distintos? 18
19 5 Respostas dos exercícios ( )( ) !10! (a) 4!3!2! 288 (b) 4!4! ! 4. 2(6!) ! 2 3!(4!) ! (4!) ! 792 ( )( ) 2 7!5! (10!) 2 18! (6!) ! 3 (4!) ! ! ! ! ! ! ! 22. (a) 188 (6!) 2 (4!) 3 (b) Resposta a pergunta deixada na página 7: Uma possível pergunta seria: De quantas maneiras podemos escolher 3 livros de Matemática dentre os 6, 3 de Física dentre os 6 para colocarmos em fila, juntamente com os 3 de Português, sendo que os 3 primeiros seriam de Matemática, os 3 seguintes de Física e os 3 últimos de Português? 19
20 Referências [1] Andrews, G. E., Erikson, K.; Integer Partition, Cambridge University Press. Cambridge, [2] Andrews, G. E.; The theory of partitions, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (Rota Editor), Vol. 2, G.-C., Addison-Wesley, Reading, [3] Andrews, G. E., Askey, R., Roy, R.; Special Functions, Vol. 71, Cambridge University Press, [4] Loher, N. A.; Bijective Combinatorics, Discrete Mathematics and its applications, CRC Press, [5] MacMahon, P. A.; Combinatorial Analysis, 2 v., Chelsea Publisinhg, [6] Niven, I.; Formal Power Series, The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No 8, p , [7] Santos, J. P. O.; Introdução à Teoria dos Números, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, [8] Santos, J. P. O., Estrada, E.L.; Problemas Resolvidos de Combinatória, Segunda Ed., Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro, [9] Santos, J. P. O., Mello, M.P., Murari, I.T.C.; Introdução à Análise Combinatória, Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro, [10] Slomson, A.; An Introduction to Combinatorics, Chapman and Hall, London, [11] Stanley, R. P.; Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, Cambridge, Vol. 1, [12] Stanley, R. P.; Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, Cambridge, Vol. 2,
Probabilidade. Contagem
Probabilidade Contagem Problema da Contagem no Estudo da Probabilidade Conforme definição clássica, podemos determinar uma probabilidade calculando a relação entre o total de eventos de sucesso e o total
Leia maisCálculo Combinatório
Cálculo Combinatório Introdução Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática
Leia mais10 opções. 10 opções. 9 opções. 22 opções. 23 opções
Contagem Princípio Fundamental de Contagem Se algum procedimento pode ser realizado de n 1 maneiras diferentes; se, seguindo este, um segundo procedimento pode ser realizado de n 2 maneiras diferentes;
Leia maisProbabilidade. Contagem
Probabilidade Contagem Problema da Contagem no Estudo da Probabilidade Conforme definição clássica, podemos determinar uma probabilidade calculando a relação entre o total de eventos de sucesso e o total
Leia maisMétodos Estatísticos Básicos
Aula 8 - Análise combinatória Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Maio de 2014 Número de elementos do espaço amostral A denição clássica de probabilidade requer que saibamos
Leia maisMais Permutações e Combinações (grupo 2)
Capítulo 4 Mais Permutações e Combinações (grupo 2) Como vimos anteriormente, é possível resolver um grande número de problemas interessantes de contagem sem utilizar fórmulas, apenas empregando apropriadamente
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 9
i Sumário 1 Teoria dos Conjuntos e Contagem 1 1.1 Teoria dos Conjuntos.................................. 1 1.1.1 Comparação entre conjuntos.......................... 2 1.1.2 União de conjuntos...............................
Leia maisCombinatória II Continuação
12 Combinatória II Continuação Sumário 12.1 Introdução....................... 2 12.2 Permutações e Combinações............. 2 1 Unidade 12 Introdução 12.1 Introdução Nesta unidade, são estudadas as permutações
Leia maisCombinatória I. Sumário Introdução Princípios Básicos... 2
11 Combinatória I Sumário 11.1 Introdução....................... 2 11.2 Princípios Básicos................... 2 1 Unidade 11 Introdução 11.1 Introdução Combinatória é um vasto e importante campo da matemática
Leia maisAula 6 Revisão de análise combinatória
Aula 6 Revisão de análise combinatória Conforme você verá na próxima aula, a definição clássica de probabilidade exige que saibamos contar o número de elementos de um conjunto. Em algumas situações, é
Leia maisAprendizado de Máquina (Machine Learning)
Ciência da Computação (Machine Learning) Aula 14 Regras de Associação Max Pereira Regras de Associação Motivação O que é geralmente comprado junto com o produto x? Que pares de produtos são comprados juntos?
Leia maisPolinômios e o Problema de Contagem
Polinômios e o Problema de Contagem Jorge Alencar Universidade Estadual de Campinas I Workshop de Álgebra da UFG-CAC Catalão, Brazil Novembro 12-14, 2013 Polinômios Um polinômio é uma expressão matemática
Leia maisCAPÍTULO 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA
CAPÍTULO 2 ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é um ramo da matemática, que tem por fim estudar as propriedades dos agrupamentos que podemos formar, segundo certas leis, com os elementos de um
Leia maisContinuando com. O título desta aula já indica que continuaremos. Nossa aula. Permutações com repetição
A UA UL LA Continuando com permutações Introdução Nossa aula O título desta aula já indica que continuaremos o assunto da Aula 49, em que vimos vários exemplos de permutações denominadas permutações simples
Leia maisAnálise Combinátorio. 1 - Introdução. 2 - Fatorial
Análise Combinátorio 1 - Introdução Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática
Leia maisAulas particulares. Conteúdo
Conteúdo Capítulo 6...2 Probabilidade...2 Exercícios...4 Restpostas...9 Capítulo 7... 12 Análise combinatória... 12 Fatorial... 12 Arranjo... 13 Combinação... 16 Exercícios... 17 Respostas... 22 1 Capítulo
Leia maisPermutacões com elementos repetidos
Permutacões com elementos repetidos Lembre-se de que permutar um grupo de elementos consiste em colocá-los em uma determinada ordem. E lembre-se de que, quando n é um inteiro não negativo, a quantidade
Leia maisARRANJO OU COMBINAÇÃO?
ARRANJO OU COMBINAÇÃO? As principais ferramentas da Análise Combinatória são a Permutação, o Arranjo e a Combinação, mas muitos estudantes se confundem na hora de decidir qual delas utilizar para resolver
Leia maisBreve revisão de Análise Combinatória
1. Princípio fundamental da contagem Breve revisão de Análise Combinatória Considere que certo procedimento pode ocorrer de duas maneiras diferentes, quais sejam: A 1ª maneira, ocorrendo de a modos distintos;
Leia maisCombinatória. Samuel Barbosa. 28 de março de 2006
Combinatória Samuel Barbosa 28 de março de 2006 1 Princípios Básicos de Contagem Em contagem, tentamos abordar o problema de contar o número de elementos de um conjunto sem efetivamente contá-los de um
Leia maisContagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 5 Contagem II Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em
Leia mais(b) Em quantos destes anagramas as letras CI aparecem juntas e nesta ordem? (c) Em quantos anagramas a letra A aparece antes (a esquerda) da letra E?
Exercício 1. (a) Quantos são os anagramas da palavra CINEMA. (b) Em quantos destes anagramas as letras CI aparecem juntas e nesta ordem? (c) Em quantos anagramas a letra A aparece antes (a esquerda) da
Leia maisContagem e Probabilidade Soluções do Exercícios Adicionais. Paulo Cezar Pinto Carvalho
Contagem e Probabilidade Soluções do Exercícios Adicionais Paulo Cezar Pinto Carvalho 1. a) AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC b) O líder pode ser escolhido de modos; uma vez escolhido o líder,
Leia maisOi, Ficou curioso? Então conheça nosso universo.
Oi, Somos do curso de Matemática da Universidade Franciscana, e esse ebook é um produto exclusivo criado pra você. Nele, você pode ter um gostinho de como é uma das primeiras aulas do seu futuro curso.
Leia mais+ 2. = - 1 se A = 15 = 1 se A = 25
Yˆ = 7,5 + 8, X + 5,00 X = - se A = 5 = se A = 5 = - se B = = se B = Exemplo 8.6...4. Outro exemplo: Fatorial ³ Montgomery (997), p. 05. Estudo do efeito da porcentagem de carbonation, A, pressão de operação,
Leia mais1 x 1. (1 x) 2 = = (1 x3 )(1 x 4 ) (1 x) 4. ( 1) n x n.
É fácil ver que o coeficiente procurado é 4 9 4 3 9 +6 2 9 4. Aplicação 4: Existem 10 caixas idênticas de presentes. Cada uma deve ser embrulhada com uma única cor e se dispõe-se de papéis de cor vermelha,
Leia maisProbabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20
Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 04/14 1 / 20 Alguns Conceitos Básicos de Contagem As ideias de contagem se relacionam com
Leia maisUma maneira alternativa de olhar para este problema é a seguinte. Imagine que há dois espaços, um para o aluno 1 e outro para o aluno 2,
Contagem Probabilidade e Estatística I Antonio Roque Aula 14 Muitos problemas de probabilidades envolvem o uso de conceitos da análise combinatória Esta aula tem por objetivo fazer uma revisão dessa área
Leia mais1 Conjuntos, Números e Demonstrações
1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para
Leia maisOPRM a Fase Nível 1 01/09/18 Duração: 4 horas
1. Augusto propõe ao seu amigo o seguinte desafio: na figura abaixo, os números naturais de 1 a 12 são escritos de forma que a soma de quatro números em uma linha reta é a mesma para todas as linhas. Alguns
Leia maisMESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 2017.1 Gabarito Questão 01 [ 1,25 ] Determine as equações das duas retas tangentes à parábola de equação y = x 2 2x + 4 que passam pelo ponto (2,
Leia maisOBMEP 2010 Soluções da prova da 2ª Fase Nível 2. Questão 1
Questão a) Para saber o número que deve dizer ao matemágico, Joãozinho deve fazer quatro contas: ª conta: multiplicar o número no cartão escolhido por 2; 2ª conta: somar 3 ao resultado da primeira conta;
Leia maisIntrodução. Alterações: Não há;
FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO ESTADUAL PROFESSOR ANTÔNIO MARIA TEIXEIRA FILHO PROFESSOR: ANDRÉ GOMES CARDOSO MATRÍCULA: 09208778 SÉRIE: 3ª SÉRIE
Leia maisa) Em quantas ordem quatro pessoas podem senta num sofá de 4 lugares?
ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM A análise combinatória é um ramo da matemática que tem por objetivo resolver problemas que consistem, basicamente em escolher e agrupar os elementos
Leia mais10. Fatorial e Análise combinatória
10. Fatorial e Análise combinatória 1. Definição e propriedades básicas. Seja n um número natural, n 2. Então, designamos o produto 123... (n-1)n como, que se lê n fatorial. Dessa definição, deduzimos
Leia maispara Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!
Álgebra: É Necessário ter Ideias para Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1. Fatoração é legal; fatoração é sua amiga 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!
Leia maisO REI MALIGNO E A PRINCESA GENEROSA: SOBRE BASES NUMÉRICAS E CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
O REI MALIGNO E A PRINCESA GENEROSA: SOBRE BASES NUMÉRICAS E CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE ANA PAULA CHAVES AND THIAGO PORTO 1. Introdução Os temas centrais deste texto - bases numéricas e critérios de divisibilidade
Leia maisA grosso modo, o objetivo desse curso pode ser descrito como. Estudo de técnicas para se contar o número de elementos de um dado conjunto.
Capítulo 1 Conceitos Básicos 11 Introdução A grosso modo, o objetivo desse curso pode ser descrito como Estudo de técnicas para se contar o número de elementos de um dado conjunto Exemplo 111 (placas de
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Métodos Sofisticados de Contagem. Combinações Completas. Segundo Ano do Ensino Médio. Prof. Fabrício Siqueira Benevides
Material Teórico - Módulo de Métodos Sofisticados de Contagem Combinações Completas Segundo Ano do Ensino Médio Prof. Fabrício Siqueira Benevides 1 Combinações Completas Em aulas anteriores, estudamos
Leia maisINE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/20 4 - INTROD. À ANÁLISE COMBINATÓRIA 4.1) Arranjos
Leia maisMatemática Discreta. Aula 01: Análise Combinatória I. Tópico 02: Arranjos com e sem repetição. Solução. Arranjos com Repetição.
Aula 01: Análise Combinatória I Tópico 02: Arranjos com e sem repetição Agora que demos o pontapé inicial aprendendo os Princípios Fundamentais de Contagem com e sem repetições, vamos ver que o restante
Leia maisEmerson Marcos Furtado
Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992.
Leia maisAxiomas de corpo ordenado
Axiomas de corpo ordenado 2 a lista de exercícios Análise real A abordagem axiomática dos números reais previne erros que a intuição pode ocasionar e torna mais rigoroso o processo de demonstração matemática,
Leia mais,12 2, = , ,12 = = (2012) 2.
1 QUESTÃO 1 Usando a comutatividade da multiplicação, podemos escrever 1000 0,1,01 100 = 1000,01 00 0,1 = 01 01 = (01). QUESTÃO Observe que para obter o primeiro retângulo foi necessário escrever quatro
Leia maisNoções de Probabilidade parte I
Noções de Probabilidade parte I 5 de Março de 2012 Site: http://ericaestatistica.webnode.com.br/ e-mail: ericaa_casti@yahoo.com.br Referências: Probabilidae Aplicações à Estatística - Mayer (Capítulo 1)
Leia maisSoluções Nível 2 Segunda Fase
SOLUÇÃO DO PROBLEMA : XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA OPM 003 Segunda Fase Nível (7 a. ou 8 a. séries) Soluções Nível Segunda Fase Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente;
Leia mais8 ANÁLISE COMBINATÓRIA E
MATEMATICA 8 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE NOME ESCOLA EQUIPE SÉRIE PERÍODO DATA PERMUTAÇÕES SIMPLES EXEMPLO QUANTOS NÚMEROS, DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS, PODEMOS FORMAR COM OS DÍGITOS 7, 8 E 9? Temos
Leia maisCiclo 2 Encontro 2 PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES. Nível 3 PO: Márcio Reis 11º Programa de Iniciação Científica Jr.
1 Ciclo 2 Encontro 2 PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES Nível 3 PO: Márcio Reis 11º Programa de Iniciação Científica Jr. ATUALIZAR O ENDEREÇO RESIDENCIAL ATÉ 07/08! 2 ATUALIZAR O ENDEREÇO RESIDENCIAL ATÉ 07/08!
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Números Naturais: Contagem, Divisibilidade e o Teorema da Divisão Euclidiana
Material Teórico - Módulo Números Naturais: Contagem, Divisibilidade e o Teorema da Divisão Euclidiana Números Naturais e Problemas de Contagem Parte Oitavo Ano Autor: Prof Ulisses Lima Parente Revisor:
Leia maisAnálise Combinatória
Introdução Análise combinatória PROBLEMAS DE CONTAGEM Princípio Fundamental da Contagem Exemplo: Um número de telefone é uma seqüência de 8 dígitos, mas o primeiro dígito deve ser diferente de 0 ou 1.
Leia maisCircuitos Digitais Segunda Lista de Exercícios
Circuitos Digitais Segunda Lista de Exercícios Observação: o início da lista é composto dos problemas recomendados do livro-texto. exercícios nas últimas duas páginas da lista são novos (não estão no livro-texto).
Leia maisProduto Misto, Determinante e Volume
15 Produto Misto, Determinante e Volume Sumário 15.1 Produto Misto e Determinante............ 2 15.2 Regra de Cramer.................... 10 15.3 Operações com matrizes............... 12 15.4 Exercícios........................
Leia maisMatemática Discreta. Aula 01: Análise Combinatória I. Tópico 01: Princípio fundamental de contagem
Tópico 01: Princípio fundamental de contagem Aula 01: Análise Combinatória I A principal função da análise combinatória é desenvolver técnicas para a contagem de conjuntos. Dito assim, parece simples e
Leia maisMatemática Régis Cortes ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANÁLISE COMBINATÓRIA 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA PERMUTAÇÃO é o tipo de agrupamento ordenado em que cada grupo entram todos os elementos. Os grupos diferem pela ORDEM Pn = n! ARRANJO : é o tipo de agrupamento
Leia maisTeorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras Luan Arjuna 1 Introdução Uma das maiores preocupações dos matemáticos da antiguidade era a determinação de comprimentos: desde a altura de um edifício até a distância entre duas cidades,
Leia maisResumo. Palavras-chave: implementações aritméticas; inverso modular; sistema de restos.
2017, NÚMERO 1, VOLUME 5 ISSN 2319-023X Universidade Federal de Sergipe - UFS evilson@ufs.br Resumo Neste trabalho apresentamos uma implementação para execução manual do algoritmo estendido das divisões
Leia maisMódulo de Métodos Sofisticados de Contagens. Permutação Circular. Segundo ano
Módulo de Métodos Sofisticados de Contagens Permutação Circular Segundo ano 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Dois colares de pérolas serão considerados iguais se um deles puder ser obtido através
Leia maisAplicações das Técnicas Desenvolvidas. Soluções de Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. 2 a série E.M.
Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Soluções de Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória 2 a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Soluções
Leia maisAnálise Combinatória e Probabilidade
Análise Combinatória e Probabilidade Exemplo: NOME ESCOLA EQUIPE SÉRIE PERÍODO DATA PERMUTAÇÕES SIMPLES -Roteiro do aluno- QUANTOS NÚMEROS, DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS, PODEMOS FORMAR COM OS DÍGITOS 7, 8
Leia maisXXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO
XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL (Ensino Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL ) D 6) C ) D 6) C ) B ) A 7) B ) B 7) B ) C ) D 8) C ) E 8) B ) B 4) D 9) E 4) D 9) C 4) D ) D 0) A ou
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Miscelânea. Resolução de Exercícios - Parte 1. Oitavo Ano
Material Teórico - Módulo Miscelânea Resolução de Exercícios - Parte 1 Oitavo Ano Autor: Prof. Ulisses Lima Parente Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 1 Resolução de exercícios Nesse material, apresentamos
Leia maisXXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Segunda Fase Nível 2 (7 a. ou 8 a. séries)
PROBLEMA No desenho ao lado, o quadrado ABCD tem área de 30 cm e o quadrado FHIJ tem área de 0 cm. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG.
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Princípios Básicos de Contagem. O fatorial de um número e as permutações simples. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo de Princípios Básicos de Contagem O fatorial de um número e as permutações simples Segundo Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio
Leia maisJORNALISMO DE DADOS E VISUALIZAÇÃO. Noções de Estatística para Jornalistas. Marcelo Leme de Arruda www.chancedegol.com.br
JORNALISMO DE DADOS E VISUALIZAÇÃO Noções de Estatística para Jornalistas Marcelo Leme de Arruda www.chancedegol.com.br Introdução Conceitos matemáticos 1 Somatório (Σ) Soma geral de termos Notação: n
Leia maisReferências e materiais complementares desse tópico
Notas de aula: Análise de Algoritmos Centro de Matemática, Computação e Cognição Universidade Federal do ABC Profa. Carla Negri Lintzmayer Conceitos matemáticos e técnicas de prova (Última atualização:
Leia maisContagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta.
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 4 Contagem I De quantos modos podemos nos vestir? Quantos números menores que 1000 possuem todos os algarismos pares?
Leia maisUma visão diferente do Teorema de Laplace
Uma visão diferente do Teorema de Laplace Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) por seus
Leia maisRepresentação decimal dos números racionais
Representação decimal dos números racionais Alexandre Kirilov Elen Messias Linck 21 de março de 2018 1 Introdução Um número é racional se puder ser escrito na forma a/b, com a e b inteiros e b 0; esta
Leia maisO PRINCÍPIO DAS GAVETAS Paulo Cezar Pinto Carvalho - IMPA
Nível Intermediário O PRINCÍPIO DAS GAVETAS Paulo Cezar Pinto Carvalho - IMPA Muitos problemas atraentes de matemática elementar exploram relações entre conjuntos finitos, expressas em linguagem coloquial.
Leia maisPrincípios de Contagem Introdução. Princípio Fundamental da Contagem
Aula n ọ 08 Princípios de ontagem Introdução A escolha do presente que você deseja ganhar em seu aniversário, a decisão de uma grande empresa quanto às alternativas de investimento neste ano e a seleção
Leia maisElementos de Matemática
Elementos de Matemática Análise Combinatória - Atividades didáticas de 2007 Versão compilada no dia 31 de Julho de 2007. Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(auel(ptbr Matemática
Leia maisOBMEP 2010 Soluções da prova da 2ª Fase Nível 1. Questão 1
1 Questão 1 a) O número-parada de 93 é 4, pois 93 9 3 = 27 2 7 = 14 1 4 = 4. b) Escrevendo 3 2 = 6 vemos que 32 3 2 = 6. Como 32 = 4 2 2 2, temos 4222 4 2 2 2 = 32 3 2 = 6 e assim o número-parada de 4222
Leia maisUnidade IV ESTATÍSTICA. Prof. Fernando Rodrigues
Unidade IV ESTATÍSTICA Prof. Fernando Rodrigues Análise combinatória Analise combinatória é a área da Matemática que trata dos problemas de contagem. Ela é utilizada para contarmos o número de eventos
Leia maisArranjos, Permutações e Combinações
Arranjos, Permutações e Combinações AULA META Definir e diferenciar a noção de arranjo, permutação e combinação. OBJETIVOS Ao final da aula o aluno deverá ser capaz de: Distinguir arranjo, permutação e
Leia maisGABARITO - ANO 2018 OBSERVAÇÃO:
GABARITO - ANO 018 OBSERVAÇÃO: Embora as soluções neste gabarito se apresentem sob a forma de um texto explicativo, gostaríamos de salientar que para efeito de contagem dos pontos adquiridos, na avaliação
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Métodos Sofisticados de Contagem. Permutações circulares. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo de Métodos Sofisticados de Contagem Permutações circulares Segundo Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto Permutações Circulares
Leia maisEscola Secundária da Sobreda. Análise Combinatória e Probabilidades. Actividade 4
Escola Secundária da Sobreda Análise Combinatória e Probabilidades Actividade 4 Os vinte alunos de uma turma de uma escola secundária resolveram formar uma comissão de três de entre eles para organizar
Leia maisCurso: Ciência da Computação Turma: 4ª Série. Probabilidade e Estatística. Aula 2
Curso: Ciência da Computação Turma: 4ª Série Aula 2 Análise Combinatória: Arranjo, Permutação, Combinação Simples e com Repetição Motivação Quantas ordenações são possíveis fazer com um baralho de 52 cartas?
Leia maisMOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS. Professor: Rodrigo A. Scarpel
MOQ-14 PROJETO e ANÁLISE de EXPERIMENTOS Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Programa do curso: Semana Conteúdo 1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares
Leia maisAnálise Combinatória - ENEM
Prof Rômulo Garcia https://wwwfacebookcom/matematicaenem Análise Combinatória - ENEM 1)Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 opções por questão? Podemos
Leia mais> Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/19
Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações Combinações > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/19 Permutações Utilizamos P(n, r) para denotar o número de sequências
Leia maisPolo Olímpico de Treinamento Intensivo UFPR Curso de Combinatória, Nível 3 1 o semestre de 2019
Polo Olímpico de Treinamento Intensivo UFPR Curso de Combinatória, Nível 3 1 o semestre de 2019 Marcel Thadeu de Abreu e Souza Vitor Emanuel Gulisz Análise Combinatória: Introdução Vamos buscar contar
Leia maisMATEMATICA PERMUTAÇÕES SIMPLES QUANTOS NÚMEROS, DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS, PODEMOS FORMAR COM OS DÍGITOS 7, 8 E 9?
MATEMATICA 8 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE ORIENTAÇÃO PARA O PROFESSOR EXEMPLO PERMUTAÇÕES SIMPLES QUANTOS NÚMEROS, DE 3 ALGARISMOS DISTINTOS, PODEMOS FORMAR COM OS DÍGITOS 7, 8 E 9? Temos o conjunto
Leia mais4. COMBINATÓRIA BÁSICA. Combinatória: ramo da matemática que trata de arranjos de objetos (configurações satisfazendo propriedades específicas).
Combinatória básica Introdução INTRODUÇÃO 4. COMBINATÓRIA BÁSICA Introdução Regra da soma e do produto Modelo de amostragem Modelo de distribuição Modelo de equação Identidades combinatórias Coeficientes
Leia maisPOLINÔMIOS ORTOGONAIS E FRAÇÕES CONTÍNUAS
POLINÔMIOS ORTOGONAIS E FRAÇÕES CONTÍNUAS Aline de Mello Stoppa Bistaffa 1 ; Regina Litz Lamblém 2 1 Acadêmica do Curso de Matemática da UEMS, Unidade Universitária de Cassilândia; E-mail:alinestoppa@hotmailcom,
Leia mais4 3 10! Resposta pedida: 3! x 4! = 144 Resposta: C
ágina 80. reparar o Exame 0 07 Matemática A 4 0! 4 x x 0!. Devemos escolher, das oito posições, duas para as letras A: temos 8 formas de o fazer. Das seis posições restantes, uma tem de ser para a letra
Leia maisProdutos de potências racionais. números primos.
MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e
Leia maisPROBABILIDADE. Prof. Patricia Caldana
PROBABILIDADE Prof. Patricia Caldana Estudamos probabilidade com a intenção de prevermos as possibilidades de ocorrência de uma determinada situação ou fato. Para determinarmos a razão de probabilidade,
Leia maisTerceira Lista de Preparação para a XXIX Olimpíada de Matemática do Cone Sul e VIII Olimpíada de Matemática dos Países de Língua Portuguesa
Terceira Lista de Preparação para a XXIX Olimpíada de Matemática do Cone Sul e VIII Olimpíada de Matemática dos Países de Língua Portuguesa Álgebra e Teoria dos Números Problema ) Encontre o primeiro dígito
Leia maisOBMEP ª fase Soluções - Nível 3
OBMEP 009 ª fase Soluções - Nível Nível questão 1 a) O número de cartões na caixa é a soma dos números inteiros de 1 a 10, isto é, 1 + + + + 9 + 10 = 55 b) Basta escolher o cartão de número 1 e depois
Leia maisPrincípio KISS. Semana Olímpica/ Nível 1. Prof. Armando Barbosa. 25 de janeiro de 2019
Princípio KISS Semana Olímpica/2019 - Nível 1 Prof. Armando Barbosa 25 de janeiro de 2019 1 Pensar simples (Principio KISS) A ideia dessa seção é apresentar o príncipio KISS (Keep it simple, stupid) à
Leia maisCOMBINATÓRIA ELEMENTAR BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 2 O QUE É COMBINATÓRIA
Matemática Discreta Capítulo 2 SUMÁRIO COMBINATÓRIA ELEMENTAR BASEADO EM TOWNSEND (1987), CAP. 2 Newton José Vieira 23 de setembro de 2007 Problemas Básicos de Combinatória As Regras da Soma e do Produto
Leia maisDESAFIO FINAL GABARITO ALL
DESAFIO FINAL GABARITO ALL 01. a) Queremos que apareça na tela o número 7 10 2 10 7 = 7 10 9. Uma maneira de fazer tal conversão, começando com 7 10 2, é apertar quatro vezes a tecla com a operação de
Leia maisA = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
Leia mais