Princípios de Contagem Introdução. Princípio Fundamental da Contagem

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1 Aula n ọ 08 Princípios de ontagem Introdução A escolha do presente que você deseja ganhar em seu aniversário, a decisão de uma grande empresa quanto às alternativas de investimento neste ano e a seleção do time que um técnico de futebol deve fazer para o próximo jogo são decisões que, na maioria das vezes, estão relacionadas a uma quantidade muito grande de possibilidades. omo encontrar essas quantidades e escolher a melhor opção? om o auxílio da análise combinatória, é possível organizar as informações objetivando a contagem rápida das escolhas, sem a necessidade de contá-las uma a uma. Em alguns casos, inclusive, além de ser inconveniente, isso é praticamente impossível. Princípio Fundamental da ontagem O princípio fundamental da contagem é uma das importantes ferramentas em análise combinatória, estabelecendo os principais raciocínios utilizados na resolução de problemas de contagem. Nele, existem dois raciocínios (ou princípios) que podem ser empregados: princípio aditivo e princípio multiplicativo. Na cantina de seu colégio existem 5 tipos de sucos de frutas disponíveis para a venda: laranja, pêssego, maçã, abacaxi e caju. Além disso, existem dois tipos de água mineral: com gás e sem gás. Você deseja pedir um único tipo de bebida dentre as anteriores, sem restrições, para matar a sede. Quantas opções de escolha existem? Solução: Existem 5 opções de sucos e 2 opções de água. omo você escolherá apenas uma delas, ou um dos sucos ou uma das águas minerais, então terá 7 (5 + 2) opções de escolha. suco ou água = 7 bebidas Repare que as opções de escolha da bebida são independentes, ou seja, escolhida uma delas, as demais são eliminadas, sem a necessidade de uma nova escolha. Se existem m 1 maneiras de tomar a decisão D 1,e existem m 2 maneiras de tomar a decisão D 2, sendo D 1 ed 2 independentes, então o número de maneiras de tomar, ou a decisão D 1 ou a decisão D 2, é m 1 + m 2. Imagine que na cantina de sua escola existam 5 opções de sucos de frutas: pêssego, maçã, morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir seu suco? Solução: fruta e acompanhamento 5 x 2 = 10 sucos Observe que existem 5 opções de frutas e 2 opções de acompanhamento para cada fruta possível de ser escolhida. omo você escolherá uma das frutas e, em seguida, um dos acompanhamentos, então poderá pedir seu suco de 10 (5 x 2) maneiras possíveis. Não é difícil perceber que o pedido do suco depende de duas escolhas: a escolha da fruta e a escolha do acompanhamento. Para cada fruta, existiam dois acompanhamentos. Por isso, as opções foram multiplicadas. Se existem m 1 maneiras de tomar uma decisão D 1 e, para cada uma dessas maneiras, existem m 2 maneiras de tomar a decisão D 2, então o número de maneiras de tomar sucessivamente as decisões D 1 e D 2 é m 1. m 2. Embora o enunciado anterior contemple apenas duas decisões, é importante destacar que o princípio pode ser estendido para mais escolhas. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 5, 8 e 9 de modo que: a) os algarismos possam ser repetidos? b) os algarismos sejam distintos? Solução: a) Para cada posição, podemos fazer a escolha de 5 maneiras, pois os algarismos podem ser repetidos. Assim, temos: 5 x 5 x 5 = 125 Logo, podemos formar 125 números. b) Inicialmente, existem 5 escolhas para o algarismo das centenas. Escolhido o algarismo das centenas e, sabendo que os algarismos são distintos, existem 4 escolhas para o algarismo das dezenas. Escolhido também o algarismo das dezenas, existem 3 escolhas restantes para o algarismo das unidades. As escolhas foram diminuindo uma a uma, pois os algarismos são distintos: 5 x 4 x 3 = 60 Portanto, existem 60 números. MATEMÁTIA E SUAS TENOLOGIAS - Vol. II 31

2 Observações: Existem algumas recomendações importantes na resolução de problemas de contagem. Dentre elas, destacam-se: 1. Sempre que possível divida as decisões a serem tomadas em decisões mais simples e, portanto, de fácil solução. 2. Os detalhes de um problema são importantes. Leia com muita atenção o enunciado e verifique se o problema permite ou não a repetição de elementos, por exemplo. 3. É imprescindível não adiar dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais específica ou mais restritiva que outra, esta deverá ser tomada em primeiro lugar. Fatorial O fatorial de um número natural n, n 2, representado por n!, é definido como sendo o produto de n por todos que o antecedem até o número 1, ou seja: n! = n x (n 1) x (n 2) x... x 3 x 2 x 1 Para que todos os problemas de contagem possam ser resolvidos adequadamente, faz parte da definição ainda que: 1! = 1 e 0! = 1 Organizando os principais resultados de fatoriais de números naturais de 0 a 10, podemos escrever: 0! = 1 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 6! = = 720 7! = = ! = = ! = = ! = = omo existem fatoriais apenas de números naturais, para citar alguns exemplos, não estão definidos os seguintes fatoriais: ( 3)! ou 4! ou ( 2)! 5 Em muitos casos, as quantidades de possibilidades presentes em problemas de contagem são relativamente grandes. Por isso, o estudo da operação fatorial apresenta-se como uma ferramenta importante minimizando as operações aritméticas. Em outras palavras, a partir da definição de fatorial, os cálculos podem ser simplificados, permitindo que números relativamente grandes possam ser operados com praticamente a mesma facilidade com que operamos números relativamente menores. As consequências disso são que as respostas podem ser obtidas com mais rapidez e eficiência. alcule o valor de 20! 17!. Solução: Não há a necessidade de calcularmos separadamente cada um dos fatoriais, observe: 20! ! = = = ! 17! A simplificação foi efetuada desenvolvendo o fatorial do maior número (20!) até a ocorrência de um fator que seja igual ao menor fatorial (17!). Após a simplificação, efetuamos as operações restantes. Permutações simples Imagine que você deseja reorganizar na estante seus 12 livros prediletos. Quantas sequências poderíamos formar pela disposição dos 12 livros distintos na estante, lado a lado? O 1º livro pode ser escolhido de 12 modos diferentes. Escolhido o 1º, existem 11 modos para escolher o 2º livro. Escolhidos os dois primeiros, existem 10 maneiras para escolher o 3º livro. Se continuarmos com esse procedimento até o último livro, teremos 12! maneiras de ordenar esses 12 livros: 12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 12! = O resultado é, digamos, surpreendente: com exatamente 12 livros distintos, existem maneiras possíveis de ordená-los, lado a lado, em uma estante. Apenas para ilustrar, se perdêssemos 1 minuto para ordenar cada uma das sequências, demoraríamos cerca de 910 anos para que todas as sequências de livros fossem ordenadas. ada sequência possível de se ordenar os livros é chamada de permutação simples desses livros. Pensando de uma forma abrangente, podemos dizer que o número de maneiras de ordenar n objetos distintos é o número de permutações simples de n objetos. Representando por P n o número de permutações simples, observe o próximo conceito: O número de permutações simples de n objetos distintos é dado por P n = n!. A palavra simples indica que os elementos permutados são distintos. Não é difícil perceber que a fórmula do número de permutações simples é uma consequência imediata do princípio multiplicativo. Por exemplo, a quantidade de permutações simples das letras a, b, c, d é dada por: P 4 = 4! = = 24, e, essas 24 possíveis sequências são as seguintes: 32 MATEMÁTIA E SUAS TENOLOGIAS - Vol. II

3 abcd bacd cabd dabc abdc badc cadb dacb acbd bcad cbad dbac acdb bcda cbda dbca adbc bdac cdab dcab adcb bdca cdba dcba Permutações com repetição Existem situações nas quais devemos ordenar elementos em que pelo menos um deles é repetido. Nesses casos, a permutação não é simples, mas, sim, com repetição de elementos. Vamos calcular todos os anagramas que podem ser formados com as letras da palavra ARARA. Os anagramas são os seguintes: ARARA AAARR AARAR ARAAR AARRA ARRAA RAAAR RAARA RARAA RRAAA Existem10 anagramas. Para calcular a quantidade total de anagramas sem necessariamente descrever todos eles, podemos utilizar o seguinte raciocínio: Se todas as letras fossem distintas, teríamos 5! anagramas. Quando trocamos entre si as 2 letras R, obtemos o mesmo anagrama, não um anagrama distinto. Isso faz com que, na nossa contagem de 5!, tenhamos contado o mesmo anagrama 2! vezes, pois há 2! modos de trocar as letras R entre si. Da mesma forma, isso ocorre também para as 3 letras A que podem ser ordenadas de 3! modos. Desta forma, a quantidade total de anagramas é encontrada permutando-se as 5 letras, e dividindo-se o total obtido pela quantidade de permutações de 2 elementos (letra R) e pela quantidade de permutações de 3 elementos (letra A): P5 5! 5.4.3! = = = 10 P.P 2 3 2!.3! 2.1.3! Em geral, a quantidade de permutações com elementos repetidos é obtida do seguinte modo: A quantidade de permutações de n elementos, dos quais um deles é repetido α vezes, outro é repetido β vezes, outro γ vezes,..., é dada por: n! Pn αβ,, γ,... = α!. β!. γ!... ombinações simples Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação simples desses n elementos, tomados p a p, n p, a qualquer subconjunto de p elementos distintos formado com os n elementos dados. A quantidade de combinações simples de n elementos tomados p a p é dada por: n! n p = p!(n p)! Observação: A quantidade de combinações simples de n elementos tomados p a p, será representada por p n ou n.p. aso ocorra n < p, define-se p n = 0, pois não há maneira alguma de escolher mais elementos distintos do que os elementos disponíveis. Exemplos: 6! ! 6.5 = = = = !(6 2)! 2.1.4! 2.1 Existem 15 maneiras possíveis de escolher 2 elementos distintos entre 6 elementos distintos disponíveis. 8! ! = = = 8 4!.(8 4)! ! = 70 Existem 70 maneiras possíveis de escolher 4 elementos distintos entre 8 elementos distintos disponíveis. 7! ! = = = = !(7 3)! ! = 35 Existem 35 maneiras possíveis de escolher 3 elementos distintos entre 7 elementos distintos disponíveis. Os exemplos anteriores enfatizam a ideia de que utilizamos combinações simples para formar subconjuntos, ou seja, escolher elementos distintos. Observação: Existem combinações que, apesar de não serem idênticas, apresentam resultados iguais. Assim, por exemplo, as combinações 3 7 e 4 7 não são idênticas, mas seus resultados são iguais, observe: = = = = Isto ocorre pelo fato de que = 7. Isto é, a soma das taxas (3 + 4) resulta na quantidade de elementos (7). Em geral, sendo n e p números naturais, tais que n p, as combinações p n e n p n têm taxas complementares, pois p + (n p) = n. Logo, podemos escrever: p n p n = n MATEMÁTIA E SUAS TENOLOGIAS - Vol. II 33

4 Outros exemplos de combinações com taxas complementares: 2 8 =, pois = =, pois = =, pois = 9. 9 Testes Flávia dispõe no armário de 3 saias e 5 blusas, todas com uma única cor, diferente das demais. Todas as vezes que vai ao cinema, ela se veste com uma única saia e uma única blusa, porém tem algumas preferências. Quando a saia escolhida é a de cor vermelha ou azul, ela não veste a blusa de cor amarela. Além disso, quando a saia é a de cor branca, ela certamente veste a blusa de cor verde ou a de cor preta. Quantas vezes ela poderá ir ao cinema sem repetir o mesmo conjunto saia-blusa e respeitando as preferências? a) 7 b) 8 c) 10 d) 12 e) Na semana cultural de um colégio serão exibidas sete peças teatrais distintas, uma em cada dia. Sabe-se que três dessas peças são do gênero comédia, duas do gênero tragédia e duas do gênero drama. De quantas maneiras é possível organizar a programação teatral de forma que as peças de mesmo gênero sejam exibidas em dias consecutivos? a) b) c) 120 d) 144 e) MATEMÁTIA E SUAS TENOLOGIAS - Vol. II

5 03. A paz reina em um grupo de 8 alunos, pois todos são muito amigos, com exceção de Ana, que sempre briga com Bruno e com arlos. Nesse grupo, será constituída uma equipe de quatro alunos. A única exigência é que cada integrante se relacione bem com todos os outros. Desta forma, quantas equipes podem ser formadas? a) 45 b) 55 c) 65 d) 70 e) (ENEM) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 1eadeumabarra escura, no número 0. Observe abaixo um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras. Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código , no sistema descrito acima. Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é: a) 14. b) 12. c) 8. d) 6. e) 4. MATEMÁTIA E SUAS TENOLOGIAS - Vol. II 35

6 05. (ENEM) A escrita braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é representada por O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é a) 12 b) 31 c) 36 d) 63 e) (ENEM) Os alunos de uma escola organizaram um torneio individual de pingue-pongue nos horários dos recreios, disputado por 16 participantes, segundo o esquema abaixo: 07. (ENEM) A contagem de bois Em cada parada ou pouso, para jantar ou dormir, os bois são contados, tantos na chegada quanto na saída. Nesses lugares, há sempre um potreiro, ou seja, determinada área de pasto cercado de arame, ou mangueira, quando a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do potreiro, rente à cerca, os peões formam a seringa ou funil, para afinar a fila, e então, os bois vão entrando aos poucos na área cercado. Do lado interno, o condutor vai contando; em frente a ele, está o marcador, peão que marca as reses. O condutor conta 50 cabeças e grita: Talha! O marcador, com o auxílio dos dedos das mãos, vai marcando as talhas. ada dedo da mão direita corresponde a 1 talha, e da mão esquerda, a 5 talhas. Quando entra o último boi, o marcador diz Vinte e cinco talhas! E o condutor completa: E dezoito cabeças. Isso significa bois. Boiada, comitivas e seus peões. In: O Estado de São Paulo. ano VI, ed. 63, 21/12/1952 (com adaptações). Para contar os bois de acordo com o processo descrito anteriormente, o marcador utilizou a) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda. b) 20 vezes todos os dedos da mão direita. c) todos os dedos da mão direita apenas uma vez. d) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez. e) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 vezes todos os dedos da mão direita. Foram estabelecidas as seguintes regras: Em todos os jogos, o perdedor será eliminado; Ninguém poderá jogar duas vezes no mesmo dia; omo há cinco mesas, serão realizados, no máximo, 5 jogos por dia. om base nesses dados, é correto afirmar que o número mínimo de dias necessário para se chegar ao campeão do torneio é: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 36 MATEMÁTIA E SUAS TENOLOGIAS - Vol. II

7 08. (UFF RJ) Hoje em dia, é possível realizar diversas operações bancárias a partir de um computador pessoal ligado à Internet. Para esse acesso, o cliente de determinado banco, após digitar o número de sua agência e conta corrente, deverá introduzir uma senha de quatro dígitos a partir de um teclado virtual como o da figura. Para inserir um dígito da senha da sua conta corrente, o cliente deste banco deve clicar em um dos quatro botões indicados pela inscrição clique aqui ; isto é, para inserir o dígito 4, por exemplo, pode-se clicar no botão clique aqui situado abaixo dos dígitos 0, 4 ou 7 ou naquele situado abaixo dos dígitos 2, 4 ou (UEL PR) Em um restaurante de comida a quilo, são oferecidos os seguintes alimentos: Grupo I Grupo II Grupo III Grupo IV Alface enoura Beterraba Tomate Rúcula Arroz Batata Mandioca Macarrão Lasanha arne bovina Frango Peixe Ovos Soja Banana Maçã Mamão Laranja Abacaxi Melão Melancia Um nutricionista recomendou a um cliente desse restaurante que em sua dieta alimentar fossem consumidos, por refeição, dois alimentos do Grupo I, dois do Grupo II, um do Grupo III e um do Grupo IV. De quantos modos diferentes esse indivíduo pode compor sua refeição, seguindo esta dieta? a) 32 b) 875 c) d) e) Pode-se afirmar que o número total de senhas compostas por quatro dígitos distintos que estão associadas à sequência de cliques, primeiro, no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8; depois, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7; novamente no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8 e, por último, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7, é igual a: a) 12 b) 24 c) 36 d) 54 e) 81 MATEMÁTIA E SUAS TENOLOGIAS - Vol. II 37

8 10. (ENEM) Imagine uma eleição envolvendo 3 candidatos A, B, e 33 eleitores (votantes). ada eleitor vota fazendo uma ordenação dos três candidatos. Os resultados são os seguintes: Ordenação Nº de votantes A B 10 A B 04 B A 02 B A 07 A B 03 B A 07 Total de Votantes 33 A primeira linha do quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 1º lugar, B em 2º lugar, em 3º lugar e assim por diante. onsidere o sistema de eleição no qual cada candidato ganha 3 pontos quando é escolhido em 1º lugar, 2 pontos quando é escolhido em 2º lugar e 1 ponto se é escolhido em 3º lugar. O candidato que acumular mais pontos é eleito. Nesse caso, a) A é eleito com 66 pontos. b) A é eleito com 68 pontos. c) B é eleito com 68 pontos. d) B é eleito com 70 pontos. e) é eleito com 68 pontos. 01. c 02. d 03. a 04. d 05. d 06. d 07. d 08. e 09. c 10. a Gabarito 38 MATEMÁTIA E SUAS TENOLOGIAS - Vol. II